高二数学选修44教案01极坐标系

合集下载

选修44《121极坐标系的的概念》优秀教案

二极坐标系课题：1、极坐标系的的概念教学目的：知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：理解极坐标的意义教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走12021到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．二、讲解新课：从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。

）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π时,平面上的点除去极点就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角3、负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。

1.极坐标系-湘教版选修4-4教案

1.极坐标系-湘教版选修4-4教案一、教学目标1.会利用极坐标系描述平面内的点和曲线；2.掌握直角坐标系和极坐标系的相互转化方法；3.理解常见曲线的极坐标方程；4.熟练掌握曲线的参数方程和极坐标方程的相互转化方法。

二、教学内容1. 极坐标系1.极坐标系的定义；2.极坐标系的画法；3.极坐标系与直角坐标系的相互转化；4.极坐标系中点的坐标表示。

2. 常见曲线的极坐标方程1.极坐标方程的基本概念；2.直线的极坐标方程；3.圆的极坐标方程；4.伯努利双曲线的极坐标方程；5.阿基米德螺线的极坐标方程；6.网格线的极坐标方程。

3. 曲线的参数方程和极坐标方程的相互转化1.曲线的参数方程的概念；2.曲线的参数方程与极坐标方程的相互转化方法；3.利用参数方程和极坐标方程求曲线的长度和面积。

三、教学重点和难点教学重点：1.掌握如何利用极坐标系描述平面内的点和曲线；2.熟悉常见曲线的极坐标方程。

教学难点：1.极坐标系与直角坐标系的相互转化；2.曲线的参数方程和极坐标方程的相互转化方法；3.利用参数方程和极坐标方程求曲线的长度和面积。

四、教学过程1. 极坐标系1.介绍极坐标系的定义和画法；2.说明极坐标系中点的坐标表示；3.操作演示极坐标系与直角坐标系的相互转化方法；4.练习题。

2. 常见曲线的极坐标方程1.介绍极坐标方程的基本概念；2.列举常见曲线的极坐标方程和性质；3.操作演示如何求解常见曲线的极坐标方程；4.练习题。

3. 曲线的参数方程和极坐标方程的相互转化1.介绍曲线参数方程的概念；2.操作演示如何将曲线参数方程转换为极坐标方程；3.操作演示如何将极坐标方程转换为曲线参数方程；4.练习题。

五、教学方法本节课教学采用讲解和操作演示相结合的教学方法，同时适当加入互动环节以及举一反三的辅助拓展。

六、教学评价与反思本节课教学评价：教学目标达成，教学过程清晰易懂，教学方法多种多样，学生积极参与课堂互动，达到了预期效果。

高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计

2.让学生充分讨论，鼓励发表不同观点，培养合作交流能力。
3.教师巡回指导，针对每个小组的讨论情况进行点评，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生在练习中巩固所学。
2.分层次布置练习题，使每个学生都能在适合自己的练习中提高。
3.及时批改反馈，针对学生存在的问题，给予个性化指导。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解极坐标系的概念，掌握极坐标与直角坐标之间的转换方法，能够熟练运用互化公式进行坐标变换。
2.掌握极坐标系下点的表示方法，能够准确地绘制极坐标图形，并解决相关几何问题。
3.熟练运用极坐标系解决实际问题，如极坐标下的直线、圆等图形的方程求解，以及极坐标系在物理学、工程学中的应用。
1.基础题：完成课本第十五章的习题1、2、3，要求学生熟练掌握极坐标系的基本概念和转换方法。
2.提高题：解答课本第十五章习题4、5，培养学生运用极坐标系解决几何问题的能力。
3.应用题：结合实际案例，设计一道与极坐标系相关的应用题，要求学生运用所学知识分析问题、解决问题。
4.研究性学习：分组进行课题研究，选择与极坐标系相关的科学问题或实际应用场景，深入探讨并撰写研究报告。
作业布置要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，独立完成，切勿抄袭。
2.对于基础题，要求学生掌握基本概念，注意运算过程的准确性。
3.提高题和应用题旨在培养学生的解题策略和实际应用能力，鼓励学生多角度思考问题。
4.研究性学习要注重团队合作，充分发挥每个成员的作用，提高学生的综合素质。
5.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和过程，给予针对性的评价和建议。

