初一数学竞赛系列讲座(7)有关恒等式的证明
初中数学重点梳理恒等式证明
初中数学重点梳理恒等式证明初中数学中的恒等式证明是一个重要的知识点，也是数学学习中的基础内容。
恒等式证明主要通过逐步推导，将一个式子转化为另一个等价的式子，从而证明恒等式成立。
下面是初中数学中常见的恒等式证明的一些重点梳理。
1.基本的恒等式：-交换律：a+b=b+a，a×b=b×a-结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，(a×b)×c=a×(b×c)-分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.等式转换的基本方法：-两边加减相等的量-两边乘除相等的量-合并同类项-提取公因式-分解因式3.恒等式证明的常见例题：- 证明两个三角函数的恒等式，如证明sin²θ + cos²θ = 1-证明平方差等式，如证明a²-b²=(a+b)(a-b)- 证明平方和等式，如证明(a + b)² = a² + 2ab + b²-证明乘法公式，如证明(a+b)×(a-b)=a²-b²4.使用排列组合证明恒等式：-利用组合数等恒等式，如证明C(n,r)=C(n,n-r)-利用排列数等恒等式，如证明A(n,m)=n!/(n-m)!-利用二项式定理等恒等式，如证明(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ+C(n,1)aⁿ⁻¹b+...+C(n,n)bⁿ5.使用数学归纳法证明恒等式：数学归纳法是一种证明恒等式的常用方法，通过证明基础情况成立，以及假设n=k时等式成立，再证明n=k+1时等式成立来证明恒等式的真实性。
6.利用三角恒等关系证明恒等式：三角恒等关系是三角函数中常见的等式，通过变换、代入等方法，可以将一个三角函数的恒等式转化为另一个等价的恒等式。
7.利用代数运算规律证明恒等式：例如利用加法运算的逆元、乘法运算的逆元以及分配律等运算规律，可以将一个等式转化为另一个等价的等式。
代数式的恒等式与方程的证明与推理
代数式的恒等式与方程的证明与推理一、恒等式的定义与性质在代数学中，恒等式是一种数学表达式，其中的两边总是相等的。
恒等式可以由代数运算得出，并且对于任意满足其中所涉及的条件的变量或数值，都成立。
恒等式的性质如下：1. 反身性：对于任意的数值或变量，恒等式与自身相等。
2. 对称性：恒等式的两边可以互换位置而保持相等。
3. 传递性：如果恒等式A等于恒等式B，而恒等式B又等于恒等式C，那么恒等式A也等于恒等式C。
二、恒等式的证明方法1. 直接证明法：通过直接计算，将恒等式的左边转化为右边，或将右边转化为左边，以证明两边相等。
举例来说，对于恒等式(a + b)² = a² + 2ab + b²，我们可以通过展开左边并进行求和运算，证明它与右边相等。
2. 分类讨论法：将恒等式中的变量或数值分成不同情况进行讨论，证明恒等式在每种情况下都成立。
举例来说，对于恒等式|a| = a 或 |a| = -a，我们可以分别讨论a为正数、负数和0的情况，证明恒等式在每种情况下都成立。
3. 数学归纳法：适用于需要证明一个恒等式对于所有自然数或整数都成立的情况。
举例来说，对于恒等式1² + 2² + 3² + ... + n² = (n(n + 1)(2n + 1))/6，我们可以使用数学归纳法证明。
三、方程的定义与求解方法方程是恒等式的一种特殊形式，其中至少包含一个未知数，并且需要找到满足方程的未知数的值。
方程的求解方法如下：1. 引入一个变量：将方程中的未知数引入一个临时变量，通过运算将方程转化为一个恒等式，从而求解出未知数。
2. 因式分解法：对于含有多项式的方程，可以使用因式分解法来将方程转化为多个恒等式的乘积，再求解每个恒等式中的未知数。
3. 方程求根法：利用方程的特点，例如一元二次方程的求根公式，解析求解出未知数。
四、方程的证明与推理方法1. 逆向推理法：从一个已知的等式或不等式出发，通过逆向推导，得到要证明的方程。
初中数学 如何证明三角恒等式
初中数学如何证明三角恒等式证明三角恒等式的方法有很多种，下面将介绍一些常见的证明方法来证明三角恒等式。
1. 代数证明法代数证明法是通过将三角函数转化为代数表达式，并通过代数运算和等式变换来证明恒等式的等价性。
例如，我们可以利用基本恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1，以及三角函数的和差公式来证明其他复杂的三角恒等式。
2. 几何证明法几何证明法通过利用几何图形和几何性质来证明三角恒等式。
例如，我们可以利用三角形的角和关系、相似三角形、平行线等几何性质来推导三角恒等式。
3. 三角恒等式的变形证明法三角恒等式的变形证明法是通过将恒等式的两侧进行等式变形，使其变为等价的形式来证明。
例如，我们可以将三角函数的和差公式进行变形，然后结合其他恒等式来推导所要证明的恒等式。
4. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，适用于证明一系列命题。
对于一些具有递推性质的三角恒等式，可以使用数学归纳法进行证明。
首先验证基本情况，然后假设对于某个n成立，再利用这个假设推导出n+1成立，从而得到结论。
5. 三角函数的图像证明法三角函数的图像证明法是通过观察和分析三角函数的图像来推导三角恒等式。
通过观察函数的周期性、奇偶性、对称性等特点，可以得到一些三角恒等式的证明。
需要注意的是，证明三角恒等式时需要严格的逻辑推理和等式变换的合法性。
在证明过程中，可以根据需要使用已知的恒等式、性质和公式。
同时，也可以根据具体的题目要求和证明难度选择合适的证明方法。
总结：证明三角恒等式的方法有多种，包括代数证明法、几何证明法、变形证明法、数学归纳法和三角函数的图像证明法等。
选择合适的证明方法，严格的逻辑推理和等式变换是证明过程中需要注意的要点。
熟练掌握这些证明方法可以帮助我们更好地理解三角恒等式的性质和应用。
初中数学竞赛——恒等式的证明
初中数学竞赛专题培训恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．练习五1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．3．求证：5．证明：6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．1.解:原式=((a-b)-(b-c))^2=02.证明：即证xyz[(x+y+z)3-(x3+y3+z3)]=(yz+zx+xy)3-（y3z3+z3x3+x3y3）展开得：xyz[(x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3xz2+3y2z+3yz2+6xyz)-（x3+y3+z3）]=（y3z3+z3x3+x3y3+3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2）-（y3z3+z3x3+x3y3），即（3x3y2z+3x2y3z+3x2z3y+3y3z2x+3y2z3x+6x2y2z2=3y2z3x+3z3x2y+3y 2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x23.证明：裂项即可。
初中数学重点梳理：恒等式证明
恒等式证明 知识定位代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．知识梳理知识梳理1：由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．知识梳理2：比较法比较法利用的是：若0，则（作差法）；或若1，则（作商法）。
