大学物理 电磁感应

有 旋
二、麦克斯韦假设
假空设EE间1id.的变ldl总化电的E场磁(1d)：场d dtm激l发E电Eddi场tEdSl(1B)感dES生i 电Bt场SdESiBt(E d(2S) )
L
L
L
S
E dS E (1) dS Ei dS
q内
S
S
S
0
电磁学的对称性与完整性：
1861年麦克斯韦想把安培环路定理推广到 非恒定电流的情况。他注意到上图电容器在
充放电时，其中的电场是变化的，
他大胆假设：
变化的电场可等效为一种电流， 变化的电场和磁场相联系 !
充电过程 定义位移电流
Id
dq dt
0
d e dt
0
E
dS
t
s (t) s (t)
位移电流的本质是变
化的电场
S
对螺线管: L 0n2V
Wm
1 2
0n2VI
2
I
B 0nI
1
2 0
n
2
I
2
V
2 0
B2 V
20
B2
wm 20
磁能密度：wm
B2
20
1 HB 2
B2
磁场能量 ：Wm
V
dV
2 0
对任何磁场 普遍有效
积分应遍及磁场存在的全空间。
wm
1 2
B2
1 2
HB
比较
we
1 2
E 2
1 2
DE
磁场能量密度
L
dt dt
例：半径为R的平板电容器 均匀充电
dE dt
c
内部视为真空
求：I d (忽略边缘效应)
+R
-
( ) 解：
Id
0
de dt
d
0 dt
EπR2
0
dE dt
πR2
方向
Id
0
dE dt
πR2
R
dE dt
0
充电
dE dt
<
0
放电
作业册 44 页 1. 2.
I d 方向与外电路传导电流方向一致
i2
12
d12 dt
12
M12
di2 dt
M di
dt
可以证明，对两个给定的线圈有： M21 M12 M
式中“-”表示方向，电流增大则感应电流（电动势）与 原电流相反；反之电流减小则感应电流（电动势）与
原电流同向。
M 就叫做这两个线圈的互感系数，简称为互感。
1）单位：亨利（H），毫亨（mH），微亨（μH）
L就是这种能力大小的量度，它表征导体回路电磁惯
性的大小。
➢L的计算：假设通以电流i和计算磁通链数y来
求自感系数L。
例：求长直螺线管的自感系数L，已知总长度l，
总匝数N，截面面积S,单位长度上的匝数n.
解：设通以电流i B 0ni
B
m 0niS
i
Nm N0niS
L
i
N 0 nS
0nSN
l l
Ic S1
S2
具有电流的量纲
2.全电流
➢一般情形下，通过空间某截面的电流应
包括传导电流与位移电流，其和称全电流
I Ic Id
Ic
0
de dt
Ic 0
E
dS
t
➢全电流是连续的，
麦克斯韦将安培环路定理推广为
全电流定律
B dl 0 (Ic Id ) 0 (Ic 0
E
dS )
互感和自感
一、互感现象和互感电动势:
当线圈 1中的电流变化时,所激发的磁场会在它邻近的另 一个线圈 2 中产生感应电动势，这种现象称为互感现象。 该电动势叫互感电动势。
1
i1
21 2
21 B1 I1
Ψ 21 M 21 i1
21
d21 dt
21
M
21
di1 dt
1 12
2
Ψ12 M 12 i2
电缆单位长度的自感:
L
lI
0 2
ln R2 R1
计算长为l的电缆所具有的磁能？
Wm
0I 2l 4
ln
R2 R1
2） 互感系数为线圈本身的性质，与两线圈中 是否通有电流无关，仅与两线圈的几何因 素、相对位置和周围介质有关。
M 12 21
i2
i1
为算M，给线圈1或2通电均
可到底给谁通电?
