(完整版)拐点问题配套练习

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平行线的拐点问题的课上练习

平行线的拐点问题的练习一．选择题（共60小题）1．如图：已知AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（）A．180°B．270° C．360° D．450°2．如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（）A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360°C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180°3．学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（）A．120°B．130°C．140° D．150°4．如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，那么∠E+∠D的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=22°，则∠3的度数为（）A．28°B．38°C．68°D．82°6．如图，直线a∥b，∠1=50°，2=30°，则∠3的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°7．如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是（）A．60°B．70°C．110° D．80°8．如图所示，AB∥DE，∠1=130°，∠2=36°，则∠3等于（）A．50°B．86°C．94°D．166°9．已知，如图，AB∥CD，∠DCF=100°，则∠AEF的度数为（）A．120°B．110°C．100° D．80°10．如图，AD∥CB，∠D=43°，∠B=25°，则∠DEB的度数为（）A．72°B．68°C．63°D．18°11．如图，AB∥DE，∠B+∠C+∠D=（）A．180°B．360°C．540° D．270°12．如图AB∥CD，∠ABE=120°，∠ECD=25°，则∠E=（）A．75°B．80°C．85°D．95°13．如图，AB∥EF，BC⊥CD于C，∠ABC=30°，∠DEF=45°，则∠CDE等于（）A．105°B．75°C．135° D．115°14．如图，AB∥CD，且∠BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，则α=（）A．10°B．15°C．20°D．30°15．如图，AB∥CD，用含α，β，γ的式子表示θ，则θ=（）A．α+γ﹣βB．β+γ﹣αC．180°+γ﹣α﹣βD．180°+α+β﹣γ16．如图，AB∥MP∥CD，MN平分∠AMD，∠A=40°，∠D=60°，那么∠NMP的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°17．如图所示，AB∥CD，∠2=∠1，∠4=100°，则∠3=（）A．100°B．120°C．140° D．160°18．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（）A．180°B．360°C．540° D．720°19．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（）A．23°B．16°C．20°D．26°20．如图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．10°21．如图，已知AB∥ED，则∠B+∠C+∠D的度数是（）A．180°B．270° C．360° D．450°22．如图，已知△ABC中，AB∥EF，DE∥BC，则图中相等的同位角有（）A．二组B．三组C．四组D．五组23．如图，∠ABE=110°，若CD∥BE，则∠1度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°24．如图，在△ABC中，∠C=90°，若BD∥AE，∠DBC=20°，则∠CAE的度数是（）A．40°B．60°C．70°D．80°25．在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD等于（）A．40°B．50°C．45°D．60°26．如图，AB∥CD，∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，则∠E：∠F=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：327．如图所示，若AB∥CD，则∠A，∠D，∠E之间的度数关系是（）A．∠A+∠E+∠D=180°B．∠A﹣∠E+∠D=180°C．∠A+∠E﹣∠D=180°D．∠A+∠E+∠D=270°28．（经典题）如图所示，两平面镜α、β的夹角为60°，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的反射光线O′B平行于α，则∠1的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．75°29．如图，已知AB∥DC，AD∥BC，∠B=80°，∠EDA=40°，则∠CDO=（）A．80°B．70°C．60°D．40°30．如图，已知∠AOP=∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠OPD=75°，则∠BCP等于（）A．15°B．30°C．35°D．75°31．如图，已知AB∥DE，∠B=20°，∠D=130°，那么∠BCD等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°32．如图AB∥CD，∠1=140°，∠2=90°，则∠3的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°33．如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是130°，第二次拐的角B是150°，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（）A．130°B．140°C．150° D．160°34．如图，DE∥BC，∠D=2∠DBC，∠1=∠2，则∠DEB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．无法计算35．如图，已知AB∥DE，∠A=136°，∠C=164°，则∠D的度数为（）A．60°B．80°C．100° D．120°36．如图，AB∥CD，若EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，EN平分∠AEF，则与∠BEM互余的角有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个37．如图，AB∥CD，FG⊥CD于N，∠EMB=α，则∠EFG等于（）A．180°﹣αB．90°+α C．180°+αD．270°﹣α38．如图所示，b∥c，EO⊥b于点D，OB交直线C于点B，∠1=130°，则∠2等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°39．如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（）A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠2+∠1 D．180°﹣∠1+∠240．如图，直线a∥b，Rt△BCD如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°41．已知，如图，AB∥CD，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A．55°B．70°C．40°D．110°42．如图，∠1=50°，如果AB∥DE，那么∠D=（）A．40°B．50°C．130° D．140°43．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是（）A．16°B．33°C．49°D．66°44．如图所示，直线a∥b，∠B=16°，∠C=50°，则∠A的度数为（）A．24°B．26°C．34°D．36°45．如图，AB∥EF，BC∥DE，∠B=70°，则∠E的度数为（）A．90°B．110°C．130° D．160°46．如图，已知AB∥CD，∠C=70°，∠F=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°47．已知：如图，AB∥CD∥EF，∠ABC=50°，∠CEF=150°，则∠BCE的值为（）A．50°B．30°C．20°D．60°48．如图，直线a∥b，则∠ABD的度数是（）A．38°B．48°C．42°D．100°49．如图，已知AB∥CD，∠DAB=60°，∠B=80°，AC是∠DAB的平分线，那么∠ACE的度数为（）A．80°B．60°C．110° D．120°50．如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，则∠2的度数为（）A．115°B．125°C．155° D．165°51．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°52．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG的度数是（）A．155°B．145°C．110° D．35°53．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°54．如图，∠1=40°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A．160°B．140°C．60°D．50°55．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°56．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（）A．30°B．60°C．120° D．150°57．如图，桌面上有木条b、c固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0＜n＜90）后与b平行，则n=（）A．20 B．30 C．70 D．8058．如图所示，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，当∠A=120°时，∠ECD的度数是（）A．45°B．40°C．35°D．30°59．如图，直线m∥n，则∠α为（）A．70°B．65°C．50°D．40°60．如图，AB∥CD，∠BAC=120°，则∠C的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．80°。

专题：巧解平行线中的拐点问题(原卷版)

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》专题巧解平行线中的拐点问题【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB ∥CD ，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A ．55°B ．75°C ．80°D ．105°【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝度．【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360°B．300°C．270°D．180°【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是，根据这个思路可得∠AEC＝．【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．【例题2】如图，直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，则∠1+∠2等于（）A ．40°B ．35°C ．36°D ．30°【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB ∥EF ，则∠A ，∠C ，∠D ，∠E 满足的数量关系是（）A ．∠A +∠C +∠D +∠E ＝360°B ．∠A +∠D ＝∠C +∠E C ．∠A ﹣∠C +∠D +∠E ＝180°D ．∠E ﹣∠C +∠D ﹣∠A ＝90°【变式2-2】如图所示，若AB ∥CD ，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是　　．【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG 和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝ °．【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为．（用含n的式子表示）【变式2-5】（1）填空：如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ °．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ °．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ °．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ °．（2）归纳：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝ °．（3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数．【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B ，∠D 和∠BOD 的关系进行了探究：（1）如图1，AB ∥CD ，点O 在AB ，CD 之间，试探究∠B ，∠D 和∠BOD 之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O 的辅助线OM ，并且OM ∥CD 请帮助他写出解答过程；（2）如图2，若点O 在CD 的上侧，试探究∠B ，∠D 和∠BOD 之间有什么关系？并说明理由；（3）如图3，若点O 在AB 的下侧，试探究∠B ，∠D 和∠BOD 之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．【变式3-1】如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD.【变式3-2】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.【变式3-3】（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【变式3-4】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC 度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【变式3-5】阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题，并写出解答过程．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．【例题4】（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P作PE∥AB∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（），∴∠A+∠C＝ +　（等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是．（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC ＝78°，则∠AEC＝．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系　．【变式4-1】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【变式4-2】（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF ＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【变式4-3】（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．请在①②任选一个问题进行解答．（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．【变式4-4】（2022春•兴国县期末）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF 的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．解：如图①，过点P作PM∥AB，【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．（4）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．。

拐点练习题含详细答案

拐点练习题含详细答案拐点是数学中一个重要的概念，它标志着函数图像从凹向上凸，或者从凸向下凹的转折点。

对于函数而言，拐点处的导数发生变化，导致函数图像的凹凸性发生改变。

在这篇文章中，我们将讨论一些拐点练习题，并提供详细的解答。

题目1：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的拐点。

解答1：首先，我们需要求出函数的导数。

对于给定的函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求导得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