a a b a ba b b-==== 这也是证明恒等式的重要思路之一。
知识梳理3：分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．知识梳理4：其他解题方法及技巧除了上述方法，设k 、换元等方法也可以在恒等式证明中发挥效力．例题精讲【试题来源】【题目】已知x+y+z=xyz ，证明：x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．【答案】因为x+y+z=xyz ，所以左边=x(1-z 2-y 2-y 2z 2)+y(1-z 2-x 2+x 2z 2)+(1-y 2-x 2+x 2y 2)=(x+y+z)-xz 2-xy 2+xy 2z 2-yz 2+yx 2+yx 2z 2-zy 2-zx 2+zx 2y 2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．【解析】将左边展开，利用条件x+y+z=xyz ，将等式左边化简成右边．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知1989x 2=1991y 2=1993z 2，x ＞0，y ＞0，z ＞0，且1111x y z++=198919911993198919911993x y z ++=++ 【答案】令1989x 2=1991y 2=1993z 2=k(k ＞0)，则又因为所以所以【解析】令1989x 2=1991y 2=1993z 2=k(k ＞0)，则本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k ，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】 【题目】求证：()()()()()()222a bcb ca abc a b a c b c b a c a c b ---+=++++++ 【答案】因为所以所以【解析】用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b 代a ，c 代b ，a 代c ，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知0a b c ++= ，求证()()24442222a b ca b c ++=++ 。
竞赛数学中的组合恒等式
竞赛数学中的组合恒等式
《竞赛数学中的组合恒等式》
嘿，小伙伴们！你们知道竞赛数学里有个超级有趣的东西叫组合恒等式吗？反正我刚接触的时候，那叫一个迷糊啊！
就拿那个“二项式定理”来说吧，它就像一个神秘的魔法咒语。
（“这到底是啥呀？”我当时就这么想。
）老师在黑板上写了一堆公式，我的脑袋都快变成浆糊啦！
有一次，我和同桌小明一起讨论这个。
我问他：“小明，你说这组合恒等式咋就这么难呢？就像走在一个迷宫里，怎么都找不到出口！”小明眨眨眼说：“别着急嘛，咱们慢慢琢磨。
”
后来老师给我们讲了一个例子，说组合恒等式就像搭积木，每一块积木都有它特定的位置和作用。
（这比喻是不是很形象？）我当时就有点明白了。
再后来，做练习题的时候，我还是会经常出错。
（哎呀，我这脑子！）有一道题，我算了好几遍都不对，急得我直跺脚。
我就跑去问学习委员小红，我说：“小红，这道题我怎么都算不对，你快帮我看看！”小红看了看，笑着说：“你呀，这里少乘了一个系数。
”
经过不断地努力，我慢慢发现组合恒等式也不是那么可怕啦！它就像一个藏着宝藏的神秘盒子，只要你找到了打开它的钥匙，就能收获满满的惊喜。
你们说，数学是不是很神奇？就像探险一样，充满了未知和挑战。
（难道不是吗？）竞赛数学里的组合恒等式虽然难，但是当你真正搞懂它的时候，那种成就感，简直无法形容！
所以呀，我觉得面对竞赛数学中的组合恒等式，咱们可不能害怕，要勇敢地去探索，去发现其中的奥秘！（这就是我的想法，你们觉得呢？）。
2020-2021学年初中数学竞赛专题专讲及练习20：代数恒等式的证明
2020-2021学年初中数学竞赛专题专讲及练习（20）代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+c=0∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+ac c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=bc c b b c −=−11 ∴bc=ba cb −− b-c=ca ac c a −=−11 ∴ca=c b a c −− 同理ab=ac b a −− ∴ab bc ca ＝a c b a −−b a c b −−c b a c −−＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===222n c mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0三、练习201． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111−=− 9．己知：ac z c b y b a x −=−=− 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc练习20参考答案：1. ④左边＝5 n (5 2-1)+3 n －1(33-3)= 24(5 n +3 n-1) 注意右边有3 n-12. 左边－右边＝（a-b ）23. ②左边－右边＝（a 2+b 2-c 2）2-4a 2b 2=……4. ∵a 5=a 2a 2a,用a 2=a+1代入5. 用z=x+2y 代入右边6. 用已知的（左－右）×27.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8.在已知的等式两边都除以abc9.设三个比的比值为k,10.(2x2-x-2)2 11. 用待定系数法。
七年级数学竞赛讲座07 有关恒等式的证明
七年级数学竞赛系列讲座(7)有关恒等式的证明一、一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。
在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。
二、二、例题精讲例1 求证：a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )分析：要证等式成立，只要证明1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )证明：1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=(1-a 1)[ 1- a 2- (1-a 2)a 3- (1-a 2)(1-a 3)a 4 -…- (1-a 2)(1-a 3)…(1-a n-1)a n ]=(1-a 1) (1-a 2)[ 1- a 3- (1-a 3)a 4- (1-a 3)(1-a 4)a 5 -…- (1-a 3)(1-a 4)…(1-a n-1)a n ] =(1-a 1) (1-a 2) (1-a 3)[ 1- a 4- (1-a 4)a 5- (1-a 4)(1-a 5)a 6 -…- (1-a 4)(1-a 5)…(1-a n-1)a n ]=……=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n ) ∴ 原等式成立例2 证明恒等式()()()()()()11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++(第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)证明评注：裂项是恒等变形中常用的一种方法例3 若abc=1，求证1111=++++++++c ca cb bc b a ab a()()()()()()11322321121322211113232121132322121111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n nn n n ++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++++++分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。
