导数大题经典练习及答案

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导数经典练习题及答案

1．设函数f(x)在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．)('0x f -C ．0'()f x -D ．0'()f x -- 2．若13)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f 等于 A ．32 B ．23C ．3D ．23．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角 4．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为A ．4)(x x f =B ．2)(4-=x x fC ．1)(4+=x x fD ．2)(4+=x x f 5．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是（1）x x x f x f x ∆∆--→∆2)2()(lim000；（2）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 000；（3）x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()2(lim000（4）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)2()(lim 000.A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4） 6．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程是___. 7．已知曲线xx y 1+=，则==1|'x y _____________.8．设3)('0-=x f ，则=---→hh x f h x f h )3()(lim000_____________.9．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物线上过点P 的切线与过这两点的割线平行，则P 点的坐标为_____________. 10．曲线3)(x x f =在点A 处的切线的斜率为3，求该曲线在A 点处的切线方程. 11．在抛物线2x y =上求一点P ，使过点P 的切线和直线3x-y+1=0的夹角为4π. 12．判断函数⎩⎨⎧<-≥=)0()0()(x x x x x f 在x=0处是否可导.13．求经过点（2，0）且与曲线xy 1=相切的直线方程. 同步练习X030131．函数y =f （x ）在x =x 0处可导是它在x =x 0处连续的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．在曲线y =2x 2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy ∆∆ 等于A ．4Δx +2Δx 2B ．4+2ΔxC ．4Δx +Δx 2D ．4+Δx3．若曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为2x +y －1=0，则A ．f ′（x 0）>0B ．f ′（x 0）<0C ．f ′（x 0）=0D ．f ′（x 0）不存在4．已知命题p ：函数y =f （x ）的导函数是常数函数；命题q ：函数y =f （x ）是一次函数，则命题p 是命题q 的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设函数f （x ）在x 0处可导，则0lim→h hh x f h x )()(00--+等于A ．f ′（x 0）B ．0C ．2f ′（x 0）D ．－2f ′（x 0）6．设f （x ）=x （1+|x |），则f ′（0）等于A ．0B ．1C ．－1D ．不存在7．若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___________． 8．曲线y =x 3在点P （2，8）处的切线方程是___________．9．曲线f （x ）=x 2+3x 在点A （2，10）处的切线斜率k =___________． 10．两曲线y =x 2+1与y =3－x 2在交点处的两切线的夹角为___________． 11．设f （x ）在点x 处可导，a 、b 为常数，则lim→∆x xx b x f x a x f ∆∆--∆+)()(=___________．12．已知函数f （x ）=⎩⎨⎧>+≤++0 012x b ax x x x ，试确定a 、b 的值，使f （x ）在x =0处可导． 13．设f （x ）=)()2)(1()()2)(1(n x x x n x x x +⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅--，求f ′（1）．14．利用导数的定义求函数y =|x |（x ≠0）的导数．同步练习 X030211．物体运动方程为s =41t 4－3，则t =5时的瞬时速率为A ．5 m/sB ．25 m/sC ．125 m/sD ．625 m/s2．曲线y =x n （n ∈N ）在点P （2，)22n 处切线斜率为20，那么n 为A ．7B ．6C ．5D ．4 3．函数f （x ）=x x x 的导数是A ．81x（x >0） B ．－887x（x >0） C ．8781x（x >0） D ．881x（x >0）4．f （x ）与g （x ）是定义在R 上的两个可导函数，若f （x ），g （x ）满足f ′（x ）=g ′（x ），则f （x ）与g （x ）满足 A ．f （x ）=g （x ）B ．f （x ）－g （x ）为常数函数C ．f （x ）=g （x ）=0D ．f （x ）+g （x ）为常数函数5．两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A 车向北行驶，速率为30 km/h ，B 车向东行驶，速率为40 km/h ，那么A 、B 两车间直线距离的增加速率为 A ．