然后，我们需要找到导数f'(x)的根，因为函数的拐点发生在导数的根处。

我们可以利用因式分解或者配方法求得f'(x) = 0的解为x = 1和x = 3。

接下来，我们可以求得函数f(x)在x = 1和x = 3处的二阶导数。

对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求二阶导数得f''(x) = 6x - 12。

然后，我们将x = 1和x = 3代入f''(x)得到f''(1) = -6和f''(3) = 6。

最后，我们可以通过观察二阶导数的值来判断拐点的性质。

当二阶导数的值从正数变为负数时，函数图像从凸形状转为下凹形状，此时发生一个拐点。

类似地，当二阶导数的值从负数变为正数时，函数图像从下凹形状转为凸形状，也会发生一个拐点。

根据我们计算得到的二阶导数的值，我们可以确定函数f(x)在x = 1处有一个下凹的拐点，而在x = 3处有一个上凸的拐点。

题目2：给定函数g(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 64x，求其拐点。

解答2：首先，我们需要求出函数g(x)的导数。

对于给定的函数g(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 64x，求导得到g'(x) = 4x^3 - 36x^2 + 96x - 64。

然后，我们需要找到导数g'(x)的根。

拐点典型例题

拐点典型例题拐点典型例题(创建与此标题相符的正文并拓展)拐点在数学中被定义为函数曲线上的一个点，其相邻部分的斜率发生突变或改变方向的点。

拐点是函数图像上的一个关键点，它可以提供重要的信息，例如函数的极值点、凸凹性等。

下面将介绍一些拐点的典型例题，以帮助读者更好地理解和应用拐点的概念。

例题1：考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，找出其所有的拐点。

解析：为了找出函数的拐点，我们需要找到函数的二阶导数，并解方程f''(x) = 0。

首先计算函数f(x)的一阶导数和二阶导数。

f'(x) = 3x^2 - 6x + 2f''(x) = 6x - 6然后，我们将f''(x) = 0代入方程中，并解得x = 1。

因此，x = 1是函数f(x)的一个拐点。

例题2：考虑函数g(x) = x^4 - 4x^3 + 3x^2，找出其所有的拐点并判断其凹凸性。

解析：同样地，我们需要计算函数g(x)的一阶导数和二阶导数。

g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6xg''(x) = 12x^2 - 24x + 6将g''(x) = 0代入方程中，并解得x = 1/2。

因此，x = 1/2是函数g(x)的一个拐点。

为了判断拐点的凹凸性，我们可以通过观察g''(x)的符号变化。

当x < 1/2时，g''(x) > 0，说明函数g(x)是上凸的；当x > 1/2时，g''(x) < 0，说明函数g(x)是下凸的。

因此，拐点x = 1/2是一个由上凸到下凸的拐点。

这些例题展示了找出函数拐点的过程，并通过判断二阶导数的符号变化来确定拐点的凹凸性。

理解和应用拐点的概念对于解决数学问题、优化函数以及分析曲线的性质都非常重要。

希望这些例题能够帮助读者更好地掌握拐点的概念和应用。

拐点练习册答案

拐点练习册答案问题一：某函数f(x)在点x=a处的导数为0，且在x=a处的二阶导数大于0，根据这些信息，我们可以推断出什么？答案：根据导数的定义，函数f(x)在点x=a处的导数为0意味着该点是函数的驻点。

而二阶导数大于0则表明函数在该点处是凹的。

结合这两个条件，我们可以推断出x=a是函数f(x)的一个局部最小值点，即拐点。

问题二：如果一个函数在某区间内是单调递增的，那么这个区间内是否存在拐点？答案：一个函数在某区间内单调递增，说明该区间内导数始终大于或等于0。

由于拐点的定义是函数在该点导数为0且二阶导数改变符号，所以在单调递增的区间内不存在拐点。

问题三：给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求该函数的拐点。

答案：首先计算一阶导数：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

令f'(x) = 0，解得x = 1。

接着计算二阶导数：f''(x) = 6x - 6。

将x=1代入二阶导数，得到f''(1) = 0。

由于二阶导数在x=1处的符号没有改变，所以x=1不是拐点。

问题四：函数g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2，求该函数的拐点。

答案：计算一阶导数：g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x。

令g'(x) = 0，解得x = 0, 1。

计算二阶导数：g''(x) = 12x^2 - 24x + 8。

将x=0代入二阶导数，得到g''(0) = 8 > 0，所以x=0是局部最小值点，但不是拐点。

将x=1代入二阶导数，得到g''(1) = 4 > 0，所以x=1是局部最小值点，且是拐点。

问题五：已知函数h(x) = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x，求该函数的拐点。

答案：计算一阶导数：h'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 20x + 5。

七年级数学下册平行线中的“拐点”问题专题练习

七年级数学下册平行线中的“拐点”问题专题练习模型1M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．拓展平行线间有多个拐点2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？拓展平行线间有多个拐点3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NA n，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A n＝度．小专题(二)利用平行线的性质求角的度数类型1直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( ) A．52°B．54°C．64°D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是( )A．20°B．25°C．30°D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．类型2借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( ) A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是．类型4抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB 平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC ＝∠ODE.则∠DEB的度数是度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是．小专题(三)平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝．∵DF∥CA，∴∠A＝．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD( )，∴∠C＝．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝(垂直的定义)．②所以(同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝(两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°( )，⑤所以∠1＝∠3( )．⑥所以AB∥DG( )．⑦所以∠GDC＝∠B( )．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD∥BC.4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF与AB的位置关系吗？请说明理由．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．参考答案：小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．【解答】∠BED＝∠B＋∠D.理由：过点E作EF∥AB，则EF∥CD.∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF.∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D.变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D.(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.拓展平行线间有多个拐点2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.理由：过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD.∴∠BEM＝∠B，∠MEF＝∠EFN，∠NFG＝∠FGH，∠HGD＝∠D.∴∠BEF＋∠FGD＝∠BEM＋∠MEF＋∠FGH＋∠HGD＝∠B＋∠EFN＋∠NFG＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)在图2中，有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠E n＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠F n－1＋∠D.如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？【解答】∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由：过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°.∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.拓展平行线间有多个拐点3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝180度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝360度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NA n，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A n＝180(n－1)度．解：每增加一个角，度数增加180°.小专题(二)利用平行线的性质求角的度数类型1直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( C ) A．52°B．54°C．64°D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是( D )A．20°B．25°C．30°D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝130°．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．∴∠BAC＋∠AGD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BAC＝80°，∴∠AGD＝100°.类型2借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( D ) A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( B )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是65°．类型4抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB 平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC ＝∠ODE.则∠DEB的度数是76度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是90°．小专题(三)平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝∠BFD(两直线平行，内错角相等)．∵DF∥CA，∴∠A＝∠BFD(两直线平行，同位角相等)．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD(对顶角相等)，∴∠C＝∠D．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝90°(垂直的定义)．②所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°(已知)，⑤所以∠1＝∠3(同角的补角相等)．⑥所以AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．⑦所以∠GDC＝∠B(两直线平行，同位角相等)．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.证明：∵DF∥AB(已知)，∴∠D＝∠BHM(两直线平行，同位角相等)．又∵∠B＝75°，∠D＝105°(已知)，∴∠B＋∠BHM＝75°＋105°＝180°.∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠AME＝∠AGC(两直线平行，同位角相等)．3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD∥BC.证明：∵AE平分∠BAD(已知)，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵AB∥CD(已知)，∴∠1＝∠CFE(两直线平行，同位角相等)．又∵∠1＝∠2(已证)，∠CFE＝∠E(已知)，∴∠2＝∠E(等量代换)．∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF与AB的位置关系吗？请说明理由．解：DF∥AB.理由：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵∠E＝∠1(已知)，∴∠E＝∠2(等量代换)．∴AE∥BC(内错角相等，两直线平行)．∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠3＋∠ABC＝180°(已知)，∴∠A＝∠3(等量代换)．∴DF∥AB(同位角相等，两直线平行)．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD(已知)，∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2(角平分线的性质)．∴∠BAC＋∠ACD＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)．∵∠1＋∠2＝90°(已知)，∴∠BAC＋∠ACD＝180°.∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠D＝180°－∠B(等式的性质)．∵AB⊥BD(已知)，∴∠B＝90°(垂直的定义)．∴∠D＝90°，即CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠2＝∠GED，∠DEF＝∠EFG＝55°(两直线平行，内错角相等)．由折叠，知∠GEF＝∠DEF＝55°.∴∠GED＝110°.∴∠2＝110°.∴∠1＝180°－∠2＝70°(两直线平行，同旁内角互补)．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．解：(1)证明：∵BC∥GE，∴∠E＝∠1＝50°.∵∠AFG＝∠1＝50°，∴∠E＝∠AFG＝50°.∴AF∥DE.(2)过点A作AP∥GE，∵BC∥GE，∴AP∥GE∥BC.∴∠FAP＝∠AFG＝50°，∠PAQ＝∠Q＝15°.∴∠FAQ＝∠FAP＋∠PAQ＝65°.∵AQ平分∠FAC，∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°.∴∠CAP＝80°.∴∠ACQ＝180°－∠CAP＝100°.。

