狄拉克方程1
狄拉克方程
狄拉克方程1928年英国物理学家狄拉克（Paul Adrien MauriceDirac）提出了一个电子运动的相对论性量子力学方程，即狄拉克方程。
利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。
从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2，以及电子自旋磁矩与自旋角动量之比的朗德g因子为轨道角动量情形时朗德g因子的2倍。
电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。
狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，是理论上的重大进展。
1概念自然单位制下的狄拉克方程为了避免克莱因－高顿方程中概率不守恒的问题，狄拉克在假设方程关于时间与空间的微分呈一次关系后得出了有名的狄拉克方程。
但该方程仍无法避免得出负能量解的问题。
2应用既然实验已充分验证了狄拉克方程的正确，人们自然期望利用狄拉克方程预言新的物理现象。
按照狄拉克方程给出的结果，电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。
自由电子最低的正能态是一个静止电子的状态，其能量值是一个电子的静止能量，其他的正能态的能量比一个电子的静止能量要高，并且可以连续地增加到无穷。
与此同时，自由电子最高的负能态的能量值是一个电子静止能量的负值，其他的负能态的能量比这个能量要低，并且可以连续地降低到负无穷。
这个结果表明：如果有一个电子处于某个正能状态，则任意小的外来扰动都有可能促使它跳到某个负能状态而释放出能量。
同时由于负能状态的分布包含延伸到负无穷的连续谱，这个释放能量的跃迁过程可以一直持续不断地继续下去，这样任何一个电子都可以不断地释放能量，成为永动机，这在物理上显然是完全不合理的。
3空穴理论针对这个矛盾，1930年狄拉克提出一个理论，被称为空穴理论。
最多只能容纳一个电子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。
狄拉克方程
第三步：克朗内克δ函数
为了简洁和统一描述(3.9)式，狄拉克采用了克朗内克δ函 数（Kronecker），其定义为：
（3.10）
克朗内克δ函数常用来描述矩阵。通俗地理解就是：如果 i和j表示矩阵的行列序号，那么克朗内克δ函数描述的就 是一个对角元素全部为1、其余元素全部为0的单位矩阵。 如果令 a4 ，则全部(3.9)式都可以用下式统一描述：
（3.7）
展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 , a a 之间可以对易，但矩阵a 之间不可对易。也就 1 2, 3, a a 是p ，但是 a xp y p yp x 1 2 a 2 1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）
要保证(3.8)式成立，可以让系数 a , a a 满足如下关系 1 2, 3,
为了得到一组矩阵系数，狄拉克介绍了一种方法。他先把 表示。 、 2×2的泡利矩阵扩展为如下4×4的矩阵，用 、
1 2 3
、 、 1 2 3
（3.15）
然后，狄拉克参照这三个4×4的泡利矩阵，又拼凑出了三 、 、 、 、 、 、 1 2 3 ，（ 个类似的4×4矩阵 不是从 1 2 3 1 2 3 变过来的，是狄拉克凭经验拼凑出来的，两者没有关系），
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狄拉克方程
展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 , a a 之间可以对易，但矩阵a 之间不可对易。也就 1 2, 3, a a 是p ，但是 a xp y p yp x 1 2 a 2 1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）
要保证(3.8)式成立，可以让系数 a , a a 满足如下关系 1 2, 3,
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
粒子在t时刻r点出现的几率
注意
(1)
概率振幅 归一化条件 态叠加、干涉
(2) (3)
干涉项
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律
第二步：待定系数能量动量关系
为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。 对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）
狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (px ,py ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程
相对论的
3.狄拉克方程
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源
