应用多元统计分析课后题解答
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应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
29
第三章 多元正态总体参数的检验
3-2 设X～Nn(μ,σ2In), A，B为n阶对称阵.
若AB ＝0 ,证明X′AX与X′BX相互独立.
证明的思路：记rk(A)=r. 因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得
Γ ′AΓ=diag(λ1,…,λr 0,..,0) 令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In),
(2x12
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 2 1 2
1
2
exp
1
212
2 2
(1
2
)
[
2 2
(
x1
1 ) 2
21 2(x1
1)(x2
2
)
2 1
(
x2
2
)
2
]
比较上下式相应的系数,可得:
1 2
2 2
1 2
2
1
2 1
1
1 2 1
2 1
1
2
1/
21
2 2
2
2
2 1
21 22 21 21
f (x; , ) a
a0 (2 ) p/ 2 |
(x )1
|1/ 2 ,当0 a
(x )
1
ba02
时,
其中 b2 2 ln[a(2 ) p/2 | |1/ 2 ] 2 ln[aa0 ] 0, 20
第二章 多元正态分布及参数的估计
因 0,的特征值记为1 2 p 0, i对应
3-1 设X～Nn(μ,σ2In), A为对称幂等 阵,且rk(A)=r(r≤n),证明
证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的
第三章 多元正态总体参数的检验
3-2 设X～Nn(μ,σ2In), A，B为n阶对称阵.
若AB ＝0 ,证明X′AX与X′BX相互独立.
证明的思路：记rk(A)=r. 因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得
Γ ′AΓ=diag(λ1,…,λr 0,..,0) 令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In),
(2x12
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 2 1 2
1
2
exp
1
212
2 2
(1
2
)
[
2 2
(
x1
1 ) 2
21 2(x1
1)(x2
2
)
2 1
(
x2
2
)
2
]
比较上下式相应的系数,可得:
1 2
2 2
1 2
2
1
2 1
1
1 2 1
2 1
1
2
1/
21
2 2
2
2
2 1
21 22 21 21
f (x; , ) a
a0 (2 ) p/ 2 |
(x )1
|1/ 2 ,当0 a
(x )
1
ba02
时,
其中 b2 2 ln[a(2 ) p/2 | |1/ 2 ] 2 ln[aa0 ] 0, 20
第二章 多元正态分布及参数的估计
因 0,的特征值记为1 2 p 0, i对应
3-1 设X～Nn(μ,σ2In), A为对称幂等 阵,且rk(A)=r(r≤n),证明
证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇共174页文档
(2)证明(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
证明(1):任给x,当x≤-1时
P { X 2 x } P { X 1 x } ( x )
当x≥1时, P{X2x}
P{X2 1}P{1X2 1}P{1X2 x}
P{X11}P{1X11}P{1X1x}
它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
19
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-17 设X～Np(μ ,Σ ),Σ ＞0,X的密度函数记为 f(x;μ ,Σ ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面
5
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
XX X((1 2))~N2p ((1 2)), 1 2 1 2,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
或者记
Y Y Y 1 2 X X 1 1 X X2 2 1 1 1 1 X X 1 2 CX
则 Y ~ N 2 (C ,C C )
e e dx 2
2
2 1e 2 1 e dx 1 2(x1 28x1 1)6
1 2(x2x17)2 2
1(
1 e2
x14)2
2
X1~N(4,1).
类似地有
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
x1 y2 (2)第二次配方.由于 x y y 1 2 2
14
第二章
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2
多元正态分布及参数的估计
2 x x 2 x1 x2 22x1 14x2 65 y y 22 y2 14( y1 y2 ) 65 y 14 y1 49 y 8 y2 16 ( y1 7) ( y2 4)
X 1 X 2 ~ N ( 1 2 ,2 (1 ));
2
X 1 X 2 ~ N ( 1 2 ,2 (1 )).
