北京理工大学数学专业偏微分方程期末试题2014级A卷(MTH17178)

课程编号：MTH17178

北京理工大学2016-2017学年第一学期

2014级偏微分方程期终考试（A ）

1.（10分）利用特征线方法求解一阶波动方程初值问题：()22,,0,0,t x x u u u x t u x e x -+=∈>⎧⎪⎨=∈⎪⎩

。 2.（10分）利用Fourier 变换方法求解：()()

(),,,0,0,t x u bu cu f x t x t u x x x ϕ--=∈>⎧⎪⎨=∈⎪⎩ 。 3.（10分）利用行波法求解：()()()()0,,,0,,0

tt xx u u t x u x x x x u x x x x ϕψ⎧-=>⎪-=<⎨⎪=>⎩。

给出适当的相容性条件。如果ϕ在(],0a -上给定，ψ在[)0,b 上给定，给出其决定区域。

4.（15分）求解初边值问题：()()()20,01,00,0,1,0,0,0,01

t xx x x u a u u x t u t u t t u x A x ⎧-+=<<>⎪==>⎨⎪=<<⎩。

5.（7分）对于初边值问题()[]()()()()[]()()()()()212,,0,,0,0,,0,0,0,,,,,0

tt xx t x u a u f x t x L t u x x u x x x L u t g t u L t u L t g t t ϕψσ⎧-=∈>⎪==∈⎨⎪=+=≥⎩

推导边界条件齐次化的公式（不需要解方程）。

6.（13分）对于有界区域()(],0,T Q a b T =⨯上的热方程()2

,0t xx u a u c x t u -+=，其中(),c x t 下有界，证明如果(),u x t 在抛物边界上非正，则(),u x t 在T Q 上非正。

7.（15分）考虑波动方程初边值问题[]()()()()[]()()()20,0,,0,0,,0,0,0,0,,,0,0

tt xx t x x u a u x L t u x x u x x x L u t u L t u L t t ϕψσ⎧-=∈>⎪==∈⎨⎪=+=≥⎩，其中

0σ>，令t 时刻的能量()()()22222011,22

L t x E t u a u dx a u L t σ=++⎰，证明()E t 守恒，并由此证明相应的一般非齐次方程非齐次初边值问题的解的唯一性。

8.（20分）设()

()1,02,1T T u C Q C Q ∈ 且满足初边值问题()()()()[]()()[]

,,,,0,0,0,,0,0,t xx T x u u f x t x t Q u x x x L u t u L t t T ϕ⎧-=∈⎪=∈⎨⎪==∈⎩，证明：[]()()()()22220000000,sup ,,,L T L L T L x t T u x t dx dt u x t dx M x dx dt f x t dx ϕ∈⎡⎤+≤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中M 仅依赖于T 。

提示：Gronwall 不等式：设(][]1

0,0,G C T C T ∈ ，()00G =，且对于任意的[]0,t T ∈，有()()()G t CG t F t '≤+，其中C>0，F 非负单调递增，则有

()()()()()11,Ct Ct G t C e F t G t e F t -'≤-≤。