弹性力学-05(变分法)

满足：平衡方程、几何 方程、物理方程 位移边界 Su 、边界条件。 —— 称为真实解
（1）任给弹性体一微小的位移变化：
u, v, w
满足两个条件：
（1）不破坏平衡状态；
（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。
任给弹性体一微小的位移变化： 满足两个条件：
u, v, w
应力边界 S P
（1）不破坏平衡状态； （2）不破坏约束条件，即为 约束所允许。 变化后的位移状态：
F ( x, y, y)dx
0 l 0
l


F ( x, y, y)dx
变分运算与积分运算互相交换。
U ( x, y, y) F ( x, y, y)dx
y f ( x), y f ( x)
l
0
其中：
一阶变分：
F F U y ydx 0 y y
（5-15）
表明： 弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。
3. 形变势能的位移分量表示
只需将几何方程代入式(e)，得：
u 2 v 2 E u v 1 u v 2 U1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2(1 ) x y x y 2 x y
q
u u u, v v v, w w w u, v, w —— 称为位移的变分，或虚位移。
位移边界 Su
由于位移的变分，引起的外力功的变分和外力势能的变分为：
W ( X u Y v)dxdy ( X u Y v)dS
在平面应变问题中， z
0。 因此，
（ b）
1 U U1dxdy ( x x y y xy xy )dxdy A A2
整个弹性体的形变势能：
1 U1 ( x x y y xy xy ) 2
（c）
2. 形变势能的应变分量表示
∵ 0 < < 1/2 ， ∴ U ≥0 即弹性体的形变势能是非负的量。
外力的虚功： 体力：
X ,Y , Z ;
A
面力：
X ,Y , Z
s
—— 外力
W ( Xu Yv)dxdy ( Xu Yv)dS
（5-17）
取应变或位移分量为零时的状态为自然状态，此时外力的功和势能为零。 由于外力做的功消耗了外力势能，因此，在发生实际位移时，弹性体的 外力势能为：
将定解问题转变为求解线性方程组。 弹性力学中的变分原理 —— 能量原理 （变分解法也称能量法）
（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。—— 位移法
（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。 —— 力 法
（c）同时以位移、应力、应变为未知量， 得到 广义（约束）变分原理。 求解方法： —— 混合法
令：
三向应力状态： 一点的应力状态：
x
x , y , z , yz , zx , xy
z zy zx

U1 1 x x 2
杆件的体积
xy
x
yx
y
—— 单位体积的变形能，称为比能。
xz yz
三向应力状态：
一点的应力状态：
x , y , z , yz , zx , xy
E
（4）边界条件
ij ni X j
应力边界条件；
ui ui
位移边界条件。
2. 弹性力学问题的变分提法及其解法： 直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的 变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻） 值的变分问题。
基本思想： 在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；
微分和变分都是微量，它们的运算方法是相同的，如：
y dy dx x
U U y y
变分的运算 变分与微分运算：
变分与积分运算：
变分运算与微分运算互相交换。 复合函数的变分：
l
d d f ( x) f ( x) dx dx d 2 2 d f ( x) f ( x) dx dx d2 d2 dx 2 f ( x) dx 2 f ( x)
（ f）
u 2 v 2 E u v 1 u v 2 U ( ) ( ) 2 ( ) dxdy 2 A 2(1 ) y x y 2 x y x
（5-16） 在上式中，只要将弹模、泊松比代换，即可得到平面应变中的相应公式。 由式(e)和(f)可知，形变势能是应变分量或位移分量的二次泛函。因此，叠 加原理不再适用。