2
5
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 2 , 2 1
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
3 解三:两次配方法
2 1 2 2 2 (1)第一次配方: 2 x12 2 x1 x2 x2 ( x1 x2 ) 2 x12
2 1 x1 2 1 1 1 1 1 因2 x 2 x1 x2 x ( x1 , x2 ) , 而 BB, 1 1 x2 1 1 1 0 1 0 y1 1 1 x1 x1 x2 2 2 2 2 令y , 则 2 x 2 x x x y y 1 1 2 2 1 2 y x x 1 0 2 1 2
12
第二章
1 2
多元正态分布及参数的估计
2 1
解二:比较系数法 1 1 f ( x , x ) exp 设 ( 2 x 2 2
1 21 2
2 x2 2 x1 x2 22x1 14x2 65)
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
因2x12
2x1x2
x22
(x1,
x2
)
2 1
11
x1 x2
,
而
2 1
11 11
1011
10 BB,
令y
y1 y2
11
1 0
x1 x2
x1
x2 x1
,
则2
x12
2x1x2
x22
y12
y22
(2)第二次配方.由于
xx12
y2 y1
y2
14
第二章 多元正态分布及参数的估计
2x12 x22 2x1x2 22x1 14x2 65
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 2 1 2
1
2
exp
1
212
2 2
(1
2
)
[
2 2
(
x1
应用多元统计分析课后答案-朱建平版
统计量 拒绝域
均值向量的检验： 在单一变量中 当已知 当未知
（作为的估计量） 一个正态总体 协差阵已知 协差阵未知
（） 两个正态总体 有共同已知协差阵 有共同未知协差阵
（其中 ） 协差阵不等 协差阵不等 多个正态总体 单因素方差 多因素方差 协差阵的检验 检验
检验 统计量
3.2 试述多元统计中霍特林
，使总平均损失达到极小。 基本方法： 令，则 若有另一划分， 则在两种划分下的总平均损失之差为
因为在上对一切成立，故上式小于或等于零，是贝叶斯判别的解。 从而得到的划分为 4.5 简述费希尔判别法的基本思想和方法。 答：基本思想：从个总体中抽取具有个指标的样品观测数据，借助方差 分析的思想构造一个线性判别函数 系数可使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样 品的个指标值代入线性判别函数式中求出值，然后根据判别一定的规 则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 4.6 试析距离判别法、贝叶斯判别法和费希尔判别法的异同。 答：① 费希尔判别与距离判别对判别变量的分布类型无要求。二者只 是要求有各类母体的两阶矩存在。而贝叶斯判别必须知道判别变量的分 布类型。因此前两者相对来说较为简单。 ② 当k=2时，若
0 10 210 543 0 876 30 10 9 8 5 2 0 由上表易知
中最小元素是 于是将
， ， 聚为一类，记为 计算距离阵
0 30 63 0 85 2 0
中最小元素是 =2 于是将 ， 聚为一类，记为 计算样本距离阵
0 30 63 0
中最小元素是 于是将 ， 聚为一类，记为 因此，
，其各自的分布密度函数，假设k个总体各自出现的概率分别为，，。设将 本来属于总体的样品错判到总体时造成的损失为，
。 设个总体
均值向量的检验： 在单一变量中 当已知 当未知
（作为的估计量） 一个正态总体 协差阵已知 协差阵未知
（） 两个正态总体 有共同已知协差阵 有共同未知协差阵
（其中 ） 协差阵不等 协差阵不等 多个正态总体 单因素方差 多因素方差 协差阵的检验 检验
检验 统计量
3.2 试述多元统计中霍特林
，使总平均损失达到极小。 基本方法： 令，则 若有另一划分， 则在两种划分下的总平均损失之差为
因为在上对一切成立，故上式小于或等于零，是贝叶斯判别的解。 从而得到的划分为 4.5 简述费希尔判别法的基本思想和方法。 答：基本思想：从个总体中抽取具有个指标的样品观测数据，借助方差 分析的思想构造一个线性判别函数 系数可使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样 品的个指标值代入线性判别函数式中求出值，然后根据判别一定的规 则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 4.6 试析距离判别法、贝叶斯判别法和费希尔判别法的异同。 答：① 费希尔判别与距离判别对判别变量的分布类型无要求。二者只 是要求有各类母体的两阶矩存在。而贝叶斯判别必须知道判别变量的分 布类型。因此前两者相对来说较为简单。 ② 当k=2时，若
0 10 210 543 0 876 30 10 9 8 5 2 0 由上表易知
中最小元素是 于是将
， ， 聚为一类，记为 计算距离阵
0 30 63 0 85 2 0
中最小元素是 =2 于是将 ， 聚为一类，记为 计算样本距离阵
0 30 63 0
中最小元素是 于是将 ， 聚为一类，记为 因此，
，其各自的分布密度函数，假设k个总体各自出现的概率分别为，，。设将 本来属于总体的样品错判到总体时造成的损失为，
。 设个总体
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答课件
则
W X X X X ( ( 1 2 ) ) X X ( ( 1 1 ) ) X X ( ( 1 2 ) ) X X ( (2 2 ) ) W W 1 21 1 W W 1 2 2 2 , 即
W 1 1 X ( 1 ) X ( 1 )W ,2 2 X ( 2 ) X ( 2 )
性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X(α) ～ Np(0,Σ) (α
＝1,…,n)相互独立，其中
又已知随机矩阵
1211
12 r 22pr
W n 1X ()X ( ) W W 1 21 1W W 1 2 2 2p r r~ W p(n , )
因 X H ~ 0 下 N p(0 ,1 n 0 ),n (X 0 )H ~ 0 下 N p(0 , 0 )
所以由§3“一﹑2.的结论1”可知
2ln~2(p).
