活用“三线合一”解题的六种技巧

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专训2 “三线合一”解题的六种技巧

解：如图，延长BA，CD交于点E.
∵BF平分∠ABC， CD⊥BD，BD＝BD， ∴△BDC≌△BDE. ∴BC＝BE. 又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.
又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°， ∴△ABF≌△ACE(ASA)． ∴BF＝CE. 故BF＝2CD.
技巧
6
利用“三线合一”证线段的和差关系 (构造三线法)
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且 ∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.
解：如图，以点A为圆心，
AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC. 又因为AD⊥BC，所以AD是BE边上的中线，
AF，试判断△DEF的形状，并说明理由．
(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍有BE＝AF.请判断△DEF是否仍有(1) 中的形状，并说明理由．
解：(1)△DEF为等腰直角三角形．理由：连接
AD，易证△BDE≌△ADF，
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，又∵∠BAC＝90°，AB＝AC， D为BC的中点， ∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.
BC＝10，所以BD＋CD＝14.
∵AD＝BD， ∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝14. 又∵AB＝AC＝14. AD＝DB，DE⊥AB，
1 ∴AE＝EB＝ AC＝7. 2
技巧
3
利用“三线合一”证线段(角)相等
3．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， D为BC的中点． (1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝
1 ∵AE＝EC，∴AF＝ AC. 2 1 又∵AB＝ AC， 2

【北师大版】七年级数学下册《三线合一”解题的六种技巧》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析）专训1“三线合一”解题的六种技巧名师点金：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质说明角相等、线段相等或垂直关系，可简化解题过程．利用“三线合一”求角的度数1．如图，屋架顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，垂足为点D，斜梁AB＝AC，求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．(第1题)利用“三线合一”求线段的长2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝10，且△BDC的周长为24，求AE的长．(第2题)利用“三线合一”说明线段(角)相等3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.试说明：DE＝DF.(第3题)利用“三线合一”说明垂直4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD 上一点，且EA＝EC.试说明：EB⊥AB.(第4题)利用“三线合一”说明线段的倍数关系(构造三线法) 5．如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D.试说明：BF ＝2CD.(第5题)利用“三线合一”说明线段的和差关系(构造三线法) 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.(第6题)答案1．解：因为AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，AD ⊥BC ，所以∠B ＝∠C ＝40°，∠BAD ＝∠CAD ＝50°.2．解：因为△BDC 的周长＝BD ＋BC ＋CD ＝24，BC ＝10，所以BD ＋CD ＝14. 因为AD ＝BD ，所以AC ＝AD ＋CD ＝BD ＋CD ＝14. 又因为AB ＝AC ＝14，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，所以AE ＝EB ＝12AC ＝7.(第3题)3．解：如图，连接AD.因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC.所以∠ADB ＝90°.所以∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC. 因为AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，所以∠B ＝∠C ＝45°.在△ABD 中，∠BAD ＝12∠BAC ＝45°，所以∠B ＝∠BAD.所以BD ＝AD.因为∠DAC ＝12∠BAC ＝45 °，所以∠B ＝∠DAC. 又因为BE ＝AF ，所以△BDE ≌△ADF(SAS)．所以DE ＝DF.(第4题)4．解：如图，过点E 作EF ⊥AC 于点F. 因为EA ＝EC ，所以AC ＝2AF. 又因为AC ＝2AB ，所以AB ＝AF. 因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAE ＝∠FAE. 又因为AE ＝AE ，所以△AEB ≌△AEF(SAS)．所以∠ABE ＝∠AFE ＝90°，即EB ⊥AB.(第5题)5．解：如图，延长BA ，CD 交于点E. 因为BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，所以∠1＝∠2，∠BDC ＝∠BDE ＝90°. 又因为BD ＝BD ，所以△BDC ≌△BDE(ASA)．所以BC＝BE.又因为BD⊥CE，所以CE＝2CD.因为∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，所以∠2＝∠ACE.又因为AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，所以△ABF≌△ACE(ASA)．所以BF＝CE.故BF＝2CD.(第6题)6．解：如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.因为AD⊥BC，所以AD是△ABE的BE边上的中线，所以DE ＝BD.又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB.故CD＝CE＋DE＝AB＋BD.。

第13章轴对称专题训训2“三线合一”解题的六种技巧(含答案)

