徐汇区2015年高三数学理科二模试卷

2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科（理科）

2015.4

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．

1．已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩

⎭，，集合{}

2

=|,B y y x x A =∈，则A B = ．

2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ．

3．已知直线l 的一个法向量是()

1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为 ．

4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数1650

800

==

k ．若从16~1中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为48~33的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是 ． 5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3,2,3

a c A π

===

，则ABC ∆的面积为 ．

6．设函数)12(log )(2+=x

x f ，则不等式)(2x f 12(log 5)f -≤的解为 ．

7．直线y x =与曲线3cos :4sin x C y θ

θ=⎧⎨=⎩

(θ为参数，2πθπ≤≤)的交点坐标是 ．

8．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙

至多一人击中目标的概率为 ． 9．矩阵1211222232332

1

23

i n i n i n n ni

nn a a a a a a a a a n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

中每一行都构成公比为2的等比数列，

第i 列各元素之和为i S ，则2lim

2n

n

n S n →∞=⋅ ．

10．如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==,

则平面11A B C 与平面ABC 所成的二面角的大小为 ．

11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为a ，二项式4

2

mx x ⎛+ ⎪⎭的展

开式中3

x 项的系数为

2

a

，则常数m = ． 12．设)(x f 是定义域为R 的奇函数，)(x g 是定义域为R 的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则函数)()(x g x f -的值域为 ．

13．ABC ∆所在平面上一点P 满足()

0,PA PC mAB m m +=>为常数，若ABP ∆的面积

为6，则ABC ∆的面积为 ．

14．对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于

C

B

A

C 1

B 1A 1

点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)

0(12)

0(1:2

2x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 ．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．

15．下列不等式中，与不等式

3

02x x

-≥-同解的是（ ） （A ）()()320x x --≥ （B ）()()320x x -->

（C ）

203x x -≥- （D ）30

2

x

x -≥- 16．设M N 、为两个随机事件，如果M N 、为互斥事件，那么（ ） （A ）M N ⋃是必然事件 （B ）M N ⋃是必然事件 （C ）M 与N 一定为互斥事件 （D ）M 与N 一定不为互斥事件 17．在极坐标系中，与曲线1cos +=θρ关于直线6

π

θ=(R ∈ρ)对称的曲线的极坐标方程是（ ）

（A ）1)3

sin(++=θπ

ρ （B ）1)3

sin(

+-=θπ

ρ

（C ）1)6

sin(

++=θπ

ρ （D ）1)6

sin(

+-=θπ

ρ

18．已知函数2

()sin f x x x =⋅，各项均不相等的数列{}n x 满足2

i x π

≤

(1,2,3,,)i n =．令

[]*1212()()()()()()n n F n x x x f x f x f x n N =++

+⋅++

∈．给出下列三个命题：

(1)存在不少于3项的数列{}n x ，使得()0F n =；

(2)若数列{}n x 的通项公式为()*12n

n x n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭

，则(2)0F k >对*

k N ∈恒成立；

(3)若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对*

n N ∈恒成立．

其中真命题的序号是（ ）

（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3)

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．

19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图，在Rt AOB ∆中，6

OAB π

∠=

，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将Rt AOB

∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2

BOC π

∠=

．

（1）求该圆锥的全面积；

（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． （结果用反三角函数值表示）

20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．