高等工程数学试题--2013-11-3工程硕士
高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)
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考试题及参考解答(参考)一、填空题(每小题3分,共15分) 1,设总体X 服从正态分布(0,4)N ,而1215(,,)X X X 是来自X 的样本,则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解:(10,5)F .2,ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解:ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==. 3,分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解:2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验. 4,方差分析的目的是_______ .解:推断各因素对试验结果影响是否显著.5,多元线性回归模型=+Y βX ε中,β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解:1ˆσ-'2Cov(β)=()X X . 二、单项选择题(每小题3分,共15分)1,设总体~(1,9)X N ,129(,,,)X X X 是X 的样本,则___B___ .(A )1~(0,1)3X N -; (B )1~(0,1)1X N -; (C )1~(0,1)9X N -; (D ~(0,1)N . 2,若总体2(,)XN μσ,其中2σ已知,当样本容量n 保持不变时,如果置信度1α-减小,则μ的置信区间____B___ .(A )长度变大; (B )长度变小; (C )长度不变; (D )前述都有可能.3,在假设检验中,就检验结果而言,以下说法正确的是____B___ . (A )拒绝和接受原假设的理由都是充分的;(B )拒绝原假设的理由是充分的,接受原假设的理由是不充分的; (C )拒绝原假设的理由是不充分的,接受原假设的理由是充分的; (D )拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4,对于单因素试验方差分析的数学模型,设T S 为总离差平方和,e S 为误差平方和,A S 为效应平方和,则总有___A___ .(A )T e A S S S =+; (B )22(1)AS r χσ-;(C )/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----; (D )A S 与e S 相互独立.5,在多元线性回归分析中,设ˆβ是β的最小二乘估计,ˆˆ=-εY βX 是残差向量,则___B____ . (A )ˆn E ()=0ε; (B )1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ; (C )ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计; (D )(A )、(B )、(C )都对.三、(本题10分)设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,且两个样本相互独立,X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差,证明12(2)X Y t n n +-,其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明:易知221212(,)X YN n n σσμμ--+,(0,1)X Y U N =.由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--,22222(1)(1)Yn S n χσ--.由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-.由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-.四、(本题10分)设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他,其中参数01)θθ<<( 未知,12()n X X X ,,,是来自总体的一个样本,X 是样本均值,(1)求参数;的矩估计量θθˆ(2)证明24X 不是2θ的无偏估计量.解:(1)101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰,令()X E X =,代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-. (2)222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦,因为()00D X θ≥>,,所以22(4)E X θ>.故24X 不是2θ的无偏估计量.五、(本题10分)设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布,12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本,试求参数θ的极大似然估计. 解:X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时,()L θ是单调减函数,而{}12max ,,,n x x x θ≥,所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计.六、(本题10分)设总体X 服从(1,)B p 分布,12(,,)n X X X 为总体的样本,证明X 是参数p 的一个UMVUE .证明:X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=.容易验证(;)f x p 满足正则条件,于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦.另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===, 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量,故X 是p 的一个UMVUE .七、(本题10分)某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ,由以前的观测可知056μ=.现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05).附表如下:t 分布表 χ2分布表解:设0H :560==μμ.构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=, 确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.由05.0=α,定出临界值1315.2025.02/==t t α,从而求出拒绝域{}1315.2>t .而60,16==x n ,从而 ||0.8 2.1315t ===<,接受假设0H ,即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异.八、(本题10分)已知两个总体X 与Y 独立,211~(,)X μσ,222~(,)Y μσ,221212, , , μμσσ未知,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解:设布定理知的样本方差,由抽样分,分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-, 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭,所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭. 九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤.答:建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。
高等工程数学考研真题试卷
