徐汇区2015年高三数学理科二模试卷

2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2015.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B = ．2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ．3．已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为 ．4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数1650800==k ．若从16~1中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为48~33的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是 ． 5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3,2,3a c A π===，则ABC ∆的面积为 ．6．设函数)12(log )(2+=xx f ，则不等式)(2x f 12(log 5)f -≤的解为 ．7．直线y x =与曲线3cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，2πθπ≤≤)的交点坐标是 ．8．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为 ． 9．矩阵1211222232332123i n i n i n n ninn a a a a a a a a a n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为i S ，则2lim2nnn S n →∞=⋅ ．10．如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==,则平面11A B C 与平面ABC 所成的二面角的大小为 ．11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为a ，二项式42mx x ⎛+ ⎪⎭的展开式中3x 项的系数为2a，则常数m = ． 12．设)(x f 是定义域为R 的奇函数，)(x g 是定义域为R 的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则函数)()(x g x f -的值域为 ．13．ABC ∆所在平面上一点P 满足()0,PA PC mAB m m +=>为常数，若ABP ∆的面积为6，则ABC ∆的面积为 ．14．对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于CBAC 1B 1A 1点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．下列不等式中，与不等式302x x-≥-同解的是（ ） （A ）()()320x x --≥ （B ）()()320x x -->（C ）203x x -≥- （D ）302xx -≥- 16．设M N 、为两个随机事件，如果M N 、为互斥事件，那么（ ） （A ）M N ⋃是必然事件 （B ）M N ⋃是必然事件 （C ）M 与N 一定为互斥事件 （D ）M 与N 一定不为互斥事件 17．在极坐标系中，与曲线1cos +=θρ关于直线6πθ=(R ∈ρ)对称的曲线的极坐标方程是（ ）（A ）1)3sin(++=θπρ （B ）1)3sin(+-=θπρ（C ）1)6sin(++=θπρ （D ）1)6sin(+-=θπρ18．已知函数2()sin f x x x =⋅，各项均不相等的数列{}n x 满足2i x π≤(1,2,3,,)i n =．令[]*1212()()()()()()n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅++∈．给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列{}n x ，使得()0F n =；(2)若数列{}n x 的通项公式为()*12nn x n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则(2)0F k >对*k N ∈恒成立；(3)若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对*n N ∈恒成立．其中真命题的序号是（ ）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3)三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将Rt AOB∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． （结果用反三角函数值表示）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．一个随机变量ξ的概率分布律如下：其中,,A B C 为锐角三角形．．．．．ABC 的三个角．（1）求A 的值；（2）若1cos x B =，2sin x C =，求数学期望E ξ的取值围．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度;（2）求梯形外框的用料长度． （注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数11()2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11()2g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求函数()()()2h x f x g x =+的零点；（2）若直线():0,,l ax by c a b c ++=为常数与()f x 的图像交于不同的两点A B 、，与()g x 的图像交于不同的两点C D 、，求证：AC BD =； （3）求函数()()()22*()nnF x f x g x n N =-∈⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的最小值．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于一组向量n a a a a ,,,,321 (*n N∈)，令n n a a a a S ++++= 321，如果存在S RPQDC BAOp a ({}1,2,3,p n ∈)，使得||||p n p a S a -≥，那么称p a 是该向量组的“h 向量”． （1）设),(n x n a n +=(*n N ∈)，若3a 是向量组321,,a a a 的“h 向量”，数x 的取值围； （2）若))1(,)31((1n n n a -=-(*N n ∈)，向量组n a a a a ,,,,321 是否存在“h 向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知123a a a 、、均是向量组321,,a a a 的“h 向量”，其中)cos ,(sin 1x x a =， )sin 2,cos 2(2x x a =．设在平面直角坐标系中有一点列n Q Q Q Q ,,,,321 满足：1Q 为坐标原点，2Q 为3a 的位置向量的终点，且12+k Q 与k Q 2关于点1Q 对称，22+k Q 与12+k Q (*N k ∈)关于点2Q 对称，求||20142013Q Q 的最小值．理科参考答案一、填空题：（每题4分）1. {}12. 62i -3.6π4. 395. 26. 0x ≤7. 1212,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 8. 0.58 9. 1410. 4π 11. 14 12. (]3,1-- 13. 12 14. 