高等工程数学试题2013(暑假)1

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高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)

考试题及参考解答(参考)一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -；（B ）1~(0,1)1X N -；（C ）1~(0,1)9X N -；（D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大；（B ）长度变小；（C ）长度不变；（D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+；（B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----；（D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε；（B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ；（C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计；（D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-．（2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦．另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===，即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=，确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-，则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，文1)设全集为R，函数f(x)M，则R M为()．A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)答案：B解析：要使f(x)则须1－x≥0，即x≤1，所以M＝{x|x≤1}，R M＝{x|x＞1}．2．(2013陕西，文2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于()．A．BC．D．0答案：C解析：由a∥b知1×2－m2＝0，即m=或3．(2013陕西，文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()．A．log a b·log c b＝log c aB．log a b·log c a＝log c bC．log a(bc)＝log a b·log a cD．log a(b＋c)＝log a b＋log a c答案：B解析：由换底公式得log a b·log c a＝lg lglg lgb aa c⋅＝log c b，所以B正确．4．(2013陕西，文4)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()．A．25 B．30 C．31 D．61答案：C解析：因为x＝60＞50，所以y＝25＋0.6(60－50)＝31，故选C．5．(2013陕西，文5)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是()．A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45答案：D解析：由频率分布直方图知识可知：在区间[15,20)和[25,30)上的概率为0.04×5＋[1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5]＝0.45.6．(2013陕西，文6)设z是复数，则下列命题中的假．命题是()．A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2＜0答案：C解析：由复数的基本知识可知：z2能与0比较大小且z2≥0，则z为实数，所以A正确；同理，z2＜0，则z是纯虚数，所以B正确；反过来，z是纯虚数，z2＜0，D正确；对于选项C，不妨取z＝1＋i，则z2＝2i不能与0比较大小．7．(2013陕西，文7)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是()．A．－6 B．－2 C．0 D．2答案：A解析：设z＝2x－y，可行域如图：当直线y＝2x－z过点A时，截距－z最大，即z最小，所以最优解为(－2,2)，z min＝2×(－2)－2＝－6.8．(2013陕西，文8)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()．A．相切B．相交C．相离D．不确定答案：B解析：∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴点M(a，b)到圆心(0,0)的距离要大于半径，即a2＋b2＞1，＜1，而圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离为d9．(2013陕西，文9)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()．A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案：A 解析：∵sin sin sin a b c A B C==， ∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝1，∴π2A =，故选A ． 10．(2013陕西，文10)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( )． A ．[－x ]＝－[x ] B ．1[]2x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋12x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝[2x ]答案：D解析：令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，所以A 错；令12x =-，11022⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦，112⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，所以B 错；令x ＝0.5，[2x ]＝1,2[x ]＝0，所以C 错；故选D ．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，文11)双曲线221169x y -=的离心率为__________．答案：54解析：在双曲线221169x y -=中，a ＝4，b ＝3，则c ＝5，∴54c e a ==.12．(2013陕西，文12)某几何体的三视图如图所示，则其表．面积为__________．答案：3π解析：由三视图可知该几何体为半径为1的球体的一半，所以表面积为12×4π×12＋π×12＝3π.13．(2013陕西，文13)观察下列等式 (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 ……照此规律，第n 个等式可为____________________________________________________．答案：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1) 解析：观察规律，等号左侧为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，等号右侧分两部分，一部分是2n ，另一部分是1×3×…×(2n －1)．14．(2013陕西，文14)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为__________(m)．答案：20解析：设DE ＝x ，MN ＝y ，由三角形相似得：404040x AD AN y AB AM -===，即404040x y -=，即x ＋y ＝40，由均值不等式可知x ＋y ＝40≥，S ＝x ·y ≤400，当x ＝y ＝20时取等号，所以当宽为20时面积最大．15．(2013陕西，文15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)设a ，b ∈R ，|a －b |＞2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集是__________．答案：(－∞，＋∞)解析：由不等式性质知：|x －a |＋|x －b |≥|(x －a )－(x －b )|＝|b －a |＝|a －b |＞2，所以|x －a |＋|x －b |＞2的解集为全体实数．B ．(几何证明选做题)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.解析：∵PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．又∠C ＝∠A ，故∠A ＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，故△PED ∽△P AE ，则PE PDPA PE=，∴PE 2＝P A ·PD ．又PD ＝2DA ＝2， ∴P A ＝PD ＋DA ＝3， ∴PE 2＝3×2＝6，∴PE .C ．(坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线2,2x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是__________．答案：(1,0)解析：由2,2x t y t⎧=⎨=⎩消去t 得，y 2＝4x ，故曲线表示为焦点(1,0)的抛物线．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，文16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x＝ππcos sin 2sin cos 266x x -＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1. 当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-.17．(2013陕西，文17)(本小题满分12分)设S n 表示数列{a n }的前n 项和．(1)若{a n }是等差数列，推导S n 的计算公式；(2)若a 1＝1，q ≠0，且对所有正整数n ，有11nn q S q-=-.判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．解：(1)解法一：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]，又S n ＝a n ＋(a n －d )＋…＋[a n －(n －1)d ]， ∴2S n ＝n (a 1＋a n )，∴12n n n a a S (+)=. 解法二：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]，又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1＝[a 1＋(n －1)d ]＋[a 1＋(n －2)d ]＋…＋a 1，∴2S n ＝[2a 1＋(n －1)d ]＋[2a 1＋(n －1)d ]＋…＋[2a 1＋(n －1)d ] ＝2na 1＋n (n －1)d ， ∴S n ＝na 1＋12n n (-)d . (2){a n }是等比数列，证明如下：∵11n n q S q -=-，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝1111111n n n n q q q q q q q q+--(-)-==---.∵a 1＝1，q ≠0，∴当n ≥1时，有11nn n n a q q a q+-==，因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．18．(2013陕西，文18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．解：(1)由题设知，BB 1DD 1， ∴BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1.又BD 平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1B 1C 1BC ，∴A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C ．又A 1B 平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1∴A 1O 1.又∵S △ABD ＝121， ∴111ABD A B D V -＝S △ABD ×A 1O ＝1.19．(2013陕西，文19)(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500(1)中从B 组抽取了6(2)在(1)中，若评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)(2)记从A 12312B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率42189p ==. 20．(2013陕西，文20)(本小题满分13分)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率． (1)解：设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |.由此得|4|x -=化简得22143x y +=，所以，动点M 的轨迹方程为22143x y +=. (2)解法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入22143x y +=中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，由求根公式得，x 1＋x 2＝22434kk -+，①x 1x 2＝22434k +.②又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②得12834k x k =-+，2121234x k=+，可得2228123434k k k-⎛⎫= ⎪++⎝⎭，且232k >，解得32k =-或32k =，所以，直线m 的斜率为32-或32.解法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵A 是PB 的中点， ∴212x x =，① 2132y y +=.②又2211143x y +=，③ 2222143x y +=，④ 联立①，②，③，④解得222,0x y =⎧⎨=⎩或222,0,x y =-⎧⎨=⎩即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，所以，直线m 的斜率为32-或32. 21．(2013陕西，文21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)求f (x )的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点； (3)设a ＜b ，比较2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭与f b f a b a ()-()-的大小，并说明理由．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x ，设所求切线的斜率为k ， ∵g ′(x )＝1x，∴k ＝g ′(1)＝1，于是在点(1,0)处切线方程为y ＝x －1. (2)解法一：曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x )＝e x －12x 2－x －1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0， ∴φ(x )存在零点x ＝0.又φ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′(x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1，当x ＜0时，h ′(x )＜0，∴φ′(x )在(－∞，0)上单调递减．当x ＞0时，h ′(x )＞0，∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．∴φ′(x )在x ＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0，即φ′(x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x )在R 上是单调递增的， ∴φ(x )在R 上有唯一的零点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．解法二：∵e x ＞0，12x 2＋x ＋1＞0， ∴曲线y ＝e x与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线2112exx x y ++=与y ＝1公共点的个数，设()2112exx x x ϕ++=，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x )＝222111e 1e 22e e x x xxx x x x ⎛⎫(+)-++- ⎪⎝⎭=≤0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x )在R 上单调递减，∴φ(x )与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点． (3)2f b f a a b f b a ()-()+⎛⎫- ⎪-⎝⎭＝222e e e e e ee a b a b a b b ab ab a b ab a+++---+-=--＝222e[e e ()]a b b a a bb a b a+------．设函数u (x )＝e x －1e x －2x (x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋1e x －2≥2＝0， ∴u ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令2b ax -=，则得22ee ()>0b a a b b a -----， ∴2f b f a a b f b a ()-()+⎛⎫< ⎪-⎝⎭.。

13级高二数学暑假作业1试卷及答案

13级高二数学暑假作业1试卷及答案高三数学综合练习第一卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只一个正确答案）1．已知a?(1,2),b?(?,?1)，若a//b，则实数?的值等于（）11（b）（c）2（d）？二2212．函数f(x)?loga,(a?1)的大致图像为（）x（a）?YYYY11O1XO1XOX（a）（b）（c）（d）3．已知m,n是平面?内两条不同直线，l为平面?外一条直线，则“l?m,l?n”是“l??”的（）（a）充分和不必要条件（b）必要和不充分条件（c）充分和必要条件（d）既不充分也不必要条件4．某学校有学生1000人，其中高一年级300人，高二年级300人，高三年级400人，为了了解该校学生的身体发育情况，用分层抽样的方法从中抽取样本容量为200的样本，则在高三年级应抽取学生（）（a） 100人（b）80人（c）60人（d）40人5。