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高等工程数学考研真题试卷一、选择题(每题3分,共30分)1. 设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导,且\( f'(x_0) \neq 0 \),则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的切线斜率为:A. \( f(x_0) \)B. \( f'(x_0) \)C. \( x_0 \)D. \( 0 \)2. 线性代数中,若矩阵\( A \)可逆,则下列哪个说法是正确的?A. \( A \)是对称矩阵B. \( A \)是正交矩阵C. \( A \)的行列式不为零D. \( A \)是单位矩阵3. 根据概率论,若随机变量\( X \)服从正态分布\( N(\mu,\sigma^2) \),则其期望值和方差分别是:A. \( \mu, \sigma \)B. \( \sigma, \mu \)C. \( \mu, \sigma^2 \)D. \( \sigma, \sigma^2 \)4. 常微分方程\( y'' - 2y' + y = 0 \)的特征方程是:A. \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)B. \( r^2 - 2r + 2 = 0 \)C. \( r^2 + 2r + 1 = 0 \)D. \( r^2 - 2r - 1 = 0 \)5. 在多元函数极值问题中,若函数\( f(x, y) \)在点\( (x_0, y_0) \)处取得极小值,则下列说法正确的是:A. 在该点处,\( f(x, y) \)的一阶偏导数都为零B. 在该点处,\( f(x, y) \)的二阶偏导数都为正C. 在该点处,\( f(x, y) \)的Hessian矩阵是正定的D. 在该点处,\( f(x, y) \)的梯度向量为零二、填空题(每题4分,共20分)6. 若函数\( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \),则\( f''(x) \)的值为________。
高等工程数学试题--2013-11-2工程硕士
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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷(开卷)考试日期:2013年 月 日 时间110分钟注:解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分,每小题3分)(1)线性规划123123123131132min Z 24 .. 3256 226519 0, 0,x x x s t x x x x x x x x x x x R=+-⎧⎪-+≥⎪⎪-+-≤-⎨⎪+=⎪≥≤∈⎪⎩ 的标准线性规划是 ;(2)对方程()sin 0.60f x x x =--=,Newton 迭代公式 是 ;(3)矩阵9636131131135A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦进行Cholesky 分解为 ; (4)如果311,152214Ax b A ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,矩阵F A = , 利用Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的敛散性情况是 ;(5)已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ,则其三次样条插值函数)(x S 是满足 , , ;(6)设有线性回归模型1112122312322y y y βεββεββε=+⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩,其中2~(0,)(1,2,3)i N i εσ= 且相互独立,写出参数12,ββ的最小二乘估计 。
(7)在多元线性回归建模过程中,需要考虑自变量的选择问题。
写出三种常用的自变量的选取方法 。
(8)影响数学模型数值求解结果的误差有: , , 。
二、(本题8分)已知)(x f 的数据如表:试求三次Newton 插值多项式3()N x ,求(5)f 的近似值,并给出相应的误差估计式。
三、(本题10分)利用迭代法求解非线性方程 ()ln(2)0f x x x =-+= 的负数根,取初值0 1.7x =-, 要求先进行收敛性分析,计算结果具有2位有效数字。
四、(本题14分)某厂生产A 、B 、C 三种产品,需要甲、乙两种原料,加工单位产品所需要原料及其他数据见下表。
大学工程数学考试题及答案
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大学工程数学考试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列哪个选项是微积分的基本定理?A. 积分中值定理B. 洛必达法则C. 牛顿-莱布尼茨公式D. 泰勒级数展开答案:C2. 在概率论中,随机变量X服从二项分布B(n, p),其中n=10,p=0.3,那么E(X)等于多少?A. 2B. 3C. 4D. 5答案:A3. 线性代数中,一个矩阵A可逆的充分必要条件是什么?A. 行列式非零B. 秩等于A的阶数C. A的所有特征值非零D. 所有选项都是答案:D4. 在复数域中,下列哪个表达式表示复数的共轭?A. z + z*B. z - z*C. |z|^2D. z * z*答案:B5. 傅里叶级数在工程数学中的应用之一是?A. 信号处理B. 量子力学C. 统计物理D. 所有选项都是答案:A二、填空题(每题3分,共15分)6. 函数f(x) = sin(x)的一阶导数是_________。
答案:cos(x)7. 矩阵的特征值是_________。
答案:λ8. 拉普拉斯变换的逆变换通常使用_________。
答案:拉普拉斯逆变换9. 随机变量X和Y相互独立,且P(X=x) = 2x,P(Y=y) = 3y,则P(X+Y=4)等于_________。
答案:1/410. 曲线y = x^2在点(1,1)处的切线斜率是_________。
答案:2三、解答题(共75分)11. (15分)证明函数f(x) = e^x在实数域上是单调递增的。
答案:由于f'(x) = e^x > 0对于所有实数x,因此f(x)在实数域上是单调递增的。
12. (20分)解线性方程组:\[\begin{align*}x + 2y &= 5 \\3x - y &= 4\end{align*}\]答案:使用高斯消元法或克拉默法则,解得 \( x = 2, y = 1.5 \)。
13. (20分)计算下列定积分:\[\int_{0}^{1} x^2 dx\]答案:使用基本积分公式,得到 \( \frac{1}{3}x^3 \) 在0到1的积分为 \( \frac{1}{3} \)。
高等工程数学考试部分答案1
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工程硕士学位课程考试
高等工程数学试题
注意:每位考生只要选做以下两部分试题,答案必须写在答题纸上
矩阵分析部分
一.(6分)设求值。
解:参考试题2第一题
二.(8分)已知函数矩阵:,求矩阵
解:参考试题2第二题
三.(10分)设向量
与,令,
(1)求的一组基和维数;(2)求维数。
解:参考试题2第三题
四.(10分)设,
1.求的Jordan标准形及最小多项式;
解: 矩阵的最小多项式为, Jordan标准形为
2。
求解初值问题
解:参考试题2第四题(2)小题
五.(8分)设与是线性空间的两个基,为从基到的过渡矩阵,为的一个线性变换,在基下的矩阵,求线性变换在基下的矩阵。
解: 由题意有
所以由第一式有
把第二式和第三式代入得到
把第一式代入左边得到
从而有, 所以
六.(8分)设且可逆,,求证:的特征值都是正数。
证明: 因为为正规矩阵, 所以酉矩阵与对角矩阵. 即存在酉矩阵, 使得, 其中为对角矩阵, 从而
所以的元素全为实数. 设为任意一个特征值, 是属于的特征向量, 则有
得证.。
高等工程数学练习题
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一. 判断正误( )1.若线性空间s V V V V ⊕⊕⊕= 21,又T 是V 的一个线性变换,且s V V V ,,,21 都是T的不变子空间,则存在V 的一组基,T 在此基下的矩阵是分块对角形的,且每个子块的阶恰好分别等于子空间s V V V ,,,21 的维数。