人教课标版高中数学选修4-4第一讲-坐标系一-平面直角坐标系教案

人教课标版高中数学选修4-4第一讲坐标系一平面直角坐标系教案考纲要求备考指津1.会画直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标． 2．掌握坐标平面内点的坐标特征． 3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析． 4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值. 中考题型以选择题、填空题为主，有时也作为函数综合题的一个方面来考查，难度较低．这部分知识常以生活实际为背景，与生活实际应用相联系进行命题，解题时往往要用数形结合、分类讨论等数学方法进行思考．考点一平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相竖直的数轴的交点O 称为原点，水平的数轴叫x 轴(或横轴)，竖直的数轴叫y 轴(或纵轴)，整个坐标平面被x 轴、y 轴分割成四个象限． 2．各象限内点的坐标特征点P (x ，y )在第一象限x ＞0，y ＞0；点P (x ，y )在第二象限x ＜0，y ＞0；点P (x ，y )在第三象限x ＜0，y ＜0；点P (x ，y )在第四象限x ＞0，y ＜0.3．坐标轴上的点的坐标的特征点P (x ，y )在x 轴上y ＝0，x 为任意实数；点P (x ，y )在y 轴上x ＝0，y 为任意实数；点P (x ，y )在坐标原点x ＝0，y ＝0.考点二特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标不同，纵坐标相同；平行于y 轴：横坐标相同，纵坐标不同．3．各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数．考点三距离与点的坐标的关系1．点与原点、点与坐标轴的距离(1)点P (a ，b )到x 轴的距离等于点P 的纵坐标的绝对值，即|b |；点P (a ，b )到y 轴的距离等于点P 的横坐标的绝对值，即|a |.(2)点P (a ，b )到原点的距离等于点P 的横、纵坐标的平方和的算术平方根，即a 2＋b 2.2．坐标轴上两点间的距离(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|＝|x1－x2|.(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|＝|y1－y2|.(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|＝x12＋y12.考点四函数有关的概念及图象1．函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．2．常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．3．函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．4．函数图象的画法(1)列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)描点：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．考点五函数自变量取值范围的确定确定自变量取值范围的方法：1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以三次方根出现时，它的取值范围为全体实数．3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．1．在平面直角坐标系中，点P(－1,3)位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．点A(2，－3)关于x轴的对称点的坐标为()．A．(2,3) B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2，－3)3．点P在第四象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P的坐标为__________．4．函数y＝1x－2的自变量x的取值范围是__________．5．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间内，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s与t的函数图象大致是()．6．甲、乙两人准备在一段长为1 200 m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4 m/s和6 m/s.起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离y (m)与时间t (s)的函数图象是( )．一、平面直角坐标系内点的坐标特征【例1】在平面直角坐标系中，若点(2x ＋1，x －2)在第四象限，则x 的取值范围是( )．A ．x ＞－12B ．x ＜2C ．x ＜－12或x ＞2D ．－12＜x ＜2 解析：根据平面直角坐标系中点的坐标特征可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，x －2<0，解得－12＜x ＜2. 答案：D掌握平面直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特征，构造不等式(组)是解决此类问题的常用方法．在平面直角坐标系中，如果mn ＞0，那么点(m ，|n |)一定在( )．A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限二、距离与点坐标的关系【例2】如图，直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，A 点坐标为(2，－1)，则△ABC 的面积为__________平方单位．解析：利用数轴得出B 点坐标为(4,3)，C 点坐标为(1,2)，然后利用割补法，结合点的坐标与距离的关系求出△ABC 的面积．答案：5图形的割补法是解决有关图形面积的常用方法，需要同学们在解题时合理地利用图形进行巧妙分割，此类题型的解法往往不唯一．三、函数图象的应用【例3】如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为s ，则s 关于t 的函数图象大致为( )．解析：本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s 与t 的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O 到点A 时，s 与t 成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A 到点B 时，s 不变；(3)当蚂蚁从点B 回到点O 时，s 与t 成一次函数关系，且回到点O 时，s 为零．答案：C利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．四、函数自变量取值范围的确定【例4】函数y ＝x ＋2x －2的自变量x 的取值范围是( )． A ．x ≥－2且x ≠2 B ．x ＞－2且x ≠2 C ．x ＝±2 D ．全体实数解析：要使函数有意义，必须同时满足二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为零，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －2≠0，解得x ≥－2且x ≠2. 答案：A求函数自变量的取值范围，往往通过解不等式或不等式组来确定．因此，掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，是求函数自变量取值范围的基础，同时要学会这种转化的思想方法．1．(2012四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P (－3,5)关于y 轴的对称点的坐标为( )．A ．(－3，－5)B ．(3,5)C ．(3，－5)D ．(5，－3)2．(2012重庆)2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t ，小丽与比赛现场的距离为s ，下面能反映s 与t 的函数关系的大致图象是( )．3．(2011广东湛江)如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB 的顶点O 在原点，点C 的坐标为(4,0)，点B 的纵坐标是－1，则顶点A 的坐标是( )．A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(1,2)D ．(2,1)4．(2011内蒙古呼和浩特)函数y ＝1x ＋3中，自变量x 的取值范围为__________． 5．(2011江苏盐城)有六个学生分成甲、乙两组(每组三个人)，分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60 km 的博物馆参观，10分钟后到达距离学校12 km 处有一辆汽车出现故障，接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生，同时第二批学生步行12 km 后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇，当第二批学生到达博物馆时，恰好已到原计划时间．设汽车载人和空载时的速度分别保持不变，学生步行速度不变，汽车离开学校的路程s (千米)与汽车行驶时间t (分钟)之间的函数关系如图所示，假设学生上下车时间忽略不计．(1)汽车载人时的速度为__________km/min ；第一批学生到达博物馆用了__________分钟．(2)求汽车在回头接第二批学生途中(即空载时)的速度．(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04 km ，汽车载人时和空载时速度不变，问能否经过合理的安排，使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能，请简要说出方案，并通过计算说明；如果不能，简要说明理由．1．如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( )．A ．(5,2)B ．(－6,3)C ．(－4，－6)D ．(3，－4)2．若点P (a ，a －b )在第四象限，则点Q (b ，－a )在( )．A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．如图是中国象棋棋盘的一部分，若在点(1，－1)上，在点(3，－1)上，则的坐标是( )．A．(－1,1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－2,2)4．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是()．5．点P(1,2)关于x轴的对称点P1的坐标是__________，点P(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是__________．6．已知一条直线l平行于x轴，P1(－2,3)，P2(x2，y2)是直线l上的两点，且P1，P2的距离为4，则P2的坐标为__________．7．如图所示，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是__________．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C坐标是(3,4)，求顶点B的坐标．9．在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，解决下面的问题：(1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方法得到的？(2)若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．参考答案基础自主导学自主测试1．B 2.A 3.(3，－2) 4.x ≠2 5.C 6.C规律方法探究变式训练 A 知能优化训练中考回顾1．B 2.B 3.D 4.x ＞－35．(1)1.2 50 (2)1.8 km/min(3)解：能够合理安排．方案：从故障点开始，在第二批学生步行的同时出租车先把第一批学生送到途中放下，让他们步行，再回头接第二批学生，当两批学生同时到达博物馆，时间可提前10分钟．理由：设从故障点开始第一批学生乘车t 1分钟，汽车回头时间为t 2分钟，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧1.2t 1＋0.2(t 1＋t 2)＝48，0.2(t 1＋t 2)＋1.8t ＝1.2t 1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝32，t 2＝16. 从出发到达博物馆的总时间为：10＋2×32＋16＝90(分钟)，即时间可提前100－90＝10(分钟)．模拟预测1．D 2.A 3.D 4.C 5．(1，－2) (－1，－2) 6.(2,3)或(－6,3)7．y ＝152x (0＜x ＜10) 8．(8,4) 9．解：(1)先将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A ′B ′C ′(或先平移再旋转也可)．(2)D (0，－2)，E (－4，－4)，F (2，－3)．S △DEF ＝6×2－12×4×2－12×2×1－12×6×1＝4.。

