第七章 小波动控制图

30
每 天 变 化 数
UCLX=21.00
20
10
X
=9.50
0
LCLX=0.00
0
20
40 60 80
样本数 ，天
7.5 (a)X单值图
返回
80
60
3
累 40 积 和：20
0
-20
2
1
4
0
20
40
60
80
样本数 ，天
7.5 (b)累积和图 （m=9）
有些时候，由于计算累积和方法的差别，CUSUM也 会提供错误信号。例如参数值m、目标均值的选择 等都可能造成控制图错发信号。图7·5（c）(d) 是利用不同的参照值对同一批数据构造出的CUSUM， 但对过程波动显示出的统计信号却明显不同。
（4）样本均值的传统CUMSUM 前述的CUMSUM是个体计量值控制图，而对于样本 规模为n，均值分别为（ X 1 , X 2 , … X t）的独 立样本，构造CUMSUM的步骤为： 计算上下控制限：
2 x
UCL
n1
2 x
ln
源自文库
1 1

1 t( ) 2
（7.7）
LCL

n 2
第七章
小波动控制图
累积和（CUSUM）控制图
指数加权移动平均（EWMA）控制图
CUSUM控制图概述
CUSUM控制图的设计思想就是对数据的信息 加以积累。CUSUM控制图分别可用于计量性数据 （正态分布），缺陷数（泊松分布），不合格品 率（二项分布）。利用样本数据的累积和建立控 制图最早由佩吉提出，理论基础是序贯分析原理 中的序贯概率比检验，这是一种基本的序贯检验 法。该控制图通过对信息的累积，将过程的小偏 移累加起来，达到放大的效果，提高检测过程小 偏移的灵敏度。
量，则
2 2 2 x 2 x 1 d ln ln 2 2
tan , 2A
其中A称为刻度因子，表示纵轴上一个刻 度单位相当于横轴上A个刻度单位，通常 取 x至2 x 间的值。
用V型模板判断过程是否发生异常时，把透明的模板放 在累积和图上，使它的基点O与图上刚描上的点 m, Sm 重合 ，模板 oo ' 与累积和图的水平轴平行。如果以前所描的点 都在V型模板的两条斜线内，则过程没有发生异常； 1）如果有一点碰到或被V型模板下臂覆盖，则判断过程平 均水平异常增大； 2） 如果有一点碰到或被V型模板上臂覆盖，则判断过程平 均水平异常减小。 碰到或被V型模板覆盖的点则可能是过程发生变化的起点 。
（1） Cusum 能被有效地应用于个体测量数据 它通过求和或求均值来对过去的样本数据进行 总结。记t个个体观测值为X1X2….Xt，则它们的和为： St= ∑（Xi – m）= St –1+(Xt –m)， 这里m是任意参数值，通常为过程均值。 St是 样本偏差的累积量。如果过程处于良好控制之下并 且过程均值等于m，则Cusums Si将围绕m波动，不显 示任何倾向。当过程向上或向下偏离m时， Si就会 显示上移或下移的趋势，如果偏移是持续的，这种 趋势就是线形的。因此，在检测这些图时，要特别 注意这些趋势。
7.1
传统的CUMSUM
主要讲述在样本数据服从正态分布的前提下，基 于过程均值的单侧检验和双侧检验的CUMSUM的构造步 骤与方法。 （1）序贯概率比检验
序贯概率比检验是每次只从需检测的一批产品中抽检一个 样本的产品，然后根据过去抽检的各样本的测试结果，比较在 两种不同假时出现上述序贯测试结果的概率，以这两种概率的 比值（统计上称为 H1 对 H 0 的似然比）作为判断的依据。如果 概率比远大于1，说明 H1 成立的可能性大；如果概率比远小于 1，说明 H 0 成立的可能性大。如果两种假设下的概率相差不 大，则继续抽检下一个样本，再重复上述过程，直到能明确做 出接受假设为止。
0
备择假设： H1： μ =μ
1
(μ 1>μ 0),
当 β/(1-α)<序贯概率比〈1-β/α （7.1） 时，不能作出接受或拒绝H0和H1的判断。
公式7.1可用来对呈上升趋势的均值构造一个单侧检
验控制图。假如我们有一组按时间顺序测得的独立 样本数据即：X1 X2 …Xt，且服从正态分布组且样本 方差已知为 x ，均值未知，序贯概率比用如下公式 计算： 2
对于不同的累积和控制图，有一个基本的共同 点即：首先提出原假设和备择假设，其次对假设进 行检验并做出结论。本章所讲的累积和控制图指传 统意义上的累积和控制图。构造累积和控制图，最 关键的就是对所选质量特性的描述，所以它与休哈 特控制图的基本构建程序及应用范围有一定区别。
在实际应用中，用累积的统计值构建的控制图 其敏感性和检出效果要明显强于凭单个样本值构建 的控制图，原因在于该图是通过对样本均值、样本 波动、极差等质量特性值的累积和建立的。它也可 以对属性值进行累积。
命题1： 若 l1m / l0m A （ A 为远大于1的数），则接受 H1 ；
若 l1m / l0m B （B 为远小于1的数），则接受 H 0 ； 若 B l1m / l0m A ，继续抽检下一个样本。
A.wald对此有详细的论述，并证明在使用时可近似取
A 1