不平等x？1的解集是（）X（a）(??,?1)?(1,??)（b）(?1,0)?(0,1)（c）(?1,0)?(1,??)（d）(??,?1)?(0,1)十、Y2.让实数x和y满足约束条件？十、0，然后是x？Y的最小值为（）y0（a）2（b）1（c）2（d）22227。

已知P是一个圆（x？1）？Y当OP的倾角为度（）时，1上与坐标原点o不同的点（A）5?时，线段op的长63（b）2（c）3（d）1211，那么Cos2？？（）235577（a）（b）?（c）（d）?998.已知罪（？？）？9.使用三个自然数1、2和3组成一个四位数。

如果每个数字至少出现一次，则有（）个这样的四位数可以被3除（a）48（b）36（c）24（d）12x2y2？？1.在右分支的上点，F1和F2是左焦点和右焦点。

10.如图所示，M是双曲线，那么是48？mf1f2内切圆中心的横坐标为（）（a）2（b）3（c）1（d）与m位置有关f1ymc1of2c2x11．四面体abcd的四个顶点都在半径为r的球面上，ab、bc、cd长度相等，且两两垂直，则bc的球面距离为（）A.b13（a）RARCCO（b）RARCCO33（c）3r（d）2rCd3?4x?4,(1?x?)??212．已知定义在[1,??)上的函数f(x)满足f(x)??，当x?2时，3.8.4x，（？x？2）？2.f（x）？（a）1xf()，当x?[16,32]时，函数f(x)的图像与x轴围成的图形面积为s，则s等于（）221（b）1（c）2（d）42第ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空（这个大问题有4个小问题，每个小问题4分，总共16分）13。

数学_2012-2013学年北京市某校高三(上)暑期检测数学试卷1(文科)(含答案)

2012-2013学年北京市某校高三（上）暑期检测数学试卷1（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1. 若全集U =R ，A ={x|0<x <2}，B =x||x|≤1}，则(C U A)∩B 为（）A {x|−1≤x <0}B {x|−1≤x ≤1}C {x|1≤x ≤2}D {x|−1≤x ≤0}2. 函数f(x)=√x +4+log 2(6−2x)的定义域是（）A {x|x >3}B {x|−4<x <3}C {x|x >−4}D {x|−4≤x <3}3. 命题“∃x ∈R ，使x >1”的否定是（）A ∀x ∈R ，都有x >1B ∃x ∈R ，使x <1C ∀x ∈R ，都有x ≤1D ∃x ∈R ，使x ≤14. 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A 0<f′(2)<f′(3)<f(3)−f(2)B 0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2)C 0<f(3)<f′(2)<f(3)−f(2)D 0<f(3)−f(2)<f′(2)<f′(3)5. 函数f(x)=(12)x −sinx 在区间[0, 2π]上的零点个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个6. 在△ABC 中，AC =√7，BC =2，B =60◦，则BC 边上的高等于（）A √32B 3√32 C√3+√62 D √3+√394 7. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(x)在区间[1, a](a >2)上单调递增，且f(x)>0，则以下不等式不一定成立的是（）A f(1−3a 1+a )>f(−2)B f(1−3a 1+a )>f(−a)C f(a+12)>f(√a) D f(a)>f(0) 8. 已知两条直线l 1:y =m 和l 2:y =82m+1(m >0)，l 1与函数y =|log 2x|的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y =|log 2x|的图象从左至右相交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ，b ，当m 变化时，b a 的最小值为（）A 16√2B 8√2C 8√43D 4√43二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知集合A ={x|x ≤1}，B ={x|x ≥a}，且A ∪B =R ，则实数a 的取值范围是________．10. 当函数y =sinx −√3cosx(0≤x <2π)取最小值时，x =________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，将点A(√3，1)绕原点O 逆时针旋转90∘到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan2α=________．12. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x +1)=−f(x)，且在[−1, 0]上单调递增，设a =f(3)，b =f(√2)，c =f(2)，则a ，b ，c 从大到小的排列顺序是________．13. 已知函数f(x)={log 2(x +1)(x >0)−x 2−2x(x ≤0)，若函数g(x)=f(x)−m 有且仅有1个零点，则实数m的取值范围是________．14. 设x1<x2，定义区间[x1, x2]的长度为x2−x1．若函数y=2|x|，x∈[a, b]的值域与y=√x+√3−3x的值域相同，则区间[a, b]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，）15. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C成等差数列，若边a，b，c成等比数列，求sinA⋅sinC的值．16. 已知集合A={y|y=x2−23x+1，x∈[34,2]}，B={x||x+m2|≥1}；命题p:x∈A，命题q:x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．17. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中x∈R，A>0，ω>0，−π2<φ<π2）的部分图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式及f(x)的单调递增区间；（2）已知在函数f(X)的图象上的三点M，N，P的横坐标分别为−1，1，5，求sin∠MNP的值．18. 若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a−x)=2b，则称函数y=f(x)的图象关于点(a, b)对称．（1）已知函数f(x)=x2+mx+mx的图象关于点(0, 1)对称，求实数m的值；（2）已知函数g(x)在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的图象关于点(0, 1)对称，且当x∈(0, +∞)时，g(x)=x2+ax+1，求函数g(x)在(−∞, 0)上的解析式；（3）在（1）、（2）的条件下，当t>0时，若对任意实数x∈(−∞, 0)，恒有g(x)<f(t)成立，求实数a的取值范围．19. 定义：两个连续函数（图象不间断）f(x)，g(x)在区间[a, b]上都有意义，我们称函数|f(x)+g(x)|在[a, b]上的最大值叫做函数f(x)与g(x)在区间[a, b]上的“绝对和”．（1）试求函数f(x)=x2与g(x)=x(x+2)(x−4)在闭区间[−2, 2]上的“绝对和”．（2）设ℎm(x)=−4x+m及f(x)=x2都是定义在闭区间[1, 3]上，记ℎm(x)与f(x)的“绝对和”为D m，如果D(m)的最小值是D(m0)，则称f(x)可用ℎm(x)“替代”，试求m0的值，使f(x)可用ℎm(x)“替代”．20. 已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e x在[0, 1]上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0．求a取值范围；设g(x)=f(x)−f′(x)，求g(x)在[0, 1]上的最大值和最小值．2012-2013学年北京市某校高三（上）暑期检测数学试卷1（文科）答案1. D2. D3. C4. B5. B6. B7. A8. B9. a≤110. 11π611. (−1,√3),√312. c>b>a13. (−∞, 0)∪(1, +∞)14. 115. 解：∵ △ABC中，A，B，C成等差数列，∴ 2B=A+C，又A+B+C=π，∴ B=π3，…又b2=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin2B=34…另解：b2=ac，12=cosB=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，…由此得a2+c2−ac=ac，得a=c，所以A=B=C，sinAsinC=34．…16. 解：集合A是函数y=x2−32x+1的值域，由y=x2−32x+1，配方得：y=(x−34)2+716∵ x∈[34，2]，∴ y min=716，y max=2∴ y∈[716，2]∴ A={y|716≤y≤2}集合B是不等式|x+m2|≥1的解集，由|x+m2|≥1，∴ x≥1−m2或x≤−1−m2 B={x|x≥1−m2或x≤−1−m2}∵ 命题p是命题q的充分条件，∴ A⊆B∴ 1−m2≤716解之得m≥34或m≤−34所以实数m的取值范围是(−∞,−34]或[34，+∞)17. 解：（1）由图可知，A=1，最小正周期T=4×2=8．由T=2πω=8，得ω=π4．…又f(1)=sin(π4+φ)=1，且−π2<φ<π2，所以φ=π4．…所以f(x)=sin(π4x+π4)．…由2kπ−π2≤π4x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)得8k−3≤x≤8k+1(k∈Z)∴ f(x)的单调递增区间为[8k−3, 8k+1](k∈Z)…（2）因为f(−1)=0，f(1)=1，f(5)=−1，所以M(−1, 0)N(1, 1)，P(5, −1)．…所以|MN|=√5，|PN|=√20，|MP|=√37．由余弦定理得cos∠MNP=2√5×√20=−35．…因为∠MNP∈[0, π)，所以sin∠MNP=45．…18. 解：（1）由题设，∵ 函数f(x)=x2+mx+mx的图象关于点(0, 1)对称，∴ f(x)+f(−x)=2，∴ x2+mx+mx +x2−mx+m−x=2∴ m=1…（2）∵ 函数g(x)在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的图象关于点(0, 1)对称，∴ g(x)+g(−x)=2，∵ 当x∈(0, +∞)时，g(x)=x2+ax+1，∴ 当x<0时，g(x)=2−g(−x)=−x2+ax+1…（3）由（1）得f(t)=t+1t+1(t>0)，其最小值为f(1)=3g(x)=−x2+ax+1=−(x−a2)2+1+a24，…①当a2<0，即a<0时，g(x)max=1+a24<3，∴ a∈(−2√2，0)…②当a2≥0，即a≥0时，g(x)max<1<3，∴ a∈[0, +∞)…由①、②得a∈(−2√2，+∞)…19. 解：（1）令F(x)=f(x)+g(x)=x2+x(x+2)(x−4)=x3−x2−8x，则F′(x)=3x2−2x−8=(3x+4)(x−2)．F(x)，F′(x)随x的值的变化情况如下表由表可知F(x)的值域为[−12,17627].故|f(x)+f(x)|在[−2, 2]上的最大值为12．从而f(x)与g(x)在[−2, 2]上的“绝对和”为12．（2）设ϕ(x)=ℎm (x)+f(x)=−4x +m +x 2=(x −2)2+m −4．而ϕ(1)=ϕ(3)=m −3∴ D(m)是|m −3|与|m −4|中较大者．∴ D(m)={|m −4|(m <72)|m −3|(m ≥72) ∴ 当m =72时，D(m)最小，∴ m 0=72．即m 0=72时，f(x)可用ℎm 0(x)“替代”20. 解由f(0)=1，f(1)=0，得c =1，a +b =−1，则f(x)=[ax 2−(a +1)x +1]e x ，f′(x)=[ax 2+(a −1)x −a]e x ，依题意需对任意的x ∈(0, 1)，有f′(x)≤0．当a >0时，因为二次函数y =ax 2+(a −1)x −a 图象开口向上，而f′(0)=−a <0，所以需f′(1)=(a −1)e <0，即0<a <1；当a =1时，对于任意的x ∈(0, 1)有f′(x)=(x 2−1)e x <0，f(x)符合条件；当a =0时，对于任意的x ∈(0, 1)，有f′(x)=−xe x <0，f(x)符合条件；当a <0时，因为f′(0)=−a >0，f(x)不符合条件；故a 的取值范围是0≤a ≤1．因为g (x )=(−2ax +1+a )e x ，所以g ′(x)=(−2ax +1−a)e x ，（i ）当a =0时，g ′(x )=e x >0,g (x )在x =0处取得最小值g (0)=1，在x =1处取得最大值g (1)=e ．（ii ）当a =1时，对于任意x ∈(0,1)有g ′(x )=−2xe x <0，g (x )在x =0处取得最大值g (0)=2，在x =1处取得最小值g (1)=0．（iii ）当0<a <1时，由g ′(x )=0得x =1−a 2a >0． ①若1−a 2a ≥1，即0<a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x =0处取得最小值g (0)=1+a ，在x =1处取得最大值g (1)=(1−a )e.②若1−a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x =1−a 2a 处取得最大值g (1−a 2a )=2a ⋅e1−a 2a ，在x =0或x =1处取得最小值．而g (0)=1+a ，g (1)=(1−a )e ，则当13<a ≤e−1e+1时，g (x )在x =0处取得最小值g (0)=1+a ；当e−1e+1<a <1时，g (x )在x =1处取得最小值g(1)=(1−a)e ．。