初中数学 如何证明三角恒等式
初中数学如何证明三角恒等式证明三角恒等式是初中数学中的一个重要内容，它可以帮助我们更深入地理解三角函数的性质和关系。
在本文中，我们将介绍几种常见的证明三角恒等式的方法，并以具体的例子加以说明。
方法1：代数证明法代数证明法是证明三角恒等式的一种常见方法。
这种方法通常涉及将三角函数用代数式表示，然后进行变换和简化，以达到等式两边相等的目的。
下面以证明正弦函数的一个三角恒等式为例，即sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
证明：首先，将左边的正弦函数展开，得到sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
然后，根据正弦函数和余弦函数的定义，展开右边的式子，得到sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
接下来，将右边的式子进行变换，得到sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)。
最后，由于等式两边的表达式完全相同，所以这个三角恒等式成立。
方法2：几何证明法几何证明法是通过几何图形的性质和关系，来证明三角恒等式的一种方法。
这种方法通常涉及构造和利用几何图形，以展示等式两边的几何关系。
下面以证明余弦函数的一个三角恒等式为例，即cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
证明：首先，构造一个单位圆。
设点A为圆上的一点，角AOB为x，角BOC为y，角AOC为x+y。
然后，根据单位圆上的性质，可以得到线段OA的长度为cos(x)，线段OB的长度为sin(x)，线段OC的长度为cos(y)，线段AC的长度为cos(x+y)。
接下来，根据三角形的余弦定理，可以得到线段AC的长度为cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
最后，由于线段AC的长度与cos(x+y)的长度相等，所以这个三角恒等式成立。
方法3：变量替换法变量替换法是通过将三角函数中的变量进行替换，来证明三角恒等式的一种方法。
恒等证明-第4讲恒等式证明竞赛班学生版
第四讲 利用恒等式解题代数式的恒等变形可以认为是解决数学问题必不可少的一种变形（运算）的方式。
将已知、求证的式子进行适当、巧妙的变形，使问题得到解决，也是衡量一个同学数学能力的标准之一。
因此，国内外各级数学竞赛试题中，都有大量涉及恒等变形的试题。
一、 基础知识 1． 恒等变形的意义如果一个等式中的字母取允许范围内的任意一个值，等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式；把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形。
2． 恒等变形的分类恒等变形主要分为无条件限制等式和有条件限制等式变形两大类； 恒等变形主要形式可概括为整式变形、分式变形和根式变形。
3． 三种数学方法在恒等变形中的体现初中同学接触到的数学方法在恒等变形中的体现主要有：换元法、配方法、待定系数法。
二、 例题部分－分式部分例1．（★，1999年北京市）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。
例2．（★）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：对任意整数n ， 2121212121211111n n n n n n abcabc------++=++；例3．（★）设a 、b 、c 都不为0，2a b c ++=，11112a b c ++=；求证：a ，b ，c 中至少有一个等于2；例4．（★★）若x 、y 、z 不全相等，且111x y z p y z x+=+=+=，求所有可能得p ，并且证明：0xyz p +=例5．（★）若x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =例6．（★）已知22222222b bx x b bx x a ay y a ay y++-+=++-+，求证：x b a y =或x y b a =例7．（★）已知22x y za b c a c a b c==++--+；且abcxy z ≠0，求证： 22a b cx y z x z x y z==++--+例8．（★）已知1x y z a b c++=，0a b c x y z ++=；求证：2222221x y z a b c ++=例9．（★★，据1998年全国初中数学联赛改编）已知a 是方程210x x --=的一个根，试求186323a a -+的值。
初中数学竞赛专题选讲《条件等式的证明》
初中数学竞赛专题选讲条件等式的证明一、内容提要1 恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式例如： ①ab=ba ， ②ab 2=a 22abb 2， ③ －x 4=x x 42-≠0， ④a 2=a 在实数范围内a ≥0， ⑤n n a =a 在实数范围内n 为正奇数都是恒等式 只含常数的等式是恒等式的特例 如：3－2=1， 32321-=+2 条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式 方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件未知数的值3 证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式4 证明条件等式的方法，除和证明恒等式的一般方法见第20讲以外，要特别注意如何把已知的条件用上 一般有以下几种：① 用已知的条件直接代入即等量代换② 变形后代入包括把已知变形，或把结论变形③ 引入参数后代入包括换元5. 