导数的概念及其应用

导数的概念与计算

一、基础知识

1、几何意义：函数)(x f y =在点x=0x 处的导数是曲线)(x f y =在

))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.

2、几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数）. (2) 1

)'(-=n n

nx x . (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -='.

(5) x x 1)(ln =

'；e

a x x a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x

x ln )(='.

4、导数的运算法则

（1）)(')('))'()((x g x f x g x f ±=±

（2）)(')()()('))'()((x g x f x g x f x g x f += （3）)

()

(')()()(')')()((

2

x g x g x f x g x f x g x f -=. 备注：准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：

（1）直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．

（2）曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3

在其过（0,0）点的切线y ＝0的两侧． 二、典型例题

1、求曲线132

3

+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程

2、若直线y=x 是曲线ax x x y +-=233的切线，则a=

3、若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 .

导数几何意义的应用，需注意以下两点： (1) 当曲线y ＝f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；

(2) 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程是y －f （x 0）＝f ′（x 0）（x －x 0）；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．

4、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e )＋ln x ，则f(e )＝________ 三、随堂练习

1、（2016年全国II 卷） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.当

4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程

2、（2016年全国III 卷）已知为偶函数，当 时，

，则曲线在点处的切线方程式

_____________________________. 3、[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则 a ＝________．

4、[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．

5、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a

2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.求b ；

6、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.求a ；

7、[2012·课程标准卷] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．

8、[2011·课标全国卷] 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b

x

，曲线y ＝f (x )在点

(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.求a ，b 的值；

导数的综合应用

()f x 0x ≤1()x f x e x --=-()y f x =(1,2)

一、基础知识

1．函数的单调性

在某个区间（a，b）内，如果f′（x）>0，那么函数y＝f （x）在这个区间内单调递增；如果f′（x）<0，那么函数y＝f （x）在这个区间内单调递减．

2．函数的极值：一般地，当函数f（x）在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，那么f（x0）是极小值．

3．函数的最值：设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f（x）在（a，b）内的极值；

②将f（x）的各极值与f（a），f（b）进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

备注：可导函数的极值点x0一定满足f′（x0）＝0，但当f′（x1）＝0时，x1不一定是极值点．如f（x）＝x3，f′（0）＝0，但x＝0不是极值点．

二、典型例题

（一）函数的单调性

例1、[2012·课程标准卷] 设函数f(x)＝e x－ax－2.)求f(x)的单调区间；

解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x－a.

若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；

当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，

所以，f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增．

【技巧点拔】求函数单调区间的步骤：

（1）确定函数y＝f（x）的定义域；

（2）求导数y′＝f′（x）；

（3）解f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.

随堂练习

1、（2016年全国III卷）设函数．讨论的单调性

2、（2016年全国卷Ⅰ）已知函数.

讨论的单调性。

3、[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．讨

论f(x)的单调性

例2、已知函数f（x）＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实

数a的取值范围为

解：依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋a≥0恒成立，所以Δ＝4a2

－12a≤0，解得0≤a≤3.

由函数单调性求参数的范围：

（1）转化为不等式的恒成立问题，即“若函数f（x）单调

递增，则f′（x）≥0；若函数f（x）单调递减，则f′（x）≤

0”来求解.

（2）f（x）为增函数的充要条件是“对任意的x∈（a，b），

都有f′（x）≥0且在区间（a，b）内的任一非空子区间上f′

（x）≠0”.

随堂练习

1、（2016年全国I卷）若函数

1

()sin2sin

3

f x x-x a x

=+在

()

,

-∞+∞单调递增，则a的取值范围是

（A）[]

1,1

-（B）

1

1,

3

⎡⎤

-⎢⎥

⎣⎦

（C）

11

,

33

⎡⎤

-⎢⎥

⎣⎦

（D）

1

1,

3

⎡⎤

--

⎢⎥

⎣⎦

2、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f(x)＝kx－ln x在区

间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )

A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]

C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)

3、已知函数f(x)＝

1

2

ax2＋2x－ln x，若f(x)在区间[

1

3

，2]

上是增函数，求实数a的取值范围．

（二）函数的极值与最值

()ln1

f x x x

=-+()

f x