二次函数教材分析

5.能根据已知条件确定二次函数图象的顶点坐标，说出图象的 开口方向，画出图象的对称轴。
6.能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，理解一元 二次方程与二次函数的关系。
7.能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化情况进行初 步讨论，提高应用意识。
三、教材特点
1.体现类比、数形结合和归纳的数学思想
课本93页第4题
（拓展2 ： 现有一辆满载货 物的船只欲通过该桥洞，已 知货物顶部距水面 3 米，装 货宽度为 4.2 米，请通过计 算，判断该船能否顺利通过 桥洞 ？
思路一：能否顺利通过桥洞， 取决于当 “货物顶部距水面 3 米” 时的水平宽度， 若这个宽度大于 “装货宽度 4.2 米” 时， 则该船能顺利通过桥洞； 否则不能。
当x b 时,最小值为 4ac b2 当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
2a
4a
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增 大而增大
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增 大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 减小
四.教学要点分析
（2）等式的右边最高次数为 2 ， 可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 即b,c可以为0, 但a≠0.
（3）x的取值范围是 任意实数 .
类型1:二次二次函数？若
是,分别指出二次项系数,一次应项看系化简数后,常数
项.
的表达式
(1)y=3(x-1)²+1
2课时 1课时 2课时 4课时 2课时 3课时 2课时 2课时
约18课时
二、教学要求
1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量和变量的意义。 2.结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。 3.能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 4.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。 5.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。 6.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 7.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 8.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 9.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x-h)2＋k
课本93页第4题
y

-
4 (x 25

5)2

4
y

-
4 x2 25

4
y

-
4 25
x2
y

-
4 (x 25

5)2

4
课本93页第4题
A
？ B
拓展1 ： 当水面上升 1m 时， 求此时桥洞下水面的宽度 是多少？
求 “此时桥洞下水面的宽度” 就是求 A 、B 两点 之间的距离 . 也即是当纵坐标 y= 1时， 所对应抛物 线的两个横坐标的距离。
1.对函数的再认识 2.二次函数 3.二次函数y＝ax2 的图象与性质 4.二次函数y＝ax2＋bx+c 的图象与性质
5.确定二次函数的表达式 6.二次函数的应用 7.二次函数与一元二次方程
二次函数解析式的确定--待定系数法
一般式：y ax2 bx c(a 0)
（已知三点坐标）
顶点式：y a(x h)2 k(a 0)

y

a(x

h)2

ky
ax2
bxc
探索一
探索二
※注重全体学生的动手参与,要让学生会用 描点法作图,明确过程，作图规范.
（）
（）
重视描点法画图
描点法画图给学生创造进一步体会函数意义的 机会.
对于二次函数图象、性质的探讨，建议教师留 出一段时间与学生共同列表、画图，在探索的 过程中，会有许多疑问.而这恰是学习新知识的 开始.
思路二：能否顺利通过桥洞，取决于当 “x=2.9或7.1时纵 坐标的值即桥洞离水面的高度， 若这个高度大于 “装货高 度 3 米” 时， 则该船能顺利通过桥洞； 否则不能。
这是一类“形状是抛物线形”的问题，这类题 比“规律是二次函数”的题(如图形、利润等)直观， 需建立适当坐标系，用待定系数法先确定函数解析式， 再用解析式解决有关问题。这类题还有如喷泉、掷铅 球、涵洞、跳水、投篮等问题.
2.经历探索、分析和建立变量之间的二次函数关系的过程，进 一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。通过 对实际问题的分析，体会二次函数的意义，形成模型思想。
3.能用描点法画出二次函数的图象，并能根据图象对二次函数 的性质进行分析，进一步积累研究函数性质的经验，发展几 何直观。
4.能用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x-h)2 ＋k 的形式。
拓展：去掉“如图所示的坐标系” （可以让学生探究建立不同的坐标系)
y

-
4 (x 25

5)2

4
y

-
4 x2 25
y

-
4 x2 25

4
y

-
4 (x 25

5)2

4
课本93页第4题
（2）如图，在对称轴 右边1m 处，桥洞离水面 的高度是多少？
求“桥洞离水面的高度” 也就是在二次函数 中， 当 x=6 时， 求对应的函数值.
(3)s=3-2t² (5)y=_x1_²-x
(2)y=x+
_1_ x
(4)y=(x+3)²-x²
(6)s=10 r²
（7）y= 2x 2
（8）y= 2x2
类型2:根据二次函数定义确定字母的值
【题2】y (m 3)xm2 7 (m 6)x.
（1） m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是反比例函数？ （3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解析式
y=ax2 y=ax2 +k y=a(x-h)2
不 顶点坐标 （0，0） （0，k） （h，0）
同
y轴
y轴
直线x=h
点
对称轴
a＞0
y=a(x-h)2+k （h，k）
直线x=h
y=ax2+bx+c


b 2a
,
4ac 4a
b2

直线x b
2a
a＜0
相 开口方向
向上
向下
同 最值 点
通过探讨二次函数与一元二次方程的联系， 再次展示函数与方程的关系，一方面可以深化学生 对一元二次方程的认识，另一个方面可以运用二次 函数解决一元二次方程的问题。
3.体现模型思想
对于某些实际问题，如果变量之间的关系可以 用二次函数模型来刻画，就可以利用二次函数的图 象和性质来研究，从而使实际问题得到解决，这一 过程体现了模型思想。
课本99页例2
某旅行社有客房120间，每间房的日租金为 160元，每天都客满．旅行社装修后要提高租金， 经市场调查，如果一间客房的日租金每增加10 元，则客房每天出租后会减少6间，不考虑其他 因素，旅社将每间客房将日租金提高到多少元 时，客房日租金的总收入最高？
（1）、引导学生得出函数关系式
可设计以下问题: 1． 在此题中，与收入相关的量有哪些? (日租金、 出租房间数) 2． 收入如何用这些量来表示? (收入 = 日租金 × 出租房间数) 3． 如何用数学语言将上述关系表示出来? 此题重点是关系式中各个量的表示
类型3:根据实际问题列二次函数表达式
【题3】
1、在边长为4的正方形中间挖去一个边长为x的小 正方形，剩下的面积为y，求y与x的函数关系式;
2、用总长为60cm的铁丝围成矩形场地，矩形面积 s(平方厘米)与矩形的一边长x(cm)之间的关系；
3、某机械公司第一月销售50台，求第三月销售y 台与月平均增长率x之的关系式；
2. 二次函数
引入方法： 课本从具体实例入手，抽象出二次函数的定义.
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的 函数叫做x的二次函数。
二次函数的定义
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的 函数叫做x的二次函数。 注意：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 整式
“二次函数”教材分析
鲁教版九年级上册
桓台县实验中学 高继英
桓台县实验中学
高继英
一、课时安排
1 对函数的再认识 2 二次函数 3 二次函数y＝ax2 的图象与性质 4 二次函数y＝ax2＋bx+c 的图象与性质 5 确定二次函数的表达式 6 二次函数的应用 7 二次函数与一元二次方程 回顾与思考
的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口 方向 ，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。 10.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
本章知识结构
本章教学目标
1.经历建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步理解函数 的意义，并会求简单函数的自变量的取值范围及函数值。
（已知对称轴、顶点、最值）
交点式：y a(x x1)(x x2 ）（a 0)
（已知抛物线与x轴的两个交点）
（浙江中考）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点 A(3,0) B(-1,0)
(1)求这个二次函数的解析式。 (2)求抛物线的顶点坐标.
课本93页第4题
有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度 为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标 中。 （1）求这条抛物线所对应的函数关系式。 （2）如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高度是多少？