20
第三章 多元正态总体参数的检验
3-6 (均值向量各分量间结构关系的检验) 设总体
X～Np(μ ,Σ )(Σ ＞0),X(α) (α ＝1,…,n)(n＞p)为 来自p维正态总体X的样本，记μ ＝(μ 1,…,μ p)′.C 为k×p常数(k<p),rank(C)=k,r为已知k维向量.试给出 检验H0:Cμ ＝r的检验统计量及分布.
6
第三章 多元正态总体参数的检验
证明 记rk(A)=r.
若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是 X′AX与X′BX
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独 立的. 以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
7
第三章 多元正态总体参数的检验
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
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2( 2 )2
[(
y1
aˆ0
)2
]
0
可得
ˆ
2
1 3
( y1
aˆ0 )2
( y2
aˆ0 )2
( y3
3aˆ0 )2
drf
ˆ
2 0
似然比统计量分子为
L(aˆ0
, ˆ 0 2
)
(2
)
3 2
(ˆ 0 2
)
3 2
exp[
3 2
].
第5页
5
第四章 回归分析
似然比统计量为
L(aˆ0 ,ˆ02 ) L(aˆ,bˆ,ˆ 2 )
第18页 18
第四章 回归分析
第19页 19
第四章 回归分析
等号成立 C(ˆ ) 0 (CC)1C • C(ˆ ) 0 ˆ.
第20页 20
第四章 回归分析
第21页 21
第四章 回归分析
第22页 22
第四章 回归分析
见附录P394定理7.2(7.5)式
第23页 23
第四章 回归分析
证实:(1)预计向量为 Yˆ Cˆ C(CC)1CY HY
yˆ
1 n
n i 1
yˆi
1 n
1n
Yˆ
1 n
1n
HY
1 n
(H1n )Y
1 n
1n
Y
y.
(因1n C张成的空间,这里有H1n 1n )
(2) 因 n ( yi y)( yˆi yˆ ) n ( yi yˆi yˆi y)( yˆi y)
0
ln
L
2
n
2
2
1
2( 2 )2
(Y
[(
y1
aˆ0
)2
]
0
可得
ˆ
2
1 3
( y1
aˆ0 )2
( y2
aˆ0 )2
( y3
3aˆ0 )2
drf
ˆ
2 0
似然比统计量分子为
L(aˆ0
, ˆ 0 2
)
(2
)
3 2
(ˆ 0 2
)
3 2
exp[
3 2
].
第5页
5
第四章 回归分析
似然比统计量为
L(aˆ0 ,ˆ02 ) L(aˆ,bˆ,ˆ 2 )
第18页 18
第四章 回归分析
第19页 19
第四章 回归分析
等号成立 C(ˆ ) 0 (CC)1C • C(ˆ ) 0 ˆ.
第20页 20
第四章 回归分析
第21页 21
第四章 回归分析
第22页 22
第四章 回归分析
见附录P394定理7.2(7.5)式
第23页 23
第四章 回归分析
证实:(1)预计向量为 Yˆ Cˆ C(CC)1CY HY
yˆ
1 n
n i 1
yˆi
1 n
1n
Yˆ
1 n
1n
HY
1 n
(H1n )Y
1 n
1n
Y
y.
