金太阳高三数学试卷(理科)答案
金太阳高三数学试卷理科
1. 若复数z满足|z+1|=|z-2|，则复数z的取值范围是（）A. x≤-1B. x≥1C. x≤1D. x≥-12. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(1)=2，f(-1)=0，f(3)=12，则a+b+c=（）A. 9B. 6C. 5D. 43. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosA+cosB+cosC=（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=12，则d=（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 设f(x)=x^3-3x，若f(x)在x=1处的切线斜率为k，则k=（）A. -1B. 0C. 1D. 26. 若向量a=(2,3)，向量b=(1,-1)，则向量a与向量b的夹角θ满足cosθ=（）A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/57. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，则数列{an}的前n项和S_n=（）A. n^2+nB. n^2+2nC. n^2+3nD. n^2+4n8. 在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，4），则线段AB的中点坐标为（）A. （2，3）B. （3，2）C. （4，3）D. （3，4）9. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在x=2处的切线斜率为k，则k=（）A. -2B. -1C. 0D. 110. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinA+sinB+sinC=（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，若f(x)在x=1处的切线斜率为k，则k=______。
12. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosA+cosB+cosC=______。
13. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=12，则d=______。
湖南省2023-2024学年高三10月金太阳联考(电话角标)数学试题(含答案)
湖南省2023-2024学年高三10月金太阳联考（电话角标）高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列、平面向量，大题考查高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题():0,1p x ∃∈，33x =，则p 的否定是（ ）A ．()0,1x ∀∈，3x ≠B ．()0,1x ∃∈，3x ≠C ．()0,1x ∀∈，3x =D ．()0,1x ∀∉，3x ≠ 2．定义集合,,xA xB z z A y y B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭÷∈∈．已知集合{}4,8A =，{}1,2,4B =，则A B ÷的元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 3．已知函数()3132f x x x x=--的图象在()0x a a =>处的切线的斜率为()k a ，则（ ） A ．()k a 的最小值为6 B ．()k a 的最大值为6 C ．()k a 的最小值为4 D ．()k a 的最大值为44．已知某公司第1年的销售额为a 万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的1.2倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（参考数据：取111.27.43=）A ．35.15a 万元B ．33.15a 万元C ．34.15a 万元D ．32.15a 万元 5．设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是奇函数，()23f x +是偶函数，则（ ） A ．()00f = B ．()40f = C ．()50f = D ．()20f -=6．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αββ+=，则（ ） A ．22παβ+=B ．22παβ-=C ．22πβα-=D ．22πβα+=7．已知函数()cos 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ︒=∠，2AB =，以菱形ABCD 的四条边为直径向外作四个半圆，P 是四个半圆弧上的一动点，若DP DA DC λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．52 B ．3 C ．5 D ．32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()241lg 4f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的最小值为1 B ．x ∃∈R ，()()12f f x += C ．()92log 23f f ⎛⎫>⎪⎝⎭ D ．0.10.18119322f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．若正项数列{}n a 是等差数列，且25a =，则（ ）A ．当37a =时，715a =B ．4a 的取值范围是[)5,15C ．当7a 为整数时，7a 的最大值为29D ．公差d 的取值范围是()0,511．若函数()f x 的定义域为D ，对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x =，则称()f x 为“A 函数”，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()ln f x x =是“A 函数”B ．已知函数()f x ，()1f x 的定义域相同，若()f x 是“A 函数”，则()1f x 也是“A 函数” C ．已知()f x ，()g x 都是“A 函数”，且定义域相同，则()()f x g x +也是“A 函数”D ．已知0m >，若()sin x f x m =+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“A 函数”，则m = 12．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，()0f x >且()()()()232x x f x f x f x f x ''-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则（ ）A ．()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦B ．()0,a ∀∈+∞，函数()()()0f x ay x x f x =+>有极值 C ．()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤-<-⎢⎥⎣⎦D ．()0,a ∃∈+∞，函数()()()0f x ay x x f x =+>为单调函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量(),2AB x x =在向量()3,4AC =-上的投影向量为15AC -，则x =________． 14．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 23α=，则sin3α=________． 15．若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则a 的取值范围是________，这50个整数元素之和为________．16．如图，已知平面五边形ABCDE 的周长为12，若四边形ABDE 为正方形，且BC CD =，则当BCD △的面积取得最大值时，AB =________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2a b b B A c -=+． （1）求tan A ；（2）若a =ABC △的面积为ABC △的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，E ，F ，M 分别是PB ，CD ，PD 的中点．（1）证明：//EF 平面P AD ．（2）求平面AMF 与平面EMF 的夹角的余弦值． 19．（12分）已知数列{}n a 满足12312121223n na a a a a a a a a n n++++++++++=⋅．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列n a n ⎛⎫⎪⎝⎭的前n 项和n S ． 20．（12分）某商场在6月20日开展开业酬宾活动．顾客凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个号码，第1个号码为a ，第2个号码为b ．设X 是不超过ba的最大整数，顾客将获得购物金额X 倍的商场代金券（若0X =，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用． （1）已知某顾客抽到的a 是偶数，求该顾客能获得代金券的概率； （2）求X 的数学期望．21．（12分）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点()0,1C -，83,55D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆的方程．（2）设P 是椭圆上一点（异于C ，D ），直线PC ，PD 与x 轴分别交于M ，N 两点，证明在x 轴上存在两点A ，B ，使得MB NA ⋅是定值，并求此定值． 22．（12分）已知函数()1ln a xf x e a x -=+-有两个零点1x ，2x ．（1）求a 的取值范围； （2）证明：122x x a +>．高三数学试卷参考答案1．A p 的否定是()0,1x ∀∈，3x ≠． 2．B 因为{}4,8A =，{}1,2,4B =，所以{}1,2,4,8A B =÷，故A B ÷的元素的个数为4．3．C ()2219224f x x x '=+--=，当且仅当419x =时，等号成立，所以()k a 的最小值为4． 4．D 设第()i i 1,2,,11=年的销售额为i a 万元，依题意可得数列{}()i i 1,2,,11a =是首项为a ，公比为1.2的等比数列，则该公司从第1年到第11年的销售总额为()()()11111 1.2 1.21102.2210.27.433.151.a a a a---===-万元．5．C 因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，则()10f =．又()23f x +是偶函数，所以()()2323f x f x -+=+，所以()()510f f ==．6．A 因为1tan tan cos αββ+=，所以sin sin 1cos cos cos αβαββ+=，所以sin cos cos sin cos αβαβα+=，即()sin sin 2παβα⎛⎫+=-⎪⎝⎭．又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2παβα+=-，即22παβ+=或2παβαπ++-=，即2πβ=（舍去）． 7．A 令()1112m k k ππ-=∈Z ，得()1112m k k ππ=+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()1112x k k ππ=+∈Z 对称．令()22462m k k πππ+=+∈Z ，得()22124k m k ππ=+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22124k x k ππ=+∈Z 对称．因为()1112k m m k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 真包含于()22124m k k m ππ⎭=+∈⎧⎫⎨⎬⎩Z ，所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件． 8．A 如图，设DE kDA =，DF kDC =，设P 是直线EF 上一点，令DP xDE yDF =+，则1x y +=，()k x y k λμ+=+=．因为P 是四个半圆弧上的一动点，所以当EF 与图形下面半圆相切时，λμ+取得最大值．设线段AB 的中点为M ，线段AC 的中点为1O ，连接MP ，连接1DO 并延长使之与EF 交于点2O ，过M作2MN DO ⊥，垂足为N ．因为120ABC =︒∠，2AB =，所以11DO =，1212132O O O N NO O N MP =+=+=，则252DO =． 由DAC DEF △∽△，得2152DO DE k DA DO ===，故λμ+的最大值为52．9．ACD ()21lg 10lg1012f x x ⎡⎤⎛⎫=-+≥=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，A 正确．因为当且仅当12x =时，()f x 取得最小值，且最小值为1，所以()11f >，所以()()12f f x +>，B 错误．因为9lg 2lg 210log 2lg9lg83<=<=，所以911log 226->，又211326-=，且()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()92log 23f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，C 正确．因为0.10.20.189331=>>，所以0.10.1811193222->->，所以，D 正确．10．ABC 当37a =时，公差2d =，7347815a a d =+=+=，A 正确．因为{}n a 是正项等差数列，所以150a d =->，且0d ≥，所以公差d 的取值范围是[)0,5，D 错误．因为452a d =+，所以4a 的取值范围是[)5,15，B 正确．[)7555,30a d =+∈，当7a 为整数时，7a 的最大值为29，C 正确．11．BD 对于选项A ，当11x =时，()10f x =，此时不存在2x ，使得()()121f x f x =．A 不正确．对于选项B ，由()f x ，()1f x 的定义域相同，若()f x 是“A 函数”，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x =，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()12111f x f x ⋅=，所以()1f x也是“A 函数”．B 正确．