控制系统的传递函数

线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时，
系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
三要素：1) 线性定常系统 2) 零初始条件,即在外界输入作用前，输入、输出的初始条件 为 0。 3) 输出与输入的拉氏变换之比（复域模型）
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形式上记为：
控制系统的传递函数
(n>m)
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm C ( s) G( s) R( s ) a0 s n a1s n 1 an 1s an
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2.3 传递函数模型
控制系统的传递函数
重点:传递函数的概念 传递函数的性质 传递函数的列写
2.3.1 定义
传递函数是经典控制理论对线性系统进行研究、分析和综合的数学工具。通过传递 函数可以将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，大大简化了计算工作 量，而且由传递函数导出的频率特性还具有物理意义，运用线性系统的传递函数和频率 特性有利于对系统研究、分析和综合。
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（3）传递函数中（分子的阶次小于分母的阶次 n≥m）是一切物理系统 所固有的，这是因为任何物理系统均含有惯性。 （4）传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的。 （5）可减化对系统动态性能分析的过程 R(s)一定时 C(s)完全由G(s)决定，因此： G(s)的特征和形态→分析系统的性能 另：对系统性能的要求→ 对G(s)的要求 （ 6） 记 b s m b s m 1 b sb C ( s)
G( s)
R( s )

= G( s) 式中：称
KG ( s z1 ) ( s zm ) ( s p1 ) ( s pn )
a0 s n a1s n 1 an 1s an
0
1
m 1
m
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称
控制系统的传递函数
-为系统的特征根
-为系统的特征多项式。 （7）由于 可以是零、实数、复数，因此在复平 面上总能找到相对应的一点，故系统的传递函数与复平面有一一对应的 关系。这将引出经典控制论的一种重要分析方法：根轨迹法。
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借助表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程：
anxo ( n ) (t ) ... a1 xo (1) (t ) a0 xo(t ) bmxi ( m ) (t ) ... b1 xi (1) (t ) b0 xi (t )
i=0,1…n j=0,1,…m 可对系统进行描述。 1、线性定常系统 ai,bj 都不是xo(t)和xi(t)及它们导数的函数，也不 是时间的函数； 2、线性时变系统 ai,bj 是时间的函数； 3、非线性系统 ai,bj 有一个依赖xo(t)和xi(t)或它们导数，或者在 微分方程中出现时间的其他函数形式。
三、系统微分方程中变量形式的选择
四、 系统元件间的负载效应 对于两个物理元件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使 另一个元件在相同输入下的输出受到影响，则有如前者对后者施加了 负载，因此这一影响称为负载效应，也称耦合。这时，如只是孤立的 分别写出两个元件的动力学方程，则经过消去中间变量而得到的整个 系统的动力学方程将是错误的。 例1 复习：1、数学模型的类型 2、建立数学模型的方法 3、建立数学模型的步骤
－阻尼系数 与位移的变化量成正比
由上面两式有
整理得
注意： 习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式的 左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边； 由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高于 右边的阶次； 上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。
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系式。
线性系统满足叠加原理，而非线性系统不满足叠加原理。
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二、微分方程模型的建立 根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤： （1）确定系统中各元件的输入、输出物理量； （2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条 件允许的情况下忽略次要因素，适当简化； （3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系； （4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。
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例 2 前一节例 1，机械位移系统 直接由得到的微分方程模型 求拉氏变换有： ，在零初始条件下，对上式两端 ，整理得该系统得传递函数：
例 3 前一节例 2 RLC 网络 由得到得微分方程模型 求拉氏变换有： ？ ，在零初始条件下，对上式两端 ，整理得该系统得传递函数：
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2．1 微分方程模型（时间域模型）
一、控制系统微分方程的分类