(因1n C张成的空间,这里有H1n 1n )
(2) 因 n ( yi y)( yˆi yˆ ) n ( yi yˆi yˆi y)( yˆi y)
0
ln
L
2
n
2
2
1
2( 2 )2
(Y
应用多元统计分析课后题答案
c) c)2
2( x1
a)( x2
c)]
其中 a x1 b ， c x2 d 。求 （1）随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数； （3）判断 X1 和 X 2 是否相互独立。
（1）解：随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
12
2 2
1/
2
exp
1 2
(x
μ)
12 21
12
2 2
1
(x
μ)
。
2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 ) 的联合密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
μ)
1 n 1
n i 1
E(Xi
-
μ)(
X i
-
μ)
nE(X
μ)(X
μ)
Σ
。
故 S 为 Σ 的无偏估计。 n 1
2.9.设 X(1) , X(2) , ..., X(n) 是从多元正态分布 X ~ N p (μ, Σ) 抽出的一个简单随机样本，试求 S
c) 2(x1 a)(x2 a)2(d c)2
c)]
dx2
2(d c)(x1 a)x2 d dc 2[(b a)t 2(x1 a)t] dt
(b a)2 (d c)2
应用多元统计分析课后答案
应用多元统计分析课后答案第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=--其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。
求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 12122222()()2[()2()]()()()()dd cc d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰2212122222()()[()2()]1()()()()d cdcd c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为()212b a -。
应用多元统计分析_课后答案
图 2.1
Descriptives 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话框中选择 Mean 复选框，即计 算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue 按钮返回主对话框。
图 2.2 Options 子对话框 3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即 样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2） 。
2.5 解： 依据题意，X= 57000 40200 21450 21900 45000 28350
′
15 16 12 8 15 8
27000 18750 12000 13200 21000 12000
144 36 381 190 138 26
′ E(X)= ∑6 α=1 x(α) = (35650,12.33,17325,152.5) n σ1 σ2 ρ2 (x1 −μ1 )2 σ2 1
+
σ2 1
(x2 −μ2 )2 σ2 2 )2
= = [
(x1 −μ1 )2 σ2 1 ρ(x1 −μ1 ) σ1
− −
2ρ(x1 −μ1 )(x2 −μ2 ) σ1 σ2 (x2 −μ2 ) 2 ] σ2
+
E( X ) μ
n→∞
lim E(
1 1 ������） = lim E( ������） = Σ n→∞ ������ n−1
2.7 试证多元正态总体 的样本均值向量 ̅) = E ( ΣX 证明： E(������ （α） ) = E (ΣX （α） ) =
n n 1 1 nμ n 1 n2
exp[−
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0 8
X (2)
X
(3)
0
X (5) CL4
第11页 11
第六章 聚类分析
② 合并{X(2),X(5)}=CL3,并类距离 D2=3.
0 D(3) 10
9
0 8
0
X (3)
CL4 CL3
③ 合并{CL3,CL4}=CL2,并类距离 D3=8.
D(4) 100
0
X (3) CL2
④ 所有样品合并为一类CL1,并类距离 D4=10.
n p nq nr2
(X
(k)
X
(q) )'( X
(k)
X
( p) )
n2p nr2
D
2 pk
nq2 nr2
Dq2k
n p nq nr2
(X
(k)
X
( p) )'( X
(k)
X
( p)
X
( p)
X
(q) )
n p nq nr2
(X
(k)
X
(q) )'( X
(k)
X
(q)
X
(q)
X
( p) )
第26页 26
故d*是一个距离.
第5页
5
第六章 聚类分析
(4) 设d (1)和d (2)是距离, 令d * d (1) • d (2).
d *虽满足前2个条件,但不一定满足三角不等式.
下面用反例来说明d *不一定是距离.
设di(j1)
d (2) ij
X (i) X ( j) (m 1), 则di*j
X (i) X ( j)
D
2 pk
nq nr
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇 习题解答
17
第七章 主成分分析
7-10
18
第七章 主成分分析
77--1112
19
主成分向量为
Z ( X 1 ,X 2 ,X 3 ) 或 Z ( X 2 ,X 1 ,X 3 )
三个主成分的方差分别为4,4,2.
10
第七章 主成分分析
7-6
设3维总体X的协差阵为
2 2
2 2
0
2
0 2 2
试求总体主成分，并计算每个主成分解释的方差比例
解:
11
第七章 主成分分析
7-7 设4维随机向量X的协差阵是
2
12
பைடு நூலகம்
13 14
12 2
14 13
13 14 2
12
14
13
12 2
,
其中 1 21 31,421 4 21.3
试求X的主成分.
12
第七章 主成分分析
解:
13
第七章 主成分分析
7-8
14
第七章 主成分分析
15
第七章 主成分分析
7-9
16
第七章 主成分分析
应用多元统计分析
第七章习题解答
第七章 主成分分析
7-1 设X=(X1, X2)′的协方差阵 试从Σ和相关阵R出发求出总体主成分，
14
1040,
并加以比较.
解:
2
第七章 主成分分析
3
第七章 主成分分析
4
第七章 主成分分析
7-2 设X=(X1, X2)′～N2(0,Σ),协方差Σ＝
其中ρ为X1和X2的相关系数(ρ>0). (1) 试从Σ出发求X
1
1
第七章 主成分分析
7-10
18
第七章 主成分分析
77--1112
19
主成分向量为
Z ( X 1 ,X 2 ,X 3 ) 或 Z ( X 2 ,X 1 ,X 3 )
三个主成分的方差分别为4,4,2.
