北师大选修2-2 1.2综合法与分析法

例4. 求证 3 7 2 5
解:要证
3 7 2 5
( 3 7 ) 2 (2 5 ) 2
只需证
展开,只需证
21 5
只需证 21<25
因为 21<25成立,所以
3 7 2 5
成立.
3.直接证明 直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法） 注：直接证明的一般形式为：
特点： 从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”
（由因导果）
• 例 1 ． a 、 b 、 c 为互不相等的正数，且 a2 ＋ c2 ＝ 2bc. 则 下列关系中可能成立的是( ) • A． a＞ b＞ c B．b＞c＞a • C． b＞ a＞ c D． a＞ c＞ b • 解析： ∵ a 、 b 、 c 为互不相等的正数， ∴ a2 ＋ c2 ＞ 2ac， • 即2bc＞2ac.∴b＞a.排除A、D.从B、C来看，b＞c， • ∴a2＋c2＝2bc＞2c2.∴a2＞c2，∴a＞c. • ∴b＞a＞c可能成立． • 答案： C
a + b 2 ab 0
( a b) 0
2
因为 ( a b ) 0 成立 a+b ab 所以 成立 2
2
分析法证明的逻辑关系是：
A(已知) B1 B2 … Bn . B(结论)
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已 知” （执果索因）
a+b 分析基本不等式： 2
本题条件 已知定义 ⇒ A ⇒ B ⇒ C 已知公理 已知定理 ⇒ 本题结论
4.分析法和综合法的优缺点： 分析法的优点： 解题方向明确，容易找到解题的思路和方法； 缺点：思路逆行，叙述较繁.
综合法的优点： 从条件推出结论，较简捷地解决问题； 缺点：不便于思考.
注：解题时，一般用分析法寻找解题思 路，再用综合法写解题过程
作业：
P12 习题1-2 第2、4 题
ab
(a>0,b>0)的证明.
a+b 证明:要证; ab 2 只需证; a + b 2 ab
还原成综合法： 证明: 因为; ( a b ) 0
2
只需证; a + b 2 ab 0
只需证; ( a b ) 0
2
所以 a + b 2 ab 0
所以
a + b 2 ab
二.分析法 从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条 件和已知条件吻合为止.
其推证过程为：
结论 A B
已知条件
a+b 分析基本不等式： 2
ab
(a>0,b>0)的证明.
a+b 证明:要证 ab 2 a + b 2 ab 只需证
只需证 只需证
数学归纳法
直 接 证 明
一.综合法 1.定义：从已知条件出发，以已知的定 义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出 要证明的结论为止.
其推证过程为：
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
2．综合法的推证过程 A命题的条件或已有的定义、公理、定理等 ⇒ 结论B ⇒ 结论C ⇒ 命题的结论D
• 例2．已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证： a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2. • 证明： ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2， • a4＋c4≥2a2c2， • ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)． • 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. • 又∵a，b，c互不相等， • ∴a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2.
1.2
综合法和分析法
复习
1.推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
两种推理的作用?
合情推理为演绎推理确定了目标和方向
演绎推理为合情推理提供了前提且对猜想作出判决和证明
猜想需要推理
否定猜想? 肯定猜想?
举反例 证明
比较法 直接证明 证明 间接证明 综合法 分析法 反证法
练习1.:如图，已知AB,CD相交于点O, △ACO≌△BDO,AE=BF, 求证：CE=DF C A
F
E O
B
D
练习2.已知a 0, b 0 ，
a b a b 求证： b a
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手能 找到证明的途径，则用综合法，否则用分 析法. 2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条件 ，在解题表述中要注意语言的规范性和逻 辑性.
因为;( a b ) 0 成立 a+b ab 成立 所以 2
2
a+b 所以 2
ab 成立
例：已知a > 5，求证 ： a -5 • • • • • • • •
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a -3 <
a-2 -
a.
证明: 要证 a -5 - a -3 < a -2 - a 只需证 a -5 a < a -2 + a -3 只需证 a(a - 5) < (a - 2)(a - 3) a(a - 5)<(a - 2)(a - 3) 只需证 0<6 只需证 0 < 6 成立. 因为 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.