B
1
UCL
接受H1
继续抽样
接受H0 继续抽样
接受H2
LCL
样本数
样本数
（a）双侧检验的累积和控制图 图7.2
（b）连续取样区间
双侧检验的累积和控制图的不同序贯概率比的可接受区间
（3）
CUMSUM的V型摸板
当均值向上和向下波动的幅度相同时（如： Δ 1=Δ 2=Δ ），常常用一个V型摸板对称的两臂做为上 下控制限来分析累积和图。仅仅观测一下近期数据而 非全部就可以从累积和的变动中对非随机模式做出判 断。由图7·2（a）得出图7·3。转动V型摸板，使其 下控制限平行于X轴，中心o作为最近数据的始点。横 轴代表时间，以此判断何时的数据落到两臂上。当一 个或数个点被任一臂覆盖时，表明过程均值已发生波 动。当一个或数个点落被下臂覆盖时，则表明过程均 值向上波动，被上臂覆盖，表明过程均值向下波动。
1
ln (1 ) / ln1 0 / 1
(7.9 )
样本累积统计量为：St
其中：
Ri 为第i个样本极差。

i 1
t
Ri
，
o
X 0 为原假设。
ω 为由样本规模决定的常数。
表7.1决定样本极差Cusum的常数
样本规模，n
3 4 5 6 7 8 9 10
10
0
累 -10 积 -20 和：
-30
-40
-50
0
20
40
60
80
样本数 ，天
7.5 (c)累积和图 （m=10）
60
40
累 20 积 和： 0
-20
-40
0
20
40
60
80
样本数 ，天
7.5 (d)累积和图 （m=9.5）
7.4 类似于休哈特图的Cusum
传统的Cusum很大程度上依赖于对目标过程参数 和移动检测区间(n)的准确估计。事实上，这有 时很难做到，这种情况下，最好不要随意地选取 参数值来构造Cusum ，可以利用累积和作为样本 点，按照休哈特控制图的原理来作图。这些图无 备择假设。我们先讨论基于个体变量值之上的过 程均值控制图。随后我们将讨论样本均值的 Shewhart-like Cusum Control Charts。
x
1 ln St ln 1 1 1
2 x
(7.2)
现对其进行检验，则： △1=μ 1－μ
0
1 S t X i ( 0 ) 2 i 1
t
（7.3）
St是对两个均值平均数的偏差的累积和，如图7.1 所 示。上下控制限分别根据方程7.2确定。按抽样程序， 在抽到第6个样本点时，停止抽样并接受H0：µ=µ0 ， 因为样本差的累积和超出了下控制线。同样在第18个 样本点，接受： H1：µ=µ1 因为此时样本点超出上控制线。
可能发生偏移的时间 累 积 和
d
ф
t-7
t-3
t
样本数
图7.3 累积和控制图的V型模板
图7·3描述了一个典型的CUMSUM的具体运用，图中 清晰地显示了第t时刻样本点的具体位置。在3—7 期间，均值明显向上移动，所以累积控制图的优势 就是借助该图能够对过程均值发生变动的时间做出 较准确的判断。
由β 1=β 2=β 分别计算出：前置距离d，即：模 板的顶点V到基点0的水平距离，角度Φ ：即模板两 边线UV与LV之间夹角的一半。 为均值可允许的偏移
ω
0.233 0.188 0.160 0.142 0.128 0.118 0.110 0.103
7·3
阐释 CUMSUM
由于构成CUMSUM的样本数据之间相互依赖，所以 要研究处于控制限线数据间的非随机因素引起的波 动就存在一定的难度，也就无法利用分析休哈特均 值控制图的原则和方法分析CUSUM。原因在于图中 样本点是对历史数据的累积，有些点就会远离中心 线，再根据具体落点位置解释图形也就失去了意义。 如果一系列点随机地排列在与中心线平行的某一 位置，那么出现这种情况的原因很可能是中心线定 位有问题。
ln
1 2