10
第七章 主成分分析
7-6
设3维总体X的协差阵为
2 2
2 2
0
2
0 2 2
试求总体主成分，并计算每个主成分解释的方差比例
解:
11
第七章 主成分分析
7-7 设4维随机向量X的协差阵是
2
12
பைடு நூலகம்
13 14
12 2
14 13
13 14 2
12
14
13
12 2
,
其中 1 21 31,421 4 21.3
试求X的主成分.
12
第七章 主成分分析
解:
13
第七章 主成分分析
7-8
14
第七章 主成分分析
15
第七章 主成分分析
7-9
16
第七章 主成分分析
应用多元统计分析
第七章习题解答
第七章 主成分分析
7-1 设X=(X1, X2)′的协方差阵 试从Σ和相关阵R出发求出总体主成分，
14
1040,
并加以比较.
解:
2
第七章 主成分分析
3
第七章 主成分分析
4
第七章 主成分分析
7-2 设X=(X1, X2)′～N2(0,Σ),协方差Σ＝
其中ρ为X1和X2的相关系数(ρ>0). (1) 试从Σ出发求X
1
1
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇三部分习题解答公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
(n＞p)为来自p维正态总体X样本.似然比统计量为
max
0
L(0,0 )
max
L(
,
0
)
分子
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
( X ( )
1
0 )01( X ( )
0 )
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
tr[01
1
( X ( )
0 )( X ( )
0 )]
第17页 17
第三章 多元正态总体参数检查
Yr1
X BX
Y Γ BΓΓ
Y HY
(Yr
1
,,
Yn
)
H
22
Yn
由于Y1, …,Yr ,Yr+1 ,…,Yn互相独立,
故X′AX与X′BX互相独立.
第9页
9
第三章 多元正态总体参数检查
3-3 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵, 试证实 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)互相独立
Np(μ,Σ)随机样本, X和Ax分别表示正态总体X样 本均值向量和离差阵,则由性质1有
Tx2 n(n 1)( X ) Ax1( X )
~ T 2 ( p, n 1).
令 Y(i) CX (i) d (i 1,..., n)
其中C是p p非退化常数矩阵, d是p 1常向量。
则 Y(i) ~ N p (C d,CC) (i 1,2,..., n)
max L(
, 0 )
max L(, ) ,
分子当ˆ X达最大,且最大值
L( X
, 0 )
max
0
L(0,0 )
max
L(
,
0
)
分子
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
( X ( )
1
0 )01( X ( )
0 )
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
tr[01
1
( X ( )
0 )( X ( )
0 )]
第17页 17
第三章 多元正态总体参数检查
Yr1
X BX
Y Γ BΓΓ
Y HY
(Yr
1
,,
Yn
)
H
22
Yn
由于Y1, …,Yr ,Yr+1 ,…,Yn互相独立,
故X′AX与X′BX互相独立.
第9页
9
第三章 多元正态总体参数检查
3-3 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵, 试证实 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)互相独立
Np(μ,Σ)随机样本, X和Ax分别表示正态总体X样 本均值向量和离差阵,则由性质1有
Tx2 n(n 1)( X ) Ax1( X )
~ T 2 ( p, n 1).
令 Y(i) CX (i) d (i 1,..., n)
其中C是p p非退化常数矩阵, d是p 1常向量。
则 Y(i) ~ N p (C d,CC) (i 1,2,..., n)
max L(
, 0 )
max L(, ) ,
分子当ˆ X达最大,且最大值
L( X
, 0 )
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
4.7067
取a 1 A1( (1) (2) )
d
1 65 1381
3323 ,
则aAa
1,
且a满足 : Ba Aa ( d 2 ).
12
第五章 鉴别分析
判别效率(a) aBa 4.7067.
aAa
Fisher线性判别函数为u( X ) aX
1 89765
(32
X1
33X
2 判别准则为 判X G1 , 当W ( X ) 0,
判X G2 , 当W ( X ) 0, 试求错判概率P(2 |1)和P(1| 2).
解 : 记a 1 ( (1) (2) ),W ( X ) ( X )a是X的
线性函数,当X
G1时,W
(
X
)
~
N1
(1,
2 1
), 且
20
第五章 鉴别分析
20 20
时,
u
(
X
(1)
)
1 89765
(32,33)
20 20
4.3390
因u( X (1) ) 4.3390 u* , 判X (1) G2.
当X (1)
15 20
时,
u
(
X
(2)
)
1 89765
(32,33)1250
3.8050
因u( X (2) ) 3.8050 u* 判X (2) G1.
其中W ( X ) a( X *)
( X * )1( (1) (2) ) ,
* 1 ( (1) (2) ).