七年级数学下册平行线中 “拐点”问题专题培优训练含解析

平行线中“拐点”问题专题培优训练一．选择题1．如图，直线AB∥CD，AE⊥CE，∠1＝125°，则∠C等于（）A．35°B．45°C．50°D．55°2．如图，BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，则∠C的度数是（）A．10°B．35°C．70°D．80°3．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（）A．α，β的角度数之和为定值B．α，β的角度数之积为定值C．β随α增大而增大D．β随α增大而减小4．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．30°5．已知，如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（）A．∠α+∠β+∠γ＝360°B．∠α﹣∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β﹣∠γ＝180°D．∠α+∠β+∠γ＝180°二．填空题6．如图，a∥b，∠2＝95°，∠3＝150°，则∠1的度数是．7．如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数是．8．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝度．9．如图，AB∥CD，∠A＝75°，∠C＝30°，∠E的度数为．10．如图，AB∥CD，∠A＝20°，∠CDP＝145°，则∠P＝°．11．如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，则∠AEC ＝度．三．解答题12．看图填空：如图，已知AB∥CD，∠ABE＝130°，∠CDE＝152°，求∠BED的度数．解：过E点作EF∥CD∴∠CDE+＝180°∴∠DEF＝又∵AB∥CD，∴EF∥∴∠ABE+＝180°，∴∠BEF＝∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝．13．如图，已知直线AB∥CD，∠ABE＝60°，∠CDE＝20°，求∠BED的度数．14．如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于F．（1）如图1，若∠E＝80°，求∠BFD的度数．（2）如图2：若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论．15．先阅读下面的解题过程，再解答问题：如图①，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝30°，求∠BED的度数．解：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，因为EF∥AB，所以∠1＝∠B＝40°又因为CD∥EF，所以∠2＝∠D＝30°所以∠BED＝∠1+∠2＝40°+30°＝70°．如图②是小军设计的智力拼图玩具的一部分，现在小军遇到两个问题，请你帮他解决：（1）如图②∠B＝45°，∠BED＝75°，为了保证AB∥CD，∠D必须是多少度？请写出理由．（2）如图②，当∠G、∠GFP、∠P满足什么关系时，GH∥PQ，请直接写出满足关系的式子，并在如图②中画出需要添加的辅助线．16．如图（1）所示，AB∥CD，根据平行线的性质可知内错角∠B与∠C相等，观察图（2），（3）与（4），回答下列问题．①如图（2）所示，AB∥CD，试问∠E+∠C与∠B+∠F哪个大？请说明理由；②如图（3）所示，AB∥CD，试问∠E+∠G+∠C与∠B+∠H+∠F哪个大？（直接写出答案，不必说明理由）③根据第①，②小题的结论，在图（4）中，若AB∥CD，你又能得到什么结论？17．如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K．（1）求∠EKF的度数；（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．（3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数．参考答案一．选择题1．解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．∵EF∥AB，∴∠BAE＝∠AEF．∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF．∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，即∠AEF+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠C＝90°．∵∠1＝125°，∠1+∠BAE＝180°，∴∠BAE＝180°﹣125°＝55°，∴∠C＝90°﹣55°＝35°．故选：A．2．解：过点C作FC∥AB，∵BA∥DE，∴BA∥DE∥FC，∴∠B＝∠BCF，∠D＝∠DCF，∵∠B＝30°，∠D＝40°，∴∠BCF＝30°，∠DCF＝40°，∴∠BCD＝70°，故选：C．3．解：过C点作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠α＝∠BCF，∠β+∠DCF＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCF+∠DCF＝90°，∴∠α+180°﹣∠β＝90°，∴∠β﹣∠α＝90°，∴β随α增大而增大，故选：C．4．解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OM∥PN∥CD，∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，∴∠4＝50°．故选：B．5．解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD．∵EF∥AB∥CD，∴∠α+∠AEF＝180°，∠FED＝∠γ，∴∠α+∠β＝180°+∠γ，即∠α+∠β﹣∠γ＝180°．故选：C．二．填空题6．解：过点C作CD∥a，∵a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠1+∠ECD＝180°，∠3+∠DCF＝180°，∵∠2＝95°，∠3＝150°，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠1＝360°﹣∠2﹣∠3＝360°﹣150°﹣95°＝115°，故答案为：115°．7．解：如图，根据题意可知：AB∥EF，分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF，则∠B+∠BCG＝180°，∠GCD+∠HDC＝180°，∠HDE+∠DEF＝180°，∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF＝180°×3＝540°，∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E＝540°．故答案为540°．8．解：如图，连接BF，BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，∵∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，∴∠1＝30°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠2＝120°．故答案为：120．9．解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示.∵EF∥AB，EF∥CD，∴∠AEF＝∠A＝75°，∠CEF＝∠C＝30°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝75°﹣30°＝45°．故答案为：45°．10．解：如图，过点P作PE∥AB，∴∠APE＝∠A＝20°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠EPD＝180°﹣∠CDP＝35°，∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝20°+35°＝55°．故答案为：55．11．解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图所示．∵EM∥AB，AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD．同理，可得：∠AFN＝∠F AB，∠CFN＝∠FCD．又∵∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，∴∠EAB＝∠F AB，∠ECD＝∠FCD．∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠EAB+∠ECD＝（∠F AB+∠FCD）＝（∠AFN+∠CFN）＝∠AFC＝90°．故答案为：90．三．解答题12．解：过E点作EF∥CD∴∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝180°﹣152°＝28°，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠ABE+∠BEF＝180°，∴∠BEF＝180°﹣130°＝50°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝27°+50°＝77°．故答案为：∠DEF，180°﹣152°＝28°，CD，∠BEF，180°﹣130°＝50°，28°+50°＝78°．13．解：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠CDE，∴∠BED＝∠1+∠2＝60°+20°＝80°．14．解：（1）如图1，作EG∥AB，FH∥AB，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠CDE＝180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE＝360°∵∠BED＝∠BEG+∠DEG＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，∴∠ABF+∠CDF＝140°，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝140°；（2）∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∴∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM，∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，∴∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠E＝360°，∵∠M＝∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠E＝360°．15．解：（1）∠D＝30°，理由如下：过E作EM∥AB，如图，则∠B＝∠2＝45°，∴∠1＝∠BED﹣∠2＝30°，∴∠1＝∠D，∴EM∥CD，又∵EM∥AB，（2）当∠G+∠GFP+∠P＝360°时，GH∥PQ，理由如下：过F作FN∥GH，如图，则∠G+∠4＝180°，又∵∠G+∠GFP+∠P＝360°∴∠3+∠P＝180°，∴FN∥PQ，∴GH∥PQ．16．解：①如图，分别过E，F作AB的平行线EM，FN，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM∥NF，∴∠ABE＝∠BEM，∠MEF＝∠EFN，∠NFC＝∠FCD，∴∠BEF+∠C＝∠B+∠EFC，∴∠E+∠C＝∠B+∠F；②分别过E，F，G，H作AB的平行线EM，NF，GP，QH，和①的方法一样可得∠E+∠G+∠C＝∠B+∠H+∠F；③∠E1+∠E2+…+∠E n+∠C＝∠F1+∠F2+…+∠F n+∠B（开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等）．17．解：（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G，∵AB∥CD，∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，∵AB∥CD，∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠DFK）＝180°，∴∠BEK+∠DFK＝90°，则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，理由为：∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，同理得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，则∠K＝2∠K1；（3）如图（3），根据（2）中的规律可得：∠K2＝∠K1＝22.5°，∠K3＝∠K2＝11.25°，∠K4＝∠K3＝5.625°．。