(完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 2．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )．A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B． CD ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cos x sin 2x，下列结论中错误的是( )．A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线π=2x对称C．f(x)的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________.14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝22a，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin C，求C19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2．答案：A解析：323=13=8-.故选A. 3．答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4．答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5．答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x-(x ＞0)．故选A. 6．答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4.∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7．答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D. 8．答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---.故12314PA PA k k ＝－. ∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9．答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10．答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ， ∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则2==22AC OC，2222112932=2222C O OC CC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即322222CH ⋅＝， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11．答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k (+)，x 1x 2＝4.①由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩121221212124,[24].y y k x x k y y k x x x x +=(+)-⎧⎨=-(+)+⎩①②∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12．答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得3=t . 当t ＝±1时，函数值为0；当3t =43；当33t =时，函数值为439.∴g (t )max ＝39，即f (x )43.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：22解析：由题意知cos α＝2121sin 193α--=-=-. 故cot α＝cos =22sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE ＝2R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE R ∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A＋C )＋2sin A sin C ＝1+22=，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD. 所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．连结AG，EG，则EG∥PB.又PB⊥AE，所以EG⊥AE.设AB＝2，则AE＝EG＝12PB＝1，故AG3.在△AFG中，FG＝12CD=，AF=，AG＝3，所以cos∠AFG＝2222FG AF AGFG AF+-=⨯⨯因此二面角A－PD－C的大小为πarccos3-.解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设|AB|＝2，则A(，0,0)，D(0，-，0)，C(，，0)，P(0,0)．PC＝(2，，2-)，PD＝(0，，)．AP＝，0)，AD＝，，0)．设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·PC＝(x，y，z)·(2，2-)＝0，n1·PD＝(x，y，z)·(0，，)＝0，可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)．设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，则n2·AP＝(m，p，q，0)＝0，n2·AD＝(m，p，q，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝1212||||=·n nn n.由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π-20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝14.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝18，P(X＝2)＝P(1B·B3)＝P(1B)P(B3)＝1 4，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1151848--=，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝98.21．(1)解：由题设知ca＝3，即222a ba+＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得x=由题设知，=a2＝1.所以a＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，k(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2268kk-，x1·x2＝22988kk+-.于是|AF1|(3x1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1·x2＝199-.由于|AF2|1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111422(1)nn nk na an k k-=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑＝2121211ln21n nk n k nk kk k k --==++>(+)∑∑＝ln 2n－ln n＝ln 2.所以21ln24n na an-+>.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．453．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)5则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5] 6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．810．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x(cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D . (1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B. 2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D.3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±.∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A. 6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=.∴m ＝5.故选C. 8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C mm ，b ＝21C mm +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a . ∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]． 12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ， ∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )， 0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.②①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n aa -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝-则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,30.x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A C A C⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P(x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k ＝4±.当k ＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±.所以|AB |2118|7x x -=.当k =|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x(cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x(x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF. 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(辽宁卷)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(辽宁卷)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．(2013辽宁，文1)已知集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x ||x |＜2}，则A ∩B ＝( )． A ．{0} B ．{0,1} C ．{0,2} D ．{0,1,2} 答案：B解析：∵|x |＜2，∴x ∈(－2,2)，即B ＝{x |－2＜x ＜2}．∴A ∩B ＝{0,1}，故选B.2．(2013辽宁，文2)复数1=i 1z -的模为( )． A ．12 BCD ．2 答案：B 解析：1i 111i i 1(i 1)(i 1)22z --===------， ∴|z |B.3．(2013辽宁，文3)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为( )．A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：A解析：与向量AB 同方向的单位向量为AB AB34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选A. 4．(2013辽宁，文4)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )． A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4 答案：D解析：如数列－2，－1,0,1,2，…，则1×a 1＝2×a 2，排除p 2，如数列1,2,3，…，则n a n＝1，排除p 3，故选D.5．(2013辽宁，文5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )．A ．45B ．50C ．55D ．60 答案：B解析：根据频率分布直方图，低于60分的人所占频率为：(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生数为150.3＝50，故选B. 6．(2013辽宁，文6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )． A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6答案：A解析：根据正弦定理a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12. 又a ＞b ，所以A ＋C ＝5π6，所以π6B =.故选A.7．(2013辽宁，文7)已知函数f (x )＝3)1x +，则1(l g 2)l g 2f f ⎛⎫+⎪⎝⎭＝( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：D解析：∵f (x )＝3)1x +，∴f (－x )＝3)1x +， ∴f (x )＋f (－x )＝ln 1＋1＋1＝2，又1lg2＝－lg 2， ∴1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2，故选D.8．(2013辽宁，文8)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝8，则输出S ＝( )．A ．49 B ．67 C ．89 D ．1011答案：A解析：当n ＝8时，输出的22221111021416181S =++++---- 111113355779=+++⨯⨯⨯⨯ 111111111213355779⎛⎫=-+-+-+- ⎪⎝⎭ 49=，故选A.9．(2013辽宁，文9)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )．A ．b ＝a 3B ．31b a a=+C ．331()0b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--=答案：C解析：若∠OBA 为直角，则0OB AB ⋅=，即a 2＋(a 3－b )·a 3＝0，又a ≠0，故31b a a =+；若∠OAB 为直角时，0OA AB ⋅=，即b (a 3－b )＝0，得b ＝a 3；若∠AOB 为直角，则不可能．所以b －a 3－1a＝0或b －a 3＝0，故选C.10．(2013辽宁，文10)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )．AB． C ．132D．答案：C解析：过C ，B 分别作AB ，AC 的平行线交于点D ，过C 1，B 1分别作A 1B 1，A 1C 1的平行线交于D，连接DD 1，则ABCD －A 1B 1C 1D 1恰为该球的内接长方体，故该球的半径r ＝132=，故选C.11．(2013辽宁，文11)已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )．A ．35 B ．57 C ．45 D ．67答案：B解析：如图所示，根据余弦定理，|AF |2＝|BF |2＋|AB |2－2|BF ||AB |cos ∠ABF ，即|AF |＝6，又|OF |2＝|BF |2＋|OB |2－2|OB ||BF |cos ∠ABF ，即|OF |＝5.又根据椭圆的对称性，|AF |＋|BF |＝2a ＝14，∴a ＝7，|OF |＝5＝c ，所以离心率为57，故选B.12．(2013辽宁，文12)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )．A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．16 答案：C解析：∵f (x )－g (x )＝2x 2－4ax ＋2a 2－8 ＝2[x －(a －2)][x －(a ＋2)]，∴()1(),(,2],(),(2,2],(),(2,],f x x a H x g x x a a f x x a ∈-∞-⎧⎪∈-+⎨⎪∈++∞⎩＝()2(),(,2],(),(2,2],(),(2,],g x x a H x f x x a a g x x a ∈-∞-⎧⎪∈-+⎨⎪∈++∞⎩＝可求得H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4a －4，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝－4a ＋12， ∴A －B ＝－16.故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年江苏省高考数学试卷 (真题与答案解析)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．3．(2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2AD AB ，2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若21d =，则椭圆C 的离心率为__________．13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x=(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为__________．14．(2013江苏，14)在正项等比数列{a n }中，512a =，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2n n nS b n c=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．(2013江苏，21)A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A －1B .C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．。