512π二、选择题：（每题5分）15. D 16. A 17. C 18. D三、解答题 19、解：（1）在Rt AOB ∆中，2OB =，即圆锥底面半径为2 圆锥的侧面积8S rl ππ==侧………………..4’故圆锥的全面积=+8+412S S S πππ==全侧底……………….6’ （2）解法一：如图建立空间直角坐标系．则(0,0,23),(2,0,0),A C D(0,0,23),(AO CD ∴=-=- (8)’设AO 与CD 所成角为θ 则cos 42AO CD AO CDθ⋅===-⋅………………..10’∴异面直线AO 与CD 所成角为arc cos4………………..12’ 解法二：过D 作//DM AO 交BO 于M ，连CM则CDM ∠为异面直线AO与CD 所成角………………..8’AO OBC⊥平面 DM OBC ∴⊥平面DM MC ∴⊥ 在Rt AOB ∆中，AO =DM ∴=D 是AB 的中点 M ∴是OB 的中点 1OM ∴=CM ∴=在Rt CDM ∆中，tanCDM ∠==..10’ CDM ∴∠=AO 与CD 所成角的大小为……………….12’20、解：（1）由题()cos2sin 1A B C ++=，………………..2’则212sin sin 1A A -+=()1sin sin 02A A ⇒==舍………………..4’ 又A 为锐角，得6A π=………………..6’（2）由6A π=得56B C π+=，则()1cos 2=sin 2A B C +=，即()()1212P x P x ξξ====…………..8’y11cos sin 22E B C ξ⇒=+………………..9’1513cos sin sin 26244C C C C π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin 26C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ………………..11’ 由ABC ∆为锐角三角形，得0,2,,3266350,62C C C B C ππππππππ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇒∈⇒-∈⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩则1sin 62C π⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，得34E ξ⎫∈⎪⎪⎝⎭………………..14’21、解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系 设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =<由题意()20,40D -，得5p =-，210x y =-……….3’取20y x =-⇒=±即()()20,20A B ---()28AB cm =≈答：横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设(():200RQ l y k x k +=-<………………..7’(()2220101002010y k x x kx x y ⎧+=-⎪⇒+-+=⎨=-⎪⎩则()210040020k k ∆=+=⇒=-:20RQ l y =-+…………..10’得()(),40Q R-OQ MR RQ ⇒===梯形周长为(()2141cm =≈答：制作梯形外框的用料长度约为141cm ………………..14’y xS RPQM DCBA O22、解：（1）由题31()022x h x x x =-=⇒=±()h x的零点为x =…………4’ （2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y()2220112ax by c a b x cx b y x x ++=⎧⎪⇒+++=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1222c x x a b +=-+………………..8’ 同理由()2220112ax by c a b x cx b y x x ++=⎧⎪⇒++-=⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则3422c x x a b +=-+ 则AB 中点与CD 中点重合，即AC BD =………………..10’（3）由题222111()2n nnF x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1223262362212222222122222n n n n n nn n n n nC x C x C x C x ------=++++………………..12’ ()()()()12222326622362262122222222212n n n n n n n n n n n n n n n C x x C x x C x x C x x ----------⎡⎤=++++++++⎣⎦()13232122222122222n n n n n n n C C C C --≥++++ ……………….14’ 1≥，当且仅当1x =±时，等号成立 所以函数()F x 的最小值为1………………..16’23、解：(1)由题意，得：||||213a a a +≥，则22)32(9)3(9++≥++x x ………………..2’解得：02≤≤-x ………………..4’(2) 1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的“h 向量”，证明如下：)1,1(1-=a ，2||1=a当n 为奇数时，)0,)31(2121()0,311])31(1[31(1132--⋅-=--=+++n n n a a a ………………..6’111110()2232n -≤-⋅<，故=+++||32n a a a 2210])31(2121[221<<+⋅--n ………8’即||||321n a a a a +++> 当n 为偶数时，)1,)31(2121(132-⋅-=+++n n a a a 故=+++||32n a a a 2451])31(2121[221<<+⋅--n 即||||321n a a a a +++>综合得：1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的“h 向量”………………..10’(3)由题意，得：||||321a a a +≥，23221||||a a a +≥，即23221)(a a a +≥即322322212a a a a a ⋅++≥，同理312321222a a a a a ⋅++≥，212221232a a a a a ⋅++≥ 三式相加并化简，得：3231212322212220a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+++≥即0)(2321≤++a a a ，0||321≤++a a a ，所以321=++a a a ………………..13’ 设),(3v u a =，由321=++a a a 得：⎩⎨⎧--=--=xx v xx u sin 2cos cos 2sin设),(n n n y x Q ，则依题意得：⎩⎨⎧-=-=++++++),(),(2),(),(),(2),(121222222222111212k k k k k k k k y x y x y x y x y x y x ，得),()],(),[(2),(2211222222k k k k y x y x y x y x +-=++ 故),()],(),[(2),(2211222222y x y x y x k y x k k +-=++ ),()],(),[(2),(2211221212y x y x y x k y x k k +--=++所以2111221222122222124)],(),[(4),(Q Q k y x y x k y y x x Q Q k k k k k k =-=--=++++++……16’12sin 45cos sin 85)sin 2cos ()cos 2sin (||||2223221≥+=+=--+--==x x x x x x x a Q Q 当且仅当4ππ-=t x (Z t ∈)时等号成立故4024||min 20142013=Q Q ………………..18’。