高二数学选修44教案01极坐标系

高中数学选修4-4教案1

极坐标的概念

教学目标：使学生理解极坐标系的概念；两点之间的距离。

教学重点：极坐标系、点的极坐标；应能熟练地根据坐标描点及求一个点的坐标、对称点的极坐标

教学难点：点的极坐标不惟一是学习的难点．

教学过程设计：

极坐标系与直角坐标系，虽然是两种不同的描述点位置的方法，但它们的基本观念是一致的，即坐标的观念，即把坐标看成有序实数对。

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．

一、问题引入

教师对直角坐标系作简要回顾如下：建立直角坐标系，使几何问题代数化，将几何问题，由平面几何中的定性研究，转变为解析几何中的定量研究．解析几何的出发点是点用坐标表示，注意以下几点：①一个点的坐标是一对有序实数，点和它的坐标是一一对应的；②直角坐标系有三个要素：原点、单位、坐标轴的方向；③同一点在不同的坐标系中，坐标不同．

回顾这些知识后提出问题（回顾知识要点是为了寻求新知识的生长点和突破口）：除了直角坐标系，还有没有确定点的位置的方法？学生可能有多种回答，答案可能有以下几中：①用仿射坐标表示一个点，它与直角坐标系的主要区别是坐标轴的夹角不是90°；②用船在岛的南40°东的说法表示方向，再加一个船与岛的距离表示船的位置，这实际上是用方向角及距离表示位置；③把正北定为0°，90°是正西，180°是正南，270°是正东，利用一个角度及一个距离表示点的位置，这实际上是利用方位角表示一个点；④密位法：把一个周角分为6000份，一份称为1密位，其它与方位角表示点的方法相同，只是方向更细些．炮兵常用密位法表示方向．教师对学生回答的各种方法加以概括：一个点可以用不同的坐标系表示，但有两点是一致的，一是建立坐标系一般包括原点，长度单位，角度单位和方向，二是一对有序实数表示平面上一个点，可以通俗地说“平面上点的坐标是点坐落位置的标记，这个标记是一对有

序实数”．由此可以转入新课的学习．这样作，教师在不断点拨中，逐步抽象出问题的本质，使学生联想思维水平层层递进，从多方面考虑问题，探求问题答案，达到殊途同归的目的．

二、数学构建

定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平

面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表

示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点

M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。这

样建立的坐标系叫做极坐标系。 1．极坐标系有四个要素：极点、极轴、长度单位、角的单位及方向．

2．点的直角坐标与极坐标的共同点是：都是一对有序实数表示一个点．不同点是点与点的直角坐标是一一对应的，点的极坐标不是唯一的，一般情况下（非极点）点P(ρ，θ)的全部极坐标为P (ρ，θ+2πk )和P(－ρ，ππθk 2++)(k Z ∈)．

3．直角坐标系内，点的坐标是表示这个点的充要条件．极坐标系内，点的某一个极坐标是表示这个点的充分非必要条件，只有对ρ、θ作特殊限制，才可能是充要的．

4.求一个点的极坐标，一般只要求出其中一个坐标即可．

三、知识运用

【例1】在极坐标系中，作出下列各点，P 1(2，3π)、P 2(2，2)、P 3(1，2

π)． 【例2】写出图中各点的极坐标，0≤θ≤2π．

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡)452()3()63(321πππ，、，、，P P P 这类例题的目的是使学生熟悉极坐标系，

克服直角坐标系中由习惯形成的干扰．学生极易

将P (2，2)中极角2当坐横坐标2，将P 点标在ρθx

M O 图1图2

（2，4

π）的位置． 【例3】在极坐标系中，作出下列各点：Q 1(2，

4π)、Q 2(2，π)、Q 3(3，43π)、Q 4(23，47π)、Q 5(2，2π)、Q 6(2，0)、Q 7(π，π)、Q 8(π，－π)、Q 9(0，70

3π)、Q 10(

23，4π-)． 此例应让学生到黑板上作，根据结果启发学生发观Q 7与Q 8重合，Q 10与Q 4重合，Q 5与Q 6重合，这说明不同的坐标，可能表示相同的点．可再举些类似的例子，从而得到点的极坐标不惟一的重要结论．可结合Q 4与Q 10指出，它们各自都表示Q 4点，即Q 4点不一定非用(23，4

7π)表示，还可以用(23，4π-)、(－23，43π)……表示．反之，给定一个点，并不能一定得到它某个特定的坐标．

因此，一个点的某个极坐标是表示这个点的充分不必要条件，这样使学生对两种坐标系有了统一的逻辑认识，扩展了学生的认知结构．

以此例为导入，即可将ρ＞0、ρ＜0时极坐标的概念进行讲解，并及时作小结．当ρ≠0时，点ρ(ρ，θ)的全部极坐标为ρ(ρ，θ＋2πk )他ρ(－ρ，θ＋π＋

2πk )(Z ∈k )．以此使学生对极坐标系中，点坐标的复杂性．加以系统化和条理化．使学生易于记忆．如用多媒体等教学手段，显示以上结论，就可以强化认识，突破难点．

【例4】．在极坐标系中，作出点M (2，

4π)、N (2，π)，并求出这两点之间的距离。

解：如图2所示，由余弦定理，得

|MN|=()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-+4cos 2222222ππ=10

通过本例达到介绍极坐标下两点之间的距离的求法。

【例5】．①写出点P （－5，6

π）的所有极坐标；②写出点P (5，67π)关于极轴

图2

的对称点的坐标，关于极点的对称点的坐标，关于过极点且与极轴垂直的直线的对称点的坐标；③标出(－5, 6

π)，(0，1)，(－1，0)，(－4，－π)各点的位置． 此题应让学生板演，以巩固新知识，在练习过程中及结束后，强调几点：①画坐标系可能丢掉原点、单位、方向等要素；②极坐标系中，对ρ和θ作特殊规定时，可以使点和其坐标一一对应．例如规定ρ＞0且0≤θ＜2π或ρ＜0且0≤θ＜2π时，除极点外，平面上的点的坐标就唯一了．

【例6】．在极坐标系中，标出A (5, 3π)，B (5, －3π)，C (－5, －3π)，D (－5, 3π)的位置，并说明A 与B 、C 、D 分别有怎样的相互位置关系．

解：A 与B 关于极轴对称，A 与C 关于过极点且与极轴垂直的直线对称，A 与D 关于极点对称，B 与C 关于极点对称，B 与D 关于过极点且与极轴垂直的直线对称，C 与D 关于极轴对称。

四、小结

极坐标系不但知识新、观点也新，尤其应注意以下几点：

1．极坐标系有四个要素：极点、极轴、长度单位、角的单位及方向．

2．极坐标系中，点与其坐标是“一对多”的对应，点的坐标是表示点的充分不必要条件．非极点的点的坐标有两组：（ρ，πθk 2+）和（－ρ，)(2πθk +π）Z k ∈，只在特殊规定时，点的坐标才是惟一的．

二、例题分析

三、小结：①极坐标系中两点之间的距离公式；

②关于极轴、极点、极垂线的对称点的判断及坐标的求法。