(完整版)平行线拐点问题

如图1，直线AC // BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成(1 )、(2 )、(3 )、(4 )、( 5)、(6 )六个部分.点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察/ APB、/PAC、/PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB 上的各点不属于( 1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)六个部分中的任何一个部分.当动点P落在第(1 )部分时，可得：/ APB= ZPAC+ ZPBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由过点P 作EF// AC,如图2因为AC // BD (已知)，EF// AC (所作)，所以EF/ BD ______ .所以Z BPE= ZPBD _____ .同理Z APE= ZPAC.因此Z APE+ ZBPE= ZPAC+ ZPBD ______ ,即Z APB= ZPAC+ ZPBD .(1 )当动点P落在第(2)部分时，Z APB、/PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写出Z APB、Z PAC、Z PBD之间满足的关系式，不必说明理由.(2 )当动点P在第(3)部分时，Z APB、Z PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．(3)当动点P在第(4)部分时，Z APB、Z PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．② ①5⑴ A②① ⑤ d c aa a Pb b b d c②如果点P 在A,B 两点之间运动，问/ 1,Z 2, / 3的关系是否变化 ③如果点p 在线段AB 外侧运动时，试探究/ 1,2 2,2 3之间的关系，不用说理由（点P 和A,B 不重合） ①试找出2 1,2 2,2 3之间的关系，并说岀理a,、 2、如图，已知直线 a// c,且 c 和 ~D备用图b 分别交于M 、N 两点，点P 在AB 上.。

专题01平行线间的拐点问题(原卷版)

专题01 平行线间的拐点问题类型一：“猪蹄”模型类型二：“铅笔”模型类型三：“鹰嘴”模型平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。

一．选择题1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15°B．25°C．35°D．45°2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．40°3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（）A．62°B．58°C．52°D．48°4．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°5．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠26．（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（）A．120°B．130°C．140°D．150°二．填空题7．（2023•江油市开学）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝．8．（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，点F在射线BA上，且∠EDF＝125°，则∠DFB的度数为．9．（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝．10．（2022秋•雅安期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝．11．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，则∠G＝°．三．解答题12．（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．（1）求证：MN∥PQ；（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．13．（2022秋•莘县期末）综合与实践如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F．（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是∠PFD+∠AEM＝90°；（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．14．（2022秋•洛宁县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP ＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．15．（2023春•鼎城区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数；问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠P AB＝150°，求∠PEH的度数．16．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP．（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP，∠DCP，∠APC的数量关系；（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求证：AC∥EF；（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK与CK交点K，连接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大小．17．（2023秋•道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．18．（2023秋•南岗区校级期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥/EC交CF于点D，作AB∥/CF交CE于点B．（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ADF；（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MP A+∠PQF的度数．19．（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．20．（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；解：过点E作EF∥AB∴∠ABE＝∠BEF（）；∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；∴EF∥CD（）；∴∠CDE＝（）（）；又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（）；∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）；【问题迁移】：请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．（1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由；（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．。

拐点问题简答练习题整理

拐点问题简答练习题整理拐点问题是数学中的一个常见概念，涉及到函数的变化趋势。

在解答拐点问题时，我们需要考虑函数的单调性和导数的变化。

下面我将列举一些拐点问题的简答练习题，帮助大家更好地理解和掌握这个概念。

题目一：求函数f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x的拐点及拐点处的函数值。

解析：首先，我们需要求出函数的导数。

根据函数导数的定义，f'(x) = 3x^2 + 6x - 9。

接下来，我们需要找出导数的零点，即求解方程3x^2 + 6x - 9 = 0。

解得x = 1，x = -3/2。

然后，我们再求出这两个零点对应的函数值，即求解f(1)和f(-3/2)。

最终，我们得到拐点的坐标为(1, -5)和(-3/2, -27/8)。

题目二：已知函数f(x)在区间(-∞, 0)上是凹函数，在区间(0, +∞)上是凸函数，求函数f(x)的解析式。

解析：根据题目中的条件，在拐点处导数的一阶和二阶导数的符号改变。

首先，我们需要求出函数的二阶导数。

记f''(x) = d^2f(x)/dx^2，根据已知条件，当x < 0时，f''(x) < 0；当x > 0时，f''(x) > 0。

根据二阶导数的定义，我们可以得到f''(x) = 2。

接下来，我们需要求出函数的一阶导数。

记f'(x) = df(x)/dx，根据一阶导数的定义，我们有f'(x) =∫f''(x)dx = ∫2dx = 2x + C。

由于题目中给出的区间为(-∞, 0)和(0, +∞)，因此我们需要拆分成两部分进行积分。

对于x < 0，我们有f(x) = ∫(2x + C)dx = x^2 + Cx + D1；对于x > 0，我们有f(x) = x^2 + Cx + D2。

根据已知条件，f(x)在x = 0处连续，因此D1 = D2 = 0。

拐点专项

拐点专项一．解答题（共21小题）1．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝；（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC 的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠F AE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．2．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB 上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x＝；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．3．如图1，直线AB与直线l1，l2分别交于C，D两点，点M在直线l2上，射线DE平分∠ADM交直线l1于点Q，∠ACQ＝2∠CDQ．（1）证明：l1∥l2；（2）如图2，点P是CD上一点，射线QP交直线l2于点F，∠ACQ＝70°．①若∠QFD＝20°，则直接写出∠FQD的度数是；②点N在射线DE上，满足∠QCN＝∠QFD，连接CN，请补全图形，探究∠CND与∠FQD满足的等量关系，并证明．4．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；（直接写出答案）（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠P AB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．5．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；【类比应用】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数，说明理由；（2）如图3，设∠P AB＝α、∠CDP＝β、直接写出α、β、∠P之间的数量关系为．【联系拓展】如图4，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+∠P AB＝∠P，运用（2）中的结论，求∠N的度数，说明理由．6．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数；（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N 在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角）7．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．（1）如图①，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．试探究∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由．（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：【类比探究】如图②，AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点E，∠BAD＝36°，∠BCD ＝80°，EF平分∠BED交直线AB于点F，则∠BEF＝°．【拓展延伸】如图③，AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点E，∠BAD＝36°，∠BCD ＝80°，过点D作DG∥CB交直线AB于点G，AH平分∠BAD，DH平分∠CDG，则∠AHD＝°．8．已知，AB∥CD，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F．（1）如图1，若∠1＝58°，求∠2的度数；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，H是MN上一点，且GH⊥EG．求证：PF∥GH．（3）如图3，在（2）的条件下．连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．9．（1）如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数；（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠P AB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，请写出∠APC与α，β之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．10．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．（1）填空：∠PNB+∠PMD∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．11．如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．12．（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；（2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．13．请解答下列各题：（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．①由条件可知：∠1＝∠3，依据是，∠2＝∠4，依据是．②反射光线BC与EF平行，依据是．（2）解决问题：如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝；∠3＝．14．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．15．已知，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系．（1）如图1，AB∥EF，BC∥ED，∠1与∠2的关系是．证明：（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是．证明：（3）经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是．16．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．17．问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．18．如图1，∠EFH＝90°，点A、C分别在射线FE和FH上，AB∥CD．（1）若∠F AB＝150°，则∠HCD＝°；（2）小明同学发现：无论∠F AB如何变化，∠F AB﹣∠HCD的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过A作AM∥FH，交CD于M，请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），先确定该定值，并说明理由；（3）如图3，把“∠EFH＝90°”改为“∠EFH＝120°”，其它条件保持不变，猜想∠F AB与∠HCD的数量关系，并说明理由．19．探究：如图①，EG∥FH，OF平分∠AFH，OH平分∠CHF，且点O、E、G均在直线EG上，直线EG分别与AB、CD交于点E、G．（1）若∠AFH＝80°，∠CHF＝40°，则∠FOH＝．（2）若∠AFH+∠CHF＝110°，求∠FOH的度数．（3）如图②，∠AFH和∠CHI的平分线FO、HO交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝β，直接写出∠FOH的度数．（用含β的代数式表示）20．（1）如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数；（2）如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系，并说明理由．21．如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，求∠APC的度数；（问题迁移）（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠P AB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（问题应用）（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系（并画出相应的图形）．。

专题03 平行线中的拐点问题期末真题汇编(原卷版)-23-2024学年七年级数学下学期期末(人教版)