分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变二、例题例1 已知：a z y x =+, b x z y =+, c yx z =+且≠0 求证：1111=+++++cc b b a a 分析：①设法化为同分母， ②轮换式可先代入一式，其余的可用同型式③用已知直接代入证明 ：∵z y x x zy x z y xa a ++=+++=+11 根据 轮换式的性质，得∴c c b b a a +++++111=1=++++++++zy x z z y x y z y x x 例2 已知：cb ac b a ++=++1111求证：12121212)(1111++++++=++n n n n c b a c b a n 是整数 分析：先把已知变形，找出a, b, c 之间的关系证明：由已知，去分母，得bcabcacabcababc=abcabcbcacabab=0abbcca=0∴a=－b ， 或b=－c ， 或c=－a∵n 是整数， ∴2n1是奇数当a=－b 时 ，左边=12121212111)(1++++=++-n n n n c c b b ； 右边=12)(1+++-n c b b =121+n c 即a=－b 时，等式成立同理可证：当b=－c 和c=－a 时，等式也成立∴12121212)(1111++++++=++n n n n c b a c b a n 为整数 例3 已知：a 3=b 3=c 3, 1111=++zy x 求证：=++3222cz by ax 333c b a ++ 证明：设a 3=b 3=c 3= 引入参数那么a 2=x k, b 2=yk , c 2=z k 代入左边， 得 ： 左边=333)111(k zy x k z k y k x k =++=++； 而且 a=3x k , b=3yk , c=3z k 代入右边， 得： 右边==++333333zk y k x k z y x 111++3k =3k ∴=++3222cz by ax 333c b a ++例4 已知： abc ≠0，方程ac －bc 2bc －abab －ac=0有两个相等实根求证：bc a b 1111-=- 分析：要等式b c a b 1111-=-成立，必须且只须ac －bc=ab －ac 证明：∵方程有两个相等的实数根，∴△=0即 bc －ab 2－4ac －bc ab －ac=0bc －abac －ac 24bc －acab －ac=0， 添项ac －ac［bc －ac －ab －ac ］24bc －acab －ac=0∴［bc －acab －ac ］2=0∴bc －acab －ac =0∴ ac －bc=ab －ac∵abc ≠0，两边都除以abc,得，bc a b 1111-=- 例5 已知：a a c c b b 111+=+=， a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1证明：由已知a －b=b c 11-=bcc b -, ∵ a ≠b ，即a －b ≠0，∴bc=ba cb -- 根据轮换式性质，得同型式： ca=c b a c --, ab=ac b a -- ∴ ab ×bc ×ca=a c b a --×b a c b --× cb ac -- ∴a 2b 2c 2=1三、练习1 已知： abc=1 求证：1111=++++++++c ca c b bc b a ab a 2 已知： =b a b a +-, =c b c b +-, =a c a c +- 求证： 111=1－1－1－3 已知：a －b 2b －c 2c －a 2=0 求证：c z b y a x == 4 已知： cb b a = 求证： abc 2a 2b 2c 2=2abcac 5. 已知：zx y c y z x b x y z a +-=+-=+-222 求证：abc=0 6. 已知：b b ac a a c b c c b a -+=-+=-+， abc ≠0求证： 8))()((=+++abca c cb b a 7 已知： 19492=19882 且111=+yx ， >0, >0 求证： 1988194919881949+=+y x8 已知：=ab ba 2-， 且ab a x x b a x a =++++)1)((1222122+b ab 0,0b x a x a x a x a 1=--+-++321420+321420-a z y x =+b x z y =+c yx z =+1111=+++++c c b b a a a k k b a c a c b c b a =+=+=+abb a 4)(2+0 9把左边分母有理化10左边被开方数配方a 2)2b 可得a=2,b=14. 用反比，合比12 0。
初中数学竞赛专题选讲-代数恒等式的证明
初中数学竞赛专题选讲代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1) ∵:a+b+c=0∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+ac c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=bc c b b c -=-11 ∴bc=ba cb -- b-c=ca ac c a -=-11 ∴ca=c b a c -- 同理ab=ac b a -- ∴ab bc ca ＝a c b a --b a c b --c b a c --＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===222nc mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0三、练习1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111-=- 9．己知：ac z c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc练习题参考答案1.④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3n-12.左边－右边＝（a-b）23.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入5.用z=x+2y代入右边6.用已知的（左－右）×27.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8.在已知的等式两边都除以abc9.设三个比的比值为k,10.(2x2-x-2)211.11. 用待定系数法[文章来源：教师之家/转载请保留出处] [相关优质课视频请访问：教学视频网/]。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第九讲 恒等式的证明(含答案)
第九讲 恒等式的证明趣题引路】 请证明下列恒等式：()()()()xx x x xx nn--=++++1111114242考虑()()2111x x x -=+-，()()422111x x x -=+-，…，于是左边乘以11xx--：左边=()()()()()()xx x x x x x x x x n n n n --=-+-=+++--1111111111142222 这里的技巧在于添乘（1－x ）后，能反复运用平方差公式在恒等式的证明中类似的技巧很多，下面逐一介绍.知识拓展】1.如果两个代数式A 和B ，对于它们的变数字母在允许取值范围内的任意取值，它们都有相同的值，那么就说这两个代数式是恒等的，一般记作A =B ，有时也记作A =B ，这样的等式就称为恒等式，而把一个代数式变成另一个与它恒等的代数式就叫做代数式的恒等变形。
2.恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。
通常的证明方法有：（1）将左边转化到右边，或将右边转化为左边，一般是从复杂的一边向简单的一边转化；（2）将两边都变形，化成同一个代数式；（3）证明左边－右边=0或左边右边=1，此时右边≠0.（4）换元法：对于结构较复杂但又有许多典型结构的恒等式可用此法。