感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
狄克拉函数
狄克拉函数
狄拉克函数（Dirac function），也称为广义函数，是一种在数学和物理学中常用的函数。
它由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）于20世纪20年代引入并研究。
狄拉克函数通常表示为δ(x)，其中x是自变量。
狄拉克函数的定义如下：
1.若x = 0，则δ(x) = +∞；
2.若x ≠ 0，则δ(x) = 0。
即狄拉克函数在x = 0处“集中”成无穷大的脉冲，而在其他点上为零。
需要强调的是，狄拉克函数并不是一个实际的函数，而是一种分布（分布理论中的概念），常用作数学上的工具。
狄拉克函数具有一些非常有用的性质，例如：
1.归一性：∫δ(x)dx = 1。
狄拉克函数的积分在实数轴上等于1。
2.平移性：δ(x - a)表示在x = a处的狄拉克函数。
通过平移函
数，可以表示在不同的位置上的狄拉克脉冲。
3.放大性：δ(ax) = δ(x) / |a|。
通过放大或缩小自变量，可以
改变狄拉克函数脉冲的幅度。
狄拉克函数在物理学中有重要的应用，特别是在量子力学中的波函数描述中。
例如，它可以用于描述粒子位置的位置本征态、粒子间的相互作用等现象。
狄拉克方程的意义
狄拉克方程的意义
狄拉克方程是物理学界最重要的方程之一，也是物理研究最重要的工具之一，几乎每一个重大物理发现都与它息息相关。
该方程由德国物理学家Maxwell Planck发现，他现在被认为是现代物理学的先驱。
狄拉克方程的原始形式可以表述为：
$∇^2u- \frac{1}{c^2}\frac{∂^2u}{∂t^2}=0$
该方程可以用来解释物理世界中一类现象——以光为例，它定义了光在空气中传播的方式。
其中，因为光传播速度固定，所以其特殊形式可以写为：
$∇^2u+\frac{1}{v}∂u∂t=0$
其中，V是光传播速度，仅当光传播速度v恒定时，狄拉克方程才可以得到特殊形式。
狄拉克方程在物理学中用于描述任何类型的自由波动，包括电磁波、声音波、光波等。
它可以用来描述电磁的相互耦合作用，它在预测和理解绝缘体中的电场波动方面有着重要的意义。
它还可以用来解析电动势，以及解释电流和电场的变化。
同时，狄拉克方程也有着广泛的应用。
它可以用来描述乐器的声音传播，描述潮流流动，描述晚着和早着的图案，还可以用来计算声反射和衰减率等。
由于它的简洁性和精确性，狄拉克方程可以用来作为传热领域中有效传热参数研究的基础。
总之，狄拉克方程是物理学界众多工具中最重要的一员，在解释物理现象，研究电磁场和传热领域中有重要意义。
1的定积分
1的定积分1的定积分是一个重要的数学概念，也是微积分中的一个重要内容。
它是由著名的微积分学家、微分几何学家、力学学家狄拉克首先提出来的。
他发现，积分可以用来表达一个函数的空间变化。
对于同一个函数，不同的被积分区域是不同的，因此，对于不同的被积分区域，可以求出不同的积分值。
1的定积分就是这样一个积分，它可以用来研究函数的变化率，从而确定函数的行为。
1的定积分定义如下：给定一个函数f(x)，它的1的定积分为：∫f(x)dx,其中a∈[a,b]，这里的定积分被称为狄拉克积分。
1的定积分有一个重要的性质，即它可以有效地表示一个函数在某一个区域内的变化率。
通常情况下，当函数的积分值大于0时，函数在该区域内是增加的，而当函数的积分值小于0时，函数在该区域内是减少的。
1的定积分的计算方法有多种。
其中，最简单的是采用梯形法，即将被积分区域分成若干小矩形，然后分别求其下面的矩形的面积，最后把这些面积相加求和，得出1的定积分的值。
另外，也可以采用更复杂的数值积分方法，如Simpson积分法，Gauss-Kronrod求积法，Trapezoidal积分法等，以计算出更精确的定积分结果。
1的定积分在数学，物理，化学和工程学等多个领域有着广泛的应用。
在物理学中，它可以用来求解微分方程，即求解物理系统中的动态变化；在数学中，它可以用来求解定积分和无穷级数的值；在化学和工程学中，它可以用来求解复杂的物理和化学过程的传递系数等等。
总之，1的定积分在数学、物理、化学和工程等各个领域均有着重要的作用，它可以有效地帮助我们了解函数的变化规律，研究物理和化学等复杂过程的传递系数，甚至可以应用在定积分和无穷级数的求解中。
因此，1的定积分是一个非常重要的概念，并且可以应用到很多不同领域中。
狄拉克方程的解
狄拉克方程的解狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的运动方程，是量子力学的重要基础之一。
它由英国物理学家狄拉克于1928年提出，被认为是量子力学史上的重要里程碑。
狄拉克方程的解可以分为平面波解和非平面波解两种情况。
平面波解是指具有确定动量和能量的解，而非平面波解则是指具有连续能谱和自旋极化的解。
这两种解都对应着不同的物理现象和粒子性质。
让我们来看看狄拉克方程的平面波解。
平面波解可以用来描述自由粒子的运动，即没有外界力场作用的粒子。
根据狄拉克方程，平面波解可以写成一个旋量形式的波函数，包括了自旋上和自旋下两个分量。
这个波函数随时间和空间的变化而改变，描述了粒子在空间中的传播和自旋的演化。
