【5‘】概率统计第8章作业参考答案

1 16 1 i ~ N (0, ) ，利用 的分布容易算得 16 i1 4
P{2 1.645} P{1.5 2 2.125} P{2 1.96及2 1.96} ＝ 0.05 即这三个拒绝域都具有相同的显著性水平 0.05
（2）应选取｛ 2 1.96 及 2 1.96 ｝作为拒绝域比较合理。原因是 H0 的拒绝域应该是 有利于 H1 成立的区域（有利原则） 。 8. 设总体 X ~ N (,42 ) ， X1, X 2 , X 3 , X 4 为其样本，样本均值为 X ，对假设
2 2
且 X，Y 相互独立 （1）先检验假设 H 0 : 12 2 2 , 当 H0 成立时，检验统计量 F
H1 : 1 2
2
2
S12 ~ F (n1 1, n2 1) 2 S2
0.05 ，拒绝域为 f F0.025(99,99) 1.53 或 f F0.975(99,99) 0.65
认为保险丝熔化时间的分散度与通常情况并无显著差异。 4. 自动装罐机包装罐头食品，假定罐头净重服从正态分布，规定罐头净重的标准差不能超 过５克，否则就必须停工检修机器。现检查１０罐，测得它们净重的标准差为 5.5 克， 取检验水平 0.05 ，问机器是否需要检修？ 解：设罐头净重 X ~ N (, 2 ) ，要检验假设
0.05 ，拒绝域为 t t0.05 (198) u0.05 1.645
此时检验统计量观察值 t
2805 2680 7.82 不在拒绝域内，故接受 H0 ，认为甲 1 1 113.02 100 100
枪弹的速度比乙枪弹的速度快。
7. 设总体 ~ N (,22 ) ， 1, 2 , , 16 为其样本， 检验问题： H0 : 0, ｛ 2 1.645 ｝ ，
第 8 章
1. 在标准差 5.2 的正态总体中，抽取容量 n=16 的样本，算得样本均值 x 27.56, 在显著性水平 0.05 下，能否认为总体均值 26 ？ 解： 问：
2. 某种矿砂含镍量 X ~ N (, 2 ) ，测定５个样品的含镍量（%）为： 3.25, 3.27, 问在显著性水平 解： 3.24, 3.26, 3.24
H0 : 1 2 ,
H1 : 1 2 ，
当 H0 成立时，检验统计量 T
X Y ( 1 2 ) X Y ~ t (n1 n2 2) 1 1 1 1 Sw Sw n1 n2 n1 n2
0.05 ，拒绝域为 | t | t0.025(10) 2.2281
P{| U | 1.96} P{1.96 U 1.96} P{2.46 U 0.5 1.46} (1.46) (2.46) (1.46) 1 (2.46) 0.9278 1 0.9931 0.92
H0 : 5, H1 : 5.
（１） 给出一个显著性水平为 0.05 的拒绝域； （２） 若 6 ，试计算犯第二类错误的概率 。 解： （1）当 H0 成立时，检验统计量 U
X 5 ~ N (0,1) 4/ 2
显著性水平为 0.05 的拒绝域 | U | u0.025 1.96 即｛ X 8.92或X 1.08 ｝ （2）若 6 ，则检验统计量 U 的真实分布是 N (1 / 2,1) 犯第二类错误的概率
H 0 : 2 25,
若 H0 成立，检验统计量 2 拒绝域为 2 20.05 (9) 16.92 此时检验统计量的观测值 2
H1 : 2 25
(n 1)S 2
2

9S 2 ~ 2 (9) 25
9 5.52 10.89 16.92 ，在接受域内，故接受 H0 ，认为机器 25
0.01 下，能否认为这批矿砂的平均含镍量为 3.25(%)?
3. 设某工厂生产的保险丝的熔化时间 X ~ N (, 2 ) ，通常情况下其方差为 400。某天任取 25 个保险丝测量熔化时间，得样本均值 x 62.24, 样本方差 s 2 404.77 。取显著性水 平 0.01 ，检验这天生产的保险丝熔化时间的分散度与通常情况有无显著差异？ 解：
检验统计量观察值 f
120.512 1.32, 在接受域内，故接受 H0 ，认为这两种枪弹的速度方 1052
差没有显著差异。 （2）在两总体方差未知但相等的假设下， 要检验假设
H0 : 1 2 ,
H1 : 1 2 ，
当 H0 成立时，检验统计量 T
X Y ( 1 2 ) X Y ~ t (n1 n2 2) 1 1 1 1 Sw 百度文库 Sw n1 n2 n1 n2
此时 x 25.5, y 25.67, sw 3.05 检验统计量观察值 t
25.5 25.67 -0.0947 在接受域内，故接受 H0 ，认为这两种香烟的 1 1 3.05 6 6
尼古丁含量没有显著差异。 6. 比较两种枪弹的速度（均为正态分布，单位：米/秒） ，在相同条件下进行速度测量，分 别算得样本均值和样本标准差如下： 枪弹甲： n1 100, x 2805, s1 120.51; 枪弹乙： n2 100, y 2680, s2 105.00; 在显著性水平 0.05 下，问：可否认为甲枪弹的速度比乙枪弹的速度快？ 解：根据题意，设甲枪弹的速度 X ~ N ( 1 , 1 ) ，乙枪弹的速度 Y ~ N ( 2 , 2 ) ，
1 16 i 为样本均值，考虑如下假设 16 i1
H1 : 0
｛ 1.5 2 2.125 ｝ ， ｛ 2 1.96 及 2 1.96 ｝
（１） 试证：下述三个拒绝域具有相同的显著性水平 0.05 。 （２） 在上述三个拒绝域中应选取哪一个比较合理？为什么？ 解： （1）若 H0 成立，
不需要检修。 5. 某香烟厂生产两种香烟，假定其尼古丁含量都服从正态分布且具有相同方差，独立随机 抽取容量大小相同 （n=6） 的烟叶标本测定其尼古丁含量 （单位： 毫克） ， 数据记录如下： 甲： 25, 28, 23, 26, 29, 22 乙： 28, 23, 30, 25, 21, 27 试问：这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异（ 0.05 ）？ 解： 根据题意， 设甲香烟的尼古丁含量 X ~ N (1, 2 ) ， 乙香烟的尼古丁含量 Y ~ N (2 , 2 ) ， 要检验假设