2 10
第五章 鉴别分析
5-4 设有两个正态总体G1和G2,已知(m=2)
(1)
1105, (2)
应用多元统计分析课后答案-朱建平版
距离是欧几里得距离的推广。 4.2 试述判别分析的实质。 答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数， 使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地 区别开来。设R1，R2，…，Rk是p维空间R p的k个子集，如果它们互不 相交，且它们的和集为
，则称
为
的一个划分。判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对 p维空间
0 10 210 543 0 876 30 10 9 8 5 2 0 由上表易知
中最小元素是 于是将
， ， 聚为一类，记为 计算距离阵
0 30 63 0 85 2 0
中最小元素是 =2 于是将 ， 聚为一类，记为 计算样本距离阵
0 30 63 0
中最小元素是 于是将 ， 聚为一类，记为 因此，
不同做出具体分折。实际中，聚类分析前不妨试探性地多选择几个距离 公式分别进行聚类，然后对聚类分析的结果进行对比分析，以确定最合 适的距离测度方法。 5.5试述K均值法与系统聚类法的异同。 答：相同：K—均值法和系统聚类法一样，都是以距离的远近亲疏为标 准进行聚类的。
不同：系统聚类对不同的类数产生一系列的聚类结果，而K—均值 法只能产生指定类数的聚类结果。
0
16 0
64 16 0
中最小元素是
于是将
，
聚为一类，记为
因此，
第六章 6.1 试述主成分分析的基本思想。 答：我们处理的问题多是多指标变量问题，由于多个变量之间往往存在 着一定程度的相关性，人们希望能通过线性组合的方式从这些指标中尽 可能快的提取信息。当第一个组合不能提取更多信息时，再考虑第二个 线性组合。继续这个过程，直到提取的信息与原指标差不多时为止。这 就是主成分分析的基本思想。 6.2 主成分分析的作用体现在何处？ 答：一般说来，在主成分分析适用的场合，用较少的主成分就可以得到
，则称
为
的一个划分。判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对 p维空间
0 10 210 543 0 876 30 10 9 8 5 2 0 由上表易知
中最小元素是 于是将
， ， 聚为一类，记为 计算距离阵
0 30 63 0 85 2 0
中最小元素是 =2 于是将 ， 聚为一类，记为 计算样本距离阵
0 30 63 0
中最小元素是 于是将 ， 聚为一类，记为 因此，
不同做出具体分折。实际中，聚类分析前不妨试探性地多选择几个距离 公式分别进行聚类，然后对聚类分析的结果进行对比分析，以确定最合 适的距离测度方法。 5.5试述K均值法与系统聚类法的异同。 答：相同：K—均值法和系统聚类法一样，都是以距离的远近亲疏为标 准进行聚类的。
不同：系统聚类对不同的类数产生一系列的聚类结果，而K—均值 法只能产生指定类数的聚类结果。
0
16 0
64 16 0
中最小元素是
于是将
，
聚为一类，记为
因此，
第六章 6.1 试述主成分分析的基本思想。 答：我们处理的问题多是多指标变量问题，由于多个变量之间往往存在 着一定程度的相关性，人们希望能通过线性组合的方式从这些指标中尽 可能快的提取信息。当第一个组合不能提取更多信息时，再考虑第二个 线性组合。继续这个过程，直到提取的信息与原指标差不多时为止。这 就是主成分分析的基本思想。 6.2 主成分分析的作用体现在何处？ 答：一般说来，在主成分分析适用的场合，用较少的主成分就可以得到
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇(第六章习题解答)
0,
第六章 聚类分析
6-5 试从定义直接证明最长和最短距离法的单调性. 证明：先考虑最短距离法： ( L1) ( L1) D D 设第L步从类间距离矩阵 ij
D
( L1) pq
min D
( L1) pq
( L1) ij
故合并Gp和Gq为一新类Gr，这时第L步的并类距离:
0, p (1 )
0, q (1 ) np nr (1 ) nq nr
nq nr
0, ( 1)
p q (1 )
11
18
故可变类平均法具有单调性。
第六章 聚类分析
对于可变法，因
1 1 0, p 0, q 0, ( 1) 2 2 1 1 p q 11 2 2
证明 : (1)设d 和d 为距离, 令d d
(1) ( 2)
(1)
d .
( 2)
2
以下来验证d满足作为距离所要求的3个条件.