线性系统：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程 是定常和线性的。线性系统可应用叠加原理，将多输入及多输出的 系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。 另外线性系统还有一个重要的性质，就是齐次性，即当输入量的数 值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化 规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有关，与输入量数 值的大小是无关的。 非线性系统：研究非线性系统的运动规律和分析方法的一个分支学科。 非线性系统最重要的问题之一就是确定模型的结构，如果对系统的 运动有足够的知识，则可以按照系统运动规律给出它的数据模型。 一般来说，这样的模型是由非线性微分方程和非线性差分方程给出 的，对这类模型的辨别可以采用线性化，展开成特殊函数等方法。 非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运 动本质的一类现象，不能采用线性系统的理论来解释，主要原因是 非线性现象有频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃谐振、分谐波 振荡、自激振荡、频率插足、异步抑制、分岔和混沌等。
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法二：列写系统中各元件（各环节）的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的代数方程组，消去中间变量 整理成传递函数的形式 举例一些常用典型元部件的传递函数的列写
例 1：齿轮系 一般地在伺服电动机与负载之间，往往通过齿轮系进行运动传递，其目的有 二：对负载提供必要地加速力矩，减速和增大力矩；调节精度。 转速比 传递函数 章重点：1 掌握控制系统建立数学模型的方法 2 应用拉普拉斯变换求解微分方程
2.0 概述 主要解决的问题： 1 2 3 什么是数学模型 为什么要建立系统的数学模型 对系统数学模型的基本要求
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2.0 概述 一、数学模型的定义 1、 控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各物理量（或 变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式或数字表达 式。亦：描述系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）。 控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型 动态模型 静态模型：在稳态时（系统达到平衡状态）描述系统各变量间关系 的数学模型。 动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。 关系：静态模型是t时系统的动态模型。 控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法 可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。
说明：一般由于机械系统比较复杂，参数调整不方便，在很多情况下，采用电模拟的 方法，对系统分析，特别是在现在，电气、电子技术的发展，为电模拟提供了良好的 条件。在专用模拟机或通用模拟机上，采用数学模型相似的电网络代替要研究的系统 来进行计算和研究，方便，易行。
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3、同一控制系统可以有不同的数学模型 同一控制系统具有各种物质运动形式（机械传动、电磁量运动、热 变形等），而不同的物质运动形式又分别受不同的物理规律约束，因而 建立的数学模型可能不同。 因此，建立数学模型时，一定要搞清输入 量、输出量。 四、数学模型的分类 1、微分方程 时间域 t 单输入 单输出 2、传递函数 复数域 s=σ+iω --3、频率特性 频率域 ω --4、状态方程 时间域 t 多输入 多输出 用一组微分方程描 述系统的状态特性
例1：单自由度机械位移系统（如插床、刨床）如图， 建立 ~ 间的微分方程关系式。 分析： 输入： 力 输出： m的位移
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质量-弹簧-阻尼器系统
（1）对于 m，由牛顿定律
m的受力分析
，质点所受的合力与惯性力相等。有
（2）弹簧力
－弹簧系数
与位移成正比
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阻尼器力
控制系统的传递函数
分析方法：根轨迹法。
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（8）传递函数的反拉氏变换是系统的单位脉冲响应
该式表明：系统的传递函数与系统的脉冲响应有单值对应的关系， 由于传递函数是系统的一种数学模型，能反映系统的静、动态性能， 故系统的脉冲响应也可以反映系统的静、动态性能，即系统的脉冲响 应也可以作为系统的数学模型。 2.3.3 传递函数的列写 法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在初始条件为0的情况下，取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比
定关系时， 上述二个微分方程具有完全相同的形式。 也就是说， 在数学上 ， ～
具有相同的关系（静、动态关系），由此可见利用数学模型
研究控制系统的重要性、方便性。另外，用电气系统模拟机械系统进行实验 研究也是工程中的常用方法，就系统理论而言，可以撇开系统的具体属性进 行普遍意义的分析和研究。
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例 2：RLC 电路（L-R-C 无源四端网络）如图，建立输入输出间的微分方程关
由基尔霍夫定律，回路的压降为 0，即输入电压由电感、电阻、电容上的电压 平衡。 Ur=UL+UR+UC 电流 与 有 即 的关系
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与 在数值上具有一 ～
注意：该系统也是一个二阶系统 与例 1 相比，它们具有相同的模型形式。当
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例 4 如图表示一个汽车悬浮系统的原理图。当汽车沿着道路行驶时，轮胎的垂直位移作 为一个运动激励作用在汽车的悬浮系统上。该系统的运动，由质心的平移运动和围绕质心的 旋转运动组成。建立这个系统的数学模型相当复杂。 （b）图给出了一种大为简化的悬浮系统，设 p 点的运动 为系统的输入，车体的垂直运 动 为系统的输出，只考虑车体在垂直方向的运动时，求 。