对于选项C ，不妨取()f x x =，()1g x x=，()0,x ∈+∞，令()()()12F x f x g x x x=+=+≥，则()()124F x F x ≥，故()()f x g x +不是“A 函数”．C 不正确．对于选项D ，因为()sin f x m x =+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是“A 函数”，所以sin 0m x +≠在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立．又0m >，所以10m ->，且()()12sin sin 1m m x x ++=，即对于任意1,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都存在唯一的2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得21sin s 1in m m x x =-+，因为11sin 1m x m m -≤+≤+，所以1n 1i 1111s m m m x m m m -≤-≤-++-，由111111m m m m ⎧-≥-⎪⎪+⎨⎪-≤⎪-⎩，解得m =D 正确． 12．AD 设函数()()()()10f x g x x x f x =+>，则()()()()()()()()()()23222220xf x f x f x x f x xf x f x f x g x x f x x f x ''--⎡⎤⎡⎤''-⎣⎦⎣⎦'=-=<⎡⎤⎣⎣⎦⎡⎤⎦， 所以()g x 在()0,+∞上单调递减，B 错误，D 正确． 从而()()12g g >，即()()()()12111122f f f f +>+，因为()0f x >，所以()10f >，()20f >，所以()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，C 错误，A 正确．光速解法：取()()0f x x x =>，满足()0f x >且()()()()232xf x f x x f x f x ''-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，()0,a ∃∈+∞，函数()()()0f x a y x x f x =+>为单调函数．13．1 向量(),2AB x x =在向量()3,4AC =-上的投影向量为3825AB AC AC x xAC AC AC⋅-⋅=，则138525x x--=，解得1x =．14 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,απ∈，所以sin 23α==，因为21cos 22cos13αα=-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=sin α=，所以()sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin 9ααααααα=+=+= 15．[)(]44,4357,58--；925-或1625 不等式()277x a a x +<+等价于不等式()()70x a x --<．当7a =时，()()70x a x --<的解集为∅，不合题意；当7a <时，()()70x a x --<的解集为(),7a ，则50个整数解为43-，42-，…，5，6，所以4443a <-≤-，这50个整数元素之和为()436509252-+⨯=-；当7a >时，()()70x a x --<的解集为()7,a ，则50个整数解为8，9，…，56，57，所以5758a <≤，这50个整数元素之和为()8575016252+⨯=．综上，a 的取值范围是[)(]44,4357,58--，这50个整数元素之和为925-或1625．16 过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ．设()0A B x x =>，则B D A E D E x ===，因为BC CD =，所以3212AB BC +=，则362BC x =-．由0BC >，BC CD BD +>，得03x <<．在BCF △中，CF ===．记BCD △的面积为S ，则12S BD F C ⋅==()432918f x x x x =-+，则()()3224273642736f x x x x x x x '=-+=-+，令()0f x '=，得0x =或x =．当0x <<()0f x '>3x <<时，()0f x '<．故当x =时，()f x 取得最大值，则S 取得最大值，此时278AB -=．17．解：（1）因为cos cos 2a b b B A c -=+，所以sin cos 2sin cos sin sin A B B A B C -=+． 2分 又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以3sin cos sin B A B -=． 3分 因为sin 0B ≠，所以cos 13A =-． 4分 又()0,A π∈，所以sin A =，tan A =- 5分 （2）ABC △的面积n 12si 3A S bc bc ===6bc =． 7分 由22222c 23s 2o a b c bc b c bc A =+-=++，得()224253b c a bc +=+=， 9分 所以5b c +=，故ABC △的周长为5+ 10分18．（1）证明：取P A 的中点N EN ，DN ，因为E 是PB 的中点，所以//EN AB ，12EN AB =．1分 又底面ABCD 为正方形，F 是CD 的中点，所以//EN DF ，EN DF =，所以四边形ENDF 为平行四边形，所以//EF DN ． 3分因为EF ⊂/平面P AD ，DN ⊂平面P AD ，所以//EF 平面P AD ． 4分（2）解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令2AB =，则()1,0,1E ，()1,2,0F ，()0,0,2P ，()0,2,0D ，()0,1,1M ． 5分 从而()1,1,0EM =-，()1,1,1MF =-，()1,2,0AF =． 6分设平面AMF 的法向量为()111,,m x y z =，则11111200x y x y z +=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得()2,1,1m =--． 8分设平面EMF 的法向量为()222,,n x y z =，则222220x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令21y =，得()1,1,2n =． 10分1cos ,2m nm n m n⋅==-． 11分故平面AMF 与平面EMF 的夹角的余弦值为12． 12分19．解：（1）当1n =时，12a =． 1分 当2n ≥时，()()111221212n n n na a a n n n n--+++=⋅--⋅=+⋅， 3分即()11212n n a a a n n -+++=+⋅， 4分当1n =时，上式也成立， 所以()()()()1221212322n n n n a n n n n n n n ---=+⋅--⋅=+⋅≥． 5分当1n =时，也符合()232n n a n n -=+⋅，所以()232n n a n n -=+⋅． 6分（2）由（1）知()232n na n n-=+⋅． 7分 ()102425232n n S n --=⨯+⨯+++⋅， 8分 ()0112425232n n S n -=⨯+⨯+++⋅， 9分则()()()()()012111122223222132221n n n n n n S n n n ------=++++-+⋅=+--+⋅=-+⋅+， 11分所以()1221n n S n -=+⋅-． 12分20．解：（1）当b a >时，该顾客能获得代金券．设“a 是偶数”为事件A ，，“b a >”为事件B ，则()()()()215206208201856421015P AB A -+-++-===， 2分 ()215814815P A A ⨯==， 3分所以()()()41158215P AB P B P A A ===，所以当顾客抽到的a 是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为12． 4分 （2）X 可能的取值为0，1，2，3．当0X =时，b a <，则()102P X ==． 5分 当1X =时，121a b a ≤+-≤，若11a ≥，则120a b +≤≤．对每一个a ，b 有20a -种不同的取值，则(),a b 共有98145+++=种可能的取值． 6分 若610a ≤≤，对每一个a ，b 有1a -种不同的取值，则(),a b 共有5678935++++=种可能的取值，所以()215453581 21P X A +===． 7分 当2X =时，231b a a ≤-≤．若7a ≥，则220a b ≤≤．对每一个a ，b 有212a -种不同的取值，则(),a b 共有753116+++=种情况． 若6a =，则1217b ≤≤，(),a b 共有6种可能的取值．所以()215166112 105P X A +===． 9分 当3X =时，341b a a ≤-≤，(),a b 只有()6,18，()6,19，()6,20这3种情况，所以()31321070P X ===． 10分 所以()181111331901232211057021030E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． 12分 21．（1）解：设椭圆方程为221px qy +=， 1分 则164912525q p q =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 3分 所以椭圆的方程为2214x y +=． 4分 注：若直接设22221x y a b+=得到2214x y +=，扣1分． （2）证明：设()00,P x y ，(),0A m ，(),0B n ，直线003385:8555y PD y x x +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+，令0y =，得000385535N x y x y -=+． 5分 直线001:1y PC y x x +=-．令0y =，得001M x x y =+． 6分 ()()()()00000000000038583355311535x y ny n x my y m x x MB NA n m y y y y ⎛⎫- ⎪+-++-⎛⎫⋅=--= ⎪ ⎪+++⎝⎭ ⎪+⎝⎭． 8分 令00058333my y m ny n ++=--，令583m n +=-，33m n =-，得4n =，4m =-， 10分则()()()()()()()()222220000002000000344344441258312153153583y x y y y y MB NA y y y y y y ⎡⎤⎡⎤-+--+---++⎣⎦⎣⎦⋅====-++++++． 故存在()4,0A -和()4,0B ，使得MB NA ⋅是定值，且定值为12-． 12分22．（1）解：令()0f x =，得10ln a x e x a -+-=，则11ln 11ln a x x e a e x x-+-=+． 2分 令函数()x g x e x =+，则11ln g a g x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 在R 1ln a x x -=，即n 1l a x x=+． 3分 令函数()n 1l h x x x =+，则()21x h x x -'=，则()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ==． 4分因为当0x →时，ln l 11n x x x x x ++=→+∞，当x →+∞时，1ln x x+→+∞， 5分 依题意可得方程n 1l a x x =+有两个不相等的正根，所以1a >，即a 的取值范围是()1,+∞． 6分 （2）证明：令函数()2ln 11x x x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()22102x x x ϕ-'=<-， 所以()x ϕ在()0,+∞上单调递减． 7分因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ>；当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ<． 8分 不妨假设12x x <，则由（1）知1201x x <<<，所以()10x ϕ>，()20x ϕ<，所以111111111111l 2n 22x a x x x x x x ⎛⎫=+>+-=+ ⎪⎝⎭，则21121ax x >+， 9分222222211111l 2n 22x a x x x x x x ⎛⎫=+<+-=+ ⎪⎝⎭，则22221ax x <+， 10分 所以()()()22121212122a x x x x x x x x ->-=+-， 11分因为120x x -<，所以122x x a +>． 12分。
金太阳高三试卷理科数学
一、选择题1. 已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(1,2)$，则下列说法正确的是（）A. $a>0$，$b>0$，$c>0$B. $a>0$，$b<0$，$c>0$C. $a<0$，$b>0$，$c<0$D. $a<0$，$b<0$，$c>0$答案：B解析：由于函数图象开口向上，故$a>0$。
顶点坐标为$(1,2)$，则对称轴方程为$x=1$，即$b=-2a$。
又因为顶点在图象上，所以$c=2$。
结合选项，只有B选项符合条件。
2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+2n$，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$S_n=3n^2+2n$，得到$\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=3n^2+2n$。
化简得$a_1+(n-1)d=6n+2$。
当$n=1$时，$a_1=8$。
当$n=2$时，$a_2=14$。
公差$d=a_2-a_1=14-8=6$。
3. 已知复数$z=a+bi$（$a,b\in R$）满足$|z+1|=|z-1|$，则实部$a$的取值范围为（）A. $[-1,1]$B. $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$C. $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$D. $(-\infty,1]\cup[1,+\infty)$答案：B解析：由$|z+1|=|z-1|$，得到$(a+1)^2+b^2=(a-1)^2+b^2$。
化简得$a^2+2a+1=a^2-2a+1$，即$4a=0$，解得$a=0$。
因此，实部$a$的取值范围为$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$。
2024-2025学年贵州省金太阳联考高三上学期10月考数学试题及答案