专题03平行线中的拐点问题期末真题汇编之五大模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角.本专题就平行线中的拐点模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角.通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化.模型一：猪蹄模型或锯齿模型【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1模型二：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．模型三：牛角模型图1图2如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°图1图2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F 等.模型四：羊角模型图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论：αγβ=-.如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180αβγ++=︒.【模型证明】在图1中，过C 作AB 的平行线CF ，∴∠β＝∠FCB图1图2∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠γ=∠FCD ，∵∠α=∠FCD-∠FCB ，∴∠α=∠γ-∠β.在图2中，过C 作AB 的平行线CF ，∴∠β＝∠FCB∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠γ+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠α+∠FCB ，∴∠α+∠β+∠γ-∠=180°.模型五：蛇形模型基本模型：如图，AB ∥CD ，结论：∠1+∠3－∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论：180αγβ+=+︒.如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180αβγ+=+︒.【模型证明】在图1中，过C 作AB 的平行线CF ，∴∠β＝∠FCB.∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠γ+∠FCD=180°，∵∠α=∠FCD +∠FCB ，∴∠α+∠γ=∠β+180°在图2中，过C 作AB 的平行线CF ，∴∠β+∠FCB=180°，∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠γ=∠FCD ，∵∠α=∠FCD+∠FCB ，∴∠α+∠β=∠γ+180°平行线中的拐点问题之猪蹄模型或锯齿模型例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图：AB CD ，28B ∠=︒，60E ∠=︒，则D ∠=．【变式训练】1．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）如图，已知直线AB CD ∥，点E 在AB 和CD 之间，连接AE CE ，，若255∠=︒，335∠=︒，则1∠=︒．2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，AB CD ∥，射线FE ，FG 分别与AB ，CD 交于点M ，N ，若3F FND EMB ∠=∠=∠，则F ∠的度数是．平行线中的拐点问题之铅笔头模型例题：（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图所示，已知AB CD ∥，135A ∠=︒，140C ∠=︒，则P ∠的度数是．【变式训练】1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知AE DF ∥，则A B C D ∠+∠+∠+∠=．2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，已知直线AB CD ∥，点M ，N 分别在直线AB ，CD 上，点E 为AB ，CD 之间一点，且点E 在线段MN 的右侧，128MEN ∠=︒．若BME ∠与DNE ∠的平分线相交于点1E ，1BME ∠与1DNE ∠的平分线相交于点2E ，2BME ∠与2DNE ∠的平分线相交于点3E ，……以此类推，若4n ME N ∠=︒，则n 的值是．3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下列各图中的1MA 与n NA 平行．图1中的12180A A ∠+∠=︒，图2中的123360A A A ∠+∠+∠=︒，图3中的1234540A A A A ∠+∠+∠+∠=︒，图4中的12345A A A A A ∠+∠+∠+∠+∠=︒，⋯据此推测，图10中的1231011A A A A A ∠+∠+∠+⋯+∠+∠=.︒平行线中的拐点问题之牛角模型例题：（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）如图，已知AB CD ∥，100ABE ∠=︒，40BEC ∠=︒，则ECD∠的度数为．【变式训练】1．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，80AEC ∠=︒，在AEC ∠的两边上分别过点A 和点C 向同方向作射线AB 和CD ，且AB CD ，若EAB ∠和ECD ∠的角平分线所在的直线交于点P （P 与C 不重合），则APC ∠的大小为．平行线中的拐点问题之羊角模型例题：（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD ，BC ，然后在平行线间画了一点E ，连接CE ，DE 后（如图①），他用鼠标左键点住点E ，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，C ∠，D ∠与DEC ∠之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．(1)请直接写出图①到图④各图中的C ∠，D ∠与DEC ∠之间的关系吗？(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．【变式训练】1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图1，已知点A 是BC 外一点，连接AB ，AC ．求BAC B C ∠+∠+∠的度数．解：过点A 作ED BC ∥，B ∴∠=，C ∠=，又180EAB BAC DAC ∠+∠+∠=︒ ．B BAC C ∴∠+∠+∠=．【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC ∠，B ∠，C ∠“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．【方法运用】（2）如图2所示，已知AB CD ∥，BE 、CE 交于点E ，80BEC ∠=︒，在图2的情况下求B C ∠-∠的度数．（3）如图3，若AB CD ∥，点P 在AB ，CD 外部，请直接写出B ∠，D ∠，BPD ∠之间的关系．2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，已知AB CD ∥，分别探索下列四个图形中APC ∠与A ∠，C ∠的关系．(1)如图①，A APC C ∠+∠+∠=_______；如图②，APC ∠=_______；如图③，APC ∠=______；如图④，APC ∠=______．(2)得到图②结论的过程如下：（补足理由）过P 点作PQ AB ∥，又∵AB CD ∥，∴PQ CD ∥（同平行于第三条直线的两直线平行）∵PQ AB ∥，PQ CD∥∴APQ ∠=_______，CPQ ∠=________（）∵APC APQ CPQ =+∠∠∠（图形性质）∴APC ∠=_______（等量代换）(3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）．平行线中的拐点问题之蛇形模型例题：（2021-23七年级下·河南周口·期末）如图，若AB CD ，则1∠=．【变式训练】1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，AB CD ∥，点,E F 为AB 与CD 之间两点，AE EF ⊥，若36A ∠=︒，70F ∠=︒，则D ∠的度数为．2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图a b ，则图中A ∠，B ∠，1∠，2∠的数量关系是．一、单选题1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，已知AB CD ∥，33BAP ∠=︒，21DCP ∠=︒，则P ∠的度数为（）A ．52︒B ．53︒C ．54︒D ．55︒2．（23-24七年级上·山西长治·期末）如图，AB CD ，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，则APC ∠的度数为（）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒二、填空题3．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知AB CD ∥，22,33EAF BAF ECF DCF ∠=∠∠=∠，记AEC m AFC ∠=∠，则m 的值为．4．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆AO ⊥底座MN 于点O ，AB 与BC 是分别可绕点A 和B 旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C 旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD 、CE 组成的DCE ∠始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线∥CD MN ，CE BA ∥，若158BAO ∠=︒，则DCE ∠=．三、解答题5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，AB CD ∥，点M 在AB 上，点N 在CD 上．求证：MEN BME DNE ∠=∠．【类比迁移】如图②，F ∠、BMF ∠、DNF ∠的数量关系为．（不需要证明）【结论应用】如图③，已知AB DE ∥，120BAC ∠=︒，80D ∠=︒，则ACD ∠=°．6．（23-24七年级上·云南昆明·期末）（1）如图①，12MA NA ∥，则12A A ∠+∠=_______；如图②，13MA NA ∥，则123A A A ∠+∠+∠=_______；（2）如图③，14MA NA ∥，则1234A A A A ∠+∠+∠+∠=_______；（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB CD ∥，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于点F ，80E ∠=︒，求BFD ∠的度数．7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知AB CD ，点E ，F 分别为AB ，CD 之间的点．(1)如图1，若100E ∠=︒，求B D ∠∠+的度数；(2)若36,108B D ∠=︒∠=︒．①如图2，请探索F E ∠-∠的度数是否为定值，请说明理由；②如图3，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数．8．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）综合与探究某学习小组发现一个结论：已知直线a b ，若直线a c P ，则b c P ．他们发现这个结论运用很广、请你利用这个结论解决以下问题．已知直线AB CD ，点E 在AB ，CD 之间，点P ，Q 分别在直线AB ，CD 上，连接PE ，EQ ．(1)如图1，作EH AB ∥，运用上述结论，探究PEQ ∠与APE CQE ∠+∠的数量关系，并说明理由．(2)如图2，3EPF BPF ∠=∠，3EQF DQF ∠=∠，求出F ∠与E ∠之间的数量关系．(3)如图3，直接写出1∠，2∠，E ∠，F ∠，G ∠之间的数量关系：__________．9．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）（1）问题情境：图①中，AB CD ∥，120BAP ∠=︒，130DCP ∠=︒，求APC ∠的度数.小明的思路是：过P 作PE AB ∥，通过平行线性质来求APC ∠.按小明的思路，易求得APC ∠的度数为_________；（直接写出答案）（2）问题探究：图②中，AB CD ∥，P 为AB CD ，之间一点，连接PA PC ，，试探究APC ∠与BAP ∠，PCD ∠之间的数量关系；（3）图③中，AB CD ∥，52AEP ∠=︒，122PFC ︒∠=，求EPF ∠的度数.10．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）问题情境1：如图1，AB CD ∥，P 是ABCD 内部一点，P 在BD 的右侧，探究B ∠，P ∠，D ∠之间的关系？（1）如图2，过P 作PE AB ，可得B ∠，P ∠，D ∠之间满足______关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，AB CD ∥，P 是AB ，CD 内部一点，P 在BD 的左侧，（2）得B ∠，P ∠，D ∠之间满足______关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB CD ∥，ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ．（3）如图4，若80E ∠=︒，求BFD ∠的度数；（写证明过程）（4）如图5中，13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=，写出M ∠与E ∠之间数量关系并证明结论．11．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，AB CD ∥，定点E ，F 分别在直线AB CD ，上，平行线AB CD ，之间有动点P ，Q ．(1)如图1，当点P 在EF 的左侧时，AEP EPF PFC ∠∠∠，，满足数量关系为______；如图2，当点P 在EF 的右侧时，AEP EPF PFC ∠∠∠，，满足数量关系为______；(2)如图3，若点P ，Q 都在EF 的左侧，且EP FP ，分别平分AEQ CFQ ∠∠，，则EPF ∠和EQF ∠的数量关系为______．(3)如图4，若点P 在EF 的左侧，点Q 在EF 的右侧且EP FP ，分别平分AEQ CFQ ∠∠，，则EPF ∠和EQF ∠有怎样的数量关系？请说明理由．12．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，AB CD ∥，点E 、F 分别在直线AB ，CD 上，P 为直线AB 和CD 之间的一个动点，且满足0180EPF ︒<∠<︒．(1)如图1，EPF ∠、AEP ∠、PFC ∠之间的数量关系为．(2)如图2，EPF ∠、AEP ∠、PFC ∠之间的数量关系为．(3)如图3，QE ，QF 分别平分PEB ∠和PFD ∠，点P 在EF 左侧，点Q 在EF 右侧．①若60EPF ∠=︒，求EQF ∠的度数．②猜想规律：EPF ∠与EQF ∠的数量关系可表示为．③如图4，若BEQ ∠与DFQ ∠的角平分线交于点1Q ，1BEQ ∠与1DFQ ∠的角平分线交于点2Q ，2BEQ ∠与2DFQ ∠的角平分线交于点3Q ，……依此类推，则EPF ∠与2023EQ F ∠的数量关系是．。