：（第2题）专训2三线合一”解题的六种技巧名师点金：等腰三角形中的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线 ”只要知道其中一线”就可以说明是其他两线”运用等腰三角形三线合一 ”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程.継藝;利用三线合一 ”求角1如图，房屋顶角/ BAC = 100 °过屋顶 A 的立柱 AD 丄BC ,屋檐 AB = AC.求顶架上的/ B ,/ C ,Z BAD ，/ CAD 的度数.塗粲利用三线合一”求线段2. 如图，在△ ABC 中，AB = AC , AD = DB , DE 丄 AB 于点 E ,若 BC = 10,且厶 BDC 的周长为24,求AE 的长.1题）礎龜亍利用三线合一”证线段（角）相等3. 已知△ ABC 中，/ BAC = 90° AB = AC, D 为BC 的中点.⑴如图①，E, F分别是AB, AC上的点，且BE = AF，试判断厶DEF的形状，并说明理由.⑵如图②，若E, F分别为AB, CA的延长线上的点，且仍有BE= AF.请判断△ DEF 是否仍有（1）中的形状，并说明理由.潍齡:利用三线合一”证垂直4. 如图，在△ ABC中，AC= 2AB, AD平分/ BAC, E是AD上一点，且EA = EC.求证：EB丄AB.（第4遴窪::利用三线合一 ”证线段的倍数关系（构造三线法）5.如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，AB = AC , / BAC = 90°BF 平分/ ABC ,CD 丄BD 交BF 的延长线于点 D.试说明：BF = 2CD.鑒瑟1利用三线合一 ”证线段的和差关系（构造三线法）6.如图，在△ ABC 中,AD 丄BC 于点D ，且/ ABC = 2 / C.试说明: CD = AB + BD.B D答案1.解：因为 AB = AC ,/ BAC = 100 ° AD 丄 BC ，所以/ B = Z C = 40 ° / / CAD = 50°2. 解：因为△ BDC 的周长=BD + BC + CD = 24, BC = 10,所以 BD + CD = 14. T AD = BD ,••• AC = AD + CD = BD + CD = 14.又••• AB = AC = 14.AD = DB , DE 丄 AB ,1• AE = EB = 2AC = 7.3.解：（1）△ DEF 为等腰直角三角形.理由：连接AD ，易证△ BDE ◎△ ADF ,• DE = DF , / BDE = / ADF ,又•••/ BAC = 90° AB = AC ,D 为BC 的中点，• AD 丄 BC. •/ ADB = 90°• / EDF = / EDA + / ADF =/ EDA + / BDE = / ADB = 90°.• △ DEF 为等腰直角三角形.⑵是，理由略.14. 证明：如图，过点 E 作EF 丄AC 于F.T AE = EC ,「. AF =空人。

中考数学复习指导：等腰三角形“三线合一”的妙用

等腰三角形“三线合一”的妙用等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角的角平分线是互相重合的，我们把等腰三角形的这一性质简称为“三线合一”，这是等腰三角形的重要性质，本文例说这一性质在解题中的运用．一、求线段最值在处理线段问题时，如果既能运用全等三角形的知识，又能运用等腰三角形的知识，则应尽可能地运用“三线合一”的性质．这样，还能帮助同学们熟练掌握“三线合一”性质的转化．例1 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP 的最小值是_________．解过点A作AD⊥BC于点D．因为AB＝AC＝5，BC＝6，根据等腰三角形三线合一的性质，可得BD＝3．再根据勾股定理可知AD＝4，因为垂线段最短，所以当BP⊥AC 时，BP有最小值．利用等面积法，可得AD·BC＝BP·AC．即4 ×6＝5BP，则BP＝245．点评本题考查了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法．在此题中还考查了学生为了解决等腰三角形问题添加辅助线的方法．二、证明直线垂直在证明两直线垂直的问题时，如具备以下两个条件，可用“三线合一”来证明：(1)两线段中一条是这个三角形顶角的平分线或底边上的中线；(2)三角形是等腰三角形，例2 如图2所示，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的中点．求证：AF⊥CD．分析由已知，F是CD的中点，要证AF⊥CD，若连结AC与AD，则只要证得AC ＝AD，则由等腰三角形三线合一可证AF⊥CD．证明连结AC与AD．∵在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝LE，BC＝ED，∴△ABC≌△AED．则AC＝AD．∵AF是等腰△ACD的底边上的中线，∴AF⊥CD．点评本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的性质的应用．三、处理角与角之间的关系在处理角之间的关系时，利用等腰三角形三线合一的性质，并将已知条件与待求证的角关系转化到一起，可以使问题容易地得到了解决．例3 如图3所示，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点．求证：∠BFE＝∠CFE．分析因为E是BC的中点，故要证∠BFE＝∠CFE，我们很自然联想到等腰三角形三线合一定理．只要能证明BE＝CE，再由E是BC的中点，我们就知道EF即是∠BFC 的角平分线，因此也就得出结论．证明∵1＝∠2，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，∴△ABF≌ADCF，∴BF＝CF．则△BCE是等腰三角形，又∵E是BC的中点，∴根据等腰三角形三线合一可得EF是∠BFC的角平分线，则∠BFE＝∠CFE．点评本题既考查全等三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质，还考查学生综合运用定理进行推理的能力．例4 如图4所示，ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝_______°．解由AB＝AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，得∠BAD＝∠CAD，由∠BAC＝70°，则∠BAD＝35°．点评本题也能利用全等三角形证明，但利用等腰三角形三线合一的证明方法比用全等三角形的证明方法简单得多．。