2013年江苏省高考数学试卷 (真题与答案解析)-推荐下载

3．(2013 江苏，3)双曲线 x2 y2 =1 的两条渐近线的方程为__________． 16 9
4．(2013 江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．
5．(2013 江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是__________．
6．(2013 江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环)，
9．(2013 江苏，9)抛物线 y＝x2 在 x＝1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部和边界)．若点 P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则 x＋2y 的取值范围是__________．
1
2
10．(2013 江苏，10)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点， AD= AB ， BE= BC .若
12．(2013
江苏，12)在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
的标准方程为
x2 a2

y2 b2
=1 (a＞0，b＞0)，右
焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2.若
d2 6d1 ，则椭圆 C 的离心率为__________．
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2013年高数试题参考答案

2013年高数试题参考答案一．填空题１．【详解1】c kx x kxx x x x x k x k x k x ==+=--→-→→12012200lim 1lim arctan lim ，所以k ，c k 121==-，即31,3==c k ．【详解2】因为)(31arctan 33x o x x x +-=，显然331arctan x x x =-，当然有31,3==c k ．应该选（Ｄ） 2．【分析】此题考查的是空间曲面在点),,(000z y x M 处的法向量及切平面的方程．其中法向量为()),,(0|,,z y x z y x F F F =．【详解】设x yz xy x z y x F +++=)cos(),,(2，则在点点)1,1,0(-处())1,1,1(|,,000,,(-==z y x z y x F F F ，从而切平面方程为0)1()1()0(=++---z y x ，即2-=+-z y x ．应该选（Ａ）３．【分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性．【详解】由条件可知，∑∞=1sin n n x n b π为21)(-=x x f 的正弦级数，所以应先把函数进行奇延拓，由收敛定理可知∑∞==1sin )(n n x n b x S π也是周期为２的奇函数，故41414141)49(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-f S S S ，应选（Ｃ）．４．【分析】此题考查的是格林公式和二重积分的计算．【详解】由格林公式，⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=i i i D i D L i dxdy y x D S dxdy y x dy x x dx y y I 2)(21326222233．.8343)(43)2(403202222222222R dr r d dxdy y x dxdy y x R R y x R y x πθπ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+ 所以πππ85831=-=I ，248322πππ=⋅-=I ；在椭圆D ：12222≤+by a x 上，二重积分最好使用广义极坐标计算：πθθθθθθθπππ4)2(cos 4)2(sin 2cos 4sin 21cos )2(222022220222210222222201222222b a ab d b a ab b a ab abrdrr b r a d dxdy y x b y ax +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+故ππ82523-=I ，πππ222224=-=I ．显然π224=I 最大．故应选（Ｄ）．二、填空题5．【详解】当0=x 时，1)0(==f y ，利用隐函数求导法则知1)0('=f ．1)0('1)0(1lim 11lim ==-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ． 6．【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．7．【详解】t dxdytdt t dy tdt dx ===,cos ,cos ，t t dx y d sec cos 122==，所以2|422==πt dx yd ．8．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 三、解答题9．（本题满分10分）计算⎰1)(dx xx f ，其中⎰+=x dt t t x f 1)1ln()(．【分析】被积函数中含有变上限积分，所以应该用分部积分法．【详解】π282ln 414|)1ln(4)1ln(4)1ln(2|)(2)(2)(1010110101010-+-=+++-=+-=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx xxx x x d x dxx x x x f x x d x f dx xx f 10．（本题满分10分）设数列{}n a 满足条件：0123,1,(1)0(2)n n a a a n n a n -==--=≥，)(x S 是幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数．（1）证明：0)()(=-''x S x S ；（2）求)(x S 的表达式．【详解】（1）证明：由幂级数和函数的分析性质可知，;)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a x a x S∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=-∞=∞=++=+==+==1110111100)1()1()'()'()('n nn n nn n n n n nn n nn x a n a x a n xna x a a x a x S；∑∑∑∞=+∞=-+∞=+++=+=++=''02111111)2)(1()1()')1(()('n n n n n n n nn x a n n xa n n x a n a x S ，由条件可得n n a a n n =+++2)2)(1(，所以)()2)(1()('02x S x a x a n n x S n n n n nn ==++=''∑∑∞=∞=+，也就有0)()(=-''x S x S ．（2）解：由于,)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a x a x S 所以3)0(0==a S∑∞=+++=111)1()('n n n x a n a x S ，所以1)0('1==a S ，解微分方程1)0(',3)0(,0)()(===-''S S x S x S ，可得x x e e x S 2)(+=-． 11．（本题满分10分）求函数y x e x y y x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3),(3的极值．【详解】先求驻点，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++,031),(,03),(332x y e y x f x y x e y x f y x xy x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧-==321,341y x y x ，为了判断两个驻点是否为极值点，求二阶偏导数，).32(),(),31(),(),(),322(),(33232x y ey x f x y x e y x f y x f x y x x ey x f yx yy yx yx xy yx xx ++=+++==+++=+++在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,1处，,033231312>-=----e e e B AC 且0>A ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,1为极小值点，极小值为31)34,1--=-e f ．在点⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,1处，,02=<-B AC 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,1不是极值点．12．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ，令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ，由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ．13．（本题满分10分）设直线L 过,)0,0,1(A )1,1,0(B 两点，过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，曲面∑与平面2,0==z z 所围成的立体为Ω．（1）求曲面∑的方程；（2）求立体Ω的质心坐标．【详解】（1）直线L 的对称式方程为1111zy x ==--，设),,(z y x M 为曲面∑上的任意一点，并且其对应于直线L 上的点为),,(0000z y x M ，由于过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，所以有如下式子成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--+=+=11110002202200z y x y x y x z z ，整理可得，122222+-=+z z y x ，这就是曲面∑的方程．（2）设Ω的质心坐标为()z y x ,,，由对称性，显然0,0==y x ，57310314)122()22(222231222012220222222==+-+-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-≤++-≤+ΩΩππππdz z z dz z z z dxdy zdzdxdy dzdvzdv z z z y x z z y x ，所以Ω的质心坐标为()⎪⎭⎫ ⎝⎛=57,0,0,,z y x ．。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(广东卷)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(广东卷)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 2)h ，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，理1)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )．A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2} 答案：D解析：∵M ＝{－2,0}，N ＝{0,2}，∴M ∪N ＝{－2,0,2}．2．(2013广东，理2)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C解析：y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数；y ＝x 2＋1为偶函数；y ＝2x 为非奇非偶函数．所以共有2个奇函数，故选C ． 3．(2013广东，理3)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )． A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4,2) 答案：C解析：由i z ＝2＋4i ，得z ＝24i (24i)(i)i i (i)++⋅-=⋅-＝4－2i ，故z 对应点的坐标为(4，－2)．4．(2013广东，理4)则X 的数学期望E (X )＝( A ．32 B ．2 C ．52D ．3 答案：A解析：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32. 5．(2013广东，理5)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )．A ．4B ．143C ．163D ．6 答案：B解析：方法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示，其中上、下底面分别是边长为1,2的正方形，且DD 1⊥面ABCD ，上底面面积S 1＝12＝1，下底面面积S 2＝22＝4.又∵DD 1＝2，∴V 台＝13(S 1＋S 2)h＝13(1＋4)×2＝143. 方法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1都为正方形， AB ＝2，A 1B 1＝1，且D 1D ⊥平面ABCD ，D 1D ＝2. 分别延长四棱台各个侧棱交于点O ，设OD 1＝x ，因为△OD 1C 1∽△ODC ，所以111OD D C OD DC =，即122x x =+，解得x ＝2. 1111ABCD A B C D V -＝V 棱锥O －ABCD －1111O A B C D V -棱锥＝13×2×2×4－13×1×1×2＝143. 6．(2013广东，理6)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 答案：D解析：选项A 中，m 与n 还可能平行或异面，故不正确；选项B 中，m 与n 还可能异面，故不正确；选项C 中，α与β还可能平行或相交，故不正确；选项D 中，∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α. 又n ∥β，∴α⊥β.故选D ．7．(2013广东，理7)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )．A ．2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x = 答案：B解析：由曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3. 由离心率32e =，知32c a =，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线C的方程为221 45x y-=.8．(2013广东，理8)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S 中，则下列选项正确的是()．A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S答案：B解析：由(x，y，z)∈S，不妨取x＜y＜z，要使(z，w，x)∈S，则w＜x＜z或x＜z＜w.当w＜x＜z时，w＜x＜y＜z，故(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.当x＜z＜w时，x＜y＜z＜w，故(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.综上可知，(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)9．(2013广东，理9)不等式x2＋x－2＜0的解集为__________．答案：{x|－2＜x＜1}解析：x2＋x－2＜0即(x＋2)(x－1)＜0，解得－2＜x＜1，故原不等式的解集为{x|－2＜x＜1}．10．(2013广东，理10)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝__________.答案：－1解析：y′＝k＋1 x .因为曲线在点(1，k)处的切线平行于x轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得y′|x＝1＝0，故k＋1＝0，即k＝－1.11．(2013广东，理11)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为__________．答案：7解析：i＝1，s＝1，i≤4，s＝1＋0＝1；i ＝2，s ＝1，i ≤4，s ＝1＋1＝2； i ＝3，s ＝2，i ≤4，s ＝2＋2＝4； i ＝4，s ＝4，i ≤4，s ＝4＋3＝7；i ＝5，此时i ＞4，故s ＝7.12．(2013广东，理12)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝__________. 答案：20解析：因为数列{a n }的等差数列，所以由等差数列的性质得a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝a 4＋a 7＝10. 所以3a 5＋a 7＝a 5＋2a 5＋a 7＝a 5＋a 4＋a 6＋a 7＝2×10＝20.13．(2013广东，理13)给定区域D ：44,4,0.x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定__________条不同的直线．答案：6解析：由区域D ：44,4,0,x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩画出可行域如图所示．满足条件的(x 0，y 0)有(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共确定6条不同的直线．(二)选择题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2013广东，理14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为,,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为__________．答案：πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解析：∵曲线C的参数方程为,x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，∴其普通方程为x 2＋y 2＝2.又点(1,1)在曲线C 上，∴切线l 的斜率k ＝－1.故l 的方程为x ＋y －2＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，即πs i n 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭15．(2013广东，理15)(几何证明选讲选做题)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝__________.答案：解析：连接OC ．∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC ．又BC ＝CD ，∴AB ＝AD ＝6，∠BAC ＝∠CAD ．又CE 为圆O 的切线，则OC ⊥CE . ∵∠ACE 为弦切角，∴∠ACE ＝∠B ． ∴∠ACE ＋∠CAD ＝90°.∴CE ⊥AD ．又AC ⊥CD ，∴CD 2＝ED ·AD ＝2×6＝12，即CD ＝∴BC ＝三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(2013广东，理16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求π6f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π23f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解：(1)πππ6612f ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ144⎛⎫-== ⎪⎝⎭.(2)πππ223312f θθ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π24θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ.因为cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin θ＝45-. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425-，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725-.所以π23f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ＝72417252525⎛⎫---=⎪⎝⎭. 17．(2013广东，理17)(本小题满分12分)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．解：(1)样本均值为171920212530132=2266+++++=.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为2163=，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝1148212C C 16C 33=.18．(2013广东，理18)(本小题满分14分)如图(1)，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BEO 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O图(1)图(2)(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′CDB 的平面角的余弦值．解：(1)由题意，得OC ＝3，AC＝AD＝如图，连结OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理可得OD由翻折不变性可知A ′D＝所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ．同理可证A ′O ⊥OE ，又OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)传统法：过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连结A ′H ，因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ．所以∠A ′HO 为二面角A ′CDB 的平面角．结合题图(1)可知，H 为AC 中点，故OH，从而A ′H=，所以cos ∠A ′HO＝OH A H ='所以二面角A ′－CD －B向量法：以O 点为原点，建立空间直角坐标系O －xyz 如图所示．则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，所以CA '＝(0,3，DA '＝(－1,2．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的法向量，则0,0,CA DA ⎧⋅'=⎪⎨⋅'=⎪⎩n n 即30,20,y xy ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩解得,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩令x ＝1，得n ＝(1，－1．由(1)知，OA '＝(0,0为平面CDB 的一个法向量，所以cos 〈n ，OA '〉＝5OA OA ⋅'=='n n 即二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为5. 19．(2013广东，理19)(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2121233n n S a n n n +=---，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<. 解：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即111n n a a n n +-=+.又21121a a-=，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为1的等差数列，所以n an＝1＋(n －1)×1＝n .所以a n ＝n 2.(3)当n ＝1时，1171<4a =；当n ＝2时，12111571444a a +=+=<；当n ≥3时，21111111n a n n n n n =<=-(-)-，此时12111na a a +++＝222111111111111+<1434423341n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝1117171+4244n n +-=-<.综上，对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<.20．(2013广东，理20)(本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线P A，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．解：(1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy，2=，结合c＞0，解得c＝1.所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝14x2，求导得y′＝12x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)221212,44x xy y⎛⎫==⎪⎝⎭其中，则切线P A，PB的斜率分别为12x1，12x2，所以切线P A的方程为y－y1＝12x(x－x1)，即y＝12xx－212x＋y1，即x1x－2y－2y1＝0，同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0，因为切线P A，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0.所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1.联立方程002220,4,x x y yx y--=⎧⎨=⎩消去x整理得y2＋(2y0－x02)y＋y02＝0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x02－2y0，y1y2＝y02，所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y02＋x02－2y0＋1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2.所以y02＋x02－2y0＋1＝2y02＋2y0＋5＝219222y⎛⎫++⎪⎝⎭.所以当y0＝12-时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为92.21．(2013广东，理21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2(k∈R)．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：由表可知，函数f (x )的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(2k )，令g (k )＝ln(2k )－k ，k ∈1,12⎛⎤⎥⎝⎦，则g ′(k )＝1k －1＝1k k-≥0，所以g (k )在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增．所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e ＜0.从而ln(2k )＜k ，所以ln(2k )∈(0，k )．所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln(2k )，＋∞)时，f ′(x )＞0；所以M ＝max{f (0)，f (k )}＝max{－1，(k －1)e k －k 3}．令h (k )＝(k －1)e k －k 3＋1，则h ′(k )＝k (e k －3k )，令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3≤e －3＜0.所以φ(k )在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，而12ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭·φ(1)＝32⎫⎪⎭(e －3)＜0，所以存在x 0∈1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦使得φ(x 0)＝0，且当k ∈01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，φ(k )＞0，当k ∈(x 0,1)时，φ(k )＜0，所以φ(k )在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．因为17>028h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，h (1)＝0，所以h(k)≥0在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当k＝1时取得“＝”．综上，函数f(x)在[0，k]上的最大值M＝(k－1)e k－k3.。