50 km/hB ．60 km/hC ．80 km/hD ．65 km/h6．细杆AB 长为20 cm ，AM 段的质量与A 到M 的距离平方成正比，当AM =2 cm 时，AM 段质量为8 g ，那么，当AM =x 时，M 处的细杆线密度ρ（x ）为A ．2xB ．4xC ．3xD ．5x7．曲线y =x 4的斜率等于4的切线的方程是___________．8．设l 1为曲线y 1=sin x 在点（0，0）处的切线，l 2为曲线y 2=cos x 在点（2π，0）处的切线，则l 1与l 2的夹角为___________． 9．过曲线y =cos x 上的点（21,6π）且与过这点的切线垂直的直线方程为_____________．10．在曲线y =sin x （0<x <π）上取一点M ，使过M 点的切线与直线y =x 23平行，则M 点的坐标为___________．11．质点P 在半径为r 的圆周上逆时针做匀角速率运动，角速率为1 r a d/s ，设A 为起点，那么t 时刻点P 在x 轴上射影点M 的速率为___________．12．求证：双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积等于常数．13．路灯距地平面为8 m ，一个身高为1．6 m 的人以84 m/min 的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C ，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v ．14．已知直线x +2y －4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P ，使△PAB 面积最大．同步练习 X030311．若f （x ）=sin α－cos x ，则f ′（α）等于A ．sin αB ．cos αC ．sin α+cos αD ．2sin α2．f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′（－1）=4，则a 的值等于A ．319B ．316 C ．313D ．3103．函数y =x sin x 的导数为A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=xx 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos x D ．y ′=xx sin －x cos x4．函数y =x 2cos x 的导数为A ．y ′=2x cos x －x 2sin xB ．y ′=2x cos x +x 2sin xC ．y ′=x 2cos x －2x sin xD ．y ′=x cos x －x 2sin x5.若y =(2x 2-3)(x 2-4),则y ’= .6. 若y =3cosx -4sinx ,则y ’= .7．与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是______． 8．质点运动方程是s =t 2（1+sin t ），则当t =2时，瞬时速度为___________． 9.求曲线y=x3+x2-1在点P （-1，-1）处的切线方程.10．用求导的方法求和：1+2x +3x 2+…+nx n －1（x ≠1）．11．水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．同步练习 X030321．函数y =22xa x +（a >0）的导数为0，那么x 等于A ．aB ．±aC ．－aD ．a 22．函数y =xxsin 的导数为 A ．y ′=2sin cos xxx x + B ．y ′=2sin cos xxx x - C ．y ′=2cos sin xxx x -D ．y ′=2cos sin xxx x + 3.若21,2xy x +=-则y ’= . 4.若423335,x x y x -+-=则y ’= . 5.若1cos ,1cos xy x+=-则y ’= .6．已知f （x ）=354337xx x x ++，则f ′（x ）=___________．7．已知f （x ）=xx++-1111，则f ′（x ）=___________．8．已知f （x ）=xx2cos 12sin +，则f ′（x ）=___________．9．求过点（2，0）且与曲线y =x 1相切的直线的方程．10.质点的运动方程是23,s t t=+求质点在时刻t=4时的速度.同步练习 X030411．函数y =2)13(1-x 的导数是 A ．3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3)13(6-x D ．－2)13(6-x2．已知y =21sin2x +sin x ，那么y ′是A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．非奇非偶函数 3．函数y =sin 3（3x +4π）的导数为 A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π） B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）C ．9sin 2（3x +4π）D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）4.若y=（sinx-cosx 3)，则y ’= .5. 若y=2cos 1x +，则y ’= .6. 若y=sin 3(4x+3)，则y ’= .7．函数y =（1+sin3x ）3是由___________两个函数复合而成． 8．曲线y =sin3x 在点P （3π，0）处切线的斜率为___________．9.求曲线2211(2,)(3)4y M x x =-在处的切线方程. 10. 求曲线sin 2(,0)y x M π=在处的切线方程.11．已知函数y =（x ）是可导的周期函数，试求证其导函数y =f ′（x ）也为周期函数．同步练习 X030421．函数y =cos （sin x ）的导数为A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ）2．