“拐点”平行线问题(拔高训练)

拐点问题作平行线的技巧当两条平行线间遇到拐点时，常过拐点作平行线构造出同位角、内错角和同旁内角．通过平行线的性质，得到题目中所求角与已知角之间的关系，从而解决问题．一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线．类型1形图(燕尾型)1．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，则∠BPC＝57° .2．如图，已知AB∥CD，∠1与∠D，∠B 之间存在怎样的数量关系？解：∠1＝∠B＋∠D.理由如下：如图，过点E作EF∥AB.因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D.因为∠1＝∠BEF＋∠DEF，所以∠1＝∠B＋∠D.类型2形图(铅笔型)3．(1)如图1所示，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，求∠C的度数；(2)如图1所示，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠C，∠D之间的数量关系吗？请说明理由；(3)如图2所示，AB∥EF，根据(2)中的结果，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．解：(1)如图所示，过点C作CF∥AB，则∠1＝180°－∠B＝45°.因为CF∥AB，DE∥AB，所以CF∥DE，所以∠2＝180°－∠D＝35°.所以∠BCD＝∠1＋∠2＝45°＋35°＝80°.(2)∠B＋∠C＋∠D＝360°.理由如下：由(1)得CF∥AB，CF∥DE，所以∠B＋∠1＝180°，∠D＋∠2＝180°，所以∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝360°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.类型3形图4．(2019·河南鹤壁一模)如图，已知AB∥CD，若∠A＝25°，∠E＝50°，则∠C＝ 75° .5．(2019·安徽淮北五校联考)小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：(1)如图1，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系，并说明理由；(2)如图2，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系，请直接写出它们的关系式．解：(1)∠B＝∠BOD＋∠D.理由：如图，过点O作OM∥CD.因为AB∥CD，OM∥CD，所以AB∥CD∥OM，所以∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，所以∠B＝∠BOM＝∠DOM＋∠BOD＝∠D＋∠BOD.(2)∠D＝∠BOD＋∠B.类型4形图(靴子型)6．如图，直线AB∥CD，若∠A＝100°，∠E＝15°，则∠ECD ＝ 115° .7．如图，已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点，探究∠CDE与∠B ，∠E之间的数量关系，并说明理由．解：∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：如图，过点E作EF∥AB.因为AB∥CD，所以EF∥AB∥CD.所以∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又因为∠DEF＝∠BEF－∠BED，所以∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.类型5形图8．(2019·江苏南京二十九中模拟)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．解：方法1：如图1，过点C作FG∥AB.因为FG∥AB，AB∥DE，所以FG∥ED，所以∠ABC＝∠BCF，∠CDE＋∠DCF＝180°.又因为∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，所以∠BCF＝80°，∠DCF＝40°，所以∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝40°.方法2：如图2，反向延长DE交BC于点M.因为AB∥DE，所以∠BMD＝∠ABC＝80°，所以∠CMD＝180°－∠BMD＝100°.又因为∠CDE＋∠CDM＝180°，∠CDM＋∠BCD＋∠CMD＝180°，所以∠CDE＝∠CMD＋∠BCD，所以∠BCD＝∠CDE－∠CMD＝140°－100°＝40°.类型6形图9．(2019·湖北武汉蔡甸区期末)如图，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝36°，求∠BEC的度数．解：如图，过点E作直线EF∥AB.因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠ABE＋∠BEF＝180°，∠FEC＝∠ECD＝36°，所以∠BEC＝∠BEF＋∠CEF＝180°－∠ABE＋∠DCE＝180°－110°＋36°＝106°. 类型7多拐点型10.如图所示，AB∥EF，∠B＝45°，∠E＝35°，则∠C＋∠D的值为260° .11．如图，m∥n ，试说明：∠1＋∠3＝∠2＋∠4. 解：如图，分别过点P1，P2作P1C∥m，P2D∥m.因为m∥n，所以P1C∥P2D∥m∥n，所以∠1＝∠AP1C，∠CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B ＝∠4，所以∠1＋∠P1P2D＋∠DP2B＝∠AP1C＋∠CP1P2＋∠4，所以∠1＋∠3＝∠2＋∠4.类型8复合“拐点”型12．已知直线AB∥CD.(1)如图1，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由；(3)如图2，若点E在直线BD的右侧，BF，DF仍分别平分∠ABE，∠CDE，求∠BFD 和∠BED的数量关系．解：(1)∠BFD＝12∠BED.理由：因为BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，所以∠ABF＝12∠ABE，∠CDF＝12∠CDE，所以∠ABF＋∠CDF＝12∠ABE＋12∠CDE＝12(∠ABE＋∠CDE)．因为∠ABE＋∠CDE＝∠BED，∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，所以∠BFD＝12∠BED.(2)过点E作EG∥CD，如图所示．因为AB∥CD，EG∥CD，所以AB∥CD∥EG，所以∠ABE＋∠BEG＝180°，∠CDE＋∠DEG＝180°，所以∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝360°.因为∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，所以∠ABF＝12∠ABE，∠CDF＝12∠CDE.所以∠BFD＝12(∠ABE＋∠CDE)，所以2∠BFD＋∠BED＝360°.。

七年级下册拐点问题十道

七年级下册拐点问题十道1. 一个物体以常速度匀速直线运动，在t=0时刻开始加速，加速度恒定为2 m/s^2，直到t=5 s时停止加速，之后以匀速运动。

求物体在t=9 s时刻的位移。

2. 一辆汽车在直路上匀速行驶，行驶速度为20 m/s。

在t=0时刻，司机突然刹车，导致汽车减速，减速度为4 m/s^2。

求汽车在t=5 s时刻的位移。

3. 一个自由落体物体从静止开始下落，下落过程中突然受到空气阻力，导致加速度降低为原来的一半。

求物体下落3秒后的速度。

4. 一个弹簧球在垂直方向上弹跳，每次弹跳高度为原来的一半。

已知初始高度为1 m，求第四次弹跳后球的高度。

5. 一颗火箭以恒定加速度起飞，加速度为10 m/s^2。

已知起飞后3秒钟，火箭的速度为100 m/s。

求火箭起飞后的位移。

6. 一连环坠落的物体从高度为10 m的地方自由下落，每经过1秒钟，它在竖直方向上的速度减少2 m/s。

求物体坠落到地面所需的时间。

7. 一个小车在直路上以20 m/s^2的加速度匀加速行驶，行驶了4秒后，司机突然刹车导致小车减速，减速度为5 m/s^2。

求刹车后小车行驶的时间和位移。

8. 一个自行车手开始以恒定速度骑行，速度为4 m/s。

经过t秒后，他开始刹车，减速度为2 m/s^2。

求自行车手刹车前行驶的时间和位移。

9. 一个物体以10 m/s的初速度向前运动，经过t秒后突然反向运动，速度变为5 m/s。

求物体运动了多长时间后才停下来。

10. 一个物体以10 m/s的初速度向前运动，在t=5 s时刻突然反向运动，速度变为-8 m/s。

求物体反向运动的时间和位移。

相交线平行线拐点专项

平行线拐点专项练习（1）班级：序号：分数： 1．如图，已知∠B=40°，∠BCD=71°，∠D=31°，试探究AB 与DE 的位置关系．2．如图AB ∥EF ，AC 、CE 交于点C ，求∠BAC+∠ACE+∠CEF 的度数．3．如图所示，已知AB ∥CD ，∠C=75°，∠A=25°，求∠E 的度数．4．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD 度数。