“三线合一”定理的灵活应用-三线合一定理

“三线合一”定理的灵活应用:三线合一定理“三线合一”定理是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高互相重合．该定理其实包括如下三个方面的内容：1．等腰三角形底边上的中线，既是顶角的平分线，又是底边上的高线；2．等腰三角形顶角的平分线，既是底边上的高线，又是底边上的中线；3．等腰三角形底边上的高线，既是底边上的中线，又是顶角的平分线．显见，以上三方面的内容，给我们提供了证明线段相等、角相等、直线垂直的新思想和新方法．在解答一些证明问题时，要注意灵活应用它们．例1如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，即证明AD是∠BAC的平分线．证明：连接AD．因为AB=AC，BD=CD，所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线．所以AD平分∠BAC．因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以DE=DF．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质．例2如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，P是AD 上的一点，求证：AB-AC＞PB-PC．分析：证明四条线段之间的不等关系，应把这四条线段转化为同一个三角形中的三边．为了得到AB-AC的结果，可在AB 上截取AE=AC，则有BE=AB-AC．为此，只要证明BE＞PB-PC即可．证明：在AB上截取AE=AC，连接PE、CE，CE交AD于F．因为AE=AC，AD平分∠BAC，所以AF是等腰△ACE的顶角∠CAE的平分线．所以AF⊥CE，CF＝EF．即，AF是CE的垂直平分线．因为P在AF上，所以PE＝PC．因为BE＞PB-PE，BE=AB-AE，所以AB-AC＞PB-PC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ACE顶角∠CAE的平分线AF，是底边CE上的高线，同时又是底边CE上的中线的性质．例3如图，在△ABC中，AB=AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD=AE，求证：DE⊥BC．分析：注意到△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与顶角平分线重合．要证明DE⊥BC，应先证明DE与这条高平行．证明：过A作AF⊥BC于F．因为AB=AC所以AF平分∠BAC．所以∠BAC=2∠BAF．因为AD=AE，所以∠D=∠AED．所以∠BAC＝∠D+∠AED=2∠D．所以∠BAF=∠D，DE∥AF．所以DE⊥BC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC底边BC上的高AF是顶角∠BAC的平分线的性质．例4如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD=1/2∠BAC．分析：为了得到1/2∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角成倍数关系转化为证明两角是相等关系．证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠1=∠2=1/2∠BAC．因为AB=AC，AE平分∠BAC，所以AE是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线．所以AE⊥BC于点E．所以∠AEC=90°，∠1+∠C=90°，因为BD⊥AC于点D，所以∠BDC=90°，∠CBD+∠C=90°．所以∠CBD=∠1=1/2∠BAC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC顶角∠BAC的平分线是底边BC上的高线的性质．。

典中点全等三角形专训6 三线合一解题的六种技巧

典中点全等三角形专训6 三线合一解题的六种技巧
◐名师点金◑
等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明这“一线”也是其他“两线”。

运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程。

技巧1：利用“三线合一”求角
1.如图,房屋顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC.求顶架上的∠B,∠C,∠BAD,∠CAD的度数。

技巧2：利用“三线合一”求线段
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB,DE⊥AB于点E,若BC=10,且△BDC的周长为24,求AE的长。

技巧3：利用“三线合一”证线段(角)相等
3.已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点。

(1)如图①,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF，试判断△DEF的形状,并说明理由。

(2)如图②,若E,F分别为AB,CA的延长线上的点,且仍有BE=AF.请判断△DEF是否仍有(1)中的形状,并说明理由。

技巧4：利用“三线合一”证垂直
4.如图,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC,E是AD上一点,且EA=EC.求证:EB⊥AB。

