2017届函数的奇偶性、周期性--学生版.docx

函数的奇偶性.周期性

例1、函数奇偶性的判断

(B) y = sinx (C) y = lnx (D) y = x 2+l

5、定义域为R 的四个函数歹=兀2+1, y = 3”，y=|x+l|, y = 2cosx 中，偶函数的个数是(

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

例2、函数奇偶性的应用：

⑴判断/(兀)的奇偶性；⑵证明：f(x)>0. 牛刀小试：

1.函数y 二f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y 二f(x) • g(x)的图象可能是(

下列函数：①/(x) = Jl-兀2

+ Jx 2 -1 ；② /(x) = X 3

1 — V

⑤如弋苗。其中奇函数的个数是(

)。

A. 2

B. 3

C. 4 牛刀小试：

1、判断下列函数的奇偶性：

(l)f (x) =X

：｛

——;

D. 5

(3)f (x) = (x —1)

1+x

⑷ f (x) = ^3—x 2H-A /X 2—3 .

2、［2015高考福建, 理2】下列函数为奇函数的是(

)

A. y = y/x

B. y=sin«r|

C. y = cosx

3、【2015髙考广东, 理3】下列函数屮, 既不是奇函数，也不是偶函数的是(

A. y = x + e x

1 B. y = x + —

x

C. y = 2v

+ — 丿 2J

4、【2015高考安徽, 理2】下列函数屮, 既是偶函数乂存在零点的是(

(A) y = cosx

已知/(^)=

1 1)

---------- 1 --

2r -l 2)

；③/(x) = lnlx+

4.

A. x 轴成轴对称图形

C.直线y 二x 成轴对称图形

例3、奇偶性、单调性的交汇问题 已知奇函数/(兀)的定义域为［-2,2］,且在区I 叫—2,0］单调单减，求满足/(l-m) + /(l-m 2)<0的实 数加的取值范闱。 牛刀小试：

1、已知函数/(兀)是定义在区间［-2, 2］上的偶函数，当xG ［0,2］时，/(兀)是减函数，如果不等式 /(l-m)

A.［—l*

B. 1, 2

C. (-oo,0)

D. (-=0,1)

例4、抽象函数的奇偶性

已知函数/(兀)的定义域为/?,且对任意的a,bwR 都有/(a+b) = /(Q )+ /(b),当兀〉0时，/(^)<0 恒成立

①证明：/(兀)是R 上的减函数；②证明：/(兀)是奇函数。

例 5、若函数 /(%) = (%+a)3 PxwR W/(l + x) = -/(l-x)求/⑵ + .f (-2)。 牛刀小试：

1、 设/(x)为定义在R 上的奇函数，当x>0时，/(x) = 2x +2x + /? (b 为常数)，则/(-1)=( )

A. 3

B. 1

C. -1

D. -3

2、 设函数/(x)为偶函数，且当xw [0,2)吋/(x) = 2sin x ,当兀w [2,+°°)吋fM - log?x ，则 71 /(~) + /(4)= A 、—V3 + 2

B 、1

C\ 3

D 、

V3 + 2

2、 函数y = lg ——

、 -1

/

的图象关于(

B. y 轴成轴对称图形 D.原点成中心对称图形

例6、函数的奇偶性与周期性

己知函数几0是(一8, +®)上的奇函数，且/(兀)的图象关于兀=1对称，当兀G ［0,1］时，几T) =2A-1,

(1)求证：/U)是周期函数；

⑵当炸［1,2］时,求夬兀)的解析式;

⑶计算用))+夬1)+/(2) +・・・+/(20⑶的值.

牛刀小试:

1、已知函数/(兀)是定义在/?上的以5为周期的奇函数,若/(3) > 0,

/(2012)=⑺+ 2)(°— 2),则a的取值范围是( )

A. (—oo,—

2)

C. (-2,2)

D. ( —oo, —2)kJ ( 2,

,

例7、奇偶性.单调性、周期性的交汇问题

设/U)是(一°°，+°°)上的奇函数，/(%+2) =-/%),当0W兀W1 时，Ax)=x.

⑴求血)的值;

(2)当一4W/W4时，求夬力的图象与x轴所围成图形的面积；

⑶写出(-oo, +oo)内函数/(兀)的单调增(或减)区间.

例8、函数周期的应用

设/(兀)是周期为2的奇函数，当0

\ 2丿

1 1 1

(A)-- (B)-- (C)-

2 4 4 牛刀小试：

1.

1

(巧

当0 5x51 时，/(x) = 2x(1- X),则 /(—2) = ____________

2、设屮刘是+ Q上的奇函数，且丁匕+2)=-亢Q，下面关于门刘的判定：其中正确命题的序号为 ______ .

③门刘的图象关于X — 1对称；④门刘的图象关于X — 1对称.

例9.函数的周期性与其他知识交汇已知函数/(兀)对任意实数兀满足/(x + l) = -

且当XG［-1,1］时，/(x) = x2o

(1)求于(2012)；

(2)确定函数/(x)的图象与函数y = lg x的图象交点的个数。

牛刀小试：

1、设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f (x+2) =—f (x),当xW［0, 2］时,f (x) =2x —x2.

(1)求证：f(x)是周期函数;

(2)当xe［2, 4］时,求f(x)的解析式；

(3)计算f(0) +f(l) +f(2) +・・・ + f (2014)的值.

高考赏析：

1、【2015高考新课标1,理13】若函数/U)二+ + )为偶函数，则—_________

2、［2015 高考湖南，理5】设函数/(x) = ln(l+x)-ln(l-x),则/(x)是( )

A.奇函数，且在(0,1)上是增函数

B.奇函数，且在(0,1)上是减函数

C.偶函数，且在(0,1)上是增函数

D.偶函数，且在(0,1)上是减函数3、设函数/(x), g(x)的定义域都为R,且/(x)是奇函数，g(x)是他幣数，则下列结论正确的是

A ./(x) g(x)是偶函数

B ,\ /(%) | g(X)是奇函数

C . f(x) | g(x) |是奇函数

D .| f(x) g(兀)|是奇函数

4、已知偶函数/(兀)在［0,+8)单调递减，/・(2)= 0.若/(兀一1)>0,则x的取值范圉是_______________

5、函数/(%)的定义域为R,若/(x + 1)与于(兀一1)都是奇函数，贝！1()

(A) /(%)是偶函数(B) /(X)是奇函数

(C) /(%) = /(x + 2) (D) /(x + 3)是奇函数

6・/(x-4) = -/(兀),且在区间［0,2］上是增函数，则( ).

A. /(-25) < /(II) < /(80)

B. /(80) < /(II) < /(-25)