3.对于有条件限制的恒等式的证明：常要变换条件并灵活运用条件，方能使等式得到证明.一、无条件恒等式的证明 1.左右法 例1 求证：()()()0.()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++=++++++ 解析 直接通分难度太大，考虑一、二项作一组通分，后两项作一组通分。
证明 左边=()()()()[]()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++ =2()2()()()()()()()b a c b a c c a a b b c a b b c c a -+-++++++ =2()2()0()()()()b ac b a c a b b c a b b c ---=++++.点评：后两项通分后分子分母出现公因式，从而化难为易.恒等式的证明往往从结构较复杂的一边开始.2.作差法例2 证明：2221113.x y z ax a ay a az a x a y a z a a++=+++------ 解析 因左边三个分式的分母都是右边分式分母的a 倍，考虑作差通分化简求证。
罗伊恒等式的不同证明方式
罗伊恒等式的不同证明方式罗伊恒等式是数学中的一种重要等式，它有多种不同的证明方式。
下面将介绍其中三种证明方式。
一、直接证明法：我们将罗伊恒等式表示为等式1：等式1：∑(i=1 to n) ai ∑(j=1 to n) bi = ∑(i=1 to n) ∑(j=1 to n) ai * bi然后，我们使用数学归纳法对等式1进行证明。
首先，当n=1时，等式1成立，即∑(i=1 to 1) a1 ∑(j=1 to 1) b1 = ∑(i=1 to 1) ∑(j=1 to 1) a1 * b1。
假设当n=k时等式1成立，即∑(i=1 to k) ai ∑(j=1 to k) bi = ∑(i=1 to k) ∑(j=1 to k) ai * bi。
接下来，我们考虑n=k+1时的情况。
根据等式1，我们有∑(i=1 to k+1) ai ∑(j=1 to k+1) bi = (∑(i=1 to k) ai + ak+1) (∑(j=1 to k) bj + bk+1)。
展开上式，得到(∑(i=1 to k) ai ∑(j=1 to k) bj) + ak+1 ∑(j=1 to k) bj + ∑(i=1 to k) ai * bk+1 + ak+1 * bk+1。
根据归纳假设，第一项等于∑(i=1 to k) ∑(j=1 to k) ai * bj，第二项等于ak+1 ∑(j=1 to k) bj，第三项等于∑(i=1 to k) ai * bk+1，第四项等于ak+1 * bk+1。
将这些结果代入上式，得到∑(i=1 to k) ∑(j=1 to k) ai * bj + ak+1 ∑(j=1 to k) bj + ∑(i=1 to k) ai * bk+1 + ak+1 * bk+1= ∑(i=1 to k) ∑(j=1 to k) ai * bj + ak+1 ∑(j=1 to k) bj + ∑(i=1 to k) ai * bk+1 + ak+1 * bk+1，即等式1在n=k+1时成立。
三角恒等式的证明方法
三角恒等式的证明方法三角恒等式是指在三角函数中成立的等式关系。
在数学的学习中，证明三角恒等式是一项重要的任务。
本文将介绍几种常见的证明方法，以帮助读者更好地理解和掌握三角恒等式的证明过程。
一、代数证明法代数证明法是通过将三角函数转化为代数表达式，再通过化简和运算等步骤来证明恒等式的方法。
该方法通常适用于涉及三角函数的加法、减法、乘法关系的证明。
例如，我们来证明三角函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB证明过程如下：首先将左边的三角函数展开为代数表达式：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB然后利用三角函数的定义，将其转化为分子和分母的代数表达式：= (sinA·cosB) / 1 ± (cosA·sinB) / 1接下来，利用代数的乘法公式，将分子分别进行展开：= (sinA·cosB) / 1 ± (cosA·sinB) / 1= [sinA·(cosB/1)] ± [(cosA/1)·sinB]再将分母的1进行化简：= [sinA·(cosB/1)] ± [(cosA/1)·sinB]= sinA·cosB ± cosA·sinB最后，通过上述代数变换和运算，我们证明了三角函数的和差化积公式。
二、几何证明法几何证明法是通过利用几何图形和几何性质来证明三角恒等式的方法。
该方法在证明三角恒等式时，常常需要对几何图形进行分析和运用几何关系。
例如，我们来证明正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC证明过程如下：首先，根据三角形的定义，我们可以构建一个三角形ABC，其中边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。
初中数学竞赛——恒等式的证明
初中数学竞赛——恒等式的证明恒等式的证明是初中数学竞赛中常见的题型，也是考察学生逻辑思维能力和数学推理能力的重要手段。
本文将从基本概念、常见方法和示例三个方面进行阐述，帮助读者更好地理解和掌握恒等式的证明方法。
一、基本概念1.恒等式在初中数学中，我们通常所说的恒等式指的是在等式两边都有定义的条件下，等号两边的值总是相等的数学表达式。
例如：2x+5=3x-1这是一个恒等式，因为当x取任意实数时，等号两边的值总是相等的。
2.证明证明恒等式的过程，是通过逻辑推理和数学推导来证实等号两边的表达式总是相等的过程。
证明的目的是要通过逻辑推理，严密地推导出等号两边的式子是等价的。
常用的证明方法包括等价变形法、代入法、归纳法等。
二、常见方法1.等价变形法等价变形法是最常见且使用较多的证明方法，其基本思想是通过等价变形将原始的等式转化为一个易证的等式。
例如：证明：1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2（其中n为正整数）等式左边是一个等差数列求和，可以利用求和公式将其转化为右边的表达式。
我们需要做的是将等式转化为一个易证的等式。
2.代入法代入法是通过代入数值来验证恒等式的正确性。
通常，我们可以选择一组特定的数值进行验证，如果在这组数值下恒等式成立，那么我们可以认为恒等式是正确的。
例如：证明：1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n*(n+1)*(2n+1))/6我们可以代入一组具体的数值，如n=1，n=2等，通过计算验证等式的正确性。
3.归纳法归纳法是一种常用于证明数学命题的方法，它主要包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是验证命题在一些特定的情况下是否成立，归纳步骤是假设命题在一些情况下成立，并推出下一个情况下命题也成立。
例如：证明：1+2+3+...+n=n*(n+1)/2基础步骤：当n=1时，等式左边为1，右边为1，两边相等。
归纳步骤：假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k*(k+1)/2、我们要证明当n=k+1时等式也成立。
初中数学竞赛代数专题多项式培优讲义、习题及解答
初中数学竞赛多项式培优讲义由一些字母和数进行加减和乘法所构成的代数式叫做多项式。
一元多项式的一般式为2012 (0)n n n a a x a x a x a ++++≠ 。
一元多项式函数的一般式为2012() (0)n n n f x a a x a x a x a =++++≠ 。