技巧5：利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)
5.如图,已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.试说明:BF=2CD
技巧6：利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C，试说明:CD=AB+BD。

初中数学巧用“三线合一”定理解几何题学法指导

初中数学巧用“三线合一”定理解几何题学法指导杨玲等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这是等腰三角形的性质定理，也称为“三线合一”定理。

它在几何计算和论证过程中有着很重要的应用，若能巧妙地利用这个性质解题，将起到事半功倍的效果。

例1 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=_________。

图1分析与解；如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB=α21，又∠EAC=︒90C ∠-，∠β=C 90∠-︒，所以∠EAC=β，αβ21=。

例2 已知：如图2，AB ∥CD ，M 为AD 的中点，并且AB+CD=BC ，求证：CM 平分∠BCD ，CM ⊥BM 。

图2分析：要证待证的结论，需延长BM 与CD 的延长线交于点E ，构造△CBE 由“三线合一”定理，只需证CE CB =，BM=EM 。

易证DEM ABM △△≅，可得BM=EM ，AB=DE ，又BC=AB+CD=DE+CD=CE ，从而本题得证。

证明：请同学们自己写出。

例3 如图3，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点。

图3（1）求证：AF ⊥CD ；（2）在你连结BE 后，还能得出什么新的结论，请至少写出三个（不要求证明）（1）证明：连结AC 、AD ，∵AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，∴△ABC AED △≅。

∴AC=AD 。

又CF=DF ，∴AF ⊥CD 。

（2）例如：①BE ∥CD ，②AF ⊥BE ，③△ACF ADF △≅，④∠BCF=∠EDF ，⑤五边形ABCDE 是以直线AF 为对称轴的轴对称图形等。

例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F 。

怎样应用三线合一基本图形解决问题

求证：∠2=∠1+∠B
A
E3 B
2
D
1
C
思考：已知：线段m，∠α及∠β，求作△ABC，使∠ABC=∠α,∠ACB=∠β，且AB+BC+CA=m
m
α
β
1、当题目中出现等腰三角形和“三线” 之一时，直接得到其余两线的性质，但表达要规范； 2、当题目中没有出现等腰三角形时，要善于发现“补形”的条件：是否能产生“两线合一”的情境？
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、底边
上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----B--D---=---C--D-------
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
例：如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，
如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm, 求AD的长。
B
E 10cm D
A
F C
练习：已知：如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
某地地震后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：
在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们确信房梁是水平的，他们的判断对吗？为什么？

专题6 妙用三线合一巧解题（含答案）

专题6 妙用三线合一巧解题知识解读三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

三线合一的几种应用：如图2－6－1，在△ABC 中，①若AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，则AD ⊥BC ，BD ＝CD ； ②若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，则∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ；③若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ；④若∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，则AB ＝AC ，BD ＝CD ； ⑤若∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ，则AD ⊥BC ，AB ＝AC ； ⑥若AD ⊥AC ，BD ＝CD ，则AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD 。

即“AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，BD ＝CD ”中已知其中两个结论，总能推出其他两个结论是成立的.等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义.可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等. 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

培优学案典例示范一、利用三线合一证明角度之间的倍分关系例1如图2－6－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D .求证：∠BAC ＝2∠DCB .【提示】欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，∠BAC 是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与∠DCB 的关系【解答】D B CA图2-6-2【技巧点评】要证明一个角等于等腰三角形顶角的一半，常考虑构造等腰三角形三线合一的那根线.由这道题目，我们还可以得出这样一个常用的结论，等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.跟踪训练1.如图2-6-3①，点P 是BC 的中点，如图2-6-3②，点P 与点C 重合，如图2-6-3③，点P 在BC 的延DBC A 图2-6-1长线上，△ABC都是等腰三角形，BC为底边，PD⊥AB，∠A与∠BPD之间都存在一个相同的数量关系，请猜想这个数量关系，并就图③进行验证。