M M ( x)
l
F —— 为函数 y 的函数， 称为泛函。
—— 弯矩方程
梁的形变势能：
例 2：
1 M ( x) U dx 0 2 EI
2
EI
A
P1
M ( x)
B
x
—— 泛函
l
1 U x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz 2
ij 1 (ui , j u j ,i )
2
（3）物理方程
（2）按应力求解 基本方程： （a）平衡微分方程；
（b） 相容方程； （c） 边界条件。 求解特点： （a） 归结为求解联立的微分 方程组； （b） 难以求得解析解。
ij 1 (1 ) ij kk ij
V W ( Xu Yv)dxdy ( Xu Yv)dS
A s
（5-18）
§11-2 位移变分方程
1. 泛函与变分的概念
（1）泛函的概念 函数： y 泛函： 例 1：
f ( x)
U F ( y ) F
x —— 自变量； y —— 因变量，或称自变量 x 的函数。 x —— 自变量； f ( x) y —— 为一变函数；
A s A s
（5-19）
V ( X u Y v)dxdy ( X u Y v)dS （5-20）
基本思想：将求解区域离散， 离散成有限个小区域（单元）， 在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理 （变分原理）确定其最优解。
—— 将问题转变为求解大型的线性方程组。 —— 有限单元法、边界单元法、离散单元法 等 典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN， ABAQUS 等； —— 基于有限元法的分析软件； UDEC —— 基于离散元法的分析软件；
里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin ）法， 加权残值（ 余量）法等。
—— 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。
3. 弹性力学问题的数值解法： （a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 基本思想： 将导数运算近似地用差分运算代替； 将定解问题转变为求解线性方程组。 实质：将变量离散。—— 有限差分法； 典型软件：FLAC （b）对变分方程进行数值求解


例 2：
1 U x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz 2 因为 x x ( x, y, z ), , yz yz ( x, y, z ),
所以，U 被称为形变势能泛函。
研究自变量的增量与函数增量 的关系 —— 微分问题
y y1 y0 f ( x1 ) f ( x0 ) y f ( x)x dy f ( x)dx
y1 ( x)
设：
y
y ( x)
U U y ( x) y y1 y y
函数 y 有一增量：
EI
2 l
—— 二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。
2. 位移变分方程
建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系 —— 位移变分方程 设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。 边界： 应力边界 S P
S S Su
q
位移场：
应力场：
u u ( x, y, z ); v v( x, y, z ); w w( x, y, z ) x x ( x, y, z ); y y ( x, y, z );


（2）变分与变分法 设： y f ( x)
EI
A
P1
M ( x)
B
x
当自变量 x 有一增量： x
函数 y 也有一增量：
x1 x0
l
dy 与 dx ，分别称为自变量 x 与 泛函 U 也有一增量： 函数 y 的 微分。 U U y( x1 ) U y( x) U
1. 形变势能的一般表达式
单向拉伸： 外力所做的功：
P P l0
W 1 Pl 2
O
由于在静载（缓慢加载）条件下， 其它能量损失很小，外力功全部转化杆 件的形变势能（变形能）U：
l l l
P
U W 1 Pl 1 P l (lA) 2A l 2 1 x x (lA) 2
从而，
（e）
E 1 2 2 2 U U1dxdy x y 2 x y xy dxdy 2 A A 2(1 ) 2
将式（e）分别对3个应变分量求导，并将其结果与物理方程(d)比较，
U1 x, x
U1 U1 yz y, yz y
复合函数的变分：
U ( x, y, y) F ( x, y, y)dx
y f ( x), y f ( x)
0
l
其中：
一阶变分：
F F U y ydx 0 y y
l
二阶变分：
F F F F U y yy y yydx 0 y y y y y y
在线弹性的情况下，由物理方程（2-16） ：
E ( ) x y 2 1 y E 2 ( y x ) 1
Baidu Nhomakorabea
x
（ d）
xy
E 2(1 ) xy
代入式（b），整理得：
E 1 2 2 2 U1 y 2 x y xy 2 x 2(1 ) 2
zy zx
z
由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序 无关，只取决于最终的状态。 假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加， 此时，单元体的形变比能：
xy
x
yx
y
xz yz
1 1 1 1 1 1 U1 x x y y z z yz yz zx zx xy xy 2 2 2 2 2 2 1 ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy ) （a） 2 对于平面问题， yz 0, zx 0。 在平面应力问题中， z 0；
A
P1
M ( x)
B
x
l
y1 ( x)
设：
y
y ( x)
研究自变函数的增量与泛函 的增量间关系 —— 变分问题。
U U y ( x)
函数 y 也有一增量： 泛函 U 也有一增量：
y y1 y y
U U y( x1 ) U y( x) U 函数的增量y 、泛函的增量 U 称为变分。
§5-4 弹性体的形变势能和外力势能
1. 弹性力学问题的微分提法及其解法： 从研究微小单元体入手，考察其平衡、 变形、材料性质，建立基本方程： 求解方法： （1）按位移求解 基本方程： （a）以位移为基本未知量 的平衡微分方程; （b）边界条件。
（1）平衡微分方程
ij,i X j 0
（2）几何方程 定 解 问 题