2019年黑龙江高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2019年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）
A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3
．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3
4．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
5．已知条件p：|x﹣4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，9]C．[1，9]D．[9，+∞）6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）
A．14 B．30 C．62 D．126
7．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）
A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56
8．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）
A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α
B．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α
C．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n
9．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0
对称，则φ的值可以是（）
A． B． C． D．
10．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率
为，则其中女生人数是（）
A．2人B．3人C．2人或3人D．4人
11．已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A 在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（）
A． B．C． D．
12．下列结论中，正确的有（）
①不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；
②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，
则角C的最大值为；
③函数y=ln与y=lntan是同一函数；
④在椭圆+=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④
二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=，a2+a4=，则S6=．
14．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为．
16．下列命题正确是，（写出所有正确命题的序号）
①若奇函数f（x）的周期为4，则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；
②若a∈（0，1），则a1+a＜a；
③函数f（x）=ln是奇函数；
④存在唯一的实数a使f（x）=lg（ax+）为奇函数．
三、解答题（本题6小题，共70分）
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，
B=+A．
（1）求cosB的值；
（2）求sin2A+sinC的值．
18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点．
（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；
（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．
19．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；
（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（2，），离心率
e=，直线l的渐近线为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆右焦点D的任一直线（不经过点P）与椭圆交于两点A，
B，设直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；
（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1
≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．
（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）
A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．
【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，
B={x|﹣2＜x≤2}，
则A∩B={﹣1，0，1，2}．
故选：A．
2．在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性
质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．
【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的
坐标为（，﹣），
故选D ．
3
．已知向量=（2，﹣1），=（3，x ）．若•=3，则x=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意， =（2，﹣1），=（3，x ）．•=3，由数量积公式可得到方程6﹣x=3，解此方程即可得出正确选项．
【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x ）．•=3， ∴6﹣x=3，∴x=3．
故选D
4．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x ，则此双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】因为焦点在 x 轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=±
，
由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a ，b 的齐
次式，再把b 用a ，c 表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值．
【解答】解：∵双曲线
的焦点在x 轴上，
∴渐近线方程为y=±
，
又∵渐近线方程为y=
，
∴
∴ ∵b 2=c 2﹣a 2，
∴
化简得，
即e 2=
，e= 故选A
5．已知条件p ：|x ﹣4|≤6，条件q ：x ≤1+m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣1]
B ．（﹣∞，9]
C ．[1，9]
D ．[9，+∞） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】解出关于p 的不等式，根据充分必要条件的定义求出m 的范围即可．
【解答】解：由|x ﹣4|≤6，解得：﹣2≤x ≤10，
故p ：﹣2≤x ≤10；
q ：x ≤1+m ，
若p 是q 的充分不必要条件，
则1+m ≥10，解得：m ≥9；
故选：D．
6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）
A．14 B．30 C．62 D．126
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，计算输出S的值．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
k=1，S=0
满足条件k≤5，S=2，k=2
满足条件k≤5，S=6，k=3
满足条件k≤5，S=14，k=4
满足条件k≤5，S=30，k=5
满足条件k≤5，S=62，k=6
不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，
故选：C．
7．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）
A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n 的值，
再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．
【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，
∴展开式中第5项是中间项，共有9项，
∴n=8；
展开式的通项公式为
T r+1=•x8﹣r•=（﹣1）r••x8﹣2r，
令8﹣2r=2，得r=3，
∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3•=﹣56．
故选：C．
8．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）
A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α
B．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α
C．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面，进行判定即可．
【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，
不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交，
故不正确．
故选A
9．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0
对称，则φ的值可以是（）
A． B． C． D．
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．
【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）
的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．
【解答】解：=2sin（x+），
函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，
∴φ=
故选D．
10．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率
为，则其中女生人数是（）
A．2人B．3人C．2人或3人D．4人
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】设女生人数是x人，则男生（8﹣x）人，利用从中任选3人，
出现2个男生，1个女生的概率为，可得=，即可得出结论．
【解答】解：设女生人数是x人，则男生（8﹣x）人，
∵从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，
∴=，
∴x=2或3，
故选C．
11．已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A 在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（）
A． B．C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求得直线AB的方程，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式
及韦达定理，即可求得直线A1B的斜率．
【解答】解：∵抛物线y2=4x上的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B （x2，y2），A1（x1，﹣y1），
则可设直线AB的方程为y=x﹣1
联立方程，可得x2﹣6x+1=0
则有x1+x2=6，x1x2=1，
直线A1B的斜率k====，
∴直线A1B的斜率为，
故选C．
12．下列结论中，正确的有（）
①不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；
②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，
则角C的最大值为；
③函数y=ln与y=lntan是同一函数；
④在椭圆+=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，函数f（x）=xlnx﹣x2在定义域内单调，不存在实数k，
使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；
②，a2+b2=2c2≥2ab，cosC=则角C的最大值为；
③，函数y=ln与y=lntan的定义域不同，不是同一函数；
④，设A（﹣a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2⇒a2n2=b2（a2﹣m2）⇒直线PA与直线PB斜率之积为（定值）．
【解答】解：对于①，函数f（x）=xlnx﹣x2在定义域内单调，不存
