含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题
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|{0)1(<<>Φ=<<<<>=>< x a a a x x a x x a x a x x a 时，当时，当时，当时，当或时，当含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧> 21|x x 当0 ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652 ≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 变式：解关于x 的不等式 1、0)2)(2(>--ax x ； 3、ax 2 －(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R) } 2,2 |{,1)5(} 2|{,1)4(}2 ,2|{,10)3(} 2|{,0)2(} 22 |{,0)1(><>≠=><<<<=<< x x a x x a a x x x a x x a x a x a 或时当时当或时当时当时当 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042 >++ax x 分析 本题中由于2 x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。 解：∵162 -=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧≠ ∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 16 22---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+01412 2 解 因,012>+m ( )( )2 2 2 3414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧ = 21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩ ⎪ ⎨⎧+--+-+>132132222 2m m x m m x x 〈或； 当33>- 变式：解关于x 的不等式：012<++x ax Φ ≥-+-<<---<<-<=--->-+-< <时，当时，当时，当或时，当4 1 )4(} 24112411|{410)3(}1|{0)2(} 2411,2411|{0)1(a a a x a a x a x x a a a x a a x x a 三、按方程02 =++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例5 解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1 (<--a x a x ，故对应的方程必有两解。本题 只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令a a 1 =，可得：1±=a ∴当1- ，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧ < 当1=a 或1-=a 时，a a 1 = ,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧< 例6 解不等式0652 2>+-a ax x ，0≠a 分析 此不等式()02452 22 >=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根 a 2与a 3的大小. 解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0 a ，解集为 {}|23x x a x a ><或 7、若关于x 的不等式(2x －1)2 ＜ax 2 的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围。（ ]16 49 925< －4x ＋1＜0 ①，由于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以 ⎩ ⎨ ⎧>--=∆>-0)4(41604a a ，解得0＜a ＜4，故由①得a x a -<<+2121，又21