( )3.设n m ij n m ij y Y x X ⨯⨯==)(,)(是任意实矩阵,定义∑∑===mi nj ij ijy xY X 11),(,则),(Y X 是nm R⨯上的一个内积。
( )4.设(),()ij n n ij n n X x Y y ⨯⨯==是任意实矩阵,定义11(,)()===+∑∑nnij ij i j X Y i j x y ,则),(Y X 是n n R ⨯上的一个内积。
( )5. 设B A ,都是n 阶方阵,则有22sin(2)cos sin A A A =-。
( )6. 设B A ,都是n 阶方阵,则有cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-。
二. 填空1. 设n 阶矩阵)(z A 可逆,且)(z A 及其逆矩阵)(1z A -都可导,则)(1=-z Adzd 。
2. 设n 阶矩阵()A u 可导,且()u f t =关于t 可导,则(())d A f t dt= 。
3.设∑∞==)(m mmZCZ f 的收敛半径是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=<000011,,λλλλJ R R ,则∑∞=0m mm J C 收敛到=)(0J f4.矩阵幂级数2112101kk k ∞=-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦∑的和函数为____________________.。
5.矩阵幂级数10.10.80.60.3kk ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑ ____________________.。
6.若n 阶矩阵A 的任一行中n 个元素的和都是a ,则a =λ是A 的一个特征值,A 的对应于a 的一个特征向量是 。
高等工程数学题
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1高等工程数学题一、非空集合V 为数域P 上的线性空间,α∈V ,λ∈P ,θ为零元素,证明性质:1、0·α=θ 2、λ·θ=θ 3、(-1)α=-α 证明:1、∵α+0·α=(1+0)·α=α,由线性空间运算规则第3条规则 ∴0·α=θ 2、∵当λ≠0时,α+λ·θ=λ·(1/λ·α)+λ·θ=λ·(1/λ·α+θ) /由线性空间运算规则第3条规则λ·(1/λ·α+θ)= λ·(1/λ·α)= α /当λ=0时,α+λ·θ=α+0=α/由线性空间运算规则第3条规则 ∴λ·θ=θ3、∵α+(-1)α=(1+(-1))α=0·α=θ 由线性空间运算规则第4条规则 ∴(-1)α=-α二、在R 4中,有两组基:(1)α1=(1,0,0,0);α2=(0,1,0,0);α3=(0,0,1,0);α4=(0,0,0,1). (2)β1=(2,1,-1,1);β2=(0,3,1,0);β3=(5,3,2,1);β4=(6,6,1,3).求:1)从第(1)组到第(2)组基的过渡矩阵;2)向量χ=(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)对第(2)组基的坐标;3)对两组基有相同坐标的非零向量。
解:1)根据题意可得:β1=2α1+α2-α3+α4;β2=3α2+α3;β3=5α1+3α2+2α3+α4;β4=6α1+6α2+α3+3α 4由上式及(α1,α2,α3,α4)·A=(β1,β2,β3,β4)可得过渡矩阵A 为:A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3111211633165022) 设χ´为χ对第(2)基的坐标,则χ´=A -1·χ,下面通过坐标变换求A -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10003101010012110010633100016502=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10003101010012110001650200106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------10103230011075400021616000106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----10103230110043102001030000106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--43109700200103001100431010003101=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3/26313/79003/2003/10100310140103/5003/13001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/710003/2003/1010027/233/19/427/100109/1113/19/40001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/710003/2003/1010027/233/19/427/100109/1113/19/40001 ∴A -1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/73/2003/127/233/19/427/19/1113/19/4 ∴向量χ对第(2)组基的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=-=--+=--+=432144134321243211*27/263/1*9/1*27/7'*3/2*3/1'*27/23*3/1*9/4*27/1'*9/11*3/1*9/4'ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ3)根据题意令χ´=χ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=-=--+=--+=432144134321243211*27/263/1*9/1*27/7*3/2*3/1*27/23*3/1*9/4*27/1*9/11*3/1*9/4ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ 解方程组得ξ1=ξ2=ξ3=-ξ4,根据题意,存在任意非零向量(c,c,c,-c)(c ≠0)对两组基有相同坐标.三、设向量组1)α1=(1,0,2,1);α2=(2,0,1,-1);α3=(3,0,3,0),2)β1=(1,1,0,1);β2=(4,1,3,1). 若V 1=L(α1,α2,α3),V 2=L(β1,β2),求V 1+ V 2的维数及一组基。
高等工程数学习题--2013
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高等工程数学练习题一、填空题1. 对方程()ln(2)0f x x x =-+=,写出该方程存在正数根的一个区间 ,构造迭代公式 ,使其产生的序列{}n x 可以收敛于方程的这个正数根*x ;2. 用Cholesky (乔勒斯基) 分解法求解方程:1239631861311303113549x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则:L = ; 方程组的解x = ; 3.建立最优化模型的三要素: ; ; ; 4.已知函数411.0)4.0(=f , 578.0)5.0(=f , 697.0)6.0(=f ,用此函数表作Newton 插值多项式,那么插值多项式2x 的系数是 ;5.设总体2220~(,),X N μσσσ=已知,X 是样本均值,在检验假设00:H μμ=时选用的检验统计量为 ,拒绝域为 ;6. 设总体X 服从],0[θ上的均匀分布,则θ的矩法估计为 ,极大似然估计为 ; 7.影响数学模型求解结果的误差有: , , 。