一、专题知识1.基本定理（1）余式定理：多项式()f x 除以x a -所得的余式为()f a ，()()()()f x Q x x a f a =-+；（2）一元多项式带余除法恒等式：()()()()f x Q x g x R x =+ 其中deg ()deg ()R x g x ＜或()0R x =，()Q x 、()R x 分别叫做多项式()f x 除以()g x 的商式、余式；（3）因式定理：多项式()f x 含有因式x a -的充要条件是()0f a =；（4）多项式()f x 含有因式123()()()()k x a x a x a x a ---- 的充要条件是12()()()0k f a f a f a ==== 其中1a ，2a ，3a ， k a 互不相等；（5）多项式函数定理：一个n 次多项式()f x ，可由它在x 取1n +个不同值(0,1,2,3,)i a i n = 时的函数值()i i b f a =惟一确定。
2.基本结论（1）若多项式()f x 除以()0g x ≠的商式为()Q x ，余式为()R x ，则()f x 除以() (0)kg x k ≠的商式为1()Q x k，余式仍为()R x ；（2）两个一元n 次多项式()f x ，()g x 相等的充要条件是()() (0,1,2,)i i f a g a i n == ，其中i a 各不相同；（3）一元n 次多项式()f x 最多只有n 个不同的根()n N ∈；（4）使得一元多项式的值为零的自变量的值，称为这个一元多项式的根，即若()0f a =，则称a 为多项式()f x 的根，或称为多项式的零点；（5）零多项式有无数个根，零次多项式没有根。
恒等式的证明
恒等式的证明恒等式是一个在数学中经常出现的概念，其定义是一个等式，在给定的条件下恒定成立，也称为恒等式。
恒等式可以表现为一些数学函数和变量之间关系的等式，它在求解数学问题中起着重要的作用。
恒等式的证明是数学中非常基础的技能，也是进一步深入数学领域的必备技巧。
本文将详细介绍恒等式的证明方法，通过实例来帮助您更加深入的理解。
一、恒等式的定义sin²x + cos²x = 1在数学问题中，证明恒等式是解决问题的重要步骤之一。
下面将介绍一些常见的证明方法：1. 直接证明法这是最简单的证明方法，只需要对等式的左右两边分别化简，然后证明两边相等即可。
例如，证明以下恒等式：cosx / sinx + sinx / cosx = tanx + cotx证明步骤如下：左边的式子可以化简为：tanx + cotx因此，左右两边值相等，等式成立。
2. 反证法反证法是一种证明方法，它通过反设等式不成立，导出矛盾结果来证明等式成立。
假设 sinx - 1 / sinx = 0，则有sin²x = 1，即sinx = ±1。
由于 sinx 的取值范围为 [-1, 1]，因此两个解都可以被接受。
但是，当 sinx = 1 时，sinx - 1 / sinx = 0 - 1 / 1 = -1，与假设不符；当 sinx = -1 时，sinx - 1 / sinx = -1 - 1 / -1 = 0，与假设也不符。
综上，假设不成立，即 sinx - 1 / sinx ≠ 0，原命题成立。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种数学证明方法，它将证明分成两部分：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是证明等式对于第一个自然数成立，而归纳步骤是证明等式对于每一个自然数成立。
1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6基础步骤：证明当 n = 1 时等式成立。
恒等式及证明
恒等式是数学中的一个重要概念，它表示两个或多个数学表达式在某种条件下总是相等的。
为了证明一个恒等式，我们需要展示这两个表达式在所有的可能值下都是相等的。
以下是一个恒等式的例子及其证明：恒等式：对于任何实数x和y，都有(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2。
证明：展开左侧：(x + y)^2 = (x + y) × (x + y)= x × x + x × y + y × x + y × y= x^2 + xy + xy + y^2= x^2 + 2xy + y^2。
比较左右两侧，我们可以看到它们完全相同，因此恒等式(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 成立。
另一个例子是三角函数的恒等式：恒等式：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1。
证明：考虑一个直角三角形，其中一个角为θ。
设对边为a，邻边为b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
在这个三角形中，sin(θ) = a/c 和cos(θ) = b/c。
因此，sin^2(θ) = (a/c)^2 = a^2/c^2 和cos^2(θ) = (b/c)^2 = b^2/c^2。
将sin^2(θ)和cos^2(θ)相加，我们得到：sin^2(θ) + cos^2(θ) = a^2/c^2 + b^2/c^2= (a^2 + b^2)/c^2= c^2/c^2= 1。
所以，恒等式sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 成立。
证明恒等式通常需要利用已知的数学定理、公式或定义，并通过代数运算来展示两个表达式是等价的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初一数学竞赛系列讲座(7)有关恒等式的证明一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式．在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系． 二、例题精讲例1 求证：a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n -1)a n ＝1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n -1)(1-a n )分析：要证等式成立，只要证明1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n -1)a n＝(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n -1)(1-a n )证明：1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n -1)a n ＝(1-a 1)[ 1- a 2- (1-a 2)a 3- (1-a 2)(1-a 3)a 4 -…- (1-a 2)(1-a 3)…(1-a n -1)a n ] ＝(1-a 1) (1-a 2)[ 1- a 3- (1-a 3)a 4- (1-a 3)(1-a 4)a 5 -…- (1-a 3)(1-a 4)…(1-a n -1)a n ] ＝(1-a 1) (1-a 2) (1-a 3)[ 1- a 4- (1-a 4)a 5- (1-a 4)(1-a 5)a 6 -…- (1-a 4)(1-a 5)…(1-a n -1)a n ] ＝……＝(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n -1)(1-a n ) ∴ 原等式成立 例2 证明恒等式()()()()()()11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++ (第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题) 证明()()()()()()11322321121322211113232121132322121111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++++++评注：裂项是恒等变形中常用的一种方法 例3 若abc ＝1，求证1111=++++++++c ca cb bc b a ab a分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难．