平面波解的特点是具有确定的能量和动量，可以通过动量算符和能量算符来进行测量。
这些算符作用在平面波解上，可以得到粒子的动量和能量的本征值。
根据量子力学的原理，测量结果是离散的，而且符合能量-动量关系。
除了平面波解，狄拉克方程还有非平面波解。
非平面波解的特点是具有连续的能谱和自旋极化。
这种解描述了粒子在外界力场中的运动，比如电磁场或引力场。
在这种情况下，粒子的能量和动量不再是确定的，而是具有一定的不确定性。
非平面波解可以用来描述粒子在外界力场中的散射和反应。
通过狄拉克方程的非平面波解，可以计算出粒子的散射截面和反应概率，从而了解粒子在外界力场中的行为。
狄拉克方程的解不仅仅是理论上的结果，它在实际的物理实验中也得到了验证。
例如，电子的存在和性质可以通过狄拉克方程的解来解释和预测。
实验观测到的电子的自旋、动量和能量都与狄拉克方程的解相符合，这进一步验证了狄拉克方程的正确性和实用性。
狄拉克方程的解是描述自旋1/2粒子运动的重要工具，它可以用来描述自由粒子和在外界力场中的粒子的运动。
狄拉克方程的解不仅在理论上具有重要意义，而且在实际的物理实验中也得到了验证。
通过狄拉克方程的解，我们可以更深入地了解粒子的性质和行为，为量子力学的发展和应用提供了重要的基础。
量子力学狄拉克方程
量子力学狄拉克方程量子力学狄拉克方程是描述自旋1/2粒子行为的基本方程，它由英国物理学家狄拉克于1928年提出。
这个方程将相对论和量子力学相结合，成功地解释了电子的自旋，为粒子物理学的发展作出了巨大贡献。
狄拉克方程是一个四分量波函数方程，描述了自旋1/2粒子的运动。
它的形式非常复杂，包含了四个复数分量。
这四个分量分别代表了粒子的两种自旋状态，以及正负能量的运动。
狄拉克方程的解被称为狄拉克旋量，它描述了自旋1/2粒子的波函数随时间和空间的演化。
狄拉克方程的提出极大地推动了量子力学的发展。
它不仅成功地解释了电子的自旋，还预言了反物质的存在。
根据狄拉克方程，每个粒子都有一个反粒子与之对应，它们具有相同的质量但电荷相反。
这个预言在随后的实验证实了，为粒子物理学的研究打开了新的方向。
狄拉克方程的形式非常复杂，但它的实际应用却非常广泛。
它在量子电动力学、量子色动力学和弦理论等领域都有重要的应用。
狄拉克方程提供了描述粒子行为的基本工具，为我们理解微观世界的奥秘提供了重要线索。
狄拉克方程的提出也引发了许多深刻的思考。
它揭示了自然界的对称性，如时间反演对称性和空间反演对称性。
狄拉克方程还激发了人们对粒子自旋的研究，以及对粒子性质的更深层次的理解。
通过对狄拉克方程的研究，我们可以更好地理解粒子的本质和行为规律。
量子力学狄拉克方程是一个重要的物理方程，描述了自旋1/2粒子的运动行为。
它的提出推动了量子力学的发展，为粒子物理学的研究提供了重要线索。
狄拉克方程的成功解释了电子的自旋，并预言了反物质的存在。
通过对狄拉克方程的研究，我们可以更好地理解微观世界的奥秘，推动科学的进步。
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数狄拉克（Dirac）δ函数是由英国理论物理学家保罗·狄拉克提出的一种特殊的数学函数，一种奇异函数。
狄拉克δ函数在物理、工程和数学等领域起着重要的作用。
它在量子力学、信号处理、微积分和控制工程等领域具有广泛的应用。
狄拉克δ函数由以下性质定义：∫δ(x)dx = 1∫f(x)δ(x−a)dx = f(a)这意味着狄拉克δ函数是一个以0为中心，并在x=0处取无穷大值的奇异函数。
它在其他地方为0。
通过与其他函数的乘积进行积分运算，可以得到在特定点处取有限值的结果。
狄拉克δ函数在量子力学中的应用非常重要。
在量子力学中，波函数描述了粒子的位置和性质。
波函数的平方表示了在给定位置上找到粒子的概率。
狄拉克δ函数可以用来描述点状粒子，例如电子或光子。
在空间中的给定位置上，粒子可以被认为是局部集中的，因此可以使用狄拉克δ函数来描述其位置。
例如，假设有一个处于位置a的电子，其波函数可以表示为Ψ(x)。
那么，当我们在位置a处测量电子的位置时，根据量子力学原理，有一个非常高的概率它将处于a附近的一个微小区域内。
通过使用狄拉克δ函数，我们可以将测量电子位置的结果表示为Ψ(a)。
狄拉克δ函数还可以用来解决微积分中的问题，尤其是当涉及到奇异函数、积分和广义函数时。
例如，在积分运算中，狄拉克δ函数可以用来表示极限。
狄拉克δ函数可以与其他函数进行卷积运算。
卷积运算用于描述两个函数之间的关系。
通过与一个函数进行卷积，我们可以将狄拉克δ函数应用于另一个函数，并得到一个新的函数作为结果。
在信号处理中，狄拉克δ函数被广泛用于描述连续信号和离散信号之间的关系。
通过狄拉克δ函数，我们可以将一个连续信号转换为离散信号，并将离散信号转换为连续信号。
狄拉克δ函数还与控制工程密切相关。
在控制系统中，经常需要对信号进行滤波和处理。
通过将狄拉克δ函数应用于输入信号，我们可以估计系统对这个信号的响应。
这对于设计和分析控制系统非常重要。
狄拉克方程的解释
狄拉克方程的解释狄拉克方程是一个非常重要的物理方程，它是20世纪最有影响力的物理方程之一，并且被广泛用于物理学家和工程师解决一般物理问题的解算过程中。
其名称来源于美国物理学家马歇尔狄拉克，该方程可以解释电磁学中的各种现象，例如电磁感应、晶体结构等。