8.已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =,则其三次样条插值函数)(x S 是满足 , , ;9. 若函数3()230f x x x =-=, 给出该方程存在正根的区间 , 该方程的Newton 迭代公式是 ;10. 给出线性规划标准型的特点: 、 、 ; 11.求解无约束非线性最优化问题的下降迭代算法中,下降方向应该满足的条件是:; 12.已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =,[,]i x a b ∈,设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数,则)(x S 满足的三个条件是 ;13.在进行单因子方差分析中,A 因子取五个水平,共进行了25N =次试验,通过计算得到1600;8500SSA SST ==,因此A F = ,而0.05(4,20)2.87F =,A 因子对试验指标 显著性影响。
工程数学试题及答案高级专
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工程数学试题及答案高级专工程数学试题及答案(高级专科)一、单项选择题(每题3分,共30分)1. 极限的定义中,当x趋近于a时,f(x)的极限为L,意味着()。
A. f(x) = LB. |f(x) - L| < ε,对任意的ε > 0,存在δ > 0,使得0 < |x - a| < δ时成立C. |f(x) - L| = 0D. f(x) ≠ L答案:B2. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数为()。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案:B3. 以下哪个函数是奇函数?()A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案:B4. 以下哪个函数是周期函数?()A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案:B5. 以下哪个积分是发散的?()A. ∫(0, +∞) e^(-x) dxB. ∫(0, +∞) x^2 dxC. ∫(0, +∞) e^x dxD. ∫(0, +∞) 1/x dx答案:D6. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程?()A. y'' + 2y' + y = 0B. y'' + 2y' + 3y = 0C. y'' + y' + y = 0D. y'' + y' = 0答案:A7. 以下哪个是二阶偏导数?()A. ∂^2f/∂x∂yB. ∂^2f/∂x^2C. ∂^2f/∂y^2D. ∂^2f/∂x∂y^2答案:A8. 以下哪个是线性方程组的解?()A. {x=1, y=2}B. {x=0, y=0}C. {x=1, y=1}D. {x=2, y=3}答案:C9. 以下哪个是矩阵的特征值?()A. λ = 1B. λ = 2C. λ = 3D. λ = 4答案:A10. 以下哪个是傅里叶级数的系数?()A. a_nB. b_nC. c_nD. d_n答案:A二、填空题(每题4分,共20分)11. 函数f(x) = sin(x)在x=π/2处的导数为______。
高等工程数学 试题 答案
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《高等工程数学》试题一、 设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数,已知取得了样本值1231,2,1x x x ===,求θ的矩估计和最大似然估计.解:(1)矩估计:2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+⨯-+-=-+14(121)33X =++=令EX X =,得5ˆ6θ=. (2)最大似然估计:2256()2(1)22L θθθθθθθ=⋅⋅-=-45ln()10120d d θθθθ=-= 得5ˆ6θ= 二、(本题14分)某工厂正常生产时,排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ,今阶段性抽取10个水样,测得平均浓度为10.8(mg/L ),标准差为1.2(mg/L ),问该工厂生产是否正常?(220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====)解:(1)检验假设H 0:σ2=1,H 1:σ2≠1; 取统计量:2022)1(σχs n -=;拒绝域为:χ2≤)9()1(2975.0221χχα=--n =2.70或χ2≥2025.022)1(χχα=-n =19.023, 经计算:96.1212.19)1(2222=⨯=-=σχs n ,由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2,故接受H 0,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。
(2)检验假设101010≠'='μμ:,:H H ; 取统计量:10/10S X t -=~ )9(2αt ;拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ;1028.210/2.1108.10=-=t <2.2622 ,所以接受0H ', 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10(mg/L )。
综上,认为工厂生产正常。
三、 在单因素方差分析中,因素A 有3个水平,每个水平各做4次重复实验,完成下列方差分析表,在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。
南京理工大学工程硕士高等工程数学题
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南京理工大学工程硕士学位课程考试高等工程数学试题注意:每位考生只要选做以下两部分试题,答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一.(6分)设,其中1,121,312243122-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=i X i i i i A 求21,,AX A A ∞值。
解:A ∞=max{|2|+|-1|+|3+4i|,|-2|+|2i|+|-1|,|-i|+|-3|+|i|}=max{8,5,5}=8 1A =max{|2|+|-2|+|-i|,|-1|+|2i|+|-3|,|3+4i|+|-1|+|i|}=max{5,6,7}=734i AX 34i 6+⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2AX二.(8分) 已知函数矩阵:22222222222223332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭, 求矩阵.A 解:∵()AtAte Ae'=又 ()2t t2t t t 2t At 2t t 2t t t 2t 2t t 2t tt 2t 4e e 2e e e 2e e 2e e 4e e 2e 4e 6e 3e 2e e 3e 4e ⎛⎫--- ⎪'=--- ⎪ ⎪---⎝⎭∴ A=AE=Ae 0=Ae At |t=0=(e At )’|t=0=311132311-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭三.(10分)设向量)5,1,2,3(),4,1,1,2(),1,0,1,1(321---=-=-=ααα与)3,1,1,2(),1,1,0,1(21-==ββ,令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =,(1)求21V V +的一组基和维数; (2)求维数)dim(21V V 。
