高中数学基础强化天天练必修1第16练

第54练 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象（1）

目标：了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义，会用“五点作图法”画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图

一、填空题

1.振动量)0)(sin(2>+=

ωϕωx y 的初相和频率分别为2

3和π-，则它的相位是 ． 【答案】3x ππ- 【解析】由题意，3,232

ϕπωππ=-=⨯=，∴它的相位是3x ππ-. 2.将函数sin()4y x π=+的图象上所有点的纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变），所得图象的函数解析式为 . 【答案】4sin()4y x π

=+

【解析】根据振幅变换要求即可.

3.将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-

=3sin πx y 的图象向左平移3π个单位长度，则所得图象的函数解析式为 .

【答案】x y sin = 【解析】由题意得，sin()sin[()]sin 333y x x x πππ=-

=+-=. 4.将函数1sin

4y x =的图象向右平移2π个单位长度，则所得图象的函数解析式为 . 【答案】1cos 4

y x =- 【解析】由题意得，111sin

(2)sin()cos 4424

y x x x ππ=-=-=-. 5.已知12()cos ,()cos (0)f x x f x x ωω==>，且2()f x 的图象可以看作是把)(1x f 的图象上所有点的横坐标变为原来的3

1倍（纵坐标不变）得到的，则ω= . 【答案】3ω= 【解析】由题意得，113ω=，∴3ω=. 6.已知某函数的图象向右平移2π个单位长度后得到的图象的函数式是⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=4sin πx y ，则此函数表达式是 . 【答案】3sin 4y x π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

【解析】函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y 的图象向左平移2π得sin 24y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3sin 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象，故此函数表达式是3sin 4y x π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

. 7.把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平移

3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

12（纵坐标不变），则得到的图象所表示的函数是 . 【答案】sin(2)3

y x π=+

【解析】 132sin sin()sin(2)33y x y x y x πππ=−−−−−−→=+

→=+向左平移个单位横坐标缩短到原来的倍. 8.函数sin()3y x π

=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 再将所得的图象向左平移

3π个单位长度，得到的图象对应的解析式是 . 【答案】1

sin()26

y x π=- 【解析】111sin()sin()sin[()]sin()32323326

y x y x y x y x πππππ=-→=-→=+-→=- 9.给出下列6种图像变换方法： ①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的2

1； ②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； ③图像向右平移

3

π个单位长度； ④图像向左平移3

π个单位长度； ⑤图像向右平移3

2π个单位长度； ⑥图像向左平移32π个单位长度. 上述变换将函数sin y x =的图像变换到函数sin()23x y π=+

的图象的为 . 【答案】→①②或→②⑥

【解析】要么先平移后伸缩，要么先伸缩后平移.

10.已知函数()y f x =,将()f x 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到的图象沿x 轴向左平移4

π个单位长度,这样得到的曲线与3sin y x =的图象相同, 那么()y f x =的解析式为 .

【答案】()3sin(2)4f x x π

=-

【解析】3sin y x =的图象向右平移

4

π个单位长度得3sin()4y x π=-的图象，它的图象横坐标缩短到原来的21,得到函数图象的解析式为()3sin(2)4f x x π=-.

二、解答题

11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)（A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π2）的图象如下，求函数f (x )的解析

解：由图象知A ＝2，T 2＝6－(－2))＝8＝12*2πω，所以ω＝π8，此时解析式为y ＝2sin(π8

x ＋ϕ），将点（2，2）代入，得到sin(π4＋ϕ)＝1，π4＋ϕ＝π2＋2k π（k ∈Z ），由0＜ϕ＜π2，则ϕ＝π4

，所以函数f (x )的解析式为y ＝2sin(π8x ＋π4

)．

12．函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)（A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2

）的最小值是－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0，1)，求函数解析式．

解：由题知A ＝2，T 2＝3π＝12*2πω，所以ω＝13，此时函数解析式为y ＝2sin(13

x ＋ϕ），将点(0,1)代入，则2sin ϕ＝1，ϕ＝π6＋2k π或ϕ＝5π6＋2k π（k ∈Z ），由|ϕ|＜π2，则ϕ＝π6

，所以函数解析式为y ＝2sin(13x ＋π6

）． x