第六章 聚类分析
① ② ③
(2) 设d是距离,a >0为正常数.令d*=ad,显然有
① ②
d cd ij 0, 且仅当X (i ) X ( j )时d 0;
应用多元统计分析
第六章部分习题解答
第六章 聚类分析
6-1 证明下列结论: (1) 两个距离的和所组成的函数仍是距离; (2) 一个正常数乘上一个距离所组成的函数 仍是距离; (3)设d为一个距离,c>0为常数,则 d * d d c 仍是一个距离; (4) 两个距离的乘积所组成的函数不一定是 距离;
(6.2.2)
9
第六章 聚类分析
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-736800.00
-35.80
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16695.10
注：利用
X
p1
1 n
X
1n
,
S
X (In
1 n
1 1 nn
)
X
1
0
其中
In
0
1
在 SPSS 中求样本均值向量的操作步骤如下：
1. 选择菜单项 Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开 Descriptives 对话框。
1 2
(xp
p )2
2 p
p i 1
i
1 2
exp
(
xi i
2
2 i
)2
f (x1)... f (xp )
则其分量是相互独立。
2.5 由 于 多 元 正 态 分 布 的 数 学 期 望 向 量 和 均 方 差 矩 阵 的 极 大 似 然 分 别 为
n
μˆ X Xi n i 1
2 2
1
(x
μ)
。
2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 ) 的联合密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a)( x2
c)]
其中 a x1 b ， c x2 d 。求 （1）随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数； （3）判断 X1 和 X 2 是否相互独立。
第二章
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， X ( X1, X 2 , X p ) 的 联合分布密度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 X ( X1, X 2 , X p ) 的子向量的
概率分布，其概率密度函数的维数小于 p。
2.2 设二维随机向量 ( X1 X 2 ) 服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设 ( X1
X 2 ) 的均值向量为 μ 1
2
，协方差矩阵为
2 1
21
12
2 2
，则其联
合分布密度函数为
f
(x)
1 2
2
12 21
12
2 2
1/
2
exp
1 2
(x
μ)
12 21
12
Bivariate Correlations 对话框。将三个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图
2.3。
图 2.3 Bivariate Correlations 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。选择
Cross-product deviations and covariances 复选框，即计算样本离差阵和样本协差
2.4 设 X ( X1, X 2 , X p ) 服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相
互独立的随机变量。
解： 因为 X ( X1, X 2 , X p ) 的密度函数为
f
(
x1
,
...,
x
p
)
1 2
p
Σ
1/
2
exp
1
(x
μ)Σ1
(x
μ)
2
12
又由于
Σ
2 2
2 p
n
Σˆ (Xi X)(Xi X) n i 1
35650.00
μˆ
X
12.33
17325.00
152.50
201588000.00
Σˆ
38900.00 83722500.00
-736800.00
38900.00 13.067 16710.00 -35.800
83722500.00 16710.00
（1）解：随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
fx1 (x1)
d 2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)] dx
c
(b a)2 (d c)2
2(d c)(x1 a)x2 (b a)2 (d c)2
d
c
d c
3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即 样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。
表 2.1 样本均值向量
在 SPSS 中计算样本协差阵的步骤如下：
1.
选择菜单项 Analyze→Correlate→Bivariate，打开
(b a)2 (d c)2
(b a)2 (d c)2
ba
c
0
所以
由于
X
1
服从均匀分布，则均值为
b
2
a
b a2
，方差为
12
。
1
同理，由于
X2
服从均匀分布
f x2
(x2 )
d
0
c
x1 c, d ，则均值为 d c ，
其它
2
d c2
方差为
。
12
（2）解：随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数；
cov(x1, x2 )
d c
b a
x1
a
2
b
x2
d
2
c
2[(d
c)(
x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2(
x1
a)(
x2
c)] dx1dx2
(c d )(b a) 36
cov(x1, x2 ) 1
x1 x2
3
（3）解：判断 X1 和 X 2 是否相互独立。 X1 和 X 2 由于 f (x1, x2 ) fx1 (x1) fx2 (x2 ) ，所以不独立。
2[(b
a)( x2 (b
c) 2(x1 a)(x2 a)2(d c)2
c)]
dx2
2(d c)(x1 a)x2 d dc 2[(b a)t 2(x1 a)t] dt
(b a)2 (d c)2
0
(b a)2 (d c)2
c
2(d c)(x1 a)x2 d [(b a)t 2 2(x1 a)t2 ] dc 1
将待估计的四个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图 2.1。
图 2.1 Descriptives 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话
框中选择 Mean 复选框，即计算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue 按
钮返回主对话框。
图 2.2 Options 子对话框
Σ
12
2 2
2 p
1
2 1
1
Σ1
2 2
1
2 p
则 f (x1,..., xp )
1
2 1
1 p 2
Σ
12
2 2
2 p
1/ 2
exp
1 2
(x
μ)Σ1
1
2 2
(x
μ)
1
2 p
1 2
p
1 2 p
1
exp
1 2
( x1
1)2 12
1 2
( x2
3)2
2 2
...