解:(1) 对下列矩阵施行如下初等行变换()TT TT T 12312A =αααββ1231212312112010111101111011111451302201--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭1231212312011110111100000000210002100000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭∴ r(A)=3 ∴ r(α1,α2,α3,β1,β2)=3 ∴ dim(V 1+V 2)=3可选{α1,α2,β1}为V 1+V 2的一组基(2) ∵ dimV 1=r{α1,α2,α3}=2 dimV2=r{β1,β2}=2∴ dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1四.(10分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411301621A ,1. 求A 的Jordan 标准形J 及最小多项式)(λm ;2. 求解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==114)0(X AX dt dX解: 1.12613E A 131********λ+-λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪λ-=λ-→λ+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭⎝⎭210010012330(1)(2)3(1)111011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→λ+-λ-λλ-→λ-λ+λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-λλ-λ-λ-⎝⎭⎝⎭21001000110100(1)(2)3(1)0(1)(2)(1)⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→λ-λ-→λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ+λ-λ-λ+-λ-⎝⎭⎝⎭210001000(1)⎛⎫ ⎪→λ- ⎪ ⎪λ-⎝⎭∴ d 1(λ)=1 d 2(λ)=λ-1 d 3(λ)=(λ-1)2∴ A 的初等因子为: λ-1,(λ-1)2∴12100100J A J 010J 110J 011001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 m(λ)=d 3(λ)=(λ-1)22. 设f(z)=e zt (z 为自变量,t 为固定字母),T(λ)=a+b λ 则 f ’(z)=te zt ,T ’(λ)=b令T(1)f (1)T (1)f (1)=⎧⎨''=⎩得t te a b e b ⎧=+⎨=⎩ 解得t a 0b e =⎧⎨=⎩∴ T(λ)=a+b λ=e t λ∴ e At =f(A)=T(A)=aE+bA=t 126e 103114--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭∴ X=X(t)=e At X(0)=tt t t t 126444e e 1031e 1e 11411e ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪--=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五.(8分) 设},{21αα与},{21ββ是线性空间V 的两个基,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2111P 为从基},{21αα到},{21ββ的过渡矩阵,T 为V 的一个线性变换,T 在基},{21ββ下的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ,求线性变换T 在基},{21αα下的矩阵B 。
工程硕士数学期末考试题目+答案
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1、 设A 、B 、C 为三事件,则C B A -+)(等于 ( D )A )(CB A -+; B. )(C A B -+ ; C. C B A )(+; D. C B A )(+ . 2、 随机变量X 在区间[2,4]上服从均匀分布,则}43{<<X P 等于( A ) A. }5.35.2{<<X P ; B. }5.25.1{<<X P ; C. }5.45.3{<<X P ; D. }5.55.4{<<X P .3、设Y X 、相互独立,)2,1(~-N X ,)3,1(~N Y ,则Y X 2+服从( B ) A. )8,1(N ; B. )14,1(N ; C. )22,1(N ; D. )40,1(N .4、已知总体),(~2σμN X ,),,(21n X X X 为样本,X 为 样本均值,2~S 为样本二阶中心矩,则1/~--=n S X T μ服从的分布为( B )A. )(n t 分布;B. )1(-n t 分布;C. ),(2σμN ;D. )1,0(N5、设总体),(~2σμN X ,2,σμ均未知,),,,(21n X X X 为其样本,2,S X 分别为总体的样本均值与样本方差,则μ的置信度为95.0的置信区间为( B ) A .),(025.0025.0u nX u nX σσ+-; B. ))1(),1((025.0025.0-+--n t nS X n t n S X ;C .),(975.09755.0u nX u nX σσ+-; D. ))(),((025.0025.0n t nS X n t nSX +-6、已知随机变量X 的数学期望)(X E ,则必有( B )A 、)()(22X E X E =;B 、)()(22X E X E ≥;C 、)()(22X E X E ≤;D 、1)()(22=+XE X E .7、设总体X 服从参数为λ的泊松分布,),,(21n X X X 是取自总体的一个样本,则此样本的概率密度函数为( C )A 、λλ-=⋅∏∑=e x ni i x ni i1!1; B 、λλ-=⋅∑∏=e xni ix ni i11; C 、λλn ni i x ex ni i-=⋅∑∏=1!1; D 、λλn ni i x e x ni i-=⋅∏∑=1!1.1、已知8.0)|(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P , 则=)(B A P __0.7____.2、设随机变量)3,1(~U X ,则X 的数学期望为______2___.3、设6.0,9)(,4)(===XY Y D X D ρ,则=-)23(Y X D 28.8 .4、已知袋中有3个红球,2个白球,现将袋中之球逐一取出(不放回),则最后一次取得红球的概率为____3/5______.5、在总体X 的数学期望μ的三个无偏估计中)3(≥n X 、213231X X +、321613121X X X ++中最有效的是____)3(≥n X ______.1.设随机变量X 服从指数分布,其概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ,),,,(21n X X X 为其样本,求参数λ的极大似然估计.(P169)2.某车间用一台包装机包装精盐,额定标准为每袋净重500克,设包装机包装出的盐每袋重量),(~2σμN X ,某天随机抽取9袋,称得净重分别为(单位:克):497, 506, 518, 524, 488, 511, 510, 515, 512问包装机工作是否正常.(P191) 3.二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它01,10,6),(2y x x xy y x f 试求X 、Y 的边缘密度函数.(p97)4.同一种产品有甲乙丙三个厂家供应。
工程硕士(GCT)数学-试卷13
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(总分:52.00,做题时间:90分钟)
一、 选择题(总题数:26,分数:52.00)
1.选择题(25题)下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________
D.√
解析:解析:
8.
(分数:2.00)
A.
B.
C.√
D.
解析:解析:
9.
(分数:2.00)
A.
B.
C.
D.√
解析:解析:
10.
(分数:2.00)
A.
B.
C.
D.√
解析:解析:
11.
(分数:2.00)
A.√
B.
C.
D.
解析:解析:
12.
(分数:2.00)
A.
B.√
C.
D.
解析:解析:
13.
(分数:2.00)
C.
D.
解析:解析:
25.
(分数:2.00)
A.
B.
C.
D.√
解析:解析:
26.
(分数:2.00)
A.