狄拉克方程是一个多元二次非定型的常微分方程，用来描述电磁场中的电磁波的传播过程。
它由三个独立的变量，即电磁场的强度、偏移电场和磁密度构成。
狄拉克方程可以用来描述一般的电磁场传播，并且它是一个被公认的物理模型和方程。
狄拉克方程表明，电磁场可以互相作用，从而产生电磁力。
它表明，电磁场可以改变磁场，同时磁场也可以改变电磁场。
另外，电磁场可以用梯度来表示，它表明，电磁力的大小取决于电场的变化率，以及磁场的变化率。
狄拉克方程可以用来解决实际问题，比如说电磁感应的应用，它允许用电场引起磁场，或者用磁场引起电场，因此可以用它来做电机、传感器和其他类型的电子设备。
另外，狄拉克方程也可以用来解释晶体结构的形成，因为晶体是由电磁场交互影响而形成的。
狄拉克方程被用来构建量子力学模型，因为它可以被视为一个桥梁，将粒子物理学与电磁学连接在一起。
它可以用来解释光子的行为，以及铁磁体的磁性和磁极的分布情况。
通过狄拉克方程的探索，人们得以了解到微观世界中粒子对电磁场的反应，从而为构建微观世界的完整模型提供了重要的理论依据。
总之，狄拉克方程是一个重要的物理方程，它在研究电磁学中具有重要的作用，这个方程可以用来解释各种现象，如电磁感应、晶体结构、量子力学模型、光子行为等，它也可以用来解决实际问题，如电子设备的制造等。
因此，狄拉克方程在现代物理学中发挥着重要作用，为物理科学家与工程师在解决真实问题上提供了可靠的理论依据。
狄拉克方程的理论推导
狄拉克方程的理论推导狄拉克方程是描述自旋1/2粒子运动的基本方程之一，由英国物理学家保罗·狄拉克在1928年提出。
这个方程在量子力学和量子场论中具有重要的地位，对理解粒子物理学的基本问题起到了至关重要的作用。
1. 自旋与相对论性粒子在相对论性量子力学中，我们必须考虑自旋的概念。
自旋是粒子的内禀角动量，不同于经典观念中的自转，它并没有经典的对应物。
自旋的量子数可以是整数或半整数，对于自旋1/2的粒子，其量子数可以取正负1/2。
在量子力学中，我们用波函数来描述粒子的运动状态。
对于自由粒子，我们可以用薛定谔方程来描述其运动。
但当我们考虑到粒子的自旋时，薛定谔方程的形式就不再适用了。
为了描述自旋1/2粒子的运动，我们需要引入狄拉克方程。
2. 狄拉克方程的形式狄拉克方程可以写成如下的形式：$$ (i\\gamma^{\\mu}\\partial_{\\mu}-m)\\psi=0 $$其中，$\\gamma^{\\mu}$是4个Dirac矩阵构成的矩阵向量，$\\partial_{\\mu}$是4-梯度算符，m是粒子的质量，$\\psi$是物质场。
该方程可以看成是一个波动方程，它描述了自旋1/2粒子的运动行为。
3. 矩阵表示及Dirac矩阵的性质在狄拉克方程中，Dirac矩阵是关键的部分。
Dirac矩阵由四个4x4的矩阵组成，可以表示为：$$ \\gamma^0=\\begin{pmatrix}I & 0\\\\ 0 & -I\\end{pmatrix} \\quad\\gamma^i = \\begin{pmatrix}0 & \\sigma^i\\\\ -\\sigma^i & 0\\end{pmatrix} $$ 其中，i=1,2,3。
I是2x2的单位矩阵，$\\sigma^i$表示泡利矩阵。
Dirac矩阵具有一些重要的性质：•$\\{\\gamma^\\mu,\\gamma^\ u\\} = 2g^{\\mu\ u}$•$\\gamma^\\mu\\gamma^\ u+\\gamma^\u\\gamma^\\mu=2g^{\\mu\ u}$•$\\gamma^\\mu\\gamma^\ u-\\gamma^\ u\\gamma^\\mu=0$ 这些性质是根据Dirac矩阵的定义和矩阵之间的乘法运算推导得出的。
狄拉克方程推导过程
狄拉克方程推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的量子力学方程，由物理学家狄拉克于1928年提出。
狄拉克方程是一个具有一阶时间导数和一阶空间导数的方程，可以用来描述自旋为1/2的粒子的运动状态。
下面将从狄拉克方程的推导过程入手，详细介绍狄拉克方程的内容。
我们知道在相对论性量子力学中，对于自由粒子，其能量与动量之间的关系由E² = p²c² + m²c⁴给出，其中E是能量，p是动量，m 是粒子的静止质量，c是光速。
狄拉克的思路是将这个能量-动量关系运用到量子力学框架中。
为此，狄拉克引入了四分量波函数来描述自旋1/2粒子的运动状态，这个四分量波函数被称为狄拉克旋量。
狄拉克旋量是一个具有四个分量的复向量，分别表示自旋向上和向下的两种可能。
接下来，狄拉克假设狄拉克旋量满足一个满足一阶时间导数和一阶空间导数的方程。
根据狄拉克的思路，我们可以得到如下的狄拉克方程：(iγ⁰∂/∂t - iγ¹∂/∂x - iγ²∂/∂y - iγ³∂/∂z - mc)Ψ = 0其中，Ψ是四分量狄拉克旋量，γ⁰、γ¹、γ²、γ³是矩阵，它们被称为狄拉克矩阵。
这个方程描述了自旋1/2粒子的运动状态，其中的质量项mc对应于粒子的静止质量。
狄拉克方程的推导过程并不简单，它需要用到矩阵的代数运算和相对论性的量子力学知识。
推导过程中，狄拉克通过考虑自由粒子的动力学方程和相对论性能量-动量关系，最终得到了这个描述自旋1/2粒子的方程。