5、如图，AB ∥CD ，∠B ＝160°，∠D ＝120°，求∠E 度数。

DC B E A6、如图，a ∥b ，∠1=100°，∠2=140°，求∠3度数21、如图，AB ∥CD ，∠B=138°，∠C=18°，求∠BEC8．如图，AB ∥CD ∥EF ，则等于180°的式子是（）A ．∠1+∠2+∠3B ．∠1+∠2﹣∠3C ．∠1﹣∠2+∠3D ．∠2+∠3﹣∠1EDCBA平行线拐点专项练习（2）班级：序号：分数：1、如图，直线a∥b，射线DF与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，求∠2的度数．2、如图，AB∥EF，则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是什么？3．如图，AB∥CD，E为AC上一点，∠ABE=∠AEB，∠CDE=∠CED．求证：BE⊥DE．4、有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB ，CD ，然后在平行线间画了一点E ，连接BE ，DE 后(如图①)，他用鼠标左键点住点E ，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠B ，∠D 与∠BED 之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．(1)你能探究出图①到图④各图中的∠B ，∠D 与∠BED 之间的关系吗？ (2)请从所得的四个关系中，选一个说明它成立的理由．5．已知直线，直线与直线、分别相交于C 、D 两点．（1）如图，有一动点P 在线段CD 之间运动(不与C 、两点重合)问在点P 的运动过程中，是否始终具有∠3+∠1=∠2这一关系，为什么？（2）如图b ，当动点P 线段CD 之外运动(不与C 、D 两点重合)，问上述结论是否成立?若不成立，试写出新的结论并说明理由．231P3l 1l2lACDB231C FD P3l1l2l A B平行线拐点专项练习（3）班级：序号：分数：1、如图14，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，试问∠M与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．图142、如图，∠EAC＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∠2＝∠4.(1)如图①，求证：DE∥BC；(2)若将图①改变为图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．3、（1）解题探究：已知三角形ABC（图⑤），探究∠A+∠B+∠C等于多少度？（提示：过一点作平行线）（2）发现规律：如图①，三角形ABC中，点D在BC的延长线上，试说明∠A+∠B与∠1的关系？（3）运用规律：利用以上规律，快速探究以下各图：当AB∥CD时，∠A，∠C，∠P的关系式为（直接填空，不要证明过程）：∠C=，∠C=，∠C=．平行线拐点专项练习（4）班级：序号：分数：1、（1）如图甲，AB∥CD，试问∠2与∠1＋∠3的关系是什么，为什么？（2）如图乙，AB∥CD，试问∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5一样大吗？为什么？（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7哪个大？为什么？你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论．2、如图①，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD.(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S 三角形PAB ＝S 四边形ABDC ，若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；(3)如图②，点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时(不与点B ，D 重合)，给出下列结论：①∠DCP ＋∠BOP ∠CPO 的值不变；②∠DCP ＋∠CPO ∠BOP 的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．平行线拐点专项练习（5）班级：序号：分数：1、如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．2、长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a－3b|＋(a＋b－4)2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°(1) 求a、b的值(2) 若灯B射线先转动20秒，灯A 射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3) 如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围D平行线拐点专项练习（6）班级：序号：分数：1、已知射线AB∥射线CD，P为一动点，AE平分∠PAB，CE平分∠PCD，且AE与CE相交于点E．（1）在图1中，当点P运动到线段AC上时，∠APC=180°．①直接写出∠AEC的度数；②求证：∠AEC=∠EAB+∠ECD；（2）当点P运动到图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC之间的关系，并加以说明；（3）当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出∠AEC与∠APC之间的关系，并加以证明．2、数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BA n，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠B n﹣1、∠A n的关系拓展应用：（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A.180°+α+β﹣γB.180°﹣α﹣γ+βC．β+γ﹣αD．α+β+γ②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是．3、．如图1，在平面直角坐标系中，点A 为x 轴负半轴上一点，点B 为x 轴正半轴上一点，()0,C a ，(),D b a ，其中a ，b 满足关系式：3+a ＋()012=+-a b .（1）a = ，b = ，△BCD 的面积为；（2）如图2，若AC ⊥BC ，点P 线段OC 上一点，连接BP ，延长BP 交AC 于点Q ，当∠CPQ =∠CQP 时，求证:BP 平分∠ABC ；（3）如图3，若AC ⊥BC ，点E 是点A 与点B 之间一动点，连接CE ,CB 始终平分 ∠ECF ,当点E 在点A 与点B 之间运动时，BEC BCO∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.图1 图2图3（第21题图） A B DO C x y A B C D O E y F P O A x D yB Q • C。

七年级下册拐点问题十道

七年级下册拐点问题十道题目一：生活中的拐点生活中的拐点是指人们生活中发生的某些关键事件或重要决策所带来的转变点。

以下为我认为的七年级下册十个拐点问题。

问题一：从小学到初中，你的生活有什么变化？小学生活和初中生活相比，存在着许多明显的拐点。

小学时充满了童真和无忧无虑的时光，而初中开始更加注重学业和责任感。

学习科目增多、作业量增加，同时也需要更多的自我管理和自我约束。

问题二：你迎来了十几岁，你的世界变了吗？随着年龄的增长，十几岁的年龄段是人生中的一个重要拐点。

人们开始对世界有更多的认知和思考，对自我和他人的要求也越来越高。

此时，人们可能会更加关注自己的兴趣和志向，未来的规划也开始逐渐清晰起来。

问题三：你遇到了一位特别热情的老师，对你的影响大吗？优秀的老师能够给学生带来很大的影响。

当我们遇到一位特别热情的老师时，他们可能会激发我们学习的热情，给予我们更多的关注和鼓励，从而影响我们的学习态度和成绩。

问题四：你曾经经历过一次失败，但是成功了吗？失败是生活中难以避免的一部分。

当我们经历一次失败时，失败本身可能让我们感到沮丧和失望，但重要的是我们从失败中学到了什么，并且坚持努力最终取得成功。

问题五：你是否曾经担心自己的变化被周围的人所接受？在成长的过程中，我们经历了许多身体和心理上的变化。

有时候，这些变化可能会让我们感到困惑和担忧，担心周围的人是否能够接受我们的变化。

然而，重要的是我们能够接受自己，并相信自己的独特之处。

问题六：你经历过一次选择和决策的犹豫吗？在生活中，我们经常需要做出选择和决策。

有时候，我们可能会面临犹豫不决的情况，担心自己做出的选择是否正确。

然而，无论我们做出什么样的选择，重要的是要有勇气和信心去面对并承担后果。

问题七：你能跨越自己的舒适区吗？舒适区指的是人们所熟悉和感到安全的范围。

在成长过程中，我们需要不断挑战自己，跨越舒适区去尝试新的事物和面对各种挑战。

只有这样，我们才能够不断成长和进步。

中考拐点试题及答案

中考拐点试题及答案1. 阅读下列材料，回答问题。

材料一：在2019年的中考中，某市的数学平均分为68分，而2020年的中考数学平均分上升至72分。

材料二：2020年中考数学试题难度较2019年有所下降，导致学生分数普遍提高。

问题：请分析材料一中数学平均分上升的原因。

答案：材料一中数学平均分上升的原因主要是由于材料二中提到的2020年中考数学试题难度下降，使得学生整体得分提高。

2. 根据以下信息，计算并回答问题。

信息：某校中考体育成绩满分为30分，小华的体育成绩为25分，小华的体育成绩占满分的百分比是多少？答案：小华的体育成绩占满分的百分比为83.33%。

3. 阅读下列句子，判断下列句子是否正确，并改正错误。

句子：小明在中考中取得了优异的成绩，他被录取到了理想的高中。

答案：正确。

4. 选择填空题。

在中考中，下列哪一项是影响考试成绩的主要因素？A. 考试当天的天气B. 考试前的准备C. 考试时的心情D. 考试后的放松答案：B。

5. 简答题。

请简述中考备考期间，学生应该如何合理安排时间？答案：在中考备考期间，学生应该制定详细的学习计划，合理分配学习时间，保证充足的休息和睡眠，同时进行适量的体育锻炼，以保持良好的身体状态和精神状态。