当然是选择最方便的。
例：计算同轴螺线管的互感
N1
N2
两个共轴螺线管长为 L，匝数 分别为N1 、N2，截面积相同均 为S,管内真空。 解：给螺线管1通以电流I1
B1 n1 0 I1
I1
l
线圈1产生的磁场通 过线圈2的磁通链数
21 B1S
N2 0n1I1SN2
由互感定义
M
21 I1
0n1 SN 2
L L
0 n1 n2V
思考：两螺线管如何放置互感最大？
如何放置互感最小？
二、自感
➢实验现象：
当线圈中电流变化时，它所激发的磁
i
场通过线圈自身的磁通量也在变化，
自感为 L的线圈,通有电流 I时，
在其周围建立了磁场，所储存
L
的磁能根据功能原理，应该等
于这电流消失时自感电动势所
k
做的功.
dA Ldq
L
di dt
idt Lidi
功能原理 自
感
A
o I
Li
di
1 2
LI 2
WL
磁 能
通电I线圈储能（自感磁能）:
WL
1 2
LI 2
二、磁场能量Wm :
例.对于单匝线圈取自感系数的定义式为
L=fm/I , 当线圈的几何形状、大小及周围介
质分布不变，且无铁磁性物质时，若线圈 中的电流强度变小，则线圈的自感系数 L
（A）变大，与电流成反比关系。 （B）变小。 （C）不变。 （D）变大，但与电流不成反比关系。
[C]
§5 磁场的能量
一、 通电线圈储能（自感磁能）: L
➢电场 起因
➢磁场 起因
静电场 静止电荷
稳恒磁场 恒定电流
感生电场
dB dt 感生磁场？
dE ? dt
Maxwell 从电流的连续性入手得到了突破
假设2.变化的电场 位移电流 感生磁场
1.位移电流概念
传导电流不连 续引起矛盾
S
Ic S1
S2
B dl L
0Ic
矛盾
B dl 0 0 0 L
电场能量密度
§6 麦克斯韦方程组 一、真空中静电场E（1）与稳恒磁场B（1）的基本定理
静电场的 高斯定理
E（1）
dS
q内
0
有 源 、
环路定理
E (1) dl 0 L
无 旋
稳恒电流磁场 的高斯定理
B(1) dS 0
无 源
、
稳恒电流磁场的 安培环路定理
B(1) dl 0
L
I内
3）物理意义：一个线圈中通有单位电流时，通 过线圈自身的磁通链数，等于该线圈的自感系 数。
➢自感电动势
L
dm dt
L di dt
大小： L
L di dt
方向：阻碍线圈中原有电流的变化
L越大，线圈中电流越不易改变 L越小，改变线圈中电流较容易
i(t)
L
i(t)
L
所以说，任何导体线圈都有维持原电路状态的能力，
使线圈自身产生感应电动势，叫自感
现象.该电动势叫自感电动势.
dm
dt
全磁通与回路的电流成正比： m Li
dm L di
dt
dt
➢ 称 L为线圈的自感系数,简称自感或电感。
m Li
L m N m
i
i
1）单位：亨利（H）毫亨（mH），微亨（μH）
2）L与线圈中是否通有电流无关，仅与线圈自 身几何结构、及周围介质有关
全电流是连续的
如图，平板电容器（忽略边缘效应）充电时
，沿环路L1、L2磁场强度的环流中，必有：
(A) (B)
蜒 蜒 LL11HHrr
dl dl
L2LH2rHr
dl dl
(C)
(C) 蜒 L1 Hr dl L2 Hr dl
(D) ÑL1 Hr dl 0
习题指导P109 1
例.无限长直导线与矩形线圈共面，线圈中通以电流
t
3.位移电流的磁场 感生磁场 B(2)
B(2) dl 0Id 0 0
E
dS
t
空间总磁场
B B(1) B(2)
B dl 0 (Ic Id ) 0 (Ic 0
E
dS )
t
B dS B(1) dS B(2) dS 0
三、麦克斯韦方程组的积分形式
添在相应结论后的空白处。
（Ａ）变化的磁场一定伴随有电场 （２）
（Ｂ）磁感应线是无头无尾的 （Ｃ）电荷总伴有电场
（３） （１）
习题指导P110 6 。 在没有自由电荷与传导电流的变化的电磁场中，
沿闭合环路l（设环路包围的面积为S）
E dl
L
d m dt
S
B
dS
t
H dl
de dD
i I0 sint ，求直导线中的感应电动势。
分析：
i
M
di dt
应先计算M
a
假设在直导线中通以电流 I
dr
r
可计算出通过线圈的磁通量 φ21
h
由 Φ21 MI 得到 M