狄拉克方程的重要性在于它成功地将相对论性和量子力学结合起来，描述了自旋1/2粒子的运动状态。
这个方程在粒子物理学中起着重要的作用，被广泛应用于描述电子、质子和中子等粒子的行为。
除了自由粒子的狄拉克方程，还可以通过引入相互作用项来描述粒子在外场中的行为。
这个相互作用项可以通过狄拉克方程与外场的耦合得到，从而描述粒子在电磁场或强相互作用场中的运动。
氢原子狄拉克方程
氢原子狄拉克方程狄拉克方程的形式如下：(iγμ∂μ - m)ψ = 0其中，ψ是波函数，γμ是狄拉克矩阵，m是粒子的质量，c是光速。
对于氢原子，我们可以根据狄拉克方程来推导出其波函数和能级结构。
在狄拉克方程中，我们将质量m替换为氢原子质量，γμ替换为一组矩阵，可以得到氢原子的狄拉克方程。
解狄拉克方程可以得到氢原子的波函数。
与薛定谔方程不同的是，狄拉克方程的波函数是一个四分量的波函数，包括两个自旋上下的分量。
这样的波函数可以更准确地描述电子的自旋运动。
通过求解狄拉克方程，我们可以得到氢原子的能级结构。
与薛定谔方程相比，狄拉克方程预测了一个新的量子数——自旋量子数。
自旋量子数可以取正半整数或负半整数，决定了电子的自旋状态。
这种预测被后来的实验证实，证明了狄拉克方程的正确性。
狄拉克方程的提出对量子力学的发展有着重要的意义。
它不仅能够描述电子的运动，还能够描述其他自旋1/2粒子的运动。
狄拉克方程的成功启示了物理学家，相对论和量子力学可以统一在一个方程中，为后来的量子场论的发展奠定了基础。
尽管狄拉克方程对于氢原子来说是一个理论上的完备描述，但在实际计算中仍然存在一些困难。
由于狄拉克方程是一个四阶偏微分方程，求解起来相对复杂。
因此，在实际计算中，常常采用近似方法，如平均场近似和微扰理论来处理。
总结起来，狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的量子力学方程。
对于氢原子来说，狄拉克方程能够更准确地描述电子的运动和自旋状态，预测了氢原子的能级结构。
狄拉克方程的提出对于量子力学的发展具有重要的意义，启示了相对论与量子力学的统一。
尽管狄拉克方程在实际计算中存在一些困难，但通过近似方法仍然可以得到较为准确的结果。
狄拉克方程
R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R = - 8 \pi {G \over c^2} T_{uv} </math>其中G 为牛顿万有引力常数这被称为爱因斯坦引力场方程，也叫爱因斯坦场方程。
该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。
它以复杂而美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解。
最终人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦兹解。
加入宇宙学常数后的场方程为：<math>R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R + \Lambda g_{uv}= - 8 \pi {G \over c^2}T_{uv} </math>式右边应该是光速的4次方，即：c^4狄拉克方程式中，相对于之于，狄拉克方程式是的一项描述粒子的，由物理学家于建立，不带矛盾地同时遵守了与两者的原理，实则为薛定谔方程的洛仑兹协变式。
这条方程预言了的存在，随后由发现了(positron)而证实。
狄拉克方程式的形式如下：，其中是粒子的，与t分别是和的。
狄拉克的最初推导所希望建立的是一个同时具有和形式的波方程，并且这个方程需要确保所导出的为正值，而不是像那样存在缺乏物理意义的负值。
考虑薛定谔方程薛定谔方程只包含线性的时间一阶从而不具有洛仑兹协变性，因此很自然地想到构造一个具有线性的空间一阶导数的。
这一理由是很合理的，因为空间一阶导数恰好是。
其中的系数αi和β不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个方程也不是洛仑兹协变的。
因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶以满足洛仑兹协变性。
如果系数αi是矩阵，那么波函数也不能是简单的标量场，而只能是N×1阶列矢量狄拉克把这些列矢量叫做（Spinor），这些旋量所决定的概率密度总是正值同时，这些旋量的每一个标量分量需要满足标量场的。
比较两者可以得出系数矩阵需要满足如下关系:αiαj+ αjαi= 2δij Iαiβ + βαi = 0满足上面条件的系数矩阵α和β只可以取±1，并且要求是无迹的，即矩阵的对角线元素和为零。
狄拉克方程的解释
狄拉克方程的解释狄拉克方程（DrakeEquation）是由美国天文学家弗朗西斯狄拉克（FrankDrake）提出的一个算式，用来估算太阳系外有多少可以接收和发射电波的智慧外星文明的数量。
从技术上讲，它是一种概率方程，用来评估众多不确定因素（木星上无论是否存在生命，太阳系外文明是否可以延长其寿命，太阳系外岩石陨石上是否有微生物，太阳系外地球大气是否宜居等）来计算出可能存在的智慧外星文明的数量。
经过数十年的发展，狄拉克方程已经成为天文学家研究外星智慧文明的重要工具。