高等工程数学-2013年练习题

高等工程数学注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 1x 与2x 的绝对误差分别为1δ与2δ，则2121x x x +有绝对误差； 2. 用Cholesky (乔勒斯基) 分解法解线性方程组AX b =的充分条件为 ; 用Doolittle (杜里脱尔) 分解法解线性方程组AX b =的充分条件为； 3．方程()x x ϕ=有唯一根且迭代格式1()n n x x ϕ+=收敛的条件为：；；； 4．龙贝格算法中n T 与n S 的关系是，用1()m T h +来逼近()baI f x dx =⎰的误差为；5．设总体2220~(,),X N μσσσ=已知,X 是样本均值，在检验假设00:H μμ=时选用的检验统计量为，拒绝域为，μ的置信水平为1α-的置信区间为；6. 设总体X 服从],0[θ上的均匀分布，则θ的矩法估计为，极大似然估计为； 7．线性回归方程是指；8．用牛顿迭代法求()cos 0f x x x =-=在01x =附近满足精度10.001k k x x +-<的实根x ≈ 。

二、（本题6分）设有钢材100根，长17米，需轧成配套钢料。

每套由7根5米长与2根6米长的钢梁组成，问如何下料使钢材废料最少（不计下料损耗）？建立该问题的数学模型（不要求计算）。

三、（本题10分）已知)(x f 的数据如表：用三次Lagrange 插值多项式3()L x 计算(4)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。

四、（本题12分）为研究温度对某个化学过程的生产量的影响，收集到如下数据（规范化形式）：温度x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 生产量y 1 5 4 7 10 8 9 13 14 13 18 （1）求Y 对X 的线性回归方程。