高三联考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}045,ln A xx B x y x =-==∣∣……，则A B ⋂=（ ）A.[]0,4B.(]0,1C.(]0,4D.[]0,12.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：C ），分别为6,8,6,10,6,5,9,11，则该组数据的第60百分位数为（）A.6B.7C.8D.93.已知焦点在y 轴上的椭圆()222:104x y C m m+=>的焦距为2，则其离心率为（ ）D.4.已知()3sin2,0,π4αα=-∈，则sin cos αα-=（ ）A.12B.12- D.5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为r ，下底面半径均为3r ，圆台甲､乙的母线长分别为3,4r r ，则圆台甲与乙的体积之比为（）6.已知平面向量,a b 均为非零向量，则“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知0a >且1a ≠，若函数()1,0,log 1,a x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+>⎩…的值域为R ，则a 的取值范围是（ ）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.(]1,2 D.[)2,∞+8.已知函数()sin2cos2f x x a x =+的图象关于直线π12x =对称，则当[]0,2πx ∈时，曲线()y f x =与cos y x =的交点个数为（ ）A.3B.4C.5D.6二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足13i 3i z =+-，则（ ）A.10z =B.86iz =-C.z 的虚部为8D.z 在复平面内对应的点位于第一象限10.已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，l 是C 的准线，点N 是C 上一点且位于第一象限，直线FN 与圆22:670A x y x +-+=相切于点E ，点E 在线段FN 上，过点N 作l 的垂线，垂足为P ，则（ ）A.EF =B.直线FN 的方程为10x y --=C.4NF =+D.PFN的面积为6+11.已知奇函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()222f x f x x =-+-，且()32f =，则（ ）A.()56f -=-B.()()4f x f x +=C.()101101f =' D.1001()5050i f i ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列{}n a 的公比不为1，且324,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为__________.13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A ，B ，C ，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.14.若直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-有3个交点，则k 的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos 0c C a B b A ++=.（1）求C ；（2）若2a c b +=，求cos A .16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 的等边三角形，111π2,4AA B BC B BA ∠∠===.（1）证明：1AC BB ⊥.（2）求平面ABC 与平面1ACC 夹角的余弦值.17.（15分）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为12，甲､乙两人答对每道题的概率分别为35,412，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；（2）记X 表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求X 的分布列与期望.18.（17分）已知y =是双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的一条渐近线，点()2,2在C 上.（1）求C 的方程.（2）已知直线l 的斜率存在且不经过原点，l 与C 交于,A B 两点，AB 的中点在直线2y x =上.（i ）证明：l 的斜率为定值.（ii ）若()1,1,M MAB ，求l 的方程.19.（17分）定义：对于函数()(),f x g x ，若()()()(),,0,,a b c f a f b g c ∞∀∈++>，则称“()()f x g x -”为三角形函数.（1）已知函数()ln f x x x =-，若()g x 为二次函数，且()()2g x g x -=，写出一个()g x ，使得“()()f x g x -”为三角形函数；（2）已知函数()()2,0,22x x t f x x ∞+=∈++，若“()()f x f x -”为三角形函数，求实数t 的取值范围；（3）若函数()()()ln ,ln 1ln f x x x g x x x x x =-=+-+，证明：“()()f x g x -”为三角形函数.（参考数据：3ln 0.4052≈）高三联考数学参考答案1.C {}[]{}()0451,4,ln 0,A xx B x y x ∞=-=-===+∣∣……，则(]0,4A B ⋂=.2.C 将这8个数据从小到大排列为5,6,6,6,8,9,10,11，因为60%8 4.8⨯=，所以该组数据的第60百分位数为8.3.B 因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以22415m =+=，故椭圆C的离心率e ==.4.C 因为()0,πα∈，且3sin22sin cos 04ααα==-<，所以π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα->0.因为27(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=，所以sin cos αα-=.5.A圆台甲的高为==，所以V h V h ====甲甲乙乙.6.B 由a b b a ++= 可得a b a b +=- ，平方可得22222||2||||||a a b b a a b b +⋅+=-+ ，解得a b a b ⋅=- ，所以,a b 反向.故“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的必要不充分条件.7.B ()f x 在(]0,a 上的值域为1,a ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.因为函数()f x 的值域为R ，所以()log 1a f x x =+在(),a ∞+上的值域包含1,a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，则01a <<，且1log 1a a a +…，解得112a <…，所以a 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8.B 由题可知()π06f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2a a =+，解得a =()πsin22sin 23f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.在坐标系中结合五点法画出()y f x =与cos y x =的图象，如图所示.由图可知，共有4个交点.9.ACD 由题可知()()213i 3i 38i 3i 68i z =+-=+-=+，则10,68i z z ===-，z 的虚部为8,z 在复平面内对应的点为()6,8，位于第一象限.故选ACD.10.BC 22670x y x +-+=可化为22(3)2x y -+=，所以圆心()3,0A.由题知焦点()1,0F，准线为直线1,x EF =-==A 错误.易知直线FN 的斜率存在，设直线FN 的方程为()1y k x =-，=，解得1k =±.因为切点E 在线段FN 上，所以1k =，故直线FN 的方程为10x y --=，B 正确.联立24,10,y x x y ⎧=⎨--=⎩可得2610x x -+=，所以3N x =+或3-（舍去），2134N y NF NP =+==++=+，C 正确.((1142822PFN N S NP y =⋅⋅=⨯+⨯+=+ ，D 错误.11.AD 因为()()222f x f x x =-+-，所以()()()22f x x f x x -=---.令()()g x f x x =-，则()()2g x g x =-，所以()g x 的图象关于直线1x =对称.因为()f x 与y x =都为奇函数，所以()g x 也是奇函数，则()g x 是以4为周期的周期函数，所以()()4g x g x +=.由()32f =，可得()()3331g f =-=-，所以()()531g g -==-，则()551f -+=-，解得()56f -=-，A 正确.()()()()44444f x g x x g x x f x +=+++=++=+，B 错误.由()()222f x f x x =-+-，求导可得()()22f x f x '=--+'，所以()()112f f '=-+'，即()11f '=.由()()44f x f x +=+，求导可得()()4f x f x ='+'，所以()()10111f f ='='，C 错误.100100100111()[()]5050i i i f i g i i i ===∑=∑+=∑=D 正确.12.2- 设等比数列{}n a 的公比为q ，由324,,a a a 成等差数列，得3422a a a +=，整理得220q q +-=，则2q =-.13.12 从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个相同的情况共有1232C C =3种，字母不相同的2张卡片均有2种选择，所以不同的取法种数为23212⨯=.14.()1,0- 由()2e x y x =-，可得()1e x y x '=-，则()2e x y x =-在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，且当2x <时，()0f x <.直线2y kx =-恒过点()0,2-，当直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-相切于点()00,x y 时，()()000002e 2,1e ,x x x kx x k ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩即()020022e 2x x x -+=.令()()222e x f x x x =-+，则()2e 0x f x x ='…，所以()f x 在R 上单调递增.因为()02f =，所以00,1x k ==-，结合图象（图略）可知，若直线2y kx =-与曲线(2)e x y x =-有3个交点，则k 的取值范围为()1,0-.15.解：（1）由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，所以()2sin cos sin 0,2sin cos sin 0C C A B C C C ++=+=，得1cos 2C =-.因为()0,πC ∈，所以2π3C =.（2）由余弦定理可得222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，因为2a c b +=，所以222(2)b a a b ab -=++，化简可得53b a =，则723c b a a =-=，所以222222571333cos 57214233a a abc a A bc a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.16.（1）证明：过A 作1BB 的垂线，垂足为O ，连接OC .因为ABC 为等边三角形，所以AB BC =.因为11π,4BO BO B BC B BA ∠∠===，所以BOA BOC ≌，则1,AO CO BO CO ==⊥.又CO AO O ⋂=，所以1BB ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以1AC BB ⊥.（2）解：由（1）可知1AO OC ==，所以222AO CO AC +=，故AO CO ⊥，所以,,OB OA OC 两两垂直，则以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.()()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0,2,1,0A B C C -，则1CC =(2,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CA BC AB -=-=-=- .设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z x y -=⎧⎨-+=⎩令1x =，得()1,1,1m = .设平面1ACC 的法向量为(),,n a b c = ，则10,0,n CA n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,b c a -+=⎧⎨-=⎩令1b =，得()0,1,1n =.cos ,m n m n m n ⋅<>== ，所以平面ABC 与平面1ACC.17.解：（1）第一题结束时甲获得1分的概率为131521242123⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，在每道题的抢答中，甲､乙得1分的概率分别为21,33，X 的可能取值为2,4,5.()22115233339P X ==⨯+⨯=，()12212211204C 33333381P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()()()16512481P X P X P X ==-=-==，()520162502459818181E X =⨯+⨯+⨯=.18.（1）解：因为y =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，所以b a =，因为点()2,2在C 上，所以22441a b-=，解得222,4a b ==，即C 的方程为22124x y -=.（2）（i ）证明：设():0l y kx t t =+≠，由22,1,24y kx t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222240k x ktx t ----=，由题意得()22220,Δ8240k t k -≠=-+>.设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点的坐标为()00,x y ，则12221222,24,2kt x x k t x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩所以12000222,222x x kt t x y kx t k k +===+=--.