它把众多未知因素，如太阳系外有多少可以接收和发射电波的智慧外星文明、太阳系外地球大气是否宜居、太阳系外岩石陨石上是否有微生物等，抽象成一元不等式：N=R*×fp×ne×fl×fi×fc×L其中，N=太阳系外有多少可以接收和发射电波的智慧外星文明；R*=每年可能出现智慧外星文明的星系数量；fp=星系中可支持生命的行星的比例；ne=每个支持生命的行星上可支持生命的地区的数量；fl=每个支持生命的地区上发展出智慧文明的比例；fi=智慧文明的寿命百分比；fc=智慧文明利用电波技术的百分比；L=智慧文明使用电波通信的平均持续时间。
解释其中每一项变量：R*：每年可能出现智慧外星文明的星系数量，这个变量其实是由诸多其它变量综合而成，包括星系的难易程度，星系中可以形成行星的难易程度，行星上可以形成生命体的难易程度等等。
fp：星系中可支持生命的行星的比例，这个变量是由诸多其它变量综合而成，包括行星的距离恒星的距离，行星的大小和密度，行星的气候，行星的地球大气是否宜居等等。
ne：每个支持生命的行星上可支持生命的地区的数量，这个变量是由行星大气中所含不同气体的比例，行星表面温度和气压等因素决定的。
fl：每个支持生命的地区上发展出智慧文明的概率。
这个变量的决定因素有很多，包括智慧种族的智能程度、社会组织形式和历史发展阶段等等。
狄拉克方程深度解析
狄拉克方程深度解析
狄拉克方程是量子力学中描述自旋1/2粒子行为的方程，由英国物理学家狄拉克于1927年提出。
它是一种相对论性的波动方程，可以描述电子和其他费米子的运动和性质。
狄拉克方程的形式如下：
(iγ^μ_μ - m)ψ = 0
其中，i是虚数单位，γ^μ是一组4x4的矩阵（称为狄拉克矩阵），_μ是四维导数算符，m是粒子的质量，ψ是波函数。
狄拉克方程的解释和深度解析需要涉及相对论、量子场论和代数学等多个领域的知识。
简单来说，狄拉克方程描述了自旋1/2粒子的运动和性质，通过解这个方程可以得到粒子的波函数，从而获得粒子在空间和时间上的分布和演化规律。
狄拉克方程的重要性在于它提供了描述电子行为的框架，并且成功地预测了反物质存在的可能性。
此外，狄拉克方程还为量子场论的发展奠定了基础，成为现代粒子物理学的重要理论工具。
然而，要真正理解和掌握狄拉克方程需要深入研究相对论、量子力学和量子场论等相关领域的数学和物理知识。
它是高级物理学和理论物理学的内容，需要通过系统学习和实践来逐步理解和应用。
狄拉克方程的数学表达
狄拉克方程的数学表达狄拉克方程是量子力学中的重要方程之一，用于描述运动速度近似光速的物体的运动和相互作用。
这个方程具有独特的数学表达式，其中包括四个单独的部件，每个部件都涉及到泡利矩阵和物理常数。
狄拉克方程最初是由英国物理学家保罗·狄拉克在1928年提出的。
在狄拉克方程中，电子被描述为一个四元量，即一个带有四个分量的复数向量。
这四个分量分别代表电子的两个自旋态，例如正自旋和负自旋，以及其正负电荷。
狄拉克方程的数学表达式本质上是一个矩阵方程式，它包括四个矩阵和一个物理常数。
这些矩阵是称为泡利矩阵的矩阵，它们由物理学家恩里科·费米引入，以描述电子的自旋和相互作用。
在狄拉克方程中，泡利矩阵与电子自旋的定义有关。
它们由二维矩阵表示，每个矩阵都代表电子的不同自旋状态。
例如，第一个泡利矩阵代表电子在x轴方向上的自旋，第二个泡利矩阵代表电子在y轴方向上的自旋，依此类推。
除了泡利矩阵外，狄拉克方程还包括一个称为质量的物理常数。
这个常数是所有物理实体的特征，影响它们的质量和运动能力。
在狄拉克方程中，质量被表示为一个单位矩阵，即一个对角矩阵，其中所有对角线元素都相等。
通过将这些矩阵和物理常数的值代入狄拉克方程中，我们可以得到一个方程组，描述运动速度近似光速的物体的行为。
这个方程组具有许多独特的特征，例如预测了存在物质和反物质等。
总的来说，狄拉克方程的数学表达式是一个非常重要的物理学方程，它描述了运动速度近似光速的粒子运动中的相互作用和性质，并预测了许多基本粒子的存在和行为。
虽然这个方程非常复杂，但通过对它的数学表达式的深入研究和理解，我们可以更好地理解物理学中一些最基本的概念和现象。
狭义相对论量子力学1——自由粒子的狄拉克方程
α12 = α22 = α32 = β2 = 1,
(αiαj + αjαi) = 0, i, j = 1, 2, 3
(αiβ + βαi) = 0, i = 1, 2, 3 可以验证：满足上面要求的系数α和β至 少 是 4 × 4 的 矩 阵 ，这里采用
利用结果α†
=
α,
β†
=
β；
∂ ∂t
Ψ†Ψ
3;
Ψ
∂Ψ† ∂t
∇ · Ψ†αΨ = Ψ† α· ∇Ψ + ∇Ψ† · αΨ 则有：
i
∂ ∂t
Ψ†Ψ
= −ic ∇ ·
Ψ†αΨ
.
现在定义概率密度ρ = Ψ†Ψ和概率流密度J = cΨ†αΨ则：
∂ρ ∂t
+
∇
·
J
=
0。
注意: 按照上面定义的概率密度总是非负的，因为 Ψ=[a, b, c, d]T , Ψ†=[a∗, b∗, c∗, d∗] 则 ρ=Ψ†Ψ=a∗a+b∗b+c∗c+d∗d≥0，因此狄拉克方程是可接受的。
一、自由粒子的狄拉克方程
April 10, 2020
1 自由粒子的狄拉克方程
假设：自旋为 /2的高速运动的自由粒子满足狄拉克方程：
其 中αi =
0 σi
数Ψ为4 × 1矩阵。
i
∂Ψ =
−ic
α· ∇ + βmc2
Ψ.