可以充分利用abc ＝1，将它们化成同分母．在1++a ab a的分子、分母上同乘c ，化成1++=++c ca ca c ac abc ac ，将1++b bc b的分母中的“1”换成abc 得 cac abc b bc b ++=++11，然后再相加即可得证． 证明：∵abc ＝1∴111++++++++c ca cb bc b a ab a ＝c ac abc ac +++1+++++c ca cabc b bc b ＝1++c ca ca +ca c ++111+++c ca c＝11++++c ca cca ＝1于是命题得证．评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧． 例4 已知bc ＝ad ，求证：ab (c 2-d 2)＝(a 2-b 2)cd分析：将bc ＝ad 化成比例式d cb a =，然后利用比例的性质来解题． 证明：∵bc ＝ad ∴dcd c d d c b b a d d c b b a d c b a =-=-+=+∴=，，，将此三式左、右两边分别相乘得()()()()bd a d c d c db c b a b a 22-+=-+∴ab (c 2-d 2)＝(a 2-b 2)cd评注：条件恒等式的证明常从已知条件出发推出结论． 例5 已知x ＝by +c z ，y ＝c z+ax ，z ＝ax +by ，且x +y +z ≠0.证明：1111=+++++ccb b a a 分析：所证明的式子中不含x 、y 、z ，因而可以将已知条件中的三个等式中的x 、y 、z 看成常数，把三个式子联合起来组成一个关于a 、b 、c 的方程，然后求出a 、b 、c ． 再代入等式的左边证明．证明：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=(3) (2) (1) by ax z ax cz y cz by x(2)+(3)-(1) 得y +z-x ＝2ax ，所以xzy x a x x z y a 21 2++=+-+=则 所以zy x xz y a a ++-+=+1 同理可得，z y x y z x b b ++-+=+1，zy x zy x c c ++-+=+1 所以1111=++++=+++++zy x z y x c c b b a a 评注：将含有字母的等式视为方程，是方程思想的应用． 例6 数x 、y 、z 满足关系式1=+++++yx z x z y z y x 证明：0222=+++++yx z x z y z y x (第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题) 证明：将已知等式分别乘以x 、y 、z 得x y x xzx z xy z y x =+++++2 ① y yx yzx z y z y xy =+++++2 ② z yx z x z yz z y xz =+++++2③ ①+②+③ 得zy x y x yzy x xz x z yz x z xy z y xz z y xy y x z x z y z y x ++=+++++++++++++++++)()()(222所以z y x z y x y x z x z y z y x ++=++++++++222 即：0222=+++++yx z x z y z y x例7 已知a +b +c ＝a 2+b 2+c 2＝2，求证：a (1-a )2＝b (1-b )2＝c (1-c )2分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式x (1-x )2中的x 分别取a 、b 、c 时的值． 因此，本题可转化为证明当x 分别取a 、b 、c 时，x (1-x )2的值不变．由于x (1-x )2是关于x 的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x -a )(x -b )(x -c )，建立它与x (1-x )2之间的某种关系．证明：∵(a +b +c )2＝ a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca又∵a +b +c ＝a 2+b 2+c 2＝2∴4＝2+2ab +2bc +2ca ，∴ab +bc +ca ＝1∴(x -a )(x -b )(x -c )＝x 3-(a +b +c )x 2+(ab +bc +ca )x -abc ＝ x 3-2x 2+x -abc 即x (1-x )2＝(x -a )(x -b )(x -c )+ abc由此可见，当x 分别取a 、b 、c 时，x (1-x )2的值都是abc ∴ a (1-a )2＝b (1-b )2＝c (1-c )2评注：本题的证明采用了构造法，它构造了三次式(x -a )(x -b )(x -c )，然后建立它与x (1-x )2之间的关系，再通过赋值来证明． 例8设cb ac b a ++=++1111，证明 (1) a 、b 、c 三数中必有两个数之和为零； (2)对任何奇数n ，有nn n n n n c b a c b a ++=++1111 分析：要求a 、b 、c 三数中必有两个数之和为零，即要证(a +b )(b +c )(c +a )＝0，故可对已知条件进行变形，使它出现(a +b )、(b +c )、(c +a )这些因式． 证明：(1)由cb ac b a ++=++1111得()()()001111=++-++++=++-++c b a abc abc c b a ab ca bc c b a c b a ，即 从已知知a 、b 、c ≠0，所以abc ≠0，且a +b +c ≠0， 则 (bc +ca +ab )(a +b +c )-abc ＝0∵(bc +ca +ab )(a +b +c )-abc ＝a (bc +ca +ab )+ (b +c ) (bc +ca +ab ) –abc ＝ (b +c ) (bc +ca +ab )+ abc +a 2c +a 2b –abc ＝(b +c ) (bc +ca +ab )+ a 2 (b +c ) ＝(b +c ) (a 2+bc +ca +ab )＝(a +b )(b +c )(c +a )∴(a +b )(b +c )(c +a )＝0，这就是说，在a +b 、b +c 、c +a 中至少有一个为零，即a 、b 、c 三数中必有两个数之和为零．(2) 由(1)，不妨设a +b ＝0，即b ＝ -a ，因为n 为奇数 ∴()nn n n n n n cc a a c b a 1111111=+-+=++ 又()n n n n n n n c c a a c b a 111=+-+=++ ∴nn n n n n c b a c b a ++=++1111 评注：实质(bc +ca +ab )(a +b +c )-abc 是关于a 、b 、c 的一个轮换对称式．