因为AB 的中点在直线2y x =上，所以002y x =，即222222t kt k k =--，因为0t ≠，所以1k =.（ii ）解：2AB x =-==点M 到l 的距离d所以12MAB S AB d =⋅== ，解得1t =±，所以l 的方程为10x y -±=.19.（1）解：由()ln f x x x =-，可得()11f x x'=-，令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()f x 的最小值为()11f =.因为“()()f x g x -”为三角形函数，所以()()0,,2c g c ∞∀∈+<.因为()()2g x g x -=，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，又()g x 为二次函数，所以()22g x x x =-+.（答案不唯一，只需满足()22g x ax ax c =-+，且2,0c a a -<<即可）（2）解：()222221222222x x x x x t t t f x +++--===++++.当20t -=，即2t =时，()1f x =，此时()()()1f a f b f c ===，满足()()()f a f b f c +>，符合题意；当20t ->，即2t >时，()f x 是()0,∞+上的减函数，所以()f x 的值域为11,3t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以1113t ++…，得25t <…；当20t -<，即2t <时，()f x 是()0,∞+上的增函数，所以()f x 的值域为1,13t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以11133t t +++…，得1 2.2t <…综上，实数t 的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）证明：由题可知()1ln 1g x x x =-+'.设()()1ln 1h x g x x x ==-+'，则()2110(1)h x x x =--<+'在()0,∞+上恒成立，所以()g x '在()0,∞+上单调递减.又()132310,ln 0.40.40502252g g ⎛⎫=>='-≈-⎪⎝⎭'< ，所以存在031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，即001ln 1x x =+①当()00,x x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()00,x 上单调递增；当()0,x x ∞∈+时，()0g x '<，则()g x 在()0,x ∞+上单调递减.故当0x x =时，()g x 取得唯一极大值，也是最大值，令()g x 的最大值为M ，则()()00000ln 1ln M g x x x x x ==+-+.将①式代入上式，可得()()()200000000ln 1ln 111x x M g x x x x x x ==+-+=++++.令()()23ln 1,1,12x u x x x x ⎛⎫=++∈ ⎪+⎝⎭，则由()221201(1)x x u x x x +=+>++'，可知()u x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()()()20009355994ln 1ln ln 12,25122210102x M x u g c f a f b x ⎛⎫=++<=+=+<+<<+ ⎪+⎝⎭…成立.故“()()f x g x -”为三角形函数.。
高三金太阳试卷理科数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且对称轴为x = 1，则下列说法正确的是（）A. a > 0，b > 0，c > 0B. a > 0，b < 0，c > 0C. a < 0，b > 0，c > 0D. a < 0，b < 0，c > 0答案：B2. 在△ABC中，若a = 3，b = 4，c = 5，则cosB的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/3答案：A3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列的前n项和S_n为（）A. n^2B. n^2 - nC. n^2 + nD. n^2 + 2n答案：B4. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. f(x) = √(x - 1)B. f(x) = 1/xC. f(x) = |x|D. f(x) = x^2 - 4x + 4答案：C5. 已知复数z = 1 + i，则|z|的值为（）A. √2B. 2C. 1D. 0答案：A6. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)答案：A7. 已知等差数列{an}的首项a_1 = 3，公差d = 2，则a_10的值为（）A. 21B. 22C. 23D. 24答案：D8. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：A9. 下列函数中，为奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = 1/x答案：C10. 已知等比数列{an}的首项a_1 = 2，公比q = 3，则a_6的值为（）A. 54B. 162C. 243D. 729答案：C11. 在平面直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(4, 5)，则线段AB的中点坐标为（）A. (2.5, 3.5)B. (3, 4)C. (2, 3)D. (1, 2)答案：A12. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在x = 1处的导数为0，则f(x)在x = 1处的极值点为（）A. 极大值点B. 极小值点C. 驻点D. 无极值点答案：B二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13. 若等差数列{an}的首项a_1 = 3，公差d = 2，则a_10 = ____________。
2020届金太阳高三4月联考数学(理)试题(解析版)
【答案】B
【解析】根据函数 为奇函数，函数 为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由 得出 ，换元 ，利用导数求出函数 的最小值，即可得出实数 的最大值.
【详解】
函数 为奇函数， 为偶函数，且 ，①
，即 ，②
① ②得： ， ， ，
由 得 ，
令 ， ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递减；当 时， ，此时函数 单调递增.
【点睛】
本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．
11．在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
（1）证明 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1）证明出 平面 ，然后利用线面平行的性质定理可证明出 ，再利用空间平行线的传递性可得出结论；
（2）证明出平面 平面 ，然后作 ，垂足为 ，可得出 平面 ，由此以点 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向， 为单位长建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角 的平面角的余弦值.
【点睛】
本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．
8．给出下列说法：
①定义在 上的偶函数 的最大值为 ；
②“ ”是“ ”的充分不必要条件；
③命题“ ， ”的否定形式是“ ， ”．
其中正确说法的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据偶函数的定义求得 、 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程 ，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论.
金太阳试卷数学答案高三
一、选择题1. 答案：D解析：由题意可知，点P到直线AB的距离等于点P到线段BC的距离，因此点P在线段BC的垂直平分线上。
又因为点P在直线CD上，所以点P是直线CD与线段BC 的交点。
2. 答案：A解析：由题意可知，函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) > f(b)。
根据中值定理，至少存在一点ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = 0。
3. 答案：C解析：由题意可知，向量a与向量b垂直，因此它们的点积为0。
即a·b = 0。
4. 答案：B解析：由题意可知，数列{an}是一个等比数列，首项为a1，公比为q。
根据等比数列的通项公式，可得an = a1 q^(n-1)。
当n=3时，a3 = a1 q^2。
5. 答案：A解析：由题意可知，函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，且f(a) < f(b)。
根据介值定理，对于任意c ∈ (a, b)，存在d ∈ (a, b)，使得f(d) = c。
二、填空题6. 答案：x^2 - 2x - 3解析：由题意可知，函数f(x)的图像是一个开口向上的抛物线，且顶点坐标为(1, -2)。
因此，函数f(x)的解析式为f(x) = a(x - 1)^2 - 2，其中a > 0。
又因为f(0) = -3，代入解析式得a = 1。
所以f(x) = x^2 - 2x - 3。
7. 答案：5解析：由题意可知，等差数列{an}的首项为a1，公差为d。
根据等差数列的通项公式，可得an = a1 + (n - 1)d。
当n=5时，a5 = a1 + 4d。
又因为a5 = 5，代入通项公式得a1 + 4d = 5。
8. 答案：-2解析：由题意可知，函数f(x)在区间[-2, 2]上单调递减，且f(-2) > f(2)。
根据函数的单调性，可得f(x)在区间(-2, 2)内存在唯一零点。
9. 答案：3解析：由题意可知，数列{an}的前n项和为Sn。
2020届金太阳理科数学试卷答案(1)
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金太阳试卷数学高三答案
一、选择题1. 答案：D解析：根据三角函数的定义，sinA = a/c，cosA = b/c，tanA = a/b，所以cosA = b/c。
2. 答案：B解析：根据二次函数的性质，a>0时，抛物线开口向上，且顶点为最低点，故B正确。
3. 答案：C解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，可得a10 = a1 + 9d，a11 = a1 + 10d，所以a10 < a11。
4. 答案：A解析：根据复数的定义，a + bi是复数，其中a、b为实数，i为虚数单位。
5. 答案：B解析：根据指数函数的性质，当a>1时，函数y=a^x在定义域内单调递增。
二、填空题1. 答案：3解析：由题意得，x^2 - 4x + 3 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3。
2. 答案：4解析：由题意得，a + b = 2，ab = 1，根据二次方程的求根公式，得a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 2^2 - 21 = 4。
3. 答案：-3解析：由题意得，(x + 2)^2 - 3(x + 2) = 0，因式分解得(x + 2)(x - 1) = 0，解得x = -2或x = 1。
4. 答案：2解析：由题意得，|x - 2| + |x + 1| = 3，根据绝对值的性质，可得以下三种情况：（1）x - 2 + x + 1 = 3，解得x = 2；（2）x - 2 - (x + 1) = 3，解得x = -4；（3）-(x - 2) + (x + 1) = 3，解得x = 0。
综上所述，x的值为2、-4、0。
5. 答案：1解析：由题意得，x^2 - 2ax + a^2 = 0，根据二次方程的求根公式，得x = a，代入原方程得a^2 - 2a^2 + a^2 = 0，解得a = 0。
三、解答题1. 解答：（1）设f(x) = x^2 + bx + c，根据题意得f(1) = 2，f(-1) = 0，代入得以下方程组：1 + b + c = 21 - b + c = 0解得b = 1，c = 0，所以f(x) = x^2 + x。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(三)数学理科试卷