高二数学 4-4第一章坐标系全部教案

表示方法？（3）、坐标不唯一是由谁引起的？（4）、不同的极坐标是否可以写出统一
表达式。约定：极点的极坐标是 =0，可以取任意角。
变式训练：在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2 ）C（3，）D（5， 4 ）E（3， 5 ）F（4，）G（6， 5 ）
2
3
6
3
例 2 在极坐标系中，
特别强调：由极径的意义可知 ≥0;当极角的取值范围是[0,2 )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径 =0,极角是任意角. 3、负极径的规定：在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角，当＜0 时，点 M （，）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= 。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换
1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变 x 轴或 y 轴的单位长度，将会对图形
产生影响。
2、探究：(1)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标 x
π 3
<0，解得 k=-1,
= 3
-2 =- 5 , 点 A 的坐标为（5，- 5 ）.
3
3
变式训练：1、若 ABC的的三个顶点为 A(5, 5 ), B(8, 5 ),C(3, 7 ),判断三角形的形状.
2
6
6
答案：正三角形。2、若 A、B 两点的极坐标为 (1,1), (2 ,2 ) 求 AB 的长以及 AOB 的面积。（O 为极点）

高二数学北师大版选修4-4《极坐标系的概念》教案

石泉中学课时教案一、情境导入
如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？
该位置唯一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
二、自主学习（预习教材P 8~ P 9，找出疑惑之处）
1、极坐标的概念
1、如右图，在平面内取一个定点O ，叫做；自极点O 引一条射线 Ox ，叫做；再选定一个，一个（通常取）及其（通常取方向），这样就建立了一个。

如图：
2、设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的，记为。

有序数对叫做点M 的，记作。

),(θρM
● ρ θ O x
特别规定：
当M 在极点时，它的极坐标ρ= ，θ可以取任意值.
3、思考：
如何做点）？，（），，（ππ-2-6
-2B A 三、典型例题
题型一：已知点的极坐标在极坐标系里描出点的位置
例1．在极坐标系中描出下列各点：
).6
75.3(),345(),23(),62()0,4(ππππ，，，，，E D C B A 题型二：已知极坐标系点的位置写出点的极坐标
例2.在极坐标系中，请写出点A ，B ，C 的极坐标。

