活用“三线合一”解题的六种技巧

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∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即 EB⊥AB.
技巧 5 利用“三线合一”证角的倍数关系
5．如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D． 求证：∠DBC＝ 12∠BAC．
证明：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F.
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠CAF＝∠BAF＝12∠BAC.
∵AF⊥BC，BD⊥AC，
AB＝AE，

在△ABC 和△AED 中，∠B＝∠E， BC＝ED，
∴△ABC≌△AED(SAS)． ∴AC＝AD. 又∵AF⊥CD， ∴CF＝DF.
(2)由(1)知AC＝AD，AF⊥CD，
∴∠CAF＝∠DAF.
又∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD.
∴∠CAF＋∠BAC＝∠DAF＋∠EAD，
即∠BAF＝∠EAF.
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技巧 4 利用“三线合一”证垂直 4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分
∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC． 求证：EB⊥AB．
证明：如图，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F.
∵AE＝EC，∴AF＝12AC. 又∵AB＝12AC，∴AF＝AB. ∵AD 平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE. 又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB(SAS)．
∴∠AEB＝∠ABC. ∵AD⊥BC，∴AD是BE边上的中线， 即DE＝BD. 又∵∠ABC＝2∠C， ∴∠AEB＝2∠C.
而∠AEB＝∠CAE＋∠C， ∴∠CAE＝∠C. ∴CE＝AE＝AB. ∴CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
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∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝14.
又∵AB＝AC＝14，AD＝DB，DE⊥AB，
∴AE＝EB＝ 1 AB＝7. 2
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技巧 3 利用“三线合一”证线段、角相等
3．如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED， AF⊥CD于点F.求证：(1)CF＝DF； (2)∠BAF＝∠EAF.
证明：(1)如图，连接 AC，AD.
∴∠CAF＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°.
∴∠DBC＝∠CAF. ∴∠DBC＝12∠BAC.
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技巧 6 利用“三线合一”证线段的和差关系
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC ＝2∠C．求证：CD＝AB＋BD．
证明： 如图，以A为圆心，AB的长为半径画弧交CD 于点E，连接AE，则AE＝AB，
第1章 三角形的证明
双休作业(一) 1 活用“三线合一”解题的六种技巧
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技巧 1 利用“三线合一”求角
1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱 AD⊥BC，垂足为D，AB＝AC，求∠B，∠C， ∠BAD，∠CAD的度数．
解： ∵ AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝ 100° ， AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝50°. ∴∠B＝∠C＝40°.
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技巧 2 利用“三线合一”求线段的长
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB 于点E，若BC＝10，且△BDC的周长为24，求AE 的长．
解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝24，BC＝10，
∴BD＋CDHale Waihona Puke Baidu14.
∵AD＝BD，