B.√
C.
D.
解析:解析:
解析:
2.
(分数:2.00)
A.
B.
C.
D.√
解析:解析:
3.
(分数:2.00)
A.
B.
C.√
D.
解析:解析:
4.
(分数:2.00)
高等工程数学-2013年练习题
![高等工程数学-2013年练习题](https://img.taocdn.com/s3/m/045b4b8e83d049649b665853.png)
高等工程数学注:解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分,每小题3分)1. 1x 与2x 的绝对误差分别为1δ与2δ,则2121x x x +有绝对误差 ; 2. 用Cholesky (乔勒斯基) 分解法解线性方程组AX b =的充分条件为 ; 用Doolittle (杜里脱尔) 分解法解线性方程组AX b =的充分条件为 ; 3.方程()x x ϕ=有唯一根且迭代格式1()n n x x ϕ+=收敛的条件为: ; ; ; 4.龙贝格算法中n T 与n S 的关系是 ,用1()m T h +来逼近()baI f x dx =⎰的误差为 ;5.设总体2220~(,),X N μσσσ=已知,X 是样本均值,在检验假设00:H μμ=时选用的检验统计量为 ,拒绝域为 ,μ的置信水平为1α-的置信区间为 ;6. 设总体X 服从],0[θ上的均匀分布,则θ的矩法估计为 ,极大似然估计为 ; 7.线性回归方程是指 ;8.用牛顿迭代法求()cos 0f x x x =-=在01x =附近满足精度10.001k k x x +-<的实根x ≈ 。
二、(本题6分)设有钢材100根,长17米,需轧成配套钢料。
每套由7根5米长与2根6米长的钢梁组成,问如何下料使钢材废料最少(不计下料损耗)?建立该问题的数学模型(不要求计算)。
三、(本题10分)已知)(x f 的数据如表:用三次Lagrange 插值多项式3()L x 计算(4)f 的近似值,并给出相应的误差估计式。
四、(本题12分)为研究温度对某个化学过程的生产量的影响,收集到如下数据(规范化形式):温度x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 生产量y 1 5 4 7 10 8 9 13 14 13 18 (1) 求Y 对X 的线性回归方程。
(结果保留小数点后两位。
)0101=∑=i ix,102101=∑=i i y ,∑==101158i i i y x ,1101012=∑=i ix,11941012=∑=i i y(2)对回归方程的显著性进行检验。
高等工程数学题(南理工高等工程数学考题)
![高等工程数学题(南理工高等工程数学考题)](https://img.taocdn.com/s3/m/fa67f9302379168884868762caaedd3383c4b5b9.png)
高等工程数学题(南理工高等工程数学考题)南京理工大学工程硕士高等工程数学学位课程考试试题(2010.3)(一)矩阵分析一.(6分)设,021320012-=A 求21,,A A A ∞值。
二.(8分)已知函数矩阵:22222222222223332t t t t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ??--- ?=--- ? ?---?,求矩阵.A 。
三.(10分)已知矩阵822254245--=A ,()=099t t e e t b (1)求Ate ;(2)求解微分方程()()()()()??=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。
四.(10分)给定3R 的两个基()Tx 1,0,11= ()Tx 0,1,22= ()Tx 1,1,13=()Ty 1,2,11-= ()Ty 1,2,22-= ()Ty 1,1,23--=定义线性变换:i i y Tx = ()3,2,1=i(1)写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵;(2)写出T 在基321,,x x x 下的矩阵;(3)写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。
五.(8分)给定(){}R a a A Rij ij ∈==??2222(数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘构成的线性空间)的子集 {}0221122=+∈=?a a R A V(1)证明V 是22?R的线性子空间;(2)求V 的一组基与维数。
六.(8分)设A 是实反对称矩阵,证明:A 的特征值为零或纯虚数。
(二)数值分析一.(8分)作一个五次多项式()x H ,使得()31=H ()12-=H ()34=H ()21='H ()12='H ()22=''H 二.(10分)分析方程 ()11=-xe x存在几个实根,用简单迭代格式求出这些根(精确到四位有效数字),并说明所用迭代格式是收敛的。
高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)
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考试题及参考解答(参考)一、填空题(每小题3分,共15分) 1,设总体X 服从正态分布(0,4)N ,而1215(,,)X X X 是来自X 的样本,则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解:(10,5)F .2,ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解:ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==. 3,分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解:2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验. 4,方差分析的目的是_______ .解:推断各因素对试验结果影响是否显著.5,多元线性回归模型=+Y βX ε中,β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解:1ˆσ-'2Cov(β)=()X X . 二、单项选择题(每小题3分,共15分)1,设总体~(1,9)X N ,129(,,,)X X X 是X 的样本,则___B___ .(A )1~(0,1)3X N -; (B )1~(0,1)1X N -; (C )1~(0,1)9X N -; (D ~(0,1)N . 2,若总体2(,)XN μσ,其中2σ已知,当样本容量n 保持不变时,如果置信度1α-减小,则μ的置信区间____B___ .(A )长度变大; (B )长度变小; (C )长度不变; (D )前述都有可能.3,在假设检验中,就检验结果而言,以下说法正确的是____B___ . (A )拒绝和接受原假设的理由都是充分的;(B )拒绝原假设的理由是充分的,接受原假设的理由是不充分的; (C )拒绝原假设的理由是不充分的,接受原假设的理由是充分的; (D )拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4,对于单因素试验方差分析的数学模型,设T S 为总离差平方和,e S 为误差平方和,A S 为效应平方和,则总有___A___ .(A )T e A S S S =+; (B )22(1)AS r χσ-;(C )/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----; (D )A S 与e S 相互独立.5,在多元线性回归分析中,设ˆβ是β的最小二乘估计,ˆˆ=-εY βX 是残差向量,则___B____ . (A )ˆn E ()=0ε; (B )1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ; (C )ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计; (D )(A )、(B )、(C )都对.三、(本题10分)设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,且两个样本相互独立,X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差,证明12(2)X Y t n n +-,其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明:易知221212(,)X YN n n σσμμ--+,(0,1)X Y U N =.由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--,22222(1)(1)Yn S n χσ--.由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-.