在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根，正确；
对于②，∵a2+b2=2c2，∴a2+b2=2c2≥2ab，cosC=，
则角C的最大值为，故错；
对于③，函数y=ln与y=lntan的定义域不同，不是同一函数，故错；
对于④，设A（﹣a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2⇒a2n2=b2（a2﹣m2）⇒直线PA与直线PB斜率之积为
（定值），故正确．
故选：A．
二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=，a2+a4=，则S6=
．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=，a2+a4=，
∴a2+a4==q（a1+a3）=q，解得q=．
∴=，解得a1=2．
则S6==
故答案为：．
14．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为20．
【考点】简单线性规划．
【分析】先画出可行域，结合z为目标函数纵截距四倍，平移直线0=2x+4y，发现其过（0，2）时z有最大值即可求出结论．
【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，
画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20
故答案为：20．
15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图知该几何体是平放的直三棱柱，可还原为长方体，利用外接球的直径是长方体对角线的长，求出半径．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是平放的直三棱柱，且三棱柱的底面为直角三角形，高为12；
可还原为长宽高是12、8、6的长方体，
其外接球的直径是长方体对角线的长，
∴（2R）2=122+82+62=244，
即R2=61，
∴半径为R=．
故答案为：．
16．下列命题正确是①③，（写出所有正确命题的序号）
①若奇函数f（x）的周期为4，则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；
②若a∈（0，1），则a1+a＜a；
③函数f（x）=ln是奇函数；
④存在唯一的实数a使f（x）=lg（ax+）为奇函数．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；
②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a；
③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数；
④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时（ax+）（ax+）=1⇒a=±1．
【解答】解：对于①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称，故正确；
对于②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a，故错；
对于③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数，正确；
对于④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时，（ax+）（ax+）=1⇒a=±1，故错．
故答案为：①③
三、解答题（本题6小题，共70分）
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，
B=+A．
（1）求cosB的值；
（2）求sin2A+sinC的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；
（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．
【解答】解（1）∵，
∴cosB=cos（+A）=﹣sinA，
又a=3，b=4，所以由正弦定理得，
所以=，
所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，
又sin2B+cos2B=1，
所以，而，
所以．
（2）∵，
∴，
∵，
∴2A=2B﹣π，
∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B
=
又A+B+C=π，
∴，
∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．
∴．
18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点．
（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；
（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AF，由已知条件推导出面ABC⊥面BB1C1C，从而AF⊥B1F，由勾股定理得B1F⊥EF．由此能证明平面AB1F⊥平面AEF．（2）以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．
【解答】（1）证明：连结AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC 的中点，
∴AF⊥BC．
又∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴面ABC⊥面BB1C1C，
∴AF⊥面BB1C1C，AF⊥B1F．…
设AB=AA1=1，则，EF=，．
∴=，∴B1F⊥EF．
又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF．…
而B1F⊂面AB1F，故：平面AB1F⊥平面AEF．…
（2）解：以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系如图，
设AB=AA1=1，
则F（0，0，0），A（），B1（0，﹣，1），E（0，﹣，），
，=（﹣，，1）．…
由（1）知，B1F⊥平面AEF，取平面AEF的法向量：
=（0，，1）．…
设平面B1AE的法向量为，
由，
取x=3，得．…
设二面角B1﹣AE﹣F的大小为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=．
由图可知θ为锐角，
∴所求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值为．…
19．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；
（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．
（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠．
（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税
少于20万元的概率=0.0125×20=．因此X～B（4，），可得分布列
为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4
×即可得出．
【解答】解：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，
解得x=0.0125．
（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，
∴1200×0.12=144．
∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．
（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．
由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=．
因此X～B（4，），
∴分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），
∴E（X）=4×=1．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（2，），离心率
e=，直线l的渐近线为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆右焦点D的任一直线（不经过点P）与椭圆交于两点A，B，设直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值若不存在，说明理由．
【考点】圆锥曲线的存在性问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系；圆锥曲线的定值问题．
【分析】（1）利用点在椭圆上，椭圆的离心率，求解a，b，得到椭圆方程．
（2）假设存在常数λ，使得k1+k2=λk3．设AB的斜率为k，则直线AB
的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合A、F、B共线，通过k=k AF=k BF，求出k1+k2，然后推出k1+k2=2k3．即可．
【解答】解：（1）由点在椭圆上得，①
②
由①②得c2=4，a2=8，b2=4，故椭圆C的方程为…..
（2）假设存在常数λ，使得k1+k2=λk3．
由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣2）③
代入椭圆方程并整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有④…
在方程③中，令x=4得，M（4，2k），从而，，
．
又因为A、F、B共线，则有k=k AF=k BF，
即有…
所以k1+k2==
=⑤…
将④代入⑤得k
+k2=，又，
所以k1+k2=2k3．故存在常数λ=2符合题意…
21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；
（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1
≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．
（2）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．
（3）先求导，再求导，得到g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1，构造
函数，利用导数即可证明
【解答】解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，，
令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
f（x）max=f（1）=﹣1．
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，
（2）∵．
①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，
②若，则由，即
由，即，
从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数
∴
令，则，
∴a=﹣e2，
（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0
∴，
∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1
令，
∴，
∵，
∴
而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0
故h（x2）＞0，
即
[选修4-1：几何证明选讲]
22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．
（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a 的值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ
整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1
直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y ﹣8=0
（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：
直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，
所以：
2|3a﹣16|=5|a|，
利用平方法解得：a=32或．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．
对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．【解答】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min．
由绝对值不等式的性质，有|2x﹣1|+|2x+5|≥|（2x﹣1）+（2x+5）|=6，
即f（x）min=6，所以m≤6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x﹣3|﹣2x≤4，即|x ﹣3|≤4+2x，
得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x，转化为，
化简，得，所以原不等式的解集为．。