2 t( ) 2
（7.8）
其中۵1 = µ1–µ0，۵2= µ2–µ0 ，Cusum统计量为：
St x 0


V 型模板的前置距离d和角ø的计算公式如下：
2 2 x 1 d ln 2 n
tan , 2A
（4）
样本极差的传统CUMSUM
+10
0
累积和控 制图上控 制线
St
-10
-20
-30
0
10
20
样本数，t
图7.1 连续抽样的累积和控制图
在单侧检验控制图中，可接受上限常常定为控制 图上控制限，而下控制限由于无实际意义，一般不预 研究，所以图7.1中虽然第六个点已超出下控制限也 就无须采取补救措施，而第18个样本点则相反。总之， 单边控制图主要研究均值向下偏移的趋势。 若需要同时对大于和小于μ O的两种情况加以研究 时，我们可以借助一对单侧检验控制图，分别对向上 和向下的变动进行研究。目标均值分别记为μ 1>μ O和 μ 2<μ O ，对应的发生第二类错误的风险概率分别为 β 1和β 2，发生第一类错误的风险概率为2α ，
利用样本累积和统计值对过程变动进行控制类 似于对连续的似然比率进行检验。实际应用中，用 样本极差考查I、П 类错误概率分别为 和 时，标 准差σ X从 σ 0 到σ 1发生的位移。
由此得出V型模板两个系数的计算公式：
du
2 ln( 0 / 1 ) t an 1 0 / 1
将公式（7·2）与（7·3）合并，则得出累积和
x 上下控制线为：
i 0
UCL

2 x
1
ln
1 1

1 t( ) 2
(7.4)
LCL

2 x
2
ln
1 2

2 t( ) 2
(7.5)
公式（7·4）和（7·5）是样本数t的线性函数。结 果见图 7.2（a）。 一般情况下无论Δ 1和Δ 2取何 值，CUMSUM都可用于对过程进行双边检验。图7·2 （α ）显示了向上和向下两种变动。 一般的连续抽样的累积和控制图模型7·2（b）， 图中有三个判断区域来接受相应的假设： Ho： μ=μO，H１：μ=μO+Δ1，H2：μ=μO +Δ2，如阴影 部分表示。当样本累积和落到任何三个区域之一时， 就停止抽样。在控制图中，仅仅向外扩张的上下控 制线用于检测对均值的偏离。注意：在所有情况下 的累积和是偏离过程均值的累积。
当 H 0 为真时接受 H1的概率近似等于 ，其中 为第一类错 误概率； 当 H1 为真时接受 H 0 的概率近似等于 ，其中 为第二类错 误概率。
（2）单侧检验和双侧检验的CUMSUM 建立在假设检验的理论基础之上，分别作出原假 设和备择假设，对连续的似然比率进行检验步骤如 下： 原假设：H0： μ =μ
一般地，当图中出现几个样本点连续呈上升或 下降趋势时则表明过程有可能产生了波动；另一 种发生波动的信号是图中连续的样本点成线性趋 势向下倾斜。图7·5（b）出了一天中每个样本点 与平均9个样本均值之差的累积，图中显示，从第 72天起，每天至少出现三次上偏和一次下偏趋势。 而图（a）（休哈特图）则无法显示该信息。由此 可以看出，在检测过程中的微小波动方面， CUMSUM的检出功效明显高于休哈特控制图。