四、课堂小结
你今天主要学习了什么？都有哪些收获？。

高中数学第1讲坐标系2极坐标系学案新人教A版选修44

高中数学第1讲坐标系2极坐标系学案新人教A版选修44二极坐标系学习目标：1.理解极坐标系的概念.2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．(难点)3.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点、易错点)教材整理1 极坐标系阅读教材P8～P10，完成下列问题．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．在极坐标系中，ρ1＝ρ2，且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．[答案] A教材整理2 极坐标和直角坐标的互化阅读教材P11，完成下列问题．1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．2．互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化为直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5) C ．(5,5)D ．(－5，－5)[解析] x ＝ρcos θ＝10 cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3.[答案] A将点的极坐标化为直角坐标【例1(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π；(3)⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3；(4)(2，－2)．[思路探究] 点的极坐标(ρ，θ)―→⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ―→点的直角坐标(x ，y )―→判定点所在象限．[自主解答] (1)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，∴点⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3的直角坐标为()－1，－3，是第三象限内的点．(2)x ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝3，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点．(3)x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点． (4)x ＝2cos (－2)＝2cos 2，y ＝2sin(－2)＝－2sin 2，∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限内的点．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．1．分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6；(2)⎝⎛⎭⎪⎫3，π2；(3)(π，π)． [解] (1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)．(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3，∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫3，π2化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y ＝ρsin θ＝πsin π＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．将点的直角坐标化为极坐标【例2】分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)： (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.[思路探究] 利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限．[自主解答] (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x＝－3，θ∈[0,2π)，由于点(－2,23)在第二象限， ∴θ＝2π3，∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π. (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6，∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. (3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝yx＝1，θ∈[0,2π)，由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，∴θ＝π4，∴点的直角坐标⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.1．将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．2．在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．2．已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标： (1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．[解] (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23， tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，43π. (3)ρ＝02＋(－2)2＝2，θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以C 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π.(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0，所以D 点的极坐标为(3,0)．极坐标与直角坐标的综合应用【例3】在极坐标系中，如果A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．[思路探究] 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标，进而求出点C 的极坐标．[自主解答] 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π有ρ＝2，θ＝54π， ∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－2，∴B (－2，－2)．设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形，故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4，∴有⎩⎨⎧ (x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16，解之得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6)， ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．2．若设出C (ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解．3．本例中，如果点的极坐标仍为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标？[解] 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直角坐标为(2，2)，点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4的直角坐标为(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |， ∴AC →·BC →＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0，∴x 2＋y 2＝4. ①又|A C →|2＝|B C →|2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2，∴y ＝－x ，代入①，得x 2＝2，解得x ＝±2， ∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)， ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.极坐标[探究问题]1．如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： ①他向东偏北60°方向走120 m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ ②如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？[提示] 以A 为基点，射线AB 为参照方向，利用与A 的距离、与AB 所成的角，就可以刻画平面上点的位置．①到达图书馆，该位置惟一确定；②体育馆在正东方向60 m 处，办公楼在西北方向50 m 处．2．在极坐标系中，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2π，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋4π，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6－2π表示的点有什么关系？你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？[提示] 由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示同一个点．实际上，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2k π(k ∈Z )都表示这个点．【例4】设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．。

选讲44极坐标系导学案(全)(2020年整理).pdf

在平面内取一个定点 O ，叫做________；以 O 为端点作射线 Ox ，叫做_______；
再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（逆时针方向），这样就建立了一个__________.
个性笔记
则
x
y
= =

cos sin
或
2 = tan
x2 + y = y (x
姓名：
3
课题：极坐标系总课时： 2 课型：新授
富源县第三中学高二数学导学案
上课时间：
主备人：万亚琳
审核人：章应高
班级：
小组：
姓名：
1.2 极坐标系
教学内容
【学习目标】 1．使学生认识极坐标系； 2．能进行极坐标与直角坐标的互化。【教学重难点】重点：认识极坐标系的重要性，能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。难点：认识点与极坐标之间的对应关系。【学习过程】（一）预习学案 1.极坐标系的概念（1）极坐标系
上课时间：
主备人：万亚琳
审核人：章应高
班级：
小组：
2. 写出 1 题中 A,B,C,D,E,F,G 各点的直角坐标。
姓名：
3. 已知点的直角坐标分别为（ 3, 3 ），（ 0,− 5 ），求它们的极坐标。 3
（三）达标检测
1.写出图中 A,B,C,D,E,F,G 各点的极坐标（ 0,0 2 ）。
（二）课堂学案
1.在极坐标系中，已知两点 A(3,− ) ， B(1, 2 ) ,求 A,B 两点间的距离。
3
3
1
课题：极坐标系总课时： 2 课型：新授
2.已知点的极坐标分别为 (3, ), (2, 2 ), (4, ), ( 3 , ) ，求他们的直角坐标。 4 3 22

高中数学_极坐标系教案

极坐标系教学目标：认识极坐标，能在极坐标中用极坐标刻画点的位置；体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。

教学重点和难点：重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。

教学基本流程：一、建立问题情景，体会引进新坐标系的必要性。

开场白：大家有没有见过这种图片？！台风的卫星云图。

众所周知台风危害很大，所以我们非常关注台风中心的位置。

气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风的路径图。

根据路径图，及时播报台风中心的位置。

从小到大我们听过很多次台风预报。

今天也请大家来当一回主播，根据这张图你来描述一下台风中心位置。

（学生参与描述）看一下气象台是怎么播报的：“今年第8号台风“凤凰”，今天下午4时中心位置已经到达温州东南偏南方向大约800公里附近的洋面上，也就是在北纬22.3度，东经123.8度”（视频最好）。

（评价学生的描述）问：哪些条件刻画了台风中心的位置?东经123.8度，北纬22.3度。

温州东南偏南方向大约800公里的海面上。

经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置，在这张平面地图上，相交的两条经纬线，是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点。

如果把平面地图延伸开来，经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位置？！你得到什么样的启发？1637年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系,用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。

平面直角坐标系我们研究得很透彻了，今天就不研究了。

再来看天气预报，“也就是”，这三字说明两种定位方式都可以确定台风中心的位置问：为什么台风预报时两个都会提及?（一个精确，一个通俗易懂形象）我们就用大家熟悉的定位方式来刻画一下台风中心的位置。

（动手画一下）遇到困难补充方位角。

用参照点、角度和距离刻画平面中的点的思想就称为极坐标思想，这样建立起来坐标系就称为极坐标系（板书）设计意图：引进学习极坐标系概念的需要，形成用角和距离刻画点的位置的直觉。

