函数的奇偶性-PPT精品课件

y
(-a,f(-a)) -a (a,f(a))
o
a
x
偶函数的图象关于y轴对称，反过 来，如果一个函数的图象关于y轴 对称，那么这个函数是偶函数.
例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的 图象如图，画出y=f(x)在 yy 轴左边的图象。
o
x
第一课时【互动探究案】例2、已知函数y=f(x)
理解定义
f ( x) x , x [2,4]的图像如图所示
2
y
-2
o
4
x
能说f ( x) x , x [2,4]为偶函数吗？
2
函数具有奇偶性的前提是什么？ 函数的定义域关于原点对称
对于奇、偶函数定义的几点说明:
（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。 (2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。
是偶函数，且知道x ≥0是的图像，请作 y 出另一半图象。
x
例3. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x
∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x)
(2)
f(x)=3x4+6x2 +a
∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a =3x4+6x2 +a 即 f(-x)= f(x)
解: 定义域为R
解: 定义域为R
∴f(x)为偶函数
∴f(x)为奇函数
说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称. ⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.
1 (3) f ( x) x x
1 (4) f ( x) 2 x 1
解：定义域是R 1 1 f ( x) 2 2 （ x） 1 x 1 即f x f x f x 为偶函数
给出函数
判断定义域 是否对称 是
否
(3)作出结论. f(-x)与f(x) f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函 数或即是奇函数又是偶函数。
结论
练习: 说出下列函数的奇偶性:
①f(x)=x4 偶函数 ________ 奇函数 ② f(x)= x -1 __________
④ f(x)=x -2 ⑥f(x)=x -3 偶函数 __________ 奇函数 _______________
4、已知函数f(x)是奇函数，且f(3)=3，则f(-3)等
于（ ） A、-3 B、3 C、0 D、无法确定 5、已知函数f(x)=x3，-5≤x<5，则下列结论正 确的是（ ） （A） 函数f(x)是奇函数 （B）函数f(x)的图像关于原点中心对称 （C）函数定义域中由无数多个x，使得f(-x)=-f(x) （D）函数f(x)的定义域是关于原点对称的区域
x x o 解：定义域是
1 1 f ( x ) x ( x ) x x 即f x f x f x 为奇函数
用定义法判断函数奇偶性解题步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系; 若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数.
y
fx = x
（2）
O x0 x0
x
fx = x3
1 f ( x) ( x 0) x

例如：函数f(x)=x2 ，如下：
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-x)=(-x)2=x2 f(-1)=f(1) f(-2)=f(2) f(-x)=f(x)
解: 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点 对称
∴f(x)为非奇非偶函数
或 ∵ f(-4)=(-4)2 =16;
f(4)在定义域里没有意义. ∴f(x)为非奇非偶函数
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇 函数，有的是偶函数，也有非 奇非偶函数。那么有没有这样 的函数，它既是奇函数又是偶 函数呢？
（1）图像法 （2）定义法
典例详解
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y y
x
x
f ( x) x 2
2
y
f ( x) －x 2 2 x
y
x
x
f ( x) 2 x 1
f ( x) 2 x , x 1
y
-a
(a,f(a))
o
a
x
(-a,f(-a))
奇函数的图象关于原点对称，反过来， 如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数.
③ f(x)=x ________ 奇函数 ⑤ f(x)=x5 __________ 奇函数
对于形如 f(x)=x n ( n Z ) 的函数，在定义 域R内: 若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。
思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是 偶函数吗？ y
分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1
有。例如：函数 f(x)=0 是不是只有这一个呢？若不是， f(x)=0 请举例说明。
y
0
-1
1
x
根据奇偶性, 函数可划分为四类: 奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. 3判断奇偶性方法：图象法，定义法。 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
结论:当自变量x任取定义域
-x
x
中的一对相反数时,对应的
函数值相等，即f(-x)=f(x)
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3 f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x x
结论:当自变量任取定义域中的 两个相反数时,对应的函数值也 互为相反数,即f(-x)=-f(x)
函数奇偶性的定义:
奇函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.
偶函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.
在日常生活中，有非常多的轴对称现象， 如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几 个例子。 除了轴对称外，有 些是关于某点对称，如 风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
y
（1）
-1 O 1 x
f(x)=x2
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
在线测试
1、对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？ （1）若f(x)是偶函数，则f(-2)=f(2) ( ) （2）若f(-2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数（ ） （3）若f(-2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数（ ） 2、已知函数f(x)是偶函数，且f（3）=3，则f(-3)=（ ） A、-3 B、3 C、0 D、无法确定 3、下列四个结论： 偶函数的图像一定与y轴相交； 奇函数的图像一定过原点； 偶函数的图像关于y轴对称； 奇函数y=f(x)(x)的图像必过（-a,f(a)） 表述正确的个数是 A、1 B、 2 C、3 D、4
∴ 2 0 f(x) -1 1
f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠
x
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
f(x)=2x+1
思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶 函数吗？
(1) f(x)=
x
(2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4) 解: ∵定义域不关于原点 对 称