-736800.00
-35.80
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注：利用
X
p1
1 n
X
1n
,
S
X (In
1 n
1 1 nn
)
X
1
0
其中
In
0
1
在 SPSS 中求样本均值向量的操作步骤如下：
1. 选择菜单项 Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开 Descriptives 对话框。
1 2
(xp
p )2
2 p
p i 1
i
1 2
exp
(
xi i
2
2 i
)2
f (x1)... f (xp )
则其分量是相互独立。
2.5 由 于 多 元 正 态 分 布 的 数 学 期 望 向 量 和 均 方 差 矩 阵 的 极 大 似 然 分 别 为
n
μˆ X Xi n i 1
2 2
1
(x
μ)
。
2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 ) 的联合密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a)( x2
c)]
其中 a x1 b ， c x2 d 。求 （1）随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数； （3）判断 X1 和 X 2 是否相互独立。
第二章
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， X ( X1, X 2 , X p ) 的 联合分布密度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 X ( X1, X 2 , X p ) 的子向量的
概率分布，其概率密度函数的维数小于 p。
2.2 设二维随机向量 ( X1 X 2 ) 服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设 ( X1
X 2 ) 的均值向量为 μ 1
2
，协方差矩阵为
2 1
21
12
2 2
，则其联
合分布密度函数为
f
(x)
1 2
2
12 21
12
2 2
1/
2
exp
1 2
(x
μ)
12 21
12
Bivariate Correlations 对话框。将三个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图
2.3。
图 2.3 Bivariate Correlations 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。选择
Cross-product deviations and covariances 复选框，即计算样本离差阵和样本协差
2.4 设 X ( X1, X 2 , X p ) 服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相
互独立的随机变量。
解： 因为 X ( X1, X 2 , X p ) 的密度函数为
f
(
x1
,
...,
x
p
)
1 2
p
Σ
1/
2
exp
1
(x
μ)Σ1
(x
μ)
2
12
又由于
Σ
2 2
2 p
n
Σˆ (Xi X)(Xi X) n i 1
35650.00
μˆ
X
12.33
17325.00
152.50
201588000.00
Σˆ
38900.00 83722500.00
-736800.00
38900.00 13.067 16710.00 -35.800
83722500.00 16710.00
（1）解：随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
fx1 (x1)
d 2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)] dx
c
(b a)2 (d c)2
2(d c)(x1 a)x2 (b a)2 (d c)2
d
c
d c
3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即 样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。
表 2.1 样本均值向量
在 SPSS 中计算样本协差阵的步骤如下：
1.
选择菜单项 Analyze→Correlate→Bivariate，打开
(b a)2 (d c)2
(b a)2 (d c)2
ba
c
0
所以
由于
X
1
服从均匀分布，则均值为
b
2
a
b a2
，方差为
12
。
1
同理，由于
X2
服从均匀分布
f x2
(x2 )
d
0
c
x1 c, d ，则均值为 d c ，
其它
2
d c2
方差为
。
12
（2）解：随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数；
cov(x1, x2 )
d c
b a
x1
a
2
b
x2
d
2
c
2[(d
c)(
x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2(
x1
a)(
x2
c)] dx1dx2
(c d )(b a) 36
cov(x1, x2 ) 1
x1 x2
3
（3）解：判断 X1 和 X 2 是否相互独立。 X1 和 X 2 由于 f (x1, x2 ) fx1 (x1) fx2 (x2 ) ，所以不独立。
2[(b
a)( x2 (b
c) 2(x1 a)(x2 a)2(d c)2
c)]
dx2
2(d c)(x1 a)x2 d dc 2[(b a)t 2(x1 a)t] dt
(b a)2 (d c)2
0
(b a)2 (d c)2
c
2(d c)(x1 a)x2 d [(b a)t 2 2(x1 a)t2 ] dc 1
将待估计的四个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图 2.1。
图 2.1 Descriptives 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话
框中选择 Mean 复选框，即计算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue 按
钮返回主对话框。
图 2.2 Options 子对话框
Σ
12
2 2
2 p
1
2 1
1
Σ1
2 2
1
2 p
则 f (x1,..., xp )
1
2 1
1 p 2
Σ
12
2 2
2 p
1/ 2
exp
1 2
(x
μ)Σ1
1
2 2
(x
μ)
1
2 p
1 2
p
1 2 p
1
exp
1 2
( x1
1)2 12
1 2
( x2
3)2
2 2
...