人教课标版高中数学选修4-4：《极坐标系》教案-新版

1.2 极坐标系一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M为θ.有序数对),(θρ，θ可取任意实数．为0≥（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（）A ．)2,2(πB ．)0,2(C ．)2,2(πD ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标【答案】)34,1(π(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？（学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西图145走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其图2B 自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值．【答案】如右图．同类训练在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值．【答案】如右图3．探究二探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），GFAD CE4πOx2π 65π π34π 35π图34πOx2π 65π π34π 35π x图4建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （）C （）D （） F （） G （）【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识．探究三实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式. 【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系．活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】（1）由cos 2cos36sin 2sin16x y πρθπρθ======所以点的极坐标)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．图5（2）由cos 3cos02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(．同类训练分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化．【数学思想】【解题过程】（1）3232sin 4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-．（2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)．同类训练分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(；（2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-．【知识点】极坐标与直角坐标互化．【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π．（2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π．（3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业基础型自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2 【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π．【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断．【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．)0(tan ,222≠=+=x xyy x θρ 直角坐标),(y x M极坐标),(θρMθρθρsin ,cos ==y xA ．(5，67π)B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示．【数学思想】【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ．【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点．【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5错误!未找到引用源。

选修44极坐标导学案

极坐标系导学案【使用说明及学法指导】1.研读课本 P8-P 11内容，标出自己有问题的部分。

2.预习达成后进行合作研究学习，达成导教案。

3.预习指导：借助教材理解掌握极坐标系。

【学习目标】1．能在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点.2．领会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的地点的差别.3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，会实现极坐标和直角坐标之间的互化。

一、预习自学1、如右图，在平面内取一个O ，叫做；自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做；再选定一M(,)个，一个（往常取）及其（通●常取方向），这样就成立了一个。

2、设M是平面内一点，极点O与M的距离| OM |叫做点 M 的，记为；以极轴Ox 为始边，射线 OM Ox为终边的角 xOM 叫做点 M 的，记为。

有序数对叫做点M的，记作。

3、直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取同样的长度单位。

平面内随意一点 P的赐教坐标与极坐标分别为( x, y) 和 ( ,) ，则由三角函数的定义能够得到以下两组公式：2x,y tan【预习自测】1． (1) 写出图中 A， B， C， D，E， F， G各点的极坐标 (0,0 2 )（2）：思虑以下问题，给出解答。

①平面上一点的极坐标能否独一②若不独一，那有多少种表示方法③坐标不独一是由谁惹起的④不一样的极坐标能否能够写出一致表达式⑤此题点 G 的极坐标一致表达式。

9710（3）在图中描出点P(3,), Q(5,-), R(6,)4632.（ 1）成立适合的极坐标系写出各点的极坐标（ 2）思虑：点 C 的极坐标独一吗D C120mE450mA 3B3. 点M的直角坐标是(1,3) ，则点M的极坐标为（60m ）A．(2, )B． (2,) C ．(2,2) D． (2,2 k),( k Z)33334．点P 1, 3 ，则它的极坐标是（）A．2, B ．4C．2, D ．42,2,33335.在极坐标系中 , 与 ( ρ , θ ) 对于极轴对称的点是 ( )A．(, )B． ( ,)C． ( ,)D． (,)小结：在平面直角坐标系中，一个点对应个坐标表示，一个直角坐标对应个点。

广东省肇庆市实验中学高中数学选修4-4学案：第1课极坐标系

【选修4—4】第1课极坐标系一、学习要求1. 在问题情境中了解可用距离与角度刻划平面上点的位置; 2。

了解极坐标系、点的极坐标的概念;3。

能写出建立了极坐标系的平面内的点的极坐标。

二、先学后讲1．日常生活中刻划平面上点的位置的方法（1）用点的直角坐标;（2）经纬度；（3）用距离与角度. 2．极坐标系在平面内取一个定点 O ,叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度)及其正方向（通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系. 3．点的极坐标设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 |OM | 叫做点 M 的极径，记为ρ ；以极轴 Ox 为始边，射线M 的极角，记为 θ 。

有序数对 ( ρ，θ) 叫做点 M . 认为 ρ≥0，可取任意实数。

如：写出图中A ，B ，C ,E ，F ,G 各点的极坐标（ρ>0ρ M(ρ，θ)θxOx4．点的极坐标的唯一性思考：在极坐标系中，极坐标 ( 2，π4) 、( 2，π4+2π) 、( 2，π4+4π) 、( 2，π4−2π) 、( 2，π4−4π) 表示的点有什么关系？一个极坐标只表示一个点，但一个点的极坐标有无数种表示。

极坐标 ( ρ，θ) 与 ( ρ，θ+2kπ) （k∈Z）表示同一个点；极点 O 的坐标为 ( 0，θ) （θ∈R）。

如果规定:ρ>0，0≤θ<2π ,那么除原点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ρ，θ) 表示；同时极坐标 ( ρ，θ) 表示的点也是唯一确定的。

5. ρ<0 时极坐标的意义若 ρ<0 ，则 −ρ>0 ，规定点 (− ρ，θ) 与点 ( ρ，θ)关于极点对称，即(− ρ，θ)( ρ，θ+π) 表示同一个点。