由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-.四、(本题10分)设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他,其中参数01)θθ<<( 未知,12()n X X X ,,,是来自总体的一个样本,X 是样本均值,(1)求参数;的矩估计量θθˆ(2)证明24X 不是2θ的无偏估计量.解:(1)101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰,令()X E X =,代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-. (2)222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦,因为()00D X θ≥>,,所以22(4)E X θ>.故24X 不是2θ的无偏估计量.五、(本题10分)设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布,12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本,试求参数θ的极大似然估计. 解:X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时,()L θ是单调减函数,而{}12max ,,,n x x x θ≥,所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计.六、(本题10分)设总体X 服从(1,)B p 分布,12(,,)n X X X 为总体的样本,证明X 是参数p 的一个UMVUE .证明:X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=.容易验证(;)f x p 满足正则条件,于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦.另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===, 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量,故X 是p 的一个UMVUE .七、(本题10分)某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ,由以前的观测可知056μ=.现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05).附表如下:t 分布表 χ2分布表解:设0H :560==μμ.构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=, 确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.由05.0=α,定出临界值1315.2025.02/==t t α,从而求出拒绝域{}1315.2>t .而60,16==x n ,从而 ||0.8 2.1315t ===<,接受假设0H ,即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异.八、(本题10分)已知两个总体X 与Y 独立,211~(,)X μσ,222~(,)Y μσ,221212, , , μμσσ未知,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解:设布定理知的样本方差,由抽样分,分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-, 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭,所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭. 九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤.答:建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。
研究生工程数学试卷超全整理
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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷(开卷)1考试日期:2010年 4 月 日 时间110分钟注:解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分,每小题3分)1. 若函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 则方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一,对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ,且有误差估计式*x x k-≤L-1ε;2. 建立最优化问题数学模型的三要素是: 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ;3.求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”,其原因是: 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ; 4.已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =,[,]i x a b ∈,设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数,则)(x S 满足的三个条件(1)在每个子区间[]i i x x ,1-(i=1,2,…,n )上是不高于三次的多项式;(2)S (x ),S ’(x ),S ’’(x )在[]b a ,上连续;(3)满足插值条件S (x i )=y i (i=1,2,…,n ); 5.随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本,X 是样本均值,则~X N (3,0.4);6.正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表,N 表示试验次数,n 、m 表示因子水平数,p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ;7.线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU ,且分解唯一 时,可对A 进行LU 解,选主元素的Gauss 消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大,按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8.取步长0.01h =,用Euler法解'3,[0,1](0)1y x y x y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
《高等工程数学》试题+解答
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《高等工程数学》试题解答 (工程硕士及进修生用 2003.1)考生注意:1、可不抄题,答案必须写在统一配发的专用答题纸上; 2、本试题可能用到的常数:5752961 64199509750950 . ,. ,....===u u u . 一、填空题 (每空3分,共30分)。
