高考数学 考前三个月复习冲刺 专题4 第17练 三角函数的化简与求值课件 理

4tan ＝5tan
αα－ ＋23＝45× ×22－ ＋23＝163.
方法二 由tan α＝2，得sin α＝2cos α，代入得 4sin α－2cos α 4×2cos α－2cos α 5sin α＋3cos α＝5×2cos α＋3cos α ＝163ccoossαα＝163.
(2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α的值．
专题4 三角函数与平面向量
第17练 三角函数的化简与求值
题型分析·高考展望
三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算 求解能力．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对 式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就 要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式 比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用．
例 2 (1)化简：tanπc－osα－coαs－2ππ－siαns－inπ－－αα＋ 32π；
解
方法一
－tan 原式＝
α·cos[π＋π－α]·sinπ＋π2－α cosπ＋α·[－sinπ＋α]
－tan ＝
α·[－cosπ－α]·[－sinπ2－α] －cos α·sin α
－tan α·cos α·－cos α ＝ －cos α·sin α
2θ＋2cos2θ2)(sin
2θ－cos
θ 2)
＝2cos θ2(sin2θ2－cos2θ2)
＝－2cos
θ 2cos θ.
例3
1＋sin (1)化简：
θ＋cos θsin 2＋2cos θ
2θ－cos
θ2(0<θ<π)；
解 由 θ∈(0，π)，得 0<θ2<π2，
∴cos
θ 2>0.
因此 2＋2cos θ＝
4cos2θ2＝2cos
θ 2.
又(1＋sin θ＋cos θ)(sin
θ2－cos
θ 2)
＝(2sin
θ 2cos
解 3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α
3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α
＝
sin2α＋cos2α
3tan2α＋3tan α－2 ＝ tan2α＋1
＝3×222＋2＋3×1 2－2＝156.
点评 本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐 次多项式．对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式 可以分子分母同除“cos α”的最高次幂，整式可以看成分 母为“1”，然后用sin2α＋cos2α代换“1”，变成分式后再 化简．
D
12 A. 5
B．－152
5 C.12
D．－152
解析 ∵sin α＝－153，且 α 为第四象限角， ∴cos α＝1123，
∴tan α＝csoins α诱导公式化简与求值
1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名 不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变， 符号看象限”． 2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角 为最好！
cos2α；(3)在进行开方运算时，注意判断符号．
例1 已知tan α＝2，求： 4sin α－2cos α
(1)5sin α＋3cos α的值；
解 方法一 ∵tan α＝2，∴cos α≠0，
∴4sin 5sin
α－2cos α＋3cos
αα＝54ccssooiissnnαααα＋－32ccccoooossssαααα
－tan α·cos α ＝ sin α
＝－csoins
α cos α·sin
αα＝－1.
方法二 原式＝－ta－n cαo·csoπs＋－αα·s·isninπ－＋αα－ 2π
tan ＝
α·cos α·sinα＋2π －cos α·sin α
＝csoin－s ααs·icnoαs α
＝－1.
(2)求值：sin 690°·sin 150°＋cos 930°·cos(－570°)＋ tan 120°·tan 1 050°. 解 原式＝sin(720°－30°)·sin(180°－30°)＋cos(1 080° －150°)·cos(720°－150°)＋tan(180°－60°)·tan(1 080° －30°) ＝－sin 30°sin 30°＋cos 150°cos 150°＋tan 60°tan 30°
2tan α－1 ＝ tan2α＋1 ，
2×－2－1 ∴原式＝ －22＋1 ＝－1. 答案 －1
(2)已知 cosπ6－θ＝a (|a|≤1)，则 cos56π＋θ＋sin23π－θ的值
是___0_____． 解析 cos56π＋θ＝cosπ－π6－θ ＝－cosπ6－θ＝－a. sin23π－θ＝sinπ2＋6π－θ＝cosπ6－θ＝a，
常考题型精析 高考题型精练
常考题型精析
题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值 题型二 利用诱导公式化简与求值 题型三 利用其他公式、代换等化简求值
题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值
基本公式：sin2α＋cos2α＝1；tan
α＝csoins
α α.
基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1＝sin2α＋
＝－41＋34＋1＝23.
点评 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角 函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律 技巧．
变式训练2 (1)(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，
则2sin αcos α－cos2α的值是________． 解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， 又∵2sin αcos α－cos2α＝2sinsiαn2cαo＋s αc－osc2αos2α
∴cos56π＋θ＋sin23π－θ＝0.
题型三 利用其他公式、代换等化简求值
两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的 是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配 凑”．(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目 的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．(3)变式， 根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个 期 待 的 目 标 ， 其 手 法 通 常 有 “ 常 值 代 换 ”“ 逆 用 变 用 公 式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．