中国科学院研究生院《近代固体物理分析方法》第五章

对于电子散射，只有在由轻元素组成的薄物样的情况， 弱相位物近似才有可能成立。
相位物体和相位衬度
• 相位物体具有较高的透明度，各部分间的质厚差别 不明显显微镜中，光波通过时，只改变入射光波的 位相而不改变它的振幅。
ex p ( i ( x , y )) 1 i ( x , y )
( x , y , R ) e x p ( i k 0 R ) [ q ( x , y ) P ( x , y )]
P(x, y)
1 il R exp(
ik ( x
2
y )
2
2R
)
称其为菲涅尔传播函数 (Fresnel Propagation Function)， 它是描述电子波近场传播的基本函数．
JEM2100-HRP 球差系数:1.0mm,点分辨率:0.23nm；
球差校正电镜 Haider等用六级校正器系统补偿200kV电镜的球差，校正后 的球差系数可为很小的值(甚至为负球差)。这时，电镜的点 分辨率可以达到信息分辨率水平。
M.Haider et al. Nature 392 (1998) 768 M.Haider et al.Ultramicr. 75 (1998) 53
q(-Mx,-My)
(g)=Dflg2+0.5Csl3g4
衬度传递函数与Scherzer最佳欠焦条件
用方框图的形式表示的电子显微镜中发生的信息转换过程
把物镜像差和离焦等电子显微镜成像系统对成像过程的影 响，归结为对物镜后焦面上传递的信息的一种调制作用。 输出信息与输入信息之间的关系是：
F (u , v ) F (u , v ) T (u. v )
对于由较轻元素原子组成的薄物样，忽略吸收可以认为入 射电子波沿着z方向传播过用 ( x , y ) 描述的电势场后，在 试样出射面各点处电子波仅存在相位差异，称为相位物：
q ( x , y ) exp( i ( x , y ))
弱相位物近似
当 ( x , y ) ( x , y ) 1 时，称散射物为弱相位物， 可以省略透射函数级数展开式中的高次项，得到
C ( x , y ) 2 ( x , y ) F T {sin ( u , v )}
在 后焦面则为二者付立叶变换的乘积 函数c o s ( u , v ) 和 sin ( u , v )分别描写了系统对弱振幅物和弱 相位物的衬度传递特征。称 sin ( u , v )为成像系统的相位传递 函数，由于在大量的高分辨工作中研究的是相位物问题，一
像强度分布则是： ( x , y ) ( x , y ) * ( x , y ) I
1 2 ( x , y ) F T { co s ( u , v )} 2 ( x , y ) F T { sin ( u , v )}
当 <<

时，等式右侧中的第二项可忽略，衬度则是
般认为相位传递函数 判定指标。
sin ( u , v ) 是电子显微镜分辨本领的科学的
ScheLeabharlann Baiduzer 欠焦条件
图5 在100kV加速电压下，球差系数为 C S =2mm、欠焦量 f 0、－50、 D －105和－120nm时计算的a. sin ( u , v ) 和b. c o s ( u , v ) 曲线
加速电压增加， 点分辨率提高
球差系数减小， 点分辨率提高
提高电镜的点分辨率的途径是：

提高加速电压 JEM2010F-点分辨率
200kV 0.19nm； 超高压电镜1MV以上，
JEM3010F-点分辨率 300kV 0.17nm; 3.5MV 0.1nm

减小球差系数 JEM2100-URP 球差系数:0.5mm,点分辨率:0.19nm；
透射电镜的点分辨率
•
为了避免传递函数的高空间频率振荡引起像衬度的复杂化， 用适当尺寸的物镜光阑，刚好挡住所有高频振荡部分，只让 对应传递函数的平台部分的衍射束通过。 传递函数平台的宽窄直接影响到高分辨像上可以直接解释的 结构分辨极限。 ( u , v ) 1 的平台展开越宽，对于弱相位 sin 物，可以直接用势函数投影来解释的结构细节越细。 规定在 Scherzer 欠焦条件下的 sin ( u , v ) 曲线与横坐标的第 一交点对应的空间频率的倒数为电子显微镜的点分辨率。
• 必须将光的相位差转变为人眼可以察觉的振幅差 （明暗差）称相位衬度。
Zernike 相位衬度 振幅为1的单色光波传播过厚度为 的均匀介质，物出射波正比于
q ( x ) ex p ( 2 i t ( x )
t(x)
、折射率为
l
)
其强度变化很小
I 0 SC 0
高分辨电子显微术
内容提要
• • • • • 菲涅尔衍射、夫琅和费衍射 相位物与Zernike 相位衬度 衬度传递函数与Scherzer最佳欠焦条件 相位物和弱相位物 电镜的点分辨率和电镜的信息分辨率
GeSi/Si
• 分辨率的Rayleigh判据
dmin = 0.61l/NA （Cs=0，单色光） • Scherzer （1936）指出电镜的分辨率主要 是由物镜球差和色差决定的。 点分辨率=0.66Cs1/4l3/4（单色电子源）
菲涅尔衍射、夫琅和费衍射
从平面波入射的基尔霍夫公式出发，有
up i 2l
e x p ( ik
0
r) q( X ,Y )
e x p ( ik r ) r
(1 c o s ) d s
称
q ( X , Y ) 为透射函数。
平面波入射基尔霍夫公式的简化
菲涅尔衍射（Fresnel Diffraction)
(1 c o s ) e x p ( i k r 0 )