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（三）数学试卷（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知{}1A x Z x =∈>-，集合{}2log 2B x x =<，则A B =（ ）A. {}14x x -<< B. {}04x x <<C. {}0,1,2,3D. {}1,2,3【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合B 再求AB 即可.【详解】{}04B x x =<<,∵{}1A x Z x =∈>-,∴{}1,2,3A B =,故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的不等式求解以及交集的运算,属于基础题.2.设复数1z bi =+（b R ∈）且234z i =-+，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A. 2-B. 2i -C. 2D. 2i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、复数相等、虚部的定义即可得出． 【详解】z 2=﹣3+4i ，∴（1+bi ）2=﹣3+4i ，1﹣b 2+2bi=﹣3+4i ， ∴1﹣b 2=﹣3，2b=4， 解得b=2．则z =1﹣2i 的虚部为﹣2． 故选A ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.在等比数列{}n a 中，11a =，6835127a a a a +=+，则6a 的值为（ ）A.127B.181 C.1243D.1729【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列各项之间的关系化简6835127a a a a +=+求得13q =,再根据561a a q =⋅求解即可.【详解】设等比数列{}n a 公比为q ,则()335368353511273a a q a a q q a a a a ++===⇒=++,所以5611243a a q =⋅=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列各项之间的关系,属于基础题. 4.如图的框图中，若输入1516x =，则输出的i 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图逐步计算即可. 【详解】输入1516x =,0i =,进入循环体： 15721168x =⨯-=,011i =+=,0x =判定为否； 732184x =⨯-=,112i =+=,0x =判定为否；312142x =⨯-=,213i =+=,0x =判定为否；12102x =⨯-=,314i =+=,0x =判定为是；输出4i =. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据程序框图的输入结果计算输出结果问题,属于基础题. 5.已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则（ ） A. a ab c << B. ac b c <<C. ab a c <<D. c ac b <<【答案】C 【解析】 【分析】先判断,,a b c 的大致范围,再根据不等式的性质逐个判断即可.【详解】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.10.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<. 对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误. 对B,因为1c b <<,故B 错误. 对C, ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误. 故选；C 【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小判定以及不等式的性质.需要根据题意确定各数的范围,再逐个推导.属于基础题.6.已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()cos x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值，即可选择判断. 【详解】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e -=+20sin =>，故排除A ；当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ；当0x =时，()cos x x y e e -=-010cos ==>，故排除C ；当0x =时，()cos x x y e e -=+20cos =<，满足题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题.7.《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136v L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式23112v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A.227B.258C.289D.8227【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为r ,根据圆锥的底面周长L 求得2L r π=,再代入体积公式得212L h v π=,再对照23112v L h ≈求解即可.【详解】设圆锥底面半径为r ,则22L r L r ππ=⇒=,所以22213283121129L h v r h L h πππ==≈⇒≈.故选：C.【点睛】本题主要考查了圆锥底面周长与体积等的计算.属于基础题. 8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()32x f x =-，则()()20192020f f +=（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与对称性可得()f x 最小正周期4T =,再利用函数的性质将自变量转换到(]0,1x ∈求解即可.【详解】∵()()f x f x -=-,()()11f x f x -+=+,∴()()2()f x f x f x +=-=-， ∴()()()42f x f x f x +=-+=， ∴最小正周期4T=,又()00f =,∴()()()()201950541111f f f f =⨯-=-=-=-,()()()2020505400f f f =⨯==,∴()()201920201f f +=-,故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,需要根据奇偶性推出函数的对称性,再将自变量利用性质转换到已知函数解析式的区间上求解.属于中档题.9.甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球贏球的概率为25，则在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为（ ） A.225B. 310C. 110D.325【答案】C 【解析】 【分析】分后四球胜方依次为甲乙甲甲,与乙甲甲甲两种情况进行求解即可. 【详解】分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲,概率为113123252550P =⋅⋅⋅=； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲,概率为212121252525P =⋅⋅⋅=. 所以,所求事件概率为：12110P P +=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了分步与分类计数求解概率的问题,需要根据题意判断出两种情况再分别求解,属于基础题.10.已知()1,0A x ，()2,0B x 两点是函数()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈与x 轴的两个交点，且满足12min3x x π-=,现将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，得到的新函数图像关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】 根据12min3x x π-=，即可求得ω，再根据平移后函数为偶函数，即可求得ϕ.【详解】令()2sin 10x ωϕ++=，解得()1sin 2x ωϕ+=-， 因为12min3x x π-=，故令21x x >，并取12711,66x x ππωϕωϕ+=+=，则()2123x x πω-=，即可求得2ω=. 此时()()2sin 21f x x ϕ=++，向左平移6π个单位得到2sin 213y x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 若其为偶函数，则2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得26k πϕπ=+.当0k =时，6π=ϕ. 故选：A .【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.11.已知直线2x a =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左，右焦点分别为12,F F ，且211cos 4PF F ∠=-，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 15y x =±B. 315y x =±C. 215y x =±D. 15y x =±或315y =±【答案】B 【解析】【详解】设直线2x a =与x 轴交点为()2,0Q a ,由题可知()2,2P a b ,()1,0F c -,()2,0F c , ∵211cos 4PF F ∠=-,故2a c >,即12e << 且21cos 4PF Q ∠=. 故22F Q a c =-,)2241152PQ F Q a c =-=-.又2PQ b =,)()()22215221524a c b a c c a-=⇒-=-,整理得221160640c ac a +-=,即21160640e e +-=.∴1611e =或4e =.又12e <<,故1611e =∴渐近线方程为：y ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线中渐近线以及构造齐次方程求解离心率的问题.需要根据题意找到基本量,,a b c 之间的关系,再求得离心率的值进而求得渐近线方程.属于中档题.12.已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A. 20,e ⎡⎤⎣⎦B. 22,e ⎡⎤⎣⎦C. []0,4D. []0,3【答案】D 【解析】 【分析】当1x ≤时,根据二次函数的对称轴与最值求解()222f x x kx k =-+的最小值,再根据()0f x ≥求解.当1x >时求导分析()()31x f x x k e e =--+的单调性,再分1k ≤与1k >两种情况讨论函数的单调性进而求得最小值再求解()0f x ≥恒成立的k 的取值范围即可. 【详解】（1）当1x ≤时,()222f x x kx k =-+，∴()f x 的对称轴为x k =,开口向上①当1k <时,()f x 在(),k -∞递减,(),1k 递增 ∴当x k =时,()f x 有最小值,即()0f k ≥,∴01k ≤< ②当1k时,()f x 在(),1-∞上递减∴当1x =时,()f x 有最小值,即()10f ≥ ∴10≥显然成立,此时1k ，∴当1x ≤时, 0k ≥.（2）当1x >时,()()31xf x x k e e =--+,∴()()xf x x k e '=-①当1k ≤时,()f x 在()1,+∞上递增∴()()310f x f ke e >=-+≥,∴2k e ≤,∴此时1k ≤.②当1k >时,()f x 在()1,k 递减,()k +∞递增∴()()30kf x f k e e ≥=-+≥,∴3k ≤,∴此时13k <≤∴当1x >时, 3k ≤. 综上：0k ≤≤3. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据分段函数的恒成立求解参数的问题,需要根据二次函数的最值以及求导分析函数的最值进行求解.属于难题.二、填空题13.已知向量()1,1a =-，向量()0,1b =，则2a b -=______.【解析】 【分析】根据模长的坐标运算求解即可.【详解】()()()21,10,21,3a b -=--=-==【点睛】本题主要考查了向量模长的坐标运算,属于基础题. 14.已知抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠过点()14P -,，则抛物线C 的准线方程为______.【答案】116y =- 【解析】 【分析】代入()14P -,求解抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠,再化简成标准形式求解准线方程即可.【详解】由题, ()2414m m =⋅-⇒=,故221:44C y x x y =⇒=.故抛物线C 的准线方程为116y =-.故答案为：116y =-【点睛】本题主要考查了根据抛物线上的点抛物线方程以及准线的问题.属于基础题. 15.已知数列{}n a ，{}n b ，其中数列{}n a 满足()10n n a a n N ++=∈，前n 项和为n S 满足()2211,102n n n S n N n +-+=-∈≤；数列{}n b 满足：()12n n b b n N ++=∈，且11b =，11n n n b b n +=+，(),12n N n +∈≤，则数列{}n n a b ⋅的第2020项的值为______.【答案】14【解析】 【分析】根据()10n n a a n N ++=∈可知数列{}n a 周期为10，并根据n S 求得{}n a 在10n ≤时的通项公式.又()12n n b b n N ++=∈可知数列{}n b 周期为12，再求出1n b n=，分析{}n n a b ⋅的周期再求解即可. 【详解】当1n =时,112111922a -+=-=； 当2n ≥时, ()()221121112112211n n n n n n n a n S S ----+-+=-=+=--, 故19,1211,210n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-≤≤⎩,又∵11b =,11n n nb b n +=+,∴()111n n nb n b +=+=(),12n N n +∈≤， 所以1n b n=(),12n N n +∈≤, 又数列{}n a ,{}n b 的公共周期为60,所以202020204040a b a b ⋅=⋅, 而40101a a ==,40414b b ==,所以20202020404014a b a b ⋅=⋅= 故答案为：14【点睛】本题主要考查了根据数列的前n 项和与通项的关系，求解通项公式以及构造数列求通项公式的方法.同时也考查了周期数列的运用.属于中档题.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面为四边形ABCD .其中ACD 为正三角形，又3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅.设三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的体积分别是12,V V ，三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的外接球的表面积分别是12,S S .对于以下结论：①12V V <；②12V V =；③12V V >；④12S S <；⑤12S S ；⑥12S S >.其中正确命题的序号为______.【答案】①⑤ 【解析】 【分析】设2AD =,根据DA DB DB DC ⋅=⋅化简可得DB AC ⊥. 【详解】不妨设2AD =,又ACD 为正三角形,由3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅,得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=,即有DB AC ⊥，所以30ADB CDB ∠=∠=︒.又3DB DC DB AB ⋅=⋅得()2333DB DC DB DB DA DB DB DA ⋅=⋅-=-⋅,又DB DC DB DA ⋅=⋅,故2344cos30DB DB DA DB DA =⋅=⋅⋅︒.化简可以得43DB =90DAB ∠=︒,易得ABD ACD S S <△△,故12V V <.故①正确. 又由于60ADB ACD ∠=∠=︒,所以ABD △与ACD 的外接圆相同（四点共圆）,所以三棱锥P ABD -,三棱锥P ACD -的外接球相同,所以12S S .故⑤正确.故答案为：①⑤【点睛】本题主要考查了平面向量与立体几何的综合运用,需要根据平面向量的线性运算以及数量积公式求解各边的垂直以及长度关系等.