如：点 (− 4，π4) 与点 ( 4，π4) 关于极点对称； (− 4，π4) 与( 4，5π4) 表示同一个点.即当 ρ<0 时,点 M( ρ，θ) 位于极角终边的反向延长线上。

高中数学 4.1 坐标系教案苏教版选修44

4.1 坐标系4．1.1直角坐标系1.掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．课标解读2.对具体问题，能建立适当的坐标系，使所刻画的代数形式具有更简便的结果.1．直线坐标系在直线上，取一个点为原点，并确定一个长度单位和直线的方向，就建立了直线上的坐标系，即数轴．数轴上任意一点P都可以由惟一的实数x确定，x称为点P的坐标．2．平面直角坐标系在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．平面上任意一点P都可以由惟一的有序实数对(x，y)确定，(x，y)称为点P的坐标．3．空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，取这三条直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这三条直线的方向，就建立了空间直角坐标系．空间中任意一点P都可以由惟一的三元有序实数组(x，y，z)确定，(x，y，z)称为点P 的坐标．1．建立适当的坐标系一般有哪些规则？【提示】(1)如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上．2．由坐标(x，y)怎样确定点的位置？【提示】在平面直角坐标系中，分别过点M(x,0)，N(0，y)作x轴和y轴的垂线，两条直线的交点P即(x，y)所确定的点.建立适当的坐标系刻画点的位置正方形的边长等于4，试选择适当的坐标系，表示其顶点与中心的坐标．【自主解答】法一以正方形的一个顶点为原点，两条邻边为坐标轴，且把第四个顶点放在第一象限，建立平面直角坐标系，如图(1)所示．此时，其四个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心为M(2,2)．法二以正方形的中心为原点，且使两条坐标轴平行于正方形的边，建立平面直角坐标系，如图(2)所示．此时，正方形的顶点坐标分别为A(2，－2)、B(2,2)、C(－2,2)、D(－2，－2)，中心为O(0,0)．法三以正方形的两条对角线为坐标轴建立直角坐标系，如图(3)所示．此时，正方形的顶点坐标分别为A(22，0)、B(0,22)、C(－22，0)、D(0，－22)，中心为O(0,0)．(作图时只要以图(2)中的原点O为圆心，OA为半径作圆，该圆与坐标轴的四个交点即是图(3)中正方形的各个顶点)选择适当的坐标系，表示两条直角边长都为1的直角三角形的三个顶点的坐标．【解】法一以直角三角形的两条直角边AC、BC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)．法二以斜边AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系．则A(－22，0)，B(22，0)，C(0，22)．建立坐标系解决证明问题用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点，到两腰的距离之差等于一腰上的高．【自主解答】如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC延长线上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0，b ＞0)，则直线AB 的方程为bx －ay ＋ab ＝0，直线AC 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，取P (x 0,0)，使x 0＞a ，则点P 到直线AB 、AC 的距离分别为PD ＝|bx 0－0＋ab |a 2＋b 2＝bx 0＋aba 2＋b 2，PE ＝|bx 0＋0－ab |a 2＋b 2＝bx 0－aba 2＋b 2.点C 到直线AB 的距离为CF ＝|ab ＋ab |a 2＋b 2＝2aba 2＋b 2，则PD －PE ＝2aba 2＋b 2＝CF .故所需证明命题成立．已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高，求证：BD ＝CE .【证明】如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )．则直线AC 的方程为y ＝－h ax ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ，即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式得：BD ＝|2ah |a 2＋h 2，CE ＝|2ah |a 2＋h 2.∴BD ＝CE .建立坐标系求轨迹方程如图4－1－1所示，过点P(2,4)有两条互相垂直的直线l1，l2，l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M满足的方程．图4－1－1【思路探究】法一设点→求斜率→斜率积为－1→整理得方程→检查有无不适合的点→结论法二设M (x ，y )→寻求M 满足的条件→列方程→检查有无不适合的点→结论法三：O ，A ，P ，B 四点共圆→PM ＝MO →求k OP 及OP 中点坐标→点斜式写出OP 的垂直平分线方程为所求【自主解答】法一设点M 的坐标为(x ，y )，因为M 为线段AB 的中点，所以点A 的坐标为(2x,0)，点B 的坐标为(0,2y )．因为l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)，所以k AP ·k PB ＝－1.而k AP ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0，所以21－x ·2－y1＝－1(x ≠1)，整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．因为当x ＝1时，点A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 满足的方程是x ＋2y －5＝0.法二设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM .因为l 1⊥l 2，所以PM ＝12AB .而PM ＝x －22＋y －42，AB ＝2x2＋2y2，所以2x －22＋y －42＝4x 2＋4y 2，化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求方程．法三因为l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，点M 为线段AB 的中点，所以O ，A ，P ，B 四点共圆，且该圆的圆心为M (x ，y )，所以PM ＝MO ，所以点M 的轨迹为线段OP 的垂直平分线．因为k OP ＝4－02－0＝2，OP 的中点坐标为(1,2)，所以点M 满足的方程为y －2＝－12(x －1)，化简得x ＋2y －5＝0.通过建立坐标系精确地刻画集合图形的位置和物体运动的轨迹的方法称为解析法．解决此类问题的关键：(1)建立平面直角坐标系；(2)设点(点与坐标的对应)；(3)列式(方程与坐标的对应，列出几何条件，并将几何条件代数化)；(4)化简(注意变形的等价性)；(5)证明(若保证等价变形，则此步骤可以省略)．设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．【解】法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得OB2＋BC2＝OC2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法二 (几何法)：设B 点坐标为(x ，y )，由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M (12，0)，则MB ＝12OC ＝12，故B 点的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法三 (代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1，即(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法四 (交点法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为：y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即(x －12)2＋y 2＝14(x ≠0,1)，显然B (1,0)满足(x －12)2＋y 2＝14，故(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)为所求．(教材第16页习题4.1第4题)据气象台预报，在A 市正东方300 km 的B 处有一台风中心形成，并以每小时40 km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km 以内的地区将受其影响．问：从现在起经过多少时间，台风将影响A 市，持续时间多长？(2013·郑州模拟)已知B村位于A村的正西方向1公里处，原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？【命题意图】本题主要考查合理建立直角坐标系，并能应用其解决实际问题的能力．【解】以A村为原点，直线BA为x轴，建立如图所示的坐标系．