∂t
σi 0
i = 1, 2, 3, β =
狄拉克方程概率流方程推导
狄拉克方程概率流方程推导狄拉克方程概率流方程推导狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论量子力学方程。
它有不同于薛定谔方程的解析解，并且在理论物理研究中有广泛的应用。
其中概率流方程是狄拉克方程中最为重要的内容之一。
下面，本文将介绍狄拉克方程概率流方程的推导。
首先，为了方便，我们用自然单位制，即$ c = \hbar = 1 $。
狄拉克方程可以写成：$$ i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = 0 $$其中， $ i $ 是虚数单位， $ \gamma^\mu $ 是 $ 4\times 4 $ 的 Dirac 矩阵， $ \psi $ 是一个 $ 4 $ 分量的复波函数， $ m $ 为粒子的质量。
矩阵项 $ \gamma^\mu $ 有很多不同的表示形式，本文采用自然单位制下的Weyl 表示：$$ \gamma^0 = \begin{pmatrix}0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix},\quad\gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0\end{pmatrix},\quad i=1,2,3 $$其中 $ I $ 是 $ 2\times 2 $ 的单位矩阵， $ \sigma^i $ 是 $ 2\times 2 $ 的Pauli 矩阵。
接下来，我们根据概率守恒定律来推导概率流方程。
概率守恒定律可以表示为：$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0 $$其中 $\rho $ 是粒子密度， $ \vec{j} $ 是概率流密度。
对于自由粒子，其粒子密度和概率流密度可以表示为：$$ \rho = \psi^\dagger\psi, \quad \vec{j} = \psi^\dagger \vec{\alpha}\psi $$其中 $ \vec{\alpha} = (\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3) $。
狄拉克方程表达式
狄拉克方程表达式
德拉克方程的基本表达式可以表示为：
y=b1x1+b2x2+b3x3+……+bnxn，其中b
1，x2……xn是自变量。
这个方程描述了一个线性函数，它可以用来表示多元线性函数的变化。
德拉克方程的应用非常广泛，它可以用来解决许多实际问题，包括统计学，经济学，工程学，社会学等领域。
它是一种有用的工具，可以帮助我们更好地了解和预测复杂的系统。
总之，德拉克方程是一种非常有用的数学方程，它可以用来解决许多实际问题。
它的基本表达式是：
y=b1x1+b2x2+b3x3+……+bnxn，可以用来描述多元变量之间的关系，以解决复杂的实际问题。
它可以帮助我们更好地了解和预测复杂的系统，并为解决实际问题提供有用的工具。
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为了得到一组矩阵系数，狄拉克介绍了一种方法。他先把 2×2的泡利矩阵扩展为如下4×4的矩阵，用 1、2、3 表示。
1、 2、 3
（3.15）
然后，狄拉克参照这三个4×4的泡利矩阵，又拼凑出了三 个类似的4×4矩阵 1、2、3 ，（ 1、2、3 不是从 1、 2、3 变过来的，是狄拉克凭经验拼凑出来的，两者没有关系），
A B
i i
t t
A B
mc 2 A mc 2
B
i
t
A
mc2
A
i
t
B
mc2
B
2. 狄拉克方程 (自旋)：
i
(c
P
mc2
)
t
i
t
(c z Pz
mc2 )
i
t
ic
z
0
z
z
0
mc2 10
01
i
0
i
0
i
i
t
ic
z
0
z
0
z
mc2 10
01
i
t
A B
第四步：泡利矩阵
为了最终确定这四个系数，狄拉克从泡利矩阵入手进行分析。 最初，电子的自旋是作为假设提出来的，泡利就是为了描述 电子的自旋角动量而创建的三个2阶矩阵 1、 2、3。有时 为了表示方便，还可以加入两个辅助矩阵：单位矩阵I和0矩 阵O，
（3.12）
泡利矩阵满足如下关系（可以直接验证），或者说有如下一
对自由粒子，有
（3.1） （3.2）
对力场中的粒子，有（注意，因为有势能项V，光速c不能 放到等号左边）
（3.3）
与薛定谔方程相比，(3.2)式和(3.3)式的潜在问题是动量 算符在根号内，这不是量子力学标准波动方程形式。
第二步：待定系数能量动量关系
为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。
第一步：建立相对论方程的条件
与建立薛定谔方程类似，我们也是先建立自由粒子的狄
拉克方程，然后建立力场中的狄拉克方程。这里先列出
建立狄拉克方程的两个假设条件：
第一、方程具有量子力学标准波动方程
仅哈密顿算符 Hˆ 不一Байду номын сангаас。 Pˆ
形式，
第二、方程必须满足相对论的一次能量动量关系，所以
应该是(2)式，而不是(1)式。
对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）
狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (px,py ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
（3.5）