同时也考查了锥体外接球的问题.属于难题.三、解答题17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 3A =，2B A =，8b =. （1）求边长a ；（2）已知点M 为边BC 的中点，求AM 的长度.【答案】（1）6（2）3AM = 【解析】 【分析】 (1)根据2cos 3A =可得sin 3A =,再根据2B A =与二倍角公式求解得sin 9B =,再利用正弦定理求解a 即可.(2)先求解得1cos 9B =-,再求解得22cos 27C =,再在ACM 中,由余弦定理求解AM 即可. 【详解】解：（1）由0A π<<,2cos 3A =,得sin A ==,所以2sin sin 22sin cos 23B A A A ====由正弦定理sin sin a b A B=,可得sin 6sin b Aa B ==. （2）2221cos cos 22cos 12139B A A ⎛⎫==-=⨯-=- ⎪⎝⎭,在ABC 中,()22cos cos sin sin cos cos 27C A B A B A B =-+=-=在ACM 中,由余弦定理得：2223052cos 9AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅=所以,AM =【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换以及正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意确定合适的公式化简求解.属于中档题.18.已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF ∥平面PQB . （2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --5？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在点P 使之成立.见解析 【解析】 【分析】(1) 在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,进而得到MNPQ 与EF MN 即可.(2) 以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再求解平面BPQ 的法向量与平面EFPQ 的法向量,再设BF a =,[]1,3a ∈,再根据二面角的计算方法分析是否存在[]1,3a ∈5即可.【详解】解：（1）证法1：在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,易知四边形MNQP 是平行四边形,所以MN PQ ,联结,,FM MN NE ,则AE ND =,且AEND所以四边形ADNE 为矩形,故ADNE ,同理,FMBCAD且NE MF AD ==,故四边形FMNE 是平行四边形,所以EF MN ,所以EFPQ故,,,E F P Q 四点共面 又EFPQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .证法2：因为直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,∴AC BD ⊥,1AA ⊥底面ABCD ,设,AC BD 交点为O ,以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则有()2,0,0A ,()0,1,0B ,()2,0,0C -,()0,1,0D -,设BF a =,[]1,3a ∈,则()2,0,1E a -,()0,1,F a ,()2,0,1P a -+,()0,1,Q a -,()2,1,1EF =-,()2,1,1QP =-,所以EFPQ ,故,,,E F P Q 四点共面.又EFPQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .（2）平面EFPQ 中向量()2,1,1EF =-,()2,1,1EQ =--,设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,x y z ,则1111112020x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩,可得其一个法向量为()11,0,2n =. 平面BPQ 中,()2,1,1BP a =--+,()0,2,BQ a =-,设平面BPQ 的一个法向量为()222,,n x y z =,则()2222221020x y a z y az ⎧--++=⎨-+=⎩,所以取其一个法向量()22,2,4n a a =+.若()1212225cos ,55216n n n n a a ⋅==⋅+++则()2210548a a a +=++, 即有24230a a --=,[]1,3a ∈,解得[]2321,3a =±,故不存在点P 使之成立.【点睛】本题主要考查了根据线线平行证明共面的方法,同时也考查了建立空间直角坐标系确定是否存在满足条件的点的问题.需要根据题意建立合适直角坐标系,再利用空间向量求解二面角的方法,分析是否有参数满足条件等.属于难题.19.已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）是定值，为34.【解析】 【分析】(1) 设BOE α∠=,再根据三角函数的关系可得2cos P x α=,2P y α=,进而消参求得轨迹C 的方程即可.(2) 设直线l的方程为x my =+再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简211MN OQ +,代入韦达定理求解即可.【详解】解：方法一：（1）如图设BOE α∠=,则)Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,也满足. （2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l的方程为x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以122122222y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m=+ 222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解以及联立直线与椭圆的方程求解线段弦长与证明定值的问题,属于难题.20.某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为12,p p .（1）若123p =，212p =，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；（2）若1243p p +=则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时12,p p 的值. 【答案】（1）49（2）理论上至少要进行27轮游戏.2123p p == 【解析】 【分析】(1)分①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次三种情况进行求和即可.(2)同(1),分别计算三种情况的概率化简求和,再代入1243p p +=可知221212833P p p p p =-,再设12t p p =,根据二次函数在区间上的最值方法求解可得当49t =时,max 1627P =.再根据他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足()~,B n p ξ,利用二项分布的方法求解即可.【详解】解：（1）由题可知,所以可能的情况有①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次. 故所求概率12212222222221112211221143322332233229P C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为()()()122221222222211222122221221212121()()1()()23()()P C p p C p C p C p p C p C p p p p p p p =-+-+=+-因为1243p p +=,所以22121283()()3P p p p p =- 因为101p ≤≤,201p ≤≤,1243p p +=,所以1113p ≤≤,2113p ≤≤,又21212429p p p p +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以121499p p <≤,令12t p p =,以1499t <≤,则()2833P h t t t ==-+ 当49t =时,max 1627P =,他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足()~,B n p ξ由max ()16np =,则27n =,所以理论上至少要进行27轮游戏.此时1243p p +=,1249p p =,2123p p ==【点睛】本题主要考查了排列组合在概率中的运用,需要根据题意分析三种情况的概率之和,再根据包含概率的函数解析式,结合二次函数与基本不等式的方法求最值即可.属于难题.21.已知函数()ln f x a x x a =-+，()ln g x kx x x b =--，其中,,a b k R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]1,a e ∈，任意[]1,x e ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立时最大的k 记为c ，当[]1,b e ∈时，b c +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】(1)求导后分0a ≤与0a >两种情况分析函数的单调性即可. (2)参变分离()()f x g x ≥与[]1,a e ∈可得1ln ln x x x x b k x +-++≤,再令()1ln ln x x x x bg x x+-++=,求导得()2ln x x bg x x-+-'=,再分析()ln p x x x b =-+-的单调性,分()10p ≥,()0p e ≤与()()10p p e <三种情况求解导函数的正负以及原函数的单调性,进而求得b c +的解析式,再求导分析单调性与范围即可.【详解】解：（1）∵()()ln 0,f x a x x a x a R =-+>∈ ∴()1a a xf x x x-'=-=,∵0x >,a R ∈ ∴①当0a ≤时,()f x 的减区间为()0,∞+,没有增区间 ②当0a >时,()f x 的增区间为()0,a ,减区间为(),a +∞（2）原不等式()1ln ln a x x x x bk x+-++⇔≤.∵[]1,a e ∈,[]1,x e ∈,∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥, 令()()21ln ln ln x x x x b x x b g x g x x x+-++-+-'=⇒=, 令()()1ln 1p x x x b p x x '=-+-⇒=-+()ln p x x x b⇒=-+-()1,+∞上递增；①当()10p ≥时,即1b ≤,∵[]1,b e ∈,所以1b =时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≥⇒≥, ∴()g x 在[]1,e 上递增；∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.②当()0p e ≤,即[]1,b e e ∈-时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≤⇒≤,∴()g x 在[]1,e 上递减； ∴()()min 2212,1b b c g x g e b c b e e e e ee ++⎡⎤===⇒+=+∈+++⎢⎥⎣⎦ ③当()()10p p e <时,又()ln p x x x b =-+-在()1,e 上递增； 存在唯一实数()01,x e ∈,使得()00p x =,即00ln b x x =-， 则当()01,x x ∈时()()00p x g x '⇒<⇒<. 当()0,x x e ∈时()()00p x g x '⇒>⇒>. ∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+. 令()()()11ln 10x h x x x h x h x x x-'=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增, ()()01,11,b e x e ∈-⇒∈,∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述,22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间以及分情况讨论导函数零点以及参数范围的问题,需要根据题意构造合适的函数进行原函数单调性以及最值的分析等.属于难题. 22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中.曲线2C 的极坐标方程为22483sin ρθ=+.（1）求曲线1C 和曲线2C 的一般方程；（2）若曲线2C 上任意一点P ，过P 点作一条直线与曲线1C 相切，与曲线1C 交于A 点，求PA 的最大值.【答案】（1）()2211x y -+=，2211612x y +=（2）max AP =【解析】 【分析】(1)根据圆的标准方程可得1C 的一般方程,再根据222x y ρ+=,且cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2C 化简可得2C 的一般方程. (2)易得221PA PC r =-,再设点P 的坐标为()4cos ,23sin θθ,再利用三角函数范围以及二次函数的范围求解PA 的取值范围,进而求得max AP 即可.【详解】解：（1）曲线1C 表示圆心为()1,0,半径为1的圆.故1C 的一般方程是()2211x y -+=∵222x y ρ+=,且cos x ρθ=,sin y ρθ=,给2222222483sin 4834483sin x y ρρρθθ=⇒+=⇒+=+. ∴曲线2C 的一般方程为2211612x y +=（2）设点P 的坐标为()4cos ,23sin θθ,∵221PA PC r =-,()()()2222214cos 123sin 4cos 8cos 134cos 19PC θθθθθ=-+=-+=-+∴()24cos 1826PA θ=-+≤,即cos 1θ=-时,max 26AP =【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了设点的参数坐标求解距离的最值问题.属于中档题.23.已知点(,)P x y 的坐标满足不等式：111x y -+-≤.（1）请在直角坐标系中画出由点P 构成的平面区域Ω，并求出平面区域Ω的面积S. （2）如果正数,,a b c 满足()()a c b c S ++=，求23a b c ++的最小值. 【答案】（1）2；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据111x y -+-≤，即可容易求得平面区域以及面积；（2）利用均值不等式即可容易求证.【详解】（1）因为111x y -+-≤，故可得当1,1x y ≤≤时，不等式等价于1x y +≥；当1,1x y ≤>时，不等式等价于1x y -≥-；当1,1x y >>时，不等式等价于3x y +≤；当1,1x y >≤时，不等式等价于1x y -≤；如图，平面区域平面区域Ω由一个正方形及其内部组成，四个顶点分别为(1,0),(2,1),(1,2),(0,1)，所以222S ==.（2）由（1）()()2a c b c ++=，而,,a b c 都为正数，所以 232()22()()4a b c a c b c a c b c ++=+++≥++=，当且仅当2()2a c b c +=+=取得最小值.【点睛】本题考查绝对值不等式表示的平面区域，以及利用均值不等式求最值，属综合基础题.。