（结果保留小数点后两位。

）0101=∑=i ix,102101=∑=i i y ,∑==101158i i i y x ,1101012=∑=i ix,11941012=∑=i i y（2）对回归方程的显著性进行检验。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖北卷)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖北卷)本试题卷共5页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，文1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩＝( )．A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5} 答案：B解析：∵＝{3,4,5}，B ＝{2,3,4}，故B ∩＝{3,4}．故选B.2．(2013湖北，文2)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：2222=1sin cos x y θθ-与C 2：22221cos sin y x θθ-=的( )．A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等答案：D 解析：对于θ∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，sin 2θ＋cos 2θ＝1，因而两条双曲线的焦距相等，故选D. 3．(2013湖北，文3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A ．(⌝p )∨(⌝q )B ．p ∨(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q 答案：A解析：至少有一位学员没有降落在指定范围，即p ∧q 的对立面，即⌝(p ∧q )＝(⌝p )∨(⌝q )，故选A.4．(2013湖北，文4)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确．．．的结论的序号是( )． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④答案：D解析：正相关指的是y 随x 的增大而增大，负相关指的是y 随x 的增大而减小，故不正确的为①④，故选D.5．(2013湖北，文5)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )．答案：C解析：根据题意，刚开始距离随时间匀速减小，中间有一段时间距离不再变化，最后随时间变化距离变化增大，故选C.6．(2013湖北，文6)将函数y x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )．A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π6答案：B解析：y ＝cos x ＋sin x ＝2πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向左平移m 个单位长度后得y ＝2πsin 3x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象．又平移后的图象关于y 轴对称，即y ＝2πsin 3x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为偶函数，根据诱导公式m 的最小正值为π6，故选B.7．(2013湖北，文7)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD方向上的投影为( )．A BC ．D ．答案：A解析：因为AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，所以向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos 〈AB ，CD〉＝2AB CD AB CDABAB CD CD⋅⋅⋅===.故选A.8．(2013湖北，文8)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为()．A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数答案：D解析：由题意f(1.1)＝1.1－[1.1]＝0.1，f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a，有f(a＋x)＝a＋x－[a ＋x]＝x－[x]＝f(x)，故f(x)在R上为周期函数．故选D.9．(2013湖北，文9)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()．A．31 200元B．36 000元C．36 800元D．38 400元答案：C解析：设需A，B型车分别为x，y辆(x，y∈N)，则x，y需满足3660900,7,,,x yy xx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪∈∈⎩N N设租金为z，则z＝1 600x＋2 400y，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x＝5，y＝12，此时z最小等于36 800，故选C.10．(2013湖北，文10)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，0) B．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C．(0,1) D．(0，＋∞)答案：B解析：f′(x)＝ln x－ax＋1x ax⎛⎫-⎪⎝⎭＝ln x－2ax＋1，函数f(x)有两个极值点，即ln x－2ax ＋1＝0有两个不同的根(在正实数集上)，即函数g(x)＝ln1xx+与函数y＝2a在(0，＋∞)上有两个不同交点．因为g ′(x )＝2ln xx -，所以g (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以g (x )max ＝g (1)＝1，如图．若g (x )与y ＝2a 有两个不同交点，须0＜2a ＜1.即0＜a ＜12，故选B. 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．(2013湖北，文11)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝__________.答案：－2＋3i解析：z 1在复平面上的对应点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)，故z 2＝－2＋3i. 12．(2013湖北，文12)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为__________； (2)命中环数的标准差为__________．答案：(1)7 (2)2 解析：平均数为78795491074710+++++++++=，标准差为＝2.13．(2013湖北，文13)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i＝__________.答案：4解析：由程序框图，i＝1后：A＝1×2，B＝1×1，A＜B？否；i＝2后：A＝2×2，B＝1×2，A＜B？否；i＝3后：A＝4×2，B＝2×3，A＜B？否；i＝4后：A＝8×2，B＝6×4，A＜B？是，输出i＝4.14．(2013湖北，文14)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：x cos θ＋y sin θ＝1π2θ⎛⎫<<⎪⎝⎭.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝__________.答案：4解析：由题意圆心到该直线的距离为12，故圆上有4个点到该直线的距离为1.15．(2013湖北，文15)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝__________.答案：3解析：由题意[－2,4]的区间长度为6，而满足条件的x取值范围的区间长度为5，故m 取3，x∈[－2,3]．16．(2013湖北，文16)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是__________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)答案：3解析：由题意盆内所盛水的上底面直径为28122+＝20(寸)，下底面半径为6寸，高为9寸，故体积为V ＝13·9·(π·102＋π·62＋π·10·6)＝588π，而盆上口面积为π·142＝196π，故平地降雨量为588π196π＝3(寸)． 17．(2013湖北，文17)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是__________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝__________(用数值作答)．答案：(1)3,1,6 (2)79解析：由图形可得四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是3,1,6.再取两相邻正方形可计算S ，N ，L 的值为2,0,6.加上已知S ＝1时N ＝0，L ＝4，代入S ＝aN ＋bL ＋c 可计算求出a ＝1，b ＝12，c ＝－1，故当N ＝71，L ＝18时，S ＝71＋12×18－1＝79. 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(2013湖北，文18)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝，b ＝5，求sin B sin C 的值．解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以π3A =.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ==bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝2bc asin 2A ＝20352147⨯=. 19．(2013湖北，文19)(本小题满分13分)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩即23211121,118,a q a q a q a q q q ⎧--=⎨(++)=-⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[12]12n ⋅-(-)-(-)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n ＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 20．(2013湖北，文20)(本小题满分13分)如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1.同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3.过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1-A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．(1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S .在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1-A 2B 2C 2的体积V )时，可用近似公式V 估＝S 中·h 来估算．已知V＝13(d1＋d2＋d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．(1)证明：依题意，A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2＝d1，B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1＜d2＜d3.因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN＝ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.又M，N分别为AB，AC的中点，则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE，FG分别为梯形A1A2B2B1，A1A2C2C1的中位线．因此DE＝12(A1A2＋B1B2)＝12(d1＋d2)，FG＝12(A1A2＋C1C2)＝12(d1＋d3)，而d1＜d2＜d3，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形．(2)解：V估＜V.证明如下：由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线，可得MN＝1122BC a=即为梯形DEFG的高，因此S中＝S梯形DEFG＝13121231(2)22228d dd d a ad d d++⎛⎫+⋅=++⎪⎝⎭，即V估＝S中·h＝8ah(2d1＋d2＋d3)．又12S ah=，所以V＝13(d1＋d2＋d3)S＝6ah(d1＋d2＋d3)．于是V－V估＝6ah(d1＋d2＋d3)－8ah(2d1＋d2＋d3)＝24ah[(d2－d1)＋(d3－d1)]．由d1＜d2＜d3，得d2－d1＞0，d3－d1＞0，故V估＜V.21．(2013湖北，文21)(本小题满分13分)设a＞0，b＞0，已知函数f(x)＝1ax bx++.(1)当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x＞0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数．①判断f(1)，f，bfa⎛⎫⎪⎝⎭是否成等比数列，并证明bf fa⎛⎫≤⎪⎝⎭；②a，b的几何平均数记为G.称2aba b+为a，b的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G，求x的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x )＝22111a x ax b a bx x (+)-(+)-=(+)(+). 当a ＞b 时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜b 时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)①计算得f (1)＝2a b+＞0，20b ab f a a b⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，0f =>，故22(1)2b a b abf f ab f a a b ⎡⎤+⎛⎫=⋅==⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即2(1)b f f fa ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，(*)所以f (1)，f ，b f a ⎛⎫⎪⎝⎭成等比数列．因2a b+≥(1)f f ≥，由(*)得b f f a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.②由①知b f H a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f G =.故由H ≤f (x )≤G ，得()b f f x f a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭.(**)当a ＝b 时，()b f f x f a a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a ＞b 时，0<<1b a ，从而b a < 由f (x )在(0，＋∞)上单调递增与(**)式，得b x a ≤≤即x 的取值范围为b a⎡⎢⎣；当a ＜b 时，>1b a ，从而b a > 由f (x )在(0，＋∞)上单调递减与(**)式，bx a ≤≤，即x 的取值范围为b a ⎤⎥⎦. 22．(2013湖北，文22)(本小题满分14分)如图，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m,2n (m ＞n )，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ，记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m+，C 2：2222=1x y a n +.其中a ＞m ＞n ＞0，mnλ=＞1.(1)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则 S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12=SS λ，则11λλλ+=-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.图1解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ； S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12=S S λ，则11λλλ+=-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.图2根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为1d ==2d ==d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||||S BD S AB =＝λ，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |，|AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==.② 从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)，等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1，即11<11λλλλ+<(-)，由λ＞1，解得λ＞，所以当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为1d ==2d ==d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-. 由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+，两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a mλ-(-)+，依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >. 所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-). 因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A B x x λ<. 从而11<<1λλλ+-，解得λ＞，所以当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1＝λS2.。