函数y =cos2x +sin x 的导数为A ．－2sin2x +xx2cos B ．2sin2x +xx 2cosC ．－2sin2x +xx 2sin D ．2sin2x －xx 2cos3．过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A ．2y －8x +7=0 B ．2y +8x +7=0 C ．2y +8x －9=0D ．2y －8x +9=04．函数y =x sin （2x －2π）cos （2x +2π）的导数是______________． 5．函数y =)32cos(π-x 的导数为______________．6．函数y =cos 3x1的导数是___________．7.已知曲线y=2400x + +53(100-x) (0100≤≤x ) 在点M 处有水平切线,8．若可导函数f （x ）是奇函数，求证：其导函数f ′（x ）是偶函数．9．用求导方法证明：21C 2C n n ++…+n n n C =n ·2n －1．同步练习 X030511．函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为A ．32+x B ．2231x x -- C ．32222-++x x xD ．32222-+-x x x2．函数y =lncos2x 的导数为A ．－tan2xB ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x3．函数y =x ln 的导数为A ．2x x lnB ．xx ln 2C ．xx ln 1 D ．xx ln 214．在曲线y =59++x x 的切线中，经过原点的切线为________________． 5．函数y =log 3cos x 的导数为___________． 6.函数y =x 2lnx 的导数为 . 7. 函数y =ln （lnx ）的导数为 . 8. 函数y =lg (1+cosx )的导数为9. 求函数y =ln 22132x x+-的导数．10. 求函数y = 12．求函数y =ln （21x +－x ）的导数．同步练习 X030521．下列求导数运算正确的是A ．（x +x 1）′=1+21xB ．（log 2x ）′=2ln 1xC ．（3x ）′=3x log 3eD ．（x 2cos x ）′=－2x sin x 2．函数y =xxa 22-（a >0且a ≠1），那么y ′为A ．xxa 22-ln aB ．2（ln a ）xx a 22-C ．2（x －1）xxa 22-·ln aD ．（x －1）xxa 22-ln a3．函数y =sin32x 的导数为A ．2（cos32x ）·32x ·ln3B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x4．设y =xx ee 2)12(+，则y ′=___________． 5．函数y =x22的导数为y ′=___________．6．曲线y =e x －e ln x 在点（e ，1）处的切线方程为___________．7.求函数y=e 2x lnx 的导数. 8．求函数y =x x （x >0）的导数．9．设函数f （x ）满足：af （x ）+bf （x 1）=xc（其中a 、b 、c 均为常数，且|a |≠|b |），试求f ′（x ）同步练习 x030611．若f （x ）在［a ，b ］上连续，在（a ，b ）内可导，且x ∈（a ，b ）时，f ′（x ）>0，又f （a ）<0，则A ．f （x ）在［a ，b ］上单调递增，且f （b ）>0B ．f （x ）在［a ，b ］上单调递增，且f （b ）<0C ．f （x ）在［a ，b ］上单调递减，且f （b ）<0D ．f （x ）在［a ，b ］上单调递增，但f （b ）的符号无法判断 2．函数y =3x －x 3的单调增区间是A ．（0，+∞）B ．（－∞，－1）C ．（－1，1）D ．（1，+∞） 3．三次函数y =f （x ）=ax 3+x 在x ∈（－∞，+∞）内是增函数，则A ．a >0B ．a <0C ．a =1D ．a =314．f （x ）=x +x2（x >0）的单调减区间是A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（2，+∞）D ．（0，2）5．函数y =sin x cos 2x 在（0，2）上的减区间为A ．（0，arctan 22） B ．（arctan2,22π） C ．（0，2π）D ．（arctan 2,21π）6．函数y =x ln x 在区间（0，1）上是A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在（0，e 1）上是减函数，在（e 1，1）上是增函数D ．在（0，e 1）上是增函数，在（e1，1）上是减函数7．函数f （x ）=cos 2x 的单调减区间是___________． 8．函数y =2x +sin x 的增区间为___________．9．函数y =232+-x x x的增区间是___________． 10．函数y =xxln 的减区间是___________．11．已知0<x <2π，则tan x 与x +33x 的大小关系是tan x _____x +33x ．12．已知函数f （x ）=kx 3－3（k +1）x 2－k 2+1（k >0）．若f （x ）的单调递减区间是（0，4）. （1）求k 的值；（2）当k <x 时，求证：2x >3－x1．13．试证方程sin x =x 只有一个实根．14．三次函数f （x ）=x 3－3bx +3b 在［1，2］内恒为正值，求b 的取值范围．同步练习 X030711．下列说法正确的是A ．当f ′（x 0）=0时，则f （x 0）为f （x ）的极大值B ．当f ′（x 0）=0时，则f （x 0）为f （x ）的极小值C ．当f ′（x 0）=0时，则f （x 0）为f （x ）的极值D ．当f （x 0）为函数f （x ）的极值且f ′（x 0）存在时，则有f ′（x 0）=0 2．下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2x A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③3．