巧用等腰三角形“三线合一”简化解题过程

巧用等腰三角形“三线合一”简化解题过程运用等腰三角形“三线合一”的性质证明线段相等、角相等或垂直关系，不仅可以减少证全等的次数，而且还可以简化解题过程 .一、利用“三线合一”证明线段相等1.如图，已知在△ABC 中，AB = AC , 点D，E 在边BC 上，且AD = AE .求证：BD = CE .证明：过点A 作AH⊥BC 于点H .∵AB = AC , AH⊥BC，∴BH = CH，同理可证，DH = EH，∴BH - DH = CH - EH ,∴BD = CE .2.如图，在等腰直角△ABC 中，∠A = 90°，D 为BC 边上的中点，E，F 分别为AB , AC 边上的点，且满足EA = CF .求证：DE = DF .证明：连接AD .∵△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC = 90°，D 为BC 边上的中点，∴BD = CD = AD , AD 平分∠BAC，∴∠EAD = ∠C = 45°，在△ADE 和△CDF 中，AE = CF , ∠EAD = ∠C，AD = CD .∴△ADE ≌△CDF（SAS），∴DE = DF .二、利用“三线合一”证明角相等3.如图，在△ABC 中，AB = AC , AD 是BC 边上的中线，BE⊥AC 于点E . 求证：∠CBE = ∠BAD .证明：∵AB = AC , AD 是BC 边上的中线，∴AD⊥BC，∠CAD = ∠BAD，∴∠CAD + ∠C = 90° .又∵BE⊥AC，∴∠CBE + ∠C = 90°，∴∠CBE = ∠CAD .∴∠CBE = ∠BAD .4.如图，在△ACB 中，AC = BC , AD 为△ABC 的高线，CE 为△ABC 的中线 .求证：∠DAB = ∠ACE .证明：∵AC = BC , CE 为△ABC 的中线，∴∠CAB = ∠B，CE⊥AB，∴∠CAB + ∠ACE = 90° .∵AD 为△ABC 的高线，∴∠D = 90°，∴∠DAB + ∠B = 90°，∴∠DAB = ∠ACE .三、利用“三线合一”证明垂直关系5.如图，在△ABC 中，AC = 2AB , AD 平分∠BAC 交BC 于点D，E 是AD 上一点，且EA = EC . 求证：EB⊥AB .证明：过点E 作EF⊥AC 于点F .∵EA = EC ,∴AF = FC = 1/2 AC .∵AC = 2 AB，∴AF = AB .∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD = ∠CAD .在△BAE 和△FAE 中，AB = AF , ∠BAD = ∠CAD，AE = AE , ∴△ABE ≌△AFE（SAS），∴∠ABE = ∠AFE = 90°，∴EB⊥AB .。

八年级数学上册专题(八) 构造“三线合一”巧解题(选用)

八年级上册人教版数学第十二章全等三角形
专题(八) 构造“三线合一”巧解题(选用)
等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一
线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明
角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．
方法技巧一：有等腰三角形底边中点时，常作这底边上的中线，构造“三线
解：(1)连接 AD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝ ∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∴AD＝ BE＝AF， BD.在△BED 与△AFD 中，∠B＝∠DAF，∴△BED≌△AFD(SAS)，∴ BD＝AD， DE＝DF (2)∵△BED≌△AFD， ∴∠BDE＝∠ADF， ∴∠BDE＋∠EDA＝∠EDA ＋∠ADF＝90°，∴ED⊥DF
2 ．如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点，过 A 点的直线 EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF. 解：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵EF∥BC， ∴AD⊥EF，又∵AE＝AF，∴DE＝DF
3．(阿凡题 1070246)如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为 BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：(1)DE＝DF； (2)DE⊥DF.
方法技巧二：遇到等腰作底边上的高，构造“三线合一”图形． 4．如图，点D，E分别在BA，AC的延长线上，且AB＝AC，AD＝AE. 求证：DE⊥BC. 解：作 AG⊥DE ， ∵ AD ＝ AE ， ∴ ∠ DAG ＝ ∠ EAG ，又 AB ＝ AC ，
∴∠B＝∠ACB，∵∠DAE＝∠B＋∠ACB＝2∠B＝2∠DAG，∴∠DAG