还可以写为：
(u, v ) c
q ( X , Y ) exp(2 i (uX

v Y )) d X d Y
对于夫琅和费衍射（远场情况），观察平面上获得倒易空间 （动量空间）图像，波函数分布是物平面上透射函数的傅里 叶变换。傅里叶变换是处理远场问题，计算夫琅和费衍射复 振幅和强度分布的数学工具。
•
•
弱相位物近似 + 可以直接解释的高分辨像 Scherzer 最佳欠焦条件
图6 C S 2 m m选择不同的加速电 压在各自的Scherzer欠焦条件下计 算的 sin ( u ) 曲线，
图7球差系数分别为2.0、1.2和 0.7mm的电子显微镜，加速电 压为100kV各自在Scherzer 欠焦 条件下计算的 sin ( u ) 曲线
• 点阵像揭示晶体的平移周期性。
• 结构像揭示单胞内原子或原子集团的投影位置分布。
透射函数
电子波照射物样，受到物透射函数的调制，波振幅和相位 会有相应的变化。透射函数可记为：
q ( x , y ) exp( i ( x , y ) ( x , y ))
定义 ( x , y ) 为投影吸收函数，表示散射导致电子波振幅的 衰减。
夫琅和费衍射（傅里叶变换）
菲涅尔衍射（乘积与卷积） 衍射的远场（夫琅和费衍射）条件与 近场（菲涅尔衍射）条件
样品射出波在像平面重构成像
象平面
exit ( x, y )
傅里叶变换
a(k x , k y )
exit ( Mx, My)
CTF
二次傅里叶变换
点阵像与结构像
高分辨像可以分为
点阵像与结构像
推导见 王蓉 著《电子衍射物理教程》
在弱相位物近似下，物透射函数可写为
exp( i ( x , y ) ( x , y )) 1 i ( x , y ) ( x , y )
傅里叶变换得到物镜后焦面上的波场分布：
F (u , v ) (u , v ) i (u , v ) M (u , v )
Scherzer 最佳欠焦条件。
在 Scherzer 最佳欠焦条件下，成像系统对在平台范围内
（即曲线与横坐标第一个交点前）的所有衍射波近似地进 行相同的－

2
相位调制，对于透射束则是零相位调制。这
些经过调制的衍射波如同通过了一个Zernike相位板一
样，将反映原子尺度结构细节（即势函数）的相位分布转 化为可观察到的像上衬度分布。
引进小角近似（用抛物线面代替球面波），得到菲涅尔衍射公式：

q ( X , Y ) exp( 菲涅尔衍射公式实际上是卷积运算，即 il R
(x, y, R) exp( i k 0 R )

1
i k [( x X )
2
(y Y) ]
2
2R
) dXdY
其中，
• 选择非Scherzer 欠焦条件，使平台向高频区移动，让高频 信息得到更好的传递，但得到的像不可以直接解释，需用 像模拟、 出射波重构或像解卷等图像处理方法来揭示投影 结构，一般重构像的分辨率要高于电镜点分辨率。
d3
d2 d1
Es(g) Et(g)
CTF=A(g)exp(i(g))Es(g)Et(g)
Scherzer最佳欠焦条件
对于一个确定的电子显微成像系统（加速电压确定、球差 系数 C S 确定），总是可以选择到一个最佳的欠焦 使得
sin ( u , v ) 1
D f 值，
的平台展开最宽，称这个欠焦条件为
'
衬度传递函数的相位项

2
(u, v ) D f l (u v )
2 2
C S l (u v )
3 2 2
2
不考虑衬度传递函数的振幅项时，传递函数是
ex p ( i ( u , v )) co s ( u , v ) i sin ( u , v )
函数co s ( u , v ) 和 sin ( u , v ) 由球差系数 C S 、电子波长 l （取决于加速电压）以及离焦量 D f 所决定，随坐标( u , v ) （即，散射角 ）而起伏的复杂函数。
将传递函数的调制作用引进物镜后焦面，这里，先不管传递 函数的振幅项的作用，得到
( u , v ) [ ( u , v ) i ( u , v ) M ( u , v )] ex p ( i ( u , v ))
( u , v ) ( u , v ) sin ( u , v ) M ( u , v ) cos ( u , v ) i ( u , v ) cos ( u , v ) iM ( u , v ) sin ( u , v )
exp( i ( x , y ) ( x , y )) 1 i ( x , y ) ( x , y )
弱相位物近似是个苛刻的近似
当加速电压为200kV时，作用常数 0 . 00729 (伏特-1纳米-1)， 对于Au、C和中等质量原子满足弱相位物近似目前公认的厚度 范围是： Au，约1nm； C，6nm； 中等质量原子，1－2nm。
2 2 2
如果将散射波的 位相改变 / 2 即
I ( 0 SC )
2
合成波振幅
2
0 2 0 SC
阿贝成像理论
e
FT
q(x)
光栏 函数 像差 函数
Q(g)*CTF(g)=Q’(g)
空间衰减 包络函数 时间衰减 包络函数
FT
CTF=A(g)exp(i(g))Es(g)Et(g)
推导见 王蓉 著《电子衍射物理教程》
夫琅和费衍射（Fraunhofer Diffraction)
引进远场近似（像远小于传播距离），得到夫琅和费衍射公式

(l, m ) c
q ( X , Y ) e x p ( ik ( lX

m Y )) d X d Y
c
1 i 2 l r0
透射电镜的信息分辨率
•
色差和束发散产生的衰减包络函数使得高空间频率 的结构信息极大地衰减。将相位传递函数振幅衰减到 37％的分辨极限标线与衰减包络函数曲线的最远交点 对应的空间频率的倒数规定为电子显微镜的信息分辨 率。
•
相对于非场发射枪电镜，场发射枪电镜电子波源的 相干性有很大提高，有高的信息分辨率。