令a ＝ -b ，代入得 (bc +ca +ab )(a +b +c )-abc ＝(bc -bc -b 2)(-b +b +c )-(-b )bc ＝ -b 2c + b 2c ＝0这就是说a +b 是(bc +ca +ab )(a +b +c )-abc 的一个因式，由轮换对称式的性质知， b +c 、a +c 也是(bc +ca +ab )(a +b +c )-abc 的一个因式，因此有 (bc +ca +ab )(a +b +c )-abc ＝k (a +b )(b +c )(c +a )再令a ＝b ＝c ＝1代入，求出k ＝1，所以(bc +ca +ab )(a +b +c )-abc ＝ (a +b )(b +c )(c +a ) 例9 已知ad -bc ＝1，求证：a 2+b 2+c 2+d 2+ab +cd ≠1分析：所要证明的式子是一个不等式，左边的式子又较复杂，直接从已知条件出发证明不是很容易，因而可以考虑用反证法来证明． 证明：假设原式不成立，即a 2+b 2+c 2+d 2+ab +cd ＝1 ∵ad -bc ＝1，∴a 2+b 2+c 2+d 2+ab +cd ＝ ad -bc∴a 2+b 2+c 2+d 2+ab +cd +bc -ad ＝0，即(a +b )2+(b +c )2+(c +d )2+(d -a )2＝0 ∴a +b ＝b +c ＝c +d ＝d -a ＝0，∴a ＝-b ,b ＝-c ,c ＝-d ,d ＝a 于是a ＝-a ,即a ＝0, ∴b ＝c ＝d ＝0，这与ad -bc ＝1矛盾． ∴原式成立，即a 2+b 2+c 2+d 2+ab +cd ≠1评注：正难则反．碰到正面下手较难的问题，常考虑用反证法来证明． 例10证明：1132113211211+-=++++++++++n n n 分析：等式左边的分子很简单，都是1，但是分母各不相同，又很复杂，因而给变形带来很大困难．通过观察发现，分母很有规律，是连续自然数的和．因此我们先来研究1+2+…+n ，设S ＝1+2+…+n ，则S ＝ n + (n -1)+…+2+1，所以2S ＝n (n +1)，∴S ＝()21+n n ，即1+2+…+n ＝()21+n n ， 从而()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+++111212211n n n n n由此，左边的每一个分数均可以分解成两项，代入变形后证明． 证明：设S ＝1+2+…+n ，则S ＝ n + (n -1)+…+2+1，所以2S ＝n (n +1)， ∴S ＝()21+n n ，即1+2+…+n ＝()21+n n ，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+++111212211n n n n n∴等式左边＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-11124131231212n n ＝()11121211212+-=+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n n n ＝右边 ∴等式成立评注：1、要掌握数学中一般与特殊的关系，本题通过研究1+2+…+n ，得出⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++1112211n n n 的一般规律，然后将等式左边的各个分数分解，达到证明的目的．2、结论1+2+…+n ＝()21+n n 在解题中经常使用，应该记住．3、本题在求S ＝1+2+…+n 时，用的是倒序相加法，在证明等式时用的是裂项相消法，这两种方法是求和问题解决的常用方法．三、巩固练习 一、选择题1、若a 、b 是有理数，且a 2001+b 2001＝0，则A 、a ＝b ＝0B 、a -b ＝0C 、a +b ＝0D 、ab ＝02、若abc 满足a 2+b 2+c 2＝9，则代数式(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2的最大值是( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、123、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=200420012003200120022001x c x b x a ，则ca bc ab c b a ---++222的值是( )A 、0B 、1C 、2D 、3 4、如果11111=++=++zy x z y x ，则下列说法正确的是( ) A 、x 、y 、z 中至少有一个为1 B 、x 、y 、z 都等于1 C 、x 、y 、z 都不等于1 D 、以上说法都不对 5、已知=+-=-+-+=-+-+=++-+q q q q ba c cb a ac b b a c c b a a c b 23 ,则( )A 、1B 、1-qC 、1-q 3D 、1-2q 26、已知a +b +c ＝10，a 2+b 2+c 2＝38，a 3+b 3+c 3＝160，则abc 的值是( ) A 、24 B 、30 C 、36 D 、42 二、填空题7、已知()()()=+≠--=-ac b a a c b a c b ，则且0 412 8、已知a -b ＝2，b -c ＝ -3，c -d ＝5，则(a -c ) (b -d ) ÷ (a -d )＝ 9、已知abc ≠0，a +b +c ＝0，则211111b 1a +⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+b a c a c b c 的值为 10、计算⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011911311211 ＝ 11、已知a 、b 、c 、d 均不为0，当a ≠b 且a d d c c b b a ===时，=-+++++ad c b d c b a 12、已知a ＝10218141211+++++ ，则a -1的倒数为 三、解答题13、求证：2(a -b ) (a -c )+2(b -c ) (b -a )+2(c -a ) (c -b )＝ (b -c )2+(c -a )2+(a -b )2 14、求证：(a 2+b 2+c 2) (m 2+n 2+k 2) – (am +bn +ck )2＝(an -bm )2+(bk -cn )2+(cm -ak )2 (拉格朗日恒等式)15、若14(a 2+b 2+c 2)＝(a +2b +3c )2，求证：a ∶b ∶c ＝1∶2∶3 16、若xyz czx y b yz x a 222=-=-，求证：ax +by +c z ＝(x +y +z) (a +b +c ) 17、已知a 、b 、c 、d 满足a +b ＝c +d ，a 3+b 3＝c 3+d 3, 求证：a 2001+b 2001＝c 2001+d 200118、已知a +b +c ＝abc ，求证：a (1-b 2) (1-c 2)+b (1-a 2) (1-c 2)+c (1-a 2) (1-b 2)＝4abc 19、已知a 3+b 3+c 3＝(a +b +c )3，求证a 2n +1+b 2n +1+c 2n +1＝(a +b +c ) 2n +1，其中n 为自然数． 20、设a 、b 、c 都是正数，且3=++acc b b a ，求证：a ＝b ＝c。