6. 阅读理解题。

阅读以下短文，回答问题。

短文：在2021年的中考中，学生们面临着前所未有的挑战。

由于疫情的影响，学生们不得不在家中进行线上学习，这给他们的学习带来了极大的不便。

然而，学生们并没有放弃，他们通过自己的努力和坚持，最终在中考中取得了优异的成绩。

问题：短文中提到的“挑战”是什么？答案：短文中提到的“挑战”是疫情的影响导致学生们不得不在家中进行线上学习。

7. 判断题。

在中考中，如果学生在考试过程中感到紧张，他们应该立即停止答题，等待紧张情绪消失。

答案：错误。

学生在考试过程中感到紧张时，可以尝试深呼吸、放松身体等方法来缓解紧张情绪，而不是停止答题。

8. 计算题。

某校中考录取分数线为500分，小李的中考总分为510分，请问小李是否达到了录取分数线？答案：是的，小李达到了录取分数线。

(完整版)拐点问题配套练习

拐点问题配套练习1．如图，直线 l1∥l2∥l3，点 A、B、C 分别在直线 l1、l2、l3上，假设∠ 1=72°，∠2=48°，那么∠ ABC=〔〕A．24° B．120°C．96°D．132°第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图， AB∥CD∥EF，FC均分∠ AFE，∠C=25°，那么∠ A 的度数是〔〕A．25°B． 35°C．45°D．50°3．如图，直线 a∥ b，将一个直角三角尺按以以下图的地址摆放，假设∠1=58°，那么∠ 2的度数为〔〕 A． 30°B．32°C．42°D． 58°4．如图，分别过矩形ABCD的极点 A、 D 作直线 l1、l2，使 l1∥l2，l2与边 BC交于点P，假设∠ 1=38°，那么∠ BPD为〔〕A．162°B．152°C．142°D．128°5．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，若是∠1=30°，那么∠ 2 的度数为〔〕A．45°B．30°C．20°D．15°第5题图第6题图第7题图第8题图6．如右图， AB∥CD，那么以下式子必然成立的是〔〕A．∠ 1=∠3B．∠ 2=∠3C．∠ 1=∠ 2+∠3D．∠ 3=∠1+∠ 27．直角三角板和直尺如图放置，假设∠1=20°，那么∠ 2 的度数为〔〕A．60°B．50°C．40°D．30°8．如图，将矩形纸片 ABCD沿 BD 折叠，获取△ BC′D，C′D与 AB 交于点 E．假设∠ 1=35°，那么∠ 2 的度数为〔〕A．20°B．30°C．35° D．55°9． a∥ b，一块含 30°角的直角三角板以以下图放置，∠2=45°，那么∠ 1 等于〔〕A．100°B．135°C．155°D．165°第9题图第10题图第11题图第12题图10．如图，直线 m∥n，直角三角板 ABC的极点 A 在直线 m 上，那么∠α的余角等于〔〕A．19°B．38°C．42° D． 52°11．如图， BC∥ DE，假设∠ A=35°，∠ C=24°，那么∠ E 等于〔〕A．24°B．59°C．60°D．69°12．如图，∠ BCD=90°，AB∥DE，那么∠α与∠ β满足〔〕A．∠ α+∠β =180°B．∠ β﹣∠α =90° C．∠β =3∠αD．∠ α+∠β =90°13．如图，假设∠ A+∠ABC=180°，那么以下结论正确的选项是〔〕A．∠ 1=∠2 B．∠ 2=∠3 C．∠ 1=∠3 D．∠ 2=∠4第 13题图第14题图第15题图第16题图14．如图， AB∥ DE，∠ ABC=75°，∠ CDE=145°，那么∠ BCD的值为〔〕A．20°B．30°C．40°D．70°15．如图，直线 AB∥ CD，∠ C=44°，∠ E 为直角，那么∠ 1 等于〔〕A．132°B．134°C．136°D．138°16．如图，直线 m∥n，将含有 45°角的三角板 ABC的直角极点 C 放在直线 n 上，那么∠ 1+∠2 等于〔〕A．30°B． 40°C．45° D．60°17．如图，等腰直角三角板的极点A，C 分别在直线a，b 上．假设 a∥b，∠ 1=35°，那么∠ 2 的度数为〔〕A．35°B．15°C．10° D．5°第 17题图第18题图18．如图， AB∥ EF，CD⊥EF，∠ ACD=130°，那么∠ BAC=〔〕A．40°B．50°C．60°D．70°。

七年级下培优-2---拐点问题

培优二---拐点问题专题
例1、如图AB∥CD，分别探讨下面四个图形中，∠APC与∠PAB、∠PCD 之间有什么关系？
练习．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
练习：
1、如图，AB∥EF，∠C=90°，则α、β、γ的关系为
2、如图所示，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为度．
3、如图，直线a∥b，那么∠x的度数是
第1题图第2题图第3题图
4、如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．证明：β=2α
5、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°
求证：AB∥EF．。

拐点问题初一例题五种

拐点问题初一例题五种初一地理拐点问题：读“德黑兰（35.7°N，51.4°E，海拔1191米）和沙赫尔（27.2N°，60.7°E，海拔591米）位置示意图”和“德黑兰的气温、降水季节变化图”，回答1-7小题。

1下列对德黑兰的降水季节分配特点表述最为准确的是： [单选题] *A夏季高温干燥，冬季温和多雨B夏季多雨冬季少雨C全年湿润，降水均匀D冬春相较于夏秋多雨，夏秋季降水少于冬春季节，年降水量较为稀少(正确答案)2读德黑兰气温变化曲线和降水柱状图，德黑兰的气候类型是： [单选题] *A地中海气候B温带季风气候C热带沙漠气候D温带大陆性气候(正确答案)3下列对于德黑兰和沙赫尔的气候比较，说法正确的是： [单选题] *A德黑兰全年平均气温高于沙赫尔B德黑兰年降水量少于沙赫尔C两座城市的气温都有明显的季节差异(正确答案)D两地降水具有完全一致性的特点4德黑兰的冬季和夏季气温均比沙赫尔低，下列对此现象解释，你认为最合理的是： [单选题] *A沙赫尔比德黑兰更靠近海洋，海洋性强B德黑兰纬度较高，海拔较高(正确答案)C德黑兰北部的里海为咸水湖，蒸发强D德黑兰附近河流众多改变了当地气候，使其更为湿润5结合材料和图表，你可以从中直接获取的关于自然环境的信息是 [单选题] *A湖泊对其附近区域气候的影响，要远远高于海洋B纬度和地形对会对气候产生影响(正确答案)C沿海降水量一定比内陆多D该地适合发展畜牧业6据图分析制约伊朗农业发展的主要自然因素： [单选题] *A位置B光照C气温D水源(正确答案)7在发展农业过程中，下列做法不合理的是： [单选题] *A节约和合理利用水资源B防止土地荒漠化C合理灌溉，防止土壤次生盐碱化D大量抽取地下水，解决水资源不足的问题(正确答案)京津冀地区（位于我国东部沿海）古都较多。

这些古都大多是在农业文明基础上形成的，分布具有共同特征。

回答8-10题下列对京津冀地区自然环境描述错误的一项是[单选题] *A位于我国北方地区，受温带季风气候影响，夏季高温多雨，冬季寒冷干燥B该地区主要分布山地、平原，山地主要分布在北部，西部也有平原分布，地势西北高、东南低C该地河流众多，流经山区的河段水流湍急，流速快D该地不沿海，大陆性强，降水稀少，以畜牧业为主(正确答案)9据图分析，对古都分布与山脉、河流的位置关系描述最为准确的一项是 [单选题] *A位于山脉东侧，位于河流中游地区(正确答案)B位于北部，河流下游地区C位于山地和平原的交界处D位于地势平坦的河流入海口地区10下列不属于古都所在的自然地理环境为当地农业生产提供的有利条件是：[单选题] *A坡度和缓，地势起伏小B水源充足C土壤肥沃D种植小麦历史悠久，当地农民经验丰富(正确答案)葡萄喜光，耐旱。

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