(1) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=010100001H ;(2) 1)(Cond 2=U ;(3) 7 3 , ;(4) )1 1 (~)()(221221,F X X X X -+;(5) X 2ˆ=θ; (6) 664≥n ;(7) e A SS SS SS +=.二、(10分)[解] 记)(21A A diag A ,=,则21A A ,的特征多项式为2)1()()(21-==λλλA A f f , ∵ O I A ≠21 -,O I A ≠22 -,∴ 2)1()()(21-==λλλA A m m , 取)( )(21λλA A m m ,的最小公倍式,得 2)1()(-=λλA m ,故A 的Jordan 标准形为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 111111 , diag . 三、(10分)[解一] 记⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=πππ021 A ,其特征值为πλ-=1 (二重根),记 则令 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧'='=t t a t t t a t t a t a a g f g f 1 0 1 101 1 1 1 c o s sin cos cos sin )()()()(πππππππλλλλ ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==t t t t t A f g A g g A g At sin 00cos sin 000sin )()()()()(sin 2 11πππππππ[解二] ∵ J A 2 2001200022ππ∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--= ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==t t t t t t t t t t J t At sin 00cos 2sin 000sin )2(2sin 00)2(2cos 2)2(2sin 00022sin )2sin(sin πππππππππππ 四、(10分)[解] 对A 进行行初等变换故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==--21 12 121 1 211 121)(11 R L L , 从而A 有Doolittle 分解:五、(10分)[证] 将ω扩充为nV 的一个标准正交基 B } {n ααω,,,2 =则∴ T B =-==} {} {n n T T T ααααωω,,,,,,22 B P 其中} 1 1 1 {,,, -=diagP 为对称和正交矩阵,故T 是对称变换和正交变换。
高等工程数学试题.doc
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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期:2011年 月 日 时间110分钟注:解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分,每小题3分)(1) 对方程32()2f x x x x =-+,写出其Newton 迭代公式 【注意重根】 ,使得由迭代公式产生的序列{}n x 可以2阶收敛于方程的唯一正根*x ;(2)在[,]a b 上,设0)(=x f 与)(x x ϕ=等价,则当)(x ϕ满足 , 和 时,由)(1k k x x ϕ=+(L ,2,1,0=k )产生的序列{}k x 收敛于方程)(x x ϕ=的根;(3)用Doolittle 分解法求方程:123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则:L = ,U = ,解x = ;(4)已知 2114132,61225A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则:A ∞= ;1A = ;1x = 。
(5)已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =,则其三次样条插值函数)(x S 是满足 , , ;(6)设有线性回归模型1112122312322y y y βεββεββε=+⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩,其中2~(0,)(1,2,3)i N i εσ= 且相互独立,写出参数12,ββ的最小二乘估计 。
(7)在多元线性回归建模过程中,需要考虑自变量的选择问题。
写出三种常用的自变量的选取方法 。
(8)影响数学模型数值求解结果的误差有: , , 。
二、(本题8分)已知)(x f 的数据如表:试求三次Newton 插值多项式3()N x ,求(5)f 的近似值,并给出相应的误差估计式。
三、(本题10分)引入人工变量利用大M 法求解下面的线性规划(要求写出计算过程):12121212max 34..240.510,Z x x s tx x x x x x =++≤-≥≥≥四、(本题8分)某厂生产甲、乙、丙三种产品,都分别经A,B 两道工序加工,A 工序在设备1A 或2A 上完成,B 工序在1B ,2B ,3B 三种设备上完成。
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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷(开卷)
考试日期:2013年 月 日 时间110分钟
注:解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分,每小题3分)
1. 对矩阵 A 进行Doolittle 分解的条件是 ; 2.设总体2212~(,),~(,)X N Y N θσθσ,从总体分别独立抽取容量为,m n 的简单随机样本
12(,,,)m X X X ,12(,,,)n Y Y Y 。
记2,X X S 为样本12(,,,)m X X X 的样本均值与方差,2,Y Y S 为
样本12(,,,)n Y Y Y 的样本均值与方差,则12θθ-的95%的置信区间为 ;
3.如果2
113342
53,5351154
6
4Ax b A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,矩阵A ∞= , 利用Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的敛散性情况是 ; 4.在进行二元方差分析时,当两个因子之间存在交互作用时,需要进行重复试验,假设两个因子都取3水平,各种组合时试验的重复次数均为4,则体现两因子的交互作用的平方和的自由度是 ;
5.函数22
1212(,)y f x x x x ==,已知1x 和2x 的绝对误差限分别为1()0.1x ε≤和2()0.2x ε≤,则函数
值的绝对误差限为: ;
6.线性规划123123123123min 32..2363260,0,x x x s t
x x x x x x x x x +-⎧
⎪++≥⎪⎨-+≤⎪
⎪≤≥-∞≤≤∞
⎩ 的标准形式是 ;
7.方程()sin(1)2
x
f x x =+- 与()x x ϕ== 等价,由于迭代函数()x ϕ满足:
,可用迭代法求方程()0f x =的唯一正根*
x 的近似值; 8. 设011n n a x x x x b -=<<
<<=为区间[,]a b 的n 等分点,n T 和2n T 为定积分()b
a
f x dx ⎰复合梯
形公式,利用Romberg 思想写出复化Simpson 求积计算式
n S = 。
二、(本题14分)某工厂生产A 、B 两种产品,需利用甲、乙两种资源。
已知生产产品A 一件
需消耗资源甲、乙分别为3吨、4吨,生产产品B 一件需消耗资源甲、乙分别为4吨、3吨。
A 、B 产品每件产值分别为1、2万元。
工厂现有甲、乙资源量分别为120、120吨。
(1) 建立工厂安排生产使总产值最大数学模型。
(2) 列出并利用单纯形法求工厂的最优生产方案。
三、 (本题10分)用Newton 迭代法求方程2()320f x x x =-+=的最小正根,初值取为00.6x =,结
果精确到2位有效数字。
给出第k 次迭代近似误差*
k x x -的估计式。
四、(本题10分)已知)(x f 的数据如表:
求函数()f x 的三次插值多项式3()P x ,给出用3(3.5)P 作为(3.5)f 的近似值的误差估计式。
五、(本题8分)试确定求积公式
1
012 0
1
()(0)()(1)2
f x dx A f A f A f ≈++⎰
中的待定系数012,,A A A ,使其
代数精度尽量高。
六、(本题12分)一种特殊药品的生产厂家声称,这种药能在8小时内解除一种过敏的效率为90%,在有这种过敏的200人中使用药品后,有160人在8小时内解除了过敏,试问生产厂家的说法是否真实
(0.01)α=?
七、(本题12分)某种合金钢的抗拉强度Y(Pa)与钢的含碳量x 有线性回归关系,现进行了10次独立观测,并对测得数据进行处理得到如下结果:
8
.410
1
=∑=i i
x
,
2
.110
1
=∑=i i
y
,
∑==10
1
766
.0i i
i y
x ,
6
.210
1
2
=∑=i i
x
,
384
.010
1
2=∑=i i
y
(1) 求Y 对X 的线性回归方程。
(结果保留小数点后两位。
) (2)对回归方程的显著性进行检验。
八、(本题10分)对方程组:1011010121a a x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
, (1)建立求解该方程组的Jacobi 法和Gauss-Seidel 法的迭代计算式; (2)分析讨论 a 的取值范围,使 Jacobi 迭代法收敛。