其中 a(a1,a2,a3 ) β是待定系数。不过它们不是一般的系 数，因为一般的系数很难满足(3.4)式。狄拉克后来从 泡利矩阵得到启发：它们如果是4×4的矩阵，那么就 有可能满足(3.4)式。
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
注意
粒子在t时刻r点出现的几率
(1)
概率振幅
(2) 归一化条件 (3) 态叠加、干涉
干涉项
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律 薛定谔方程
这提醒我们，任何没有实数或复数解的方程，很可能都是 我们没有找到合适的数学工具。这种思路将是创造新数学 工具的重要源泉，也正是因为这个原因，狄拉克通常也被 看作是一个重要的数学家。
第三步：克朗内克δ函数
为了简洁和统一描述(3.9)式，狄拉克采用了克朗内克δ函 数（Kronecker），其定义为：
ic
z
0
z
0
z
A B
mc2
10
01
A B
i
t
A B
ic
z
z z
B A
mc
2
10
01
A B
i
t
A
ic
x
z
B
mc2
A
i
t
A
ic
z
z
B
mc2
A
1 0
z 0 1
i
t
A1 A2
ic
z
10
0 -
1
B1 B2
mc2
A1 A2
i
t
A1 A2
ic
z
10
0-1
B1 B2
mc2
A1 A2
i
1933年、狄拉克和薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。
三、狄拉克方程
薛定谔方程因为不是相对论性的，它必然要向 相对论扩展。克莱因-戈登方程就是第一个相对论性 的波动方程，然而却不能计算氢原子，且一直为负 能态和负概率所困扰，所以长期不被物理学家所接 受。狄拉克方程正是在这种困境中应运而生的。它 融合了狭义相对论、海森伯矩阵力学、薛定谔波动 力学三方理论，能够计算氢原子光谱的精细结构， 并且自动产生电子的自旋量子数。更巧妙的是，狄 拉克认为负能态对应着一种电子的反粒子，由此预 言了正电子的存在，并避免了负概率的困难。下面 详细介绍狄拉克方程的建立过程。
第六步：自由粒子狄拉克方程
得到狄拉克矩阵后，实际上(3.5)式的待定系数a(a1,a2,a3 ) 和 a4 就求出来了，这样，去掉根号的自由粒子相 对论能量动量关系也就得到了，其一般形式就是
利用能量和动量算符
进行代换，并作用于波函数，就得到了自由粒子的狄拉克 方程
i H
t
H 1cPx 2cPy 3cPz mc2
t
这两个条件归结为要确定一个合适的、满足相对论能量
动量关系的哈密顿算符 Hˆ ，这是建立狄拉克方程的关键。 因为波动方程左边是能量算符，所以右边的哈密顿算符 Hˆ
中就应该包含动量算符Pˆ 。
因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项，但 是 (2)式包含有根号，如果直接作算符代换，动量算符将出 现在根号内：
（3.10）
克朗内克δ函数常用来描述矩阵。通俗地理解就是：如果 i和j表示矩阵的行列序号，那么克朗内克δ函数描述的就 是一个对角元素全部为1、其余元素全部为0的单位矩阵。
如果令 a4 ，则全部(3.9)式都可以用下式统一描述：
（3.11）
(3.11)式表明，当 i j 时，有 ai2 aj2 1；当i j 时， 有 aiaj ajai 0 。也就是说，(3.11)式与(3.9)式完全等 价，待求的这四个系数 a1、a2、a3、a4 必须满足(3.11)式 或(3.9)式。
1、 2、 3
（3.16）
最后，所求的四个矩阵系数 a1、a2、a3、a4 就由 1、2、3 和 1、2、3 组合出来，组合的公式和结果为
1、2、3
（3.17）
这就是狄拉克构造出来的满足(3.9)式或(3.11)式的一组矩 阵系数，所有满足这种关系的四个矩阵都称为狄拉克矩阵。 不过，(3.17)式并不是唯一的狄拉克矩阵，它们一般被称 为“泡利组”，因为它们是2泡利矩阵的最简扩展形式。 费米也介绍过另外一种从泡利矩阵扩展出不同狄拉克矩阵 的方法，费米称之为“标准组”，现在也称为矩阵，它在 量子场论中有着广泛的应用。
些性质：
（3.13）
（3.14）
这与(3.9)式非常相似，说明用类似泡利矩阵这样的数学工 具来构造狄拉克方程是非常合理和自然的。这就是狄拉克 会想到系数可能是矩阵的原因，也是狄拉克在数学和物理 上的巨大突破。
第五步：狄拉克矩阵
狄拉克认为，如果把这四个系数看成矩阵，那么它们应该 具有与泡利矩阵类似的性质。但是，基于两个理由，它们 应该是4×4的矩阵，而不是2×2的矩阵：第一、 2×2的 矩阵无法描述超过三个以上的反对易量，而现在有四个反 对易量。第二、原来假设的电子自旋只要求波函数有两个 分量，但是现在因为出现了负能量的状态，波动方程解的 数目必定是以前的两倍，即波函数必须要有四个分量。
1928年狄拉克提出了描述电子的相对论性方程： 狄拉克方程。并独立于泡利的工作发现了描述自 旋的2x2矩阵。然而狄拉克方程与克莱因-戈登方 程有相同的问题，存在无法解释的负能量解。 这促使狄拉克预测电子的反粒子（正电子）的存 在。正电子于1932年由安德森在宇宙射线中观察 到而证实。狄拉克方程同时能够解释自旋是 作为一种相对论性的现象。
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程 3.狄拉克方程
相对论的
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源 感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
H 2 (1cPx 2cPy 3cPz mc 2 )2
c2 (Px2 Py2 Pz2 ) m2c4
E2 c2 p2 m2c4