则点B坐标为(－1 000,0)，点W坐标为(－2002，2002)，由题意，管线m的斜率为k＝tan 30°＝33，所以管线m所在的方程为y＝33(x＋1 000)，化简得3x－3y＋1 0003＝0，即x－3y＋1 000＝0.点W 到该直线m 的距离为d ＝|－2006－2002＋1 000|3＋1＝|500－1002－1006|＝100(5－2－6)．因为5－2－6＞1，所以d ＞100.故管线m 不会穿过禁区，故该计划不需要修改．1．已知点P (－1＋2m ，－3－m )在第三象限，则m 的取值范围是________．【解析】 ∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2m ＜0，－3－m ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜12，m ＞－3.∴－3＜m ＜12.【答案】 (－3，12)2．点P (2，－3，－1)关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是________．【解析】 ∵P (x ，y ，z )关于平面yOz 坐标平面对称的为点P ′(－x ，y ，z )， ∴点(2，－3，－1)关于yOz 平面的对称点为(－2，－3，－1)．【答案】 (－2，－3，－1)3．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程是________．【解析】 ∵BC ＝4，∴AB ＋AC ＝10－BC ＝6＞BC ，∴A 的轨迹为椭圆除去B 、C 两点，∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，故2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，∴b 2＝32－22＝5.故轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．【答案】x 29＋y 25＝1(y ≠0) 4．点(－2，－3)关于直线3x ＋4y ＋5＝0对称的点的坐标为________．【解析】设所求对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＋2＝43，3×x －22＋4×y －32＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2825，y ＝2925.所求对称点坐标为(2825，2925)．【答案】 (2825，2925)1．已知点Q (1,2)，求Q 点关于M (3,4)的对称点．【解】设点P 的坐标为(x ，y )，由题意知，M 是PQ 的中点，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y ＋2＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝6，∴点P 的坐标为(5,6)．2．设△ABC 的三个顶点坐标分别为A (3，－1)，B (8,2)，C (4,6)，求△ABC 的面积．【解】如图，作直线l ：y ＝－1，过点B 、C 向l 引垂线，垂足分别为B 1、C 1，则△ABC 的面积为S ＝S △AC 1C ＋S 梯形C C 1B 1B －S △AB 1B ＝12×1×7＋12(7＋3)×4－12×5×3＝16.3．已知点P (0,4)，求P 点关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点．【解】设P 点关于l 的对称点Q 的坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3·b －4a ＝－1，3×a 2－b ＋42－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b －12＝0，3a －b －6＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3，∴P 点关于直线l 的对称点坐标为(3,3)．4．已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．【解】如图，设A (x A,0)，B (0，y B )，M (x ，y )，∵AB ＝6， ∴x 2A ＋y 2B ＝6，即x 2A ＋y 2B ＝36，① 又∵AM ∶MB ＝1∶2， ∴x ＝x A1＋12，y ＝12y B 1＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36，即x 2＋4y 2＝16.得动点M 的轨迹方程为x 2＋4y 2＝16.5．设点P 是矩形ABCD 所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.【证明】如图，以(矩形的)顶点A 为坐标原点，边AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，并设B (b,0)、D (0，d )，则点C 的坐标为(b ，d )．又设P (x ，y )，则PA 2＋PC 2＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋(y －d )2，PB 2＋PD 2＝(x －b )2＋y 2＋x 2＋(y －d )2.比较两式，可知PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.6．有相距1 400 m 的A 、B 两个观察站，在A 站听到爆炸声的时间比在B 站听到时间早4 s ．已知当时声音速度为340 m/s ，试求爆炸点所在的曲线．【解】由题知：爆炸点P 到B 的距离比到A 的距离多340×4＝1 360米．即PB －PA ＝1 360＜1 400，PB ＞PA .故P 在以A 、B 为焦点的双曲线上，且离A 近的一支．以A 、B 两点所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由题意得，2a ＝1 360,2c ＝1 400，故a ＝680，c ＝700，b 2＝7002－6802＝27 600，故爆炸点所在曲线为x 2462 400－y 227 600＝1(x ＜0)． 7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O 正东方向80海里的B 处，沿东西方向向O 岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．【解】A，B两点如图所示，A(0,40)，B(80,0)，∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)．我船直行到点C与不明船只相遇，设C(x,0)，∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x.∵两船速度相同，∴AC＝BC＝80－x.在Rt△AOC中，OA2＋OC2＝AC2，即402＋x2＝(80－x)2，解得x＝30. ∴点C的坐标为(30,0)．教师备选8．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)，B (6,0)．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A 、B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，∵ 点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．∴C点的坐标为(6,4)，AC＝25，BC＝4.所以当航天器离观测点A、B的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．4．1.2极坐标系课标解读1.了解极坐标系．2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k ∈Z)都可以看成点M的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4－1－2所示)，平面内任一点M的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)可以互换，图4－1－2公式是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.极坐标系中点的坐标写出下图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．图4－1－3【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π2.已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【解】以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).极坐标的对称性在极坐标系中，求与点M (3，－π3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．在极坐标系中，点A 的极坐标为(3，π6)(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)极坐标与直角坐标的互化(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是(2，5π3).极坐标系的应用在极坐标系中，已知A (3，－π3)，B (1，2π3)，求A 、B 两点之间的距离．【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解．