三线合一解题给力

三线合一解题给力◎吴育弟一、推理证明例1 如图1，点D，E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．图1 分析：过点A作BC的垂线，利用等腰三角形的“三线合一”得到P为DE及BC的中点，进而可证．证明：如图1，过点A作AP⊥BC于点P．因为AB=AC，所以BP=PC.因为AD=AE，所以DP=PE.所以BP-DP=PC-PE，即BD=CE.例2如图2，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC于点M.求证：M是BE的中点.分析：连接BD，构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质，得出DM是BE边上的中线，从而使问题得证.证明：连接BD.因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC.因为C D=CE，所以∠CDE=∠E=1/2∠ACB =30°.因为BD是AC边上的中线，AB=BC，所以BD平分∠ABC，则∠DBC=30°.所以∠DBE=∠E.所以DB=DE.又因为DM⊥BE，所以DM是BE边上的中线，即M是BE的中点．二、判断说理例3 如图3，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AD边上一点，则∠ABE与∠ACE的大小关系是怎样的？试说明理由图3 分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD为∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD.结合已知条件可判定△ABE≌△ACE，所以∠ABE=∠ACE．解：相等.理由：因为AB=AC，AD为BC边上的中线，所以AD平方∠BAC，所即∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE，所以△ABE≌△ACE.所以∠ABE=∠ACE.图2。

三线合一的定理怎么用三线合一逆命题

三线合一的定理怎么用三线合一逆命题
三线合一的定理怎么用：三线合一定理即在等腰三角形（或等边三角形）中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。

如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

三线合一定理的应用
（1）.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
（2）∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
（3）.∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC
三线合一逆命题
（1）如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

（2）如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

（3）如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

等腰三角形的判定方法
（1）在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角；
（2）在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角；
（3）在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。

（4）有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。

什么是三线合一
三线合一，即在等腰三角形（包括等边三角形）中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合，就叫三线合一（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）。

初中数学三线合一解题技巧

初中数学三线合一解题技巧
三线合一，即在等腰三角形中，底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线，这三线合一。

解题技巧如下：
1. 证明三线合一，首先应明确三角形是否为等腰三角形。

可以通过给定的条件或结论，证明三角形为等腰三角形。

2. 在等腰三角形中，由于两腰相等，对应的两个底角也相等。

因此，可以通过证明两个底角相等，来证明三线合一。

3. 若要证明高也是中线或角平分线，可以通过证明高所在的三角形与原三角形相似或全等，来证明高也是中线或角平分线。

4. 在证明过程中，要注意使用给定的条件和结论，以及相关的定理和性质。

下面是一个具体的例子：
题目：在$\bigtriangleup ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC =
120^{\circ}$，$D$是$BC$上一点，$BD = AD$，求证：$CD = 2BD$。

证明：
1. 由于$AB = AC$，根据等腰三角形的性质，$\angle B = \angle C$。

2. 又因为$\angle BAC = 120^{\circ}$，所以$\angle B = \angle C = 30^{\circ}$。

3. 在$\bigtriangleup ABD$中，由于$\angle ABD = 30^{\circ}$，根据三角形的性质，有$BD = \frac{1}{2}AD$。

4. 又因为$BD = AD$，所以$AD = BD = CD$。

5. 因此，$CD = 2BD$。

巧用“三线合一”证明题

等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。

本文结合实例说明其应用，供参考。

一.直接应用“三线合一”例1.已知，如图1, AD是ABC的角平分线，DE DF分别是ABD和ACD的高。

求证：AD垂直平分EF例2.如图2, ABC中，AB= AC, AD为BC边上的高，AD的中点为M CM的延长线交AB于点K,求证：AB 3AK图1图2二.先连线，再用“三线合一”例3•如图3，在ABC中，A 90 , AB AC , D是BC的中点，P为BC上任点，作PE AB, PF AC，垂足分别为E、F求证：(1)DE= DF;( 2) DE DF三.先构造等腰三角形，再用“三线合一”例4.如图4,已知四边形ABCD中, ACB ADB 90 , M N分别为AB CD的中点，求证：MN CDC关系式为例 2.已知：如图2,A ABC 中， AB=AC CE1AE 于 E , CE -BC , E 在厶ABC 外，求 2 证：/ ACE 玄 B 。

LAE1)C 图2例3.已知：如图3，等边三角形 ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD DML BC 于M,求证：M 是BE 的中点。

例5. ACB , 如图5, ABC 中，BC AE BE 于 E , AF CF 分别平分 CF 于 F ,EF BDBM AD EM AB AC ABC ABC CE CD DM BE BC 等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是 BAC 2 DBC AD 图5EABC 和求证：图1 ，则与的［练习］1.如图4,墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中， AB=AC BC 边的中点D 处有一个重锤，小明将 BC 边与木条重合, 观察此重锤是否通过 A 点，如通过A 点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？2.已知：如图5,在Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC D 是AB 的中点，E 、F 分别在 AC 1BC 上，且ED 丄FD,求证：S 四边形 CEDF = — ABC O图5。