2021.5.25广西金太阳联考理科数学【解析版】
高三数学试卷（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号和座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已合集合{}2|20A x x x =-，{|12}B x x =<则A B =（ ）A. (1,2]B. (1,2)C. [0.2]D. (0,1)【答案】A.【解析】因为{|02}A x x =，{|12}B x x =<，所以{|12}.AB x x =<2. 设复数z 满足()z 2i 2i +=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】因为2i 34i 34i 2i 555z --===-+，所以z 在复平面内对应的点位于第四象限.3．在ABC △中，BC =3AC =，1cos 3A =，则ABC △的面积为（ ）A ．2B ．C ．4D ．92【答案】 B ．【解析】因为BC =3AC =，1cos 3A =，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，所以2280AB AB --=，所以4AB =，又1cos 3A =，所以sin A =1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅△1432=⨯⨯⨯=B 正确． 4. 生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象. 若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间. 在物种入侵初期，可用对数模型()ln K n n λ=来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且1TQ λ=+，在物种入侵初期，基于现有数据得出9Q =，80T =. 据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ ）（ln 20.69≈，ln3 1.10)≈A. 6. 9天B. 11. 0天C. 13. 8天D. 22. 0天【答案】C 【解析】因为1TQ λ=+，所以8091λ=+，解得10λ=. 设初始时间为1K ，初始累计繁殖数量为n ，累计繁殖数量增加3倍后的时间为2K ，则21ln(4)ln ln 420ln 213.8K K n n λλλ-=-==≈天. 5 ．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】 D ．【解析】 该几何体是三棱锥，将该三棱锥放入长方体中，如图， 由三视图可知长方体的长、宽、高分别为3，4，5．计算可得最长棱PB =3AB =．因为AB PA ⊥，所． 6 ．家庭开支是指一般生活开支的人均细分，如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同．根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）2017年各项支出2020年各项支出其他6%娱乐1%水、电、气、通讯8%饮食25%房贷60%存款7%娱乐8%饮食25%房贷40%水、电、气、通讯8%其他12%A ．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍B ．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍C ．小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加D ．小王一家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了7%543正视图侧视图俯视图ABCP【答案】 C ．【解析】 因为小王家房贷每年的还款数额相同，设为a ，则2017年总收入为53a ，2020年总收入为号52a ．因为小王家2020年的家庭收入比2017年增加了56a ，即增加了50%，所以A 错误． 因为小王家2017年和2020年用于其他方面的支出费用分别为110a 和310a ，所以B 错误．因为小王家2017年和2020年用于饮食的费用分别为512a 和58a ，明显增加，所以C 正确． 因为小王家2017年和2020年的总收入不一样，所以D 错误．7 ．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()()32a b a b -⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．45︒B ．. .C ．60︒D ．120︒【答案】 B ．【解析】 因为()()32a b a b -⊥+，2b a =，所以()222()32320a b a b a a b b a b a -⋅+=-⋅⋅=--=-，所以2a b a ⋅=- 设a 与b 的夹角为θ，则22cos 2a b a a aθ⋅===-⋅．因为[]0,180θ∈︒︒，所以135θ=︒．8 ．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm ，外径长3cm ，筒高4cm ，中部为棱长是3cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）2433A ．3727cm 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．324cm 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．336cm 49π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3718cm 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】 A ．【解析】 由图可知，组合体的体积为 222333741333327cm 224V ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=π⨯⨯-+⨯⨯-π⨯⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．9 ．把函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数()f x 的图象，则A ．()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】 D ．【解析】 将其图象向左平移3π个单位长度得到22sin 22sin 233y x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭π⎝⎭的图象，再向上平移1个单位长度可得到2()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故A ，B 错误． 令2232x k π+=+ππ，k ∈Z ，得122k x ππ=-+，k ∈Z ， 当0k =时，12x =-π；当1k =时，512x =π，故C 错误． 令23222232k x k ππ+π++ππ≤≤，k ∈Z ，得51212k x k π-ππ+π+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 在5,612π⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递减，故D 正确． 10．已知函数ln ()xf x x x=-，则 A ．()f x 的单调递减区间为()0,1 B ．()f x 的极小值点为1C ．()f x 的极大值为1-D ．()f x 的最小值为1-【答案】 C ．【解析】 2221ln 1ln ()1x x x f x x x---'=-=．令2()1ln x x x ϕ=--，则1()20x x x ϕ'=--<，所以2()1ln x x x ϕ=--，在(0,)+∞上单调递减．因为()10ϕ=，所以当01x <<时，()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ<．所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为 ()1,+∞，故()f x 的极大值点为1，()() 11f x f ==-极大值，故选C ． 11. 已知2021220210122021(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++，则0122021a a a a ++++=（ ）A. 40422B. 1C. 20212D. 0【答案】A【解析】因为20212021(2)[3(1)]x x -=-+的展开式中，0a ，2a ，4a ，…，2020a 都大于零，而1a ，3a ，5a ，…，2021a 都小于零，所以012202102420201()(a a a a a a a a a ++++=++++-+.352021)a a a ++++，令2x =-，则2021012345202020214a a a a a a a a -+-+-++-=所以404201220212a a a a ++++=，故选答案A.12．已知斜率为k 的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C的准线上一点(1,1)M --满足0MA MB ⋅=，则AB = A ． B ．C ．5 D ．6【答案】 C.【解析】（湖北咸宁吴威）由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为()1,0F ．因为直线l 过抛物线的焦点(1,0)F ，所以直线l 的方程为(1)y k x =-． 因为0MA MB ⋅=，所以M 在以AB 为直径的圆上．设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2112224,4,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相减可得1212124y y k x x y y -==-+． 设AB 的中点为()00,Q x y ，则02y k =．因为点()00,Q x y 在直线l 上， 所以0221x k =+，所以点2221,Q kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是以AB 为直径的圆的圆心．由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+， 因为222222221QM r k k ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222222212k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2k =-，所以弦长2AB r =222222254k ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13. 若1tan 2α=，22sin sin cos a αα+=_______. 【答案】45. 【解析】因为1tan ,2α=所以2222222sin sin cos 2tan tan 42sin sin cos sin cos tan 15ααααααααααα+++===++.14. 已知双曲线2212:1(0)4x y C b b-=>的右焦点为F 20y -=，点P 为双曲线1C 与圆()()2222:30C x y r r ++=>的一个交点，若4PF =，则双曲线1C 的离心率为______；r =______. 【答案】32，8. 【解析】设2F 为双曲线2212:14x y C b-=的左焦点，因为2a =20y -=，所以b =32. 圆2C 的圆心为双曲线1C 的左焦点，连接2(PF 图略). 因为||4PF =，所以P 在双曲线的右支上，由2||24PF PF a -==，得28r PF ==.15. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，(2)3()f x f x +=恒成立，且当(]0,2x ∈时，()2x f x =，则(7)f =______ 【答案】54【解析】因为(2)3()f x f x +=，所以23(7)3(5)3(3)3(1)54f f f f ====. 16. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶. 它是由一块正方形，一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形. 如图所属的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为 . 【答案】564. 【解析】（河南 李万锋） 由图可知，()114P -=，()128P -=，()138P -=，()104P =，()118P =，()1216P =，()1316P =， 所以两次投中分值之和为2的概率为1111115221641648864⨯⨯+⨯⨯+⨯=. 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题:共60分.17. （本题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和n S 满足*11()n n a S n +=+∈N .(1)求n S ； (2)记11n nn n n S S b S S ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n n S =-；(2)11121n n T +=---11230-2-3【解析】(1)当2n ≥时，11n n a S -=+，所以11n n n n n a a S S a +--=-=，即12(2)n n a a n +=≥. 在11n n a S +=+中，令1n =，可得211a a =+. 因为11a =，所以212a a = 故{}n a 是首项为l ，公比为2的等比数列， 其通项公式为12n n a -=，所以1121n n n S a +=-=- (2)因为111111112121n n n n n n n n n S S b S S S S ++++-==-=---所以11111111(1)()()1337212121n n n n T ++=-+-++-=---- 18．