【自主解答】对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332，∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∵AB ＝32＋122＋－332－322＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B (4，3π2)、C (ρ，π6)．(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得 32ρ－12ρ＝4，解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．(教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：(2，π4)，(6，－π3)，(－2，11π6)，(5，π)，(4，－3π2)，(－42，3π4)． (2013·镇江模拟)已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题．【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝－22＋－232＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋－22＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________．【解析】由ρ＝x 2＋y 2＝－22＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内， ∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4) 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【解析】极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)．【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】由余弦定理得AB＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2·cosθ1－θ2＝32＋－32－2×3×－3cos π4－π12＝9＋9＋93＝18＋9 3＝36＋322.【答案】36＋3221．在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，π)．【解】各点描点如下图．2．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．【解】极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)(k ∈Z )，利用此，即可写出其中一个为(3，5π6)．3．已知点M 的极坐标为(－2，－5π6)，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M 的极坐标．【解】 ∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，∴(－2，－5π6)与(2，π6)为同一点的极坐标，故点M 的极坐标为(2，π6)．4．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4、B (2，5π4)，那么顶点C 的坐标是多少？【解】如右图，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又AB ＝4，△ABC 为正三角形，OC ＝23，∠AOC ＝π2，C 对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4.5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为π6，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．【解】如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝π6时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝5π6时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝7π6时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝11π6时，ρ ＝30(万千米)．彗星此时的极坐标有四种情形：(30，π6)，(30，5π6)，(30，7π6)，(30，11π6)．6．已知A 、B 两点的极坐标分别是(2，π3)、(4，5π6)，求A 、B 两点间的距离和△AOB的面积．【解】求两点间的距离可用如下公式：AB ＝4＋16－2×2×4×cos5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4. 7．已知定点P (4，π3)．(1)将极点移至O ′(23，π6)处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO ′＝23，OP ＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为(2，2π3)．(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为(4，π2)．教师备选8．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A (5，π6)，B (5，π2)，C (－43，π3)，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．【解】 ∵C (43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3，且AO ＝BO ，所以△AOB 是等边三角形，AB ＝5， BC ＝ 52＋432－2×5×43×cos 4π3－π2＝133，AC ＝52＋432－2×5×43cos2π3＋π6＝133， ∵AC ＝BC ，∴△ABC 为等腰三角形，AB 边上的高为43＋5×32＝1332， ∴S △ABC ＝12×5×1332＝6534.4．1.3球坐标系与柱坐标系1.球坐标系、柱坐标系的理解．课标解读2.球坐标、柱坐标与直角坐标的互化.1．球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.图4－1－42．直角坐标与球坐标间的关系若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4－1－5所示．x2＋y2＋z2＝r2，x＝r sin_θcos_φ，y＝r sin_θsin_φ，z＝r cos_θ.3．柱坐标系图4－1－6建立了空间直角坐标系O －xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R .4．直角坐标与柱坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面.将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标(1)已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4，则点M 的直角坐标为________．(2)设点M 的柱坐标为(2，π6，7)，则点M 的直角坐标为________．【自主解答】 (1)设M (x ，y ，z )，则x ＝2sin 3π4·cos 3π4＝－1，y ＝2×sin 3π4×sin 3π4＝1， z ＝2×cos3π4＝－ 2. 即M 点坐标为(－1,1，－2)． (2)设M (x ，y ，z )，则x ＝2×cos π6＝3，y ＝2×sin π6＝1，z ＝7.即M 点坐标为(3，1,7)．【答案】 (1)(－1,1，－2) (2)(3，1,7)(1)已知点P 的柱坐标为(4，π3，8)，则它的直角坐标为________．(2)已知点P 的球坐标为(4，3π4，π4)，则它的直角坐标为________．【解析】 (1)由变换公式得：x ＝4cos π3＝2， y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． (2)由变换公式得：x ＝r sin θcos φ＝4sin 3π4cos π4＝2， y ＝r sin θsin φ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos θ＝4cos3π4＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22)．【答案】 (1)(2,23，8) (2)(2,2，－22)将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图4－1－7建立空间直角坐标系A —xyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．图4－1－7【思路探究】解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．【自主解答】点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0 及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33，。