2013年高考新课标全国(I卷)文科数学试题及答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2． 212i 1i +(-)＝( )．A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．164．( ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．( ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．⌝p ∧q C ．p ∧⌝q D ．⌝p ∧⌝q6．( ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )．A ．Sn ＝2an －1B ．Sn ＝3an －2C ．Sn ＝4－3anD ．Sn ＝3－2an7．( ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]8．( ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝则△POF 的面积为( )．A ．2 B． C． D ．49．( ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．10．( ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．511．( ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．( ，文12)已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是()．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．( ，文13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______.14．( ，文14)设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______． 15．( ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．16．( ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．( ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．( ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．( ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．20．( ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．( ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．( ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.23．( ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．( ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．2．答案：B 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-. 3．答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．答案：C解析：∵2e =，∴2c a =，即2254c a =. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a=±， ∴渐近线方程为12y x =±.故选C. 5．答案：B解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2，∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．∴?x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B.6．答案：D 解析：11211321113n n n n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n ，故选D.7．答案：A解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.∵该函数的对称轴为t ＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s max ＝4，s min ＝3.∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.8．答案：C解析：利用|PF |＝Px =x P ＝∴y P ＝±∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝故选C.9．答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A. 当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3x=. 故极值点为2π3x=，可排除D ，故选C. 10．答案：D解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125. ∵A ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．故选D.11．答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.12．答案：D解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2.∴a ∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=. ∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0. ∴12t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2.14．答案：3解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.15．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ， OH ＝3R . 又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.∵在Rt △OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴R 2＝98. ∴S 球＝4πR 2＝9π2. 16．答案：解析：∵f (x )＝sin x －2cos xx －φ)，其中sin φcos φ＝5. 当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)． ∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝5-. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)2n n na d -+. 由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭，从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为＝12n n-. 18．解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得 x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3， y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2) ＝1.6. 由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．19．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ?平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1. 又A 1C，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ，故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABC＝，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．21．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝±.当k＝4时，将4y x =+代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±，所以|AB ||x 2－x 1|＝187. 当k＝|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF外接圆的半径等于2. 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a-≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ·如果事件A ，B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )． ·棱柱的体积公式V ＝Sh .其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·球的体积公式V ＝34π3R .其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013天津，理1)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )． A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2] D ．[－2,1] 答案：D解析：解不等式|x |≤2，得－2≤x ≤2，所以A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．故选D.2．(2013天津，理2)设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )．A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案：A解析：作约束条件360,20,30x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行区域，如图所示，z ＝y －2x 可化为y ＝2x ＋z ，z 表示直线在y 轴上的截距，截距越大z 越大，作直线l 0：y ＝2x ，平移l 0过点A (5,3)，此时z 最小为－7，故选A.3．(2013天津，理3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )．A ．64B ．73C ．512D ．585 答案：B解析：由程序框图，得x ＝1时，S ＝1；x ＝2时，S ＝9；x ＝4时，S ＝9＋64＝73，结束循环输出S 的值为73，故选B.4．(2013天津，理4)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切，其中真命题的序号是( )．A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 答案：C解析：设球半径为R ，缩小后半径为r ，则r ＝12R ，而V ＝34π3R ，V ′＝33344114πππ33283r R R ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，所以该球体积缩小到原来的18，故①为真命题；两组数据的平均数相等，它们的方差可能不相等，故②为假命题；圆x 2＋y 2＝12的圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d=，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．故选C.5．(2013天津，理5)已知双曲线2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB则p ＝( )．A ．1B ．32C ．2D ．3 答案：C解析：设A 点坐标为(x 0，y 0)，则由题意，得S △AOB ＝|x 0|·|y 0|抛物线y 2＝2px 的准线为2p x =-，所以02p x =-，代入双曲线的渐近线的方程b y x a =±，得|y 0|＝2bp a.由2222,,ca abc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得b，所以|y 0|p .所以S △AOB2p =p ＝2或p ＝－2(舍去)．6．(2013天津，理6)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，ABBC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )． ABCD答案：C解析：在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝29232+-⨯＝5，即得AC由正弦定理sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即3sin 2BAC=∠，所以sin ∠BAC. 7．(2013天津，理7)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B解析：函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点也就是方程2x |log 0.5x |－1＝0的根，即2x |log 0.5x |＝1，整理得|log 0.5x |＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭.令g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝12x⎛⎫⎪⎝⎭，作g (x )，h (x )的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，所以f (x )有两个零点．8．(2013天津，理8)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )．A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．130,⎫⎛+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．⎛-∞ ⎝⎭ 答案：A解析：f (x )＝x (1＋a |x |)＝22,0,,0.ax x x ax x x ⎧+≥⎨-+<⎩ 若不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集为A ，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆，则在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数y ＝f (x ＋a )的图象应在函数y ＝f (x )的图象的下边．(1)当a ＝0时，显然不符合条件．(2)当a ＞0时，画出函数y ＝f (x )和y ＝f (x ＋a )的图象大致如图．由图可知，当a ＞0时，y ＝f (x ＋a )的图象在y ＝f (x )图象的上边，故a ＞0不符合条件． (3)当a ＜0时，画出函数y ＝f (x )和y ＝f (x ＋a )的图象大致如图．由图可知，若f (x ＋a )＜f (x )的解集为A ，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆，只需1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可，则有2211112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+<--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a ＜0)，整理，得a 2－a －1＜0a <<∵a ＜0，∴a ∈12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.综上，可得a 的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭. 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．(2013天津，理9)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝__________. 答案：1＋2i解析：由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得10,1,a ab -=⎧⎨+=⎩解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a＋b i ＝1＋2i.10．(2013天津，理10)6x⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为__________．答案：15解析：二项展开式的通项为3662166C (1)C rr r r r r r T x x --+⎛==- ⎝，3602r -=得r ＝4，所以二项展开式的常数项为T 5＝(－1)446C ＝15.11．(2013天津，理11)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为π4,3⎛⎫⎪⎝⎭，则|CP |＝__________.答案：解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,，所以|CP |＝12．(2013天津，理12)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为__________．答案：12解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC ＝AB ＋AD ，BE ＝BC ＋CE ＝12-AB ＋AD .所以AC ·BE ＝(AB ＋AD )·12AB AD ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝12-|AB |2＋|AD |2＋12AB ·AD ＝12-|AB |2＋14|AB |＋1＝1，解方程得|AB |＝12(舍去|AB |＝0)，所以线段AB 的长为12. 13．(2013天津，理13)如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为__________．答案：83解析：∵AE 为圆的切线， ∴由切割线定理，得AE 2＝EB ·ED . 又AE ＝6，BD ＝5，可解得EB ＝4. ∵∠EAB 为弦切角，且AB ＝AC ， ∴∠EAB ＝∠ACB ＝∠ABC . ∴EA ∥BC .又BD ∥AC ，∴四边形EBCA 为平行四边形． ∴BC ＝AE ＝6，AC ＝EB ＝4. 由BD ∥AC ，得△ACF ∽△DBF ， ∴45CF AC BF BD ==.又CF ＋BF ＝BC ＝6，∴CF ＝83. 14．(2013天津，理14)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝__________时，1||2||a a b+取得最小值．答案：－2解析：因为a ＋b ＝2，所以1＝1||22||a b a a b+⋅+＝||||22||4||4||a ba ab a a b a a b ++=++≥+14||4||a aa a +=，当a ＞0时，5+1=4||4a a ，1||52||4a a b +≥；当a ＜0时，3+1=4||4a a ，1||32||4a ab +≥，当且仅当b ＝2|a |时等号成立．因为b ＞0，所以原式取最小值时b ＝－2a .又a ＋b ＝2，所以a ＝－2时，原式取得最小值．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(2013天津，理15)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝x·ππcos sin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x＝π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数．又f (0)＝－2，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故函数f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为 2. 16．(2013天津，理16)(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝1322252547C C +C C 6C 7=. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝3347C 1C 35=，P (X ＝2)＝3447C 4C 35=，P (X ＝3)＝3547C 2C 7=， P (X ＝4)＝3647C 4C 7=. 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望EX ＝1×35＋2×35＋3×7＋4×47＝175.17．(2013天津，理17)(本小题满分13分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6，求线段AM 的长．解：(方法一)(1)证明：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．易得11B C ＝(1,0，－1)，CE ＝(－1,1，－1)，于是11B C ·CE ＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)1BC ＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则10,0,B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩ 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故11B C ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，11B C〉＝11117||||14B C B C ⋅==-⋅m m 从而sin 〈m ，11B C . 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为7. (3)AE ＝(0,1,0)，1EC ＝(1,1,1)．