中国石油大学(北京)线性代数考试试题合集

石油大学（北京）04—05线性代数期末试题（A ） 班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________成绩_____

一、填空题（每小题3分，共18分）

1、 已知矩阵121010112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

，则行列式|2|T A =_____. 2、设33(),2,ij ij A a A A ⨯==表示A 中元素ij a 的代数余子式(,1,2,3i j =，则222112112221323212122222323312132223323()()()a A a A a A a A a A a A a A a A a A ++++++++=___.

3、设向量(2,－3，5)与向量(－4，6，a )线性相关，则a =______.

4、已知R (A 5⨯7)=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数是_____.

5、若2阶矩阵A 的特征值是1/2，1/3，则1A E --=_____.

6. 已知二次型f =3231212322

2166255x x x x x x cx x x -+-++的秩为2，那么c = . 二、选择题（每小题3分，共18分）

1、设行列式11122122a a m a a =，13

112321a a n a a =，则行列式111213212223a a a a a a ++等于（ ）

(A) m +n (B) －(m +n ) (C) n －m (D) m －n .

2、设有矩阵,,m n n p p m A B C ⨯⨯⨯，则下列运算无意义的是（ ）

(A) C ＋(AB )T (B) ABC (C) (BC )T －A (D) AC T .

3、设n 阶方阵A 满足A 2-E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（ ）

(A) A =E (B) A = －E (C) A =A －

1 (D) | A |=1 . 4、齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（ ）

(A) A 的行向量组线性相关 (B) A 的列向量组线性相关

(C) A 的行数小于A 的列数 (D) A 为方阵且| A |=0.

5、设Ax =b 是一非齐次线性方程组，12,ηη是其任意两个解，则下列结论错误的是（ ）

(A) 121122

ηη+是Ax =b 的一个解 (B) 12ηη+是Ax =0的一个解 (C) 122ηη-是Ax =b 的一个解 (D) 12ηη-是Ax =0的一个解.

6、n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值是A 与对角矩阵相似的（ ）

(A) 充分必要条件 (B) 必要而非充分条件

(C) 充分而非必要条件 (D) 既非充分而非必要条件.

三、计算题

1．（8分）计算行列式0000a a a

a a a

D a a a

a a a =.

2．（10分）设2101020,101A AB E A B ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭

，求矩阵B .

3．（16分）已知线性方程组123123123(2)1(2)(2)1(32)(2)x x x x x x x x x λλλλλλ++-=⎧⎪-+-+=⎨⎪-+-+=⎩

，问λ取何值时，

(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷多解？并在有无穷多解时，求出通解.

4．（15分）设矩阵322010423A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

， (1) 求A 的特征值；

(2) 求一个可逆矩阵P ，使P -1AP 成对角矩阵.

四、证明题（共15分）

1、 设向量组123,,ααα线性无关，试证明：

向量组112321233,,βαααβααβα=++=-=线性无关.

2、 设B 是n (2)n ≥阶方阵，且B 的元素全都是1，E 是n 阶单位矩阵， 证明：11()

1E B E B n --=--.