培优专题10分式总复习(含答案)

13、分式总复习

【知识精读】

分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质

注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =⨯⨯≠=÷÷≠⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪()()005113

【分类解析】

1. 分式有意义的应用

例1. 若ab a b +--=10，试判断

1111a b -+，是否有意义。 分析：要判断1111

a b -+，是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断a b -+11，与零的关系。

解： ab a b +--=10

∴+-+=a b b ()()110

即()()b a +-=110

∴+=b 10或a -=10 ∴

-+1111

a b ，中至少有一个无意义。

2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。

例2. 计算：a a a a a a 2211313

+-+--+- 分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。

解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313

=-+-+-=-+--=--+++-=--+-a a a a a a a a a a a a a 1113

1113311322

13()()()()()

()()

例3. 解方程：11765556

222-++=-+-+x x x x x x 分析：因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为：()()()()x x x x ++--1623，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156

-+-+=-+--+=--+故可得如下解法。 解： x x x x x x 222561561156

-+--+=--+ 原方程变为11761156

22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156

76560

2222x x x x x x x x x

经检验，x =0是原方程的根。

3. 在代数求值中的应用

例4. 已知a a 269-+与||b -1互为相反数，求代数式

()42222222222

a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a 、b 的值，又因为a a a 226930-+=-≥()，||b -≥10，利用非负数及相反数的性质可求出a 、b 的值。 解：由已知得a b -=-=3010，，解得a b ==31，

原式=+-++-÷+-++[()()()]()42222a b a b a b ab b a a ab b ab a b b a

=---+÷-+-++=---+⋅+-++=-++[()()()]()()()()()()()a b ab a b a b a b ab b ab a b b a

a b ab a b a b ab a b a b a b b a

a b a b

222222221 把a b ==31，代入得：原式=

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4. 用方程解决实际问题

例5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。 解：设这列火车的速度为x 千米/时

根据题意，得450312450312x x x

=+-. 方程两边都乘以12x ，得540042450030=+-x x

解得x =75

经检验，x =75是原方程的根

答：这列火车原来的速度为75千米/时。

5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。

例6. 已知x y y =+-2332

，试用含x 的代数式表示y ，并证明()()323213x y --=。 解：由x y y =+-2332

，得3223xy x y -=+ ∴-=+∴-=+∴=+-3223

322323

32

xy y x x y x y x x ()

()()()()323233226964321332323213

x y y y y y y x y -=+--=+-+-=-∴--= 6、中考原题：

例1．已知M x y xy y x y

x y x y 222222-=--+-+，则M ＝__________。 分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M 。

解： 2222xy y x y

x y x y --+-+ =-+-+-=-=-22222

22

2

22

22

xy y x xy y x y x x y M

x y ∴=M x 2

例2．已知x x 2

320--=，那么代数式()x x x --+-11132的值是_________。 分析：先化简所求分式，发现把x x 23-看成整体代入即可求的结果。

解：原式=--+=-+--=-()()x x x x x x x 112113222

x x x x 2232032--=∴-=