设EM ＝λ1EC ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM ＝AE ＋EM ＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB ＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM ，AB 〉|＝AM AB AM AB⋅⋅=.6=，解得13λ=，所以AM(方法二)(1)证明：因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E B 1C 1EC 1 从而B 1E 2＝22111B C EC +，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE . (2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E CC 1＝2，可得C 1G ＝3.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝3，所以sin ∠B 1GC 1＝7，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为7. (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝6x ，AH ＝6x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1EH 13x =.在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得2217111893x x x =++，整理得5x 2－－6＝0，解得x所以线段AM18．(2013天津，理18)(本小题满分13分)设椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为3，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.(1)求椭圆的方程； (2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB ＋AD ·CB ＝8，求k 的值．解：(1)设F (－c,0)，由c a =，知a =.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=，解得3y =±，于是3=，解得b = 又a 2－c 2＝b 2，从而a c ＝1，所以椭圆的方程为22=132x y +. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝226k -，x 1x 2＝223623k k -+.因为A(3-，0)，B(3，0)，所以AC ·DB ＋AD ·CB ＝(x 1y 1x 2，－y 2)＋(x 2y 2x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝22212623k k+++. 由已知得22212623k k +++＝8，解得k ＝19．(2013天津，理19)(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝1n nS S -(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是25314a q a ==. 又{a n }不是递减数列且132a =，所以12q =-.故等比数列{a n }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭.(2)由(1)得11,121121,.2nn n n n S n ⎧⎫+⎪⎪⎪⎛⎫=--=⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎪⎪⎩⎭为奇数，为偶数当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故11113250236n n S S S S <-≤-=-=.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故221134704312n n S S S S >-≥-=-=-.综上，对于n ∈N *，总有715126n n S S -≤-≤.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为712-.20．(2013天津，理20)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2ln x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t ＞0，存在唯一的s ，使t ＝f (s )；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )，证明：当t ＞e 2时，有2ln ()15ln 2g t t <<. 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x =. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝，单调递增区间是⎫+∞⎪⎭. (2)证明：当0＜x ≤1时，f (x )≤0. 设t ＞0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)．由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． h (1)＝－t ＜0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)＞0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立． (3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s ＞1，从而2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln ln(ln )2ln g t s s s ut f s s s s s u u====++，其中u ＝ln s . 要使2ln ()15ln 2g t t <<成立，只需0ln 2uu <<. 当t ＞e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾．所以s ＞e ，即u ＞1，从而ln u ＞0成立．另一方面，令F (u )＝ln 2u u -，u ＞1.F ′(u )＝112u -，令F ′(u )＝0，得u ＝2. 当1＜u ＜2时，F ′(u )＞0；当u ＞2时，F ′(u )＜0. 故对u ＞1，F (u )≤F (2)＜0. 因此ln 2uu <成立．综上，当t ＞e 2时，有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)数学试题卷(文史类)共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013重庆，文1)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则U (A ∪B )＝( )．A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4} 答案：D解析：∵A ∪B ＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，U ＝{1,2,3,4}，∴U (A ∪B )＝{4}，故选D ．2．(2013重庆，文2)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )． A ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 B ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．不存在x ∈R ，使得x 2＜0 答案：A解析：由全称命题p ：∀x ∈D ，p (x )的否定为⌝p ：∃x 0∈D ，⌝p (x 0)，知选A ． 3．(2013重庆，文3)函数21log 2y x =(-)的定义域是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 答案：C 解析：由题知220,log 20,x x ->⎧⎨(-)≠⎩解得2,21,x x >⎧⎨-≠⎩即2,3.x x >⎧⎨≠⎩所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C ．4．(2013重庆，文4)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )．A ．6B ．4C ．3D ．2 答案：B解析：∵由圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4知，圆心的坐标为(3，－1)，半径r ＝2， ∴圆心到直线x ＝－3的距离d ＝|3－(－3)|＝6. ∴|PQ |min ＝d －r ＝6－2＝4，故选B ．5．(2013重庆，文5)执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )．A．3 B．4 C．5 D．6答案：C解析：∵k＝1，s＝1＋(1－1)2＝1；k＝2，s＝1＋(2－1)2＝2；k＝3，s＝2＋(3－1)2＝6；k＝4，s＝6＋(4－1)2＝15；k＝5，s＝15＋(5－1)2＝31＞15.∴k＝5.故选C．6．(2013重庆，文6)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为().1 2 38912279 00 3A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 答案：B解析：∵数据总个数n＝10，又∵落在区间[22,30)内的数据个数为4，∴所求的频率为40.4 10=.7．(2013重庆，文7)关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()．A．52B．72C．154D．152答案：A解析：∵由x2－2ax－8a2＜0(a＞0)，得(x－4a)(x＋2a)＜0，即－2a＜x＜4a，∴x1＝－2a，x2＝4a.∵x2－x1＝4a－(－2a)＝6a＝15，∴15562a==.故选A．8．(2013重庆，文8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()．A ．180B ．200C ．220D ．240答案：D 解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，如图所示，S 上＝2×10＝20， S 下＝8×10＝80，S 前＝S 后＝10×5＝50， S 左＝S 右＝12(2＋8)×4＝20，所以S 表＝S 上＋S 下＋S 前＋S 后＋S 左＋S 右＝240，故选D ． 9．(2013重庆，文9)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝( )．A ．－5B ．－1C ．3D ．4 答案：C解析：∵21log 10lg2=， ∴lg(log 210)＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)．令g (x )＝ax 3＋b sin x ，易知g (x )为奇函数．∵f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝g (－lg(lg 2))＋4＝5，∴g (－lg(lg 2))＝1.∴g (lg(lg 2))＝－1.∴f (lg(lg 2))＝g (lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. 故选C ．10．(2013重庆，文10)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )．A ．2⎤⎥⎝⎦B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭答案：A解析：不妨令双曲线的方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，由|A 1B 1|＝|A 2B 2|及双曲线的对称性知A 1，A 2，B 1，B 2关于x 轴对称，如图．又∵满足条件的直线只有一对，∴tan 30°＜b a ≤tan 60°，即3ba<≤∴22133b a<≤. ∵b 2＝c 2－a 2，∴222133c a a-<≤，即43＜e 2≤4.＜e ≤2，即e ∈23⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.故选A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．(2013重庆，文11)设复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝__________.解析：∵z ＝1＋2i ，∴||z ==12．(2013重庆，文12)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝__________. 答案：72解析：设公差为d ，则c －a ＝2d ＝9277225142-⨯=⨯=-. 13．(2013重庆，文13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为__________．答案：23解析：甲、乙、丙三人随机站在一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种．若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲，共4种，故所求的概率为4263=. 14．(2013重庆，文14)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA ＝(－3,1)，OB＝(－2，k )，则实数k ＝__________. 答案：4解析：∵OA ＝(－3,1)，OB＝(－2，k )，∴AB ＝OB－OA ＝(－2，k )－(－3,1)＝(1，k －1)．又OA ，AB为矩形相邻两边所对应的向量，∴OA ⊥AB ，即OA ·AB＝－3×1＋1×(k －1)＝－4＋k ＝0，即k ＝4.15．(2013重庆，文15)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为__________．答案：π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解析：不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则有Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α＝64sin 2α－32cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－(1－2sin 2α)＝4sin 2α－1≤0.∴sin 2α≤14. ∴11sin 22α-≤≤. 又0≤α≤π，结合下图可知，α∈π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(2013重庆，文16)(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分．)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋.(1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1313n --＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20192⨯×5＝1 010. 17．(2013重庆，文17)(本小题满分13分，(1)小问9分，(2)、(3)小问各2分．)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得10180ii x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 为样本平均值．线性回归方程也可写为 y bxa =+ . 解：(1)由题意知n ＝10，1180810n i i x x n ====∑，1120210n i i y y n ====∑，又l xx ＝221nii xnx =-∑＝720－10×82＝80，l xy ＝1ni ii x y nx y =-∑＝184－10×8×2＝24，由此得240.380xy xxl b l ===，a y bx =-＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．18．(2013重庆，文18)(本小题满分13分，(1)小问4分，(2)小问9分．)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2.(1)求A ；(2)设a =S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．解：(1)由余弦定理得cos A＝2222b c a bc +-==. 又因0＜A ＜π，所以5π6A =.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得 S ＝12bc sin A ＝12·sin sin a B A·a sin C ＝3sin B sin C ，因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即ππ212A B -==时，S ＋3cos B cos C 取最大值3. 19．(2013重庆，文19)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD，PA =BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积． (1)证明：因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC ．因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD ．从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC ．(2)解：三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×2×2×2πsin 3由P A ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝123=. 由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18P A ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝111384⨯=，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝17244-=.20．(2013重庆，文20)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r ＞0，又由h ＞0可得r <故函数V (r )的定义域为(0,． (2)因V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5,上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．21．(2013重庆，文21)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：(1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则222221c a b (-)+=.从而e 2＋24b ＝1.由2e =得22481b e ==-，从而222161b a e ==-. 故该椭圆的标准方程为221168x y +=. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)．又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则 |QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 02＋28116x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12(x －2x 0)2－x 02＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 02. 由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|2＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝01|2⨯当0x =PP ′Q 的面积S 取到最大值此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (0)，半径||QP ==因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x 2＋y 2＝6，(x 2＋y 2＝6.2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）（文史类）数学一、选择题（每题5分，共50分）1.命题“若p 则q ”的逆命题是（）A. 若q 则pB. 若﹃p 则﹃qC. 若﹃q 则﹃pD. 若p 则﹃q 2.不等式021<+-x x 的解集为（） A.),1(+∞ B.)2,(--∞ C.)1,2(- D.),1()2,(+∞--∞3.设A ，B 为直线x y =与圆122=+y x 的两个交点，则|AB|=（） A.1 B.2 C.3 D.24.5)31(x -的展开式中3x 的系数为（） A.270- B.90- C.90 D.2705.=-17cos 30cos 17sin 47sin （） A.23-B.21-C.21D.236.设R x ∈, 向量=(x , 1), =（1，2-），且⊥, 则|+|= （） A.5 B.10 C.52 D.107.已知3log 3log 22+=a ，3log 9log 22-=b ，2log 3=c ，则c b a ,,的大小关系是（）A.c b a <=B.c b a >=C.c b a <<D.c b a >>（8）设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)('x f ，且函数)(x f 在2-=x 处取得极小值，则函数)('x xf y =的图像可能是（）9.设四面体的六条棱的长分别为1, 1, 1, 1，2 和a ，且长为a 的棱与长为的棱异面，则a 的取值范围是 ( )A.)2,0(B.)3,0(C.)2,1(D.)3,1(10.设函数34)(2+-=x x x f ，23)(-=x x g ，集合}0))(({>∈=x g f R x M ，}2)({<∈=x g R x N ，则N M 为 ( )A.),1(+∞B.)1,0(C.)1,1(-D.)1,(-∞二、填空题（每空5分，共25分）11.首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4s =________。

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