（本题满分12分）2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目．为了建设相应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量y （单位：万只）与相应年份代码x 的数据如下表：（1）由表可知y 与x 有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为2:3，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元／只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元／只．为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种山羊各100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如下表：以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各养殖时间 的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合（1）中所 求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全 部及时卖完）．（利润＝卖山羊的收入－山羊的养殖成本） 参考公式及数据：回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆnnii i ii i nni ii i xx y y x ynxy b x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-答案（1）ˆ29y x =+（2）8800（万元）．解析（湖北咸宁吴威）（1）因为123456 3.56x +++++==，111316152021166y +++++==，所以2222222.5(5)( 1.5)(3)(0.5)00.5(1) 1.54 2.5535ˆ2( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5b-⨯-+-⨯-+-⨯+⨯-+⨯+⨯===-+-+-+++ 可得ˆ162 3.59a=-⨯=． 所以y 与x 之间的线性回归方程为ˆ29yx =+ （2）由（1）可知，当8x =时，可得ˆ25y=， 其中甲品种山羊有225105⨯=万只，乙品种山羊有325155⨯=万只． 由频率估计概率，可得甲品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，所以甲品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为60.270.3580.3590.17.35⨯+⨯+⨯+⨯=（月）．由频率估计概率，可得乙品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月 和9个月的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2所以乙品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为60.170.380.490.27.7⨯+⨯+⨯+⨯=（月） 养殖每只甲品种山羊利润的期望为25007.3530025002205295-⨯=-=（元） 养殖每只乙品种山羊利润的期望为27007.730027002310390-⨯=-=（元） 故2022年该县养殖山羊所获利润的期望为10295153908800⨯+⨯=（万元）． 19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒. （1）证明：平面ABC ⊥平面11A ACC ；（2）若113CP CC =，求二面角1P A B A --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）35⎫⎪⎪⎝⎭.【解析】（河南 李万锋）（1）证明：如图，连接1A C ，在1A AC △中，12A A =，1AC =，160A AC ∠=︒,由余弦定理得1AC = ……1分 ∴22211AC AC A A +=，∴1AC AC ⊥， ……2分 ABC A 1B 1C 1P同理1A C BC ⊥. ……3分 又∵BCAC C =，∴ 1AC ⊥ 平面ABC . ……4分 ∵1AC⊂平面11A ACC ，∴平面ABC ⊥平面11A ACC . ……5分 （2）解：以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()1,0,0A，12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0C，(1A，13P ⎛- ⎝⎭. (1AA =-,32AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,112A B ⎛=- ⎝,11,0,3A P ⎛=- ⎝⎭. 设平面1A AB 的一个法向量为()111,,m x y z =.，则111110302m AA x m AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ， 令11z =，得1222122102103n A B x y n A P x z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩. 设平面1PA B 的一个法向量为()222,,n x y z =.，则1222122102103n A B x y n A P x ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ， 令21z =，得()23,0,1n =-. ∴5cos ,1313m n m n m n⋅===-， 又∵二面角1P A B A --为锐角，∴二面角1P A B A --的余弦值为513. 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222+1(0)x y E a b a b=>>：的离心率为12，椭圆上的点离右焦点F 的最短距离为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l （斜率不为0）经过F 点，与椭圆E 交于A ，B 两点，问x 轴上是否存在一点P，使得B 1PA AF PBBF=？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在(1,0)P ，(4,0)P 满足题意. 【解析】（1）因为12c e a ==，所以2a c =，因为椭圆上的点离右焦点F 的最短距离为1a c -=所以2a =，1c =，b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）当P 与F 重合时，显然符合题意；当P 与F 不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(,0)P t . 联立方程组221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩得()2234690m y my ++-=， 则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. 因为||||||||PA AF PB BF =，所以PF 为APB ∠的角平分线， 所以12120PA PB y yk k x t x t+=+=--， 即()()12210y x t y x t -+-=整理得()12122(1)0my y t y y +-+=， 即22962(1)03434m m t m m ⎛⎫⎛⎫⋅-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得4t =，故存在(1,0)P ，(4,0)P 满足题意. 21．（本题满分12分）已知函数()e 2x f x x ax a =-+．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）310x y --=；（2）()e,⎛+∞ ⎝．【解析】（1）当1a =-时，()e 21x f x x x =+-， 则()()1e 2x f x x '=++，所以()03f '=，()01f =-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为310x y --=；（2）因为()f x 有两个零点，所以方程()0f x =有两个不同的根，即关于x 的方程()e 21x x a x =-有两个不同的解， 当12x =时，方程不成立，所以12x ≠， 令()e 21x x g x x =-，则y a =与()e 21xx g x x =-的图象有两个交点， 且()()()()()()22221e 121e 2121xx x x x x g x x x ---+'==--， 当1122x -<<或112x <<时，()0g x '<，当12x <-或1x >时，()0g x '>， 所以()g x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增， 所以当12x =-时，()g x取得极大值12g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当1x =时，()g x 取得极小值()1e g =，因为e >，且当0x <时，()0g x >， 所以实数a的取值范围为()e,⎛+∞ ⎝．(二)选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1(12x t t y t =-⎧⎨=-+⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2212sin 3ρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）已知点(1,1)P -，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+. 【答案】（1）C ：22143x y +=，l ：210x y +-=； 【解析】 （1）由112x t y t =-⎧⎨=-+⎩，得210x y +-= 即直线l 的普通方程为210x y +-=…………2分 由2212sin 3ρθ=+，得222sin 312ρθρ+=，因为sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以223412x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=…………5分（2）直线l 的参数方程为112x t y t =-⎧⎨=-+⎩，化为标准形式为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩…………6分 代入223412x y +=，得219250t --=设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=，1225019t t =-<…………8分 可知1t ，2t异号，所以12121211192519t t PA PB t t -+====………10分 23. [选修45-;不等式选讲](10分)已知函数()|2|||(0)f x x t x t t =--+>.(1)当1t = 时,求不等式()1f x 的解集;(2)若2()t f x 对任意的x R ∈恒成立,81t M t t +=+-, 求M 的最小值. 【答案】（1）不等式()1f x 的解集为(,0]-∞；（2）M 的最小值为8【解析】(1)当1t =时,()|2||1|f x x x =--+.当1x <-时,2131x x -+++=恒成立,所以1x <-; 1分 当12x - 时, 由211x x -+--, 得0x , 所以10x -； 2分 当2x >时,211x x ---不成立. 3分 所以不等式()1f x 的解集为(,0]-∞. 5分(2)因为2()t f x 对任意的x ∈R 恒成立,所以2max ()t f x . 6分 因为()|2||||2|3||f x x t x t x t x t t =--+---=, 所以23||t t . 7分 因为0t >, 所以3t . 8分8912292811t M t t t t +=+=-+++=--, 当且仅当911t t -=-, 即4t =时取等号. 所以M 的最小值为8. 10分 评分细则：第(1)问也可以先将()f x 写成分段函数,再结合函数单调性解答,解答正确则正常给分; 第(2)问中没有说明取等条件,扣1分.。
金太阳理科高三数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，那么f(x)的对称中心是（）A. (0, 0)B. (1, -2)C. (-1, 0)D. (0, -2)2. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = -x^2B. y = x^3C. y = e^xD. y = log2x3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，那么第10项a10的值是（）A. 21B. 23C. 25D. 274. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x^2 + 1 > 0B. 对于任意实数x，x^2 - 1 < 0C. 对于任意实数x，x^2 - 1 > 0D. 对于任意实数x，x^2 + 1 < 05. 已知函数f(x) = |x - 1|，那么f(x)的值域是（）A. [0, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 1]D. (-∞, +∞)6. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a = 5，b = 6，c = 7，那么△ABC的面积S是（）A. 12B. 15C. 18D. 217. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，那么第5项a5的值是（）A. 18B. 24C. 27D. 308. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x^2 + 1 ≥ 0B. 对于任意实数x，x^2 - 1 ≤ 0C. 对于任意实数x，x^2 - 1 ≥ 0D. 对于任意实数x，x^2 + 1 ≤ 09. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么f(x)的图像与x轴的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a = 3，b = 4，c = 5，那么△ABC的外接圆半径R是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
金太阳高三数学24C(理科)答案
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