函数y =216xx的极大值为 A ．3 B ．4 C ．2 D ．54．函数y =x 3－3x 的极大值为m ，极小值为n ，则m +n 为A ．0B ．1C ．2D ．4 5．y =ln 2x +2ln x +2的极小值为A ．e －1B ．0C ．－1D ．16．y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于A ．6B ．0C ．5D ．17．函数f （x ）=x 3－3x 2+7的极大值为___________．8．曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值．9．函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________．10．函数f （x ）=x －3223x 的极大值是___________，极小值是___________．11．若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则a =___________，b =___________．12．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +c ，当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值．求这个极小值及a 、b 、c 的值．13．函数f （x ）=x +xa+b 有极小值2，求a 、b 应满足的条件．14．设y =f （x ）为三次函数，且图象关于原点对称，当x =21时，f （x ）的极小值为－1，求函数的解析式．同步练习 X030811．下列结论正确的是A ．在区间[a ，b]上，函数的极大值就是最大值B ．在区间[a ，b]上，函数的极小值就是最小值C ．在区间[a ，b]上，函数的最大值、最小值在x=a 和x=b 时到达D ．在区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值和最小值 2．函数14)(2+-=x x x f 在[1，5]上的最大值和最小值是A ．f(1)，f(3)B ．f(3)，f(5)C ．f(1)，f(5)D ．f(5)，f(2) 3．函数f(x)=2x-cosx 在(-∞，+∞)上A ．是增函数B ．是减函数C ．有最大值D ．有最小值 4．函数a ax x x f --=3)(3在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是 A ．0<a<1 B ．a<1 C ．a>0 D ．21<a 5．若函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处有最值，那么a 等于A ．2B ．1C ．332 D ．0 6．函数5224+-=x x y ，x ∈[-2，2]的最大值和最小值分别为 A ．13，-4 B ．13，4 C ．-13，-4 D ．-13，4 7．函数x xe y =的最小值为________________. 8．函数f(x)=sinx+cosx 在]2,2[ππ-∈x 时函数的最大值，最小值分别是___. 9．体积为V 的正三棱柱，底面边长为___________时，正三棱柱的表面积最小．10．函数21)(x x x f -+=的最大值为__________，最小值为____________。

导数大题经典练习及答案

导数大题专题训练1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立．2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.3．设函数f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x)的极值点.4、已知函数.(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.5、已知函数(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围；(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．6、已知函数．(1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围；(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则，在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.(Ⅱ)当，，由得.①当时，在上，在上因此，在处取得极小值，也是最小值. .由于因此，②当，，因此上单调递增，所以，……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，设，则，易知，当且仅当时取到，但从而可知对一切，都有成立.2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为，所以，所以a=1.所以. .由解得x＞0；由解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）（Ⅱ），由解得；由解得.所以f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数f (x)取得最小值，. 因为对于都有成立，所以即可. 则.由解得.所以a的取值范围是.（Ⅲ）依题得，则.由解得x＞1；由解得0＜x＜1.所以函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数在区间[e－1，e]上有两个零点，所以.解得.所以b的取值范围是.3．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（0，+∞）. 因为，所以f (x)在[1，e]上是增函数，当x=1时，f (x)取得最小值f (1)=1.所以f (x)在[1，e]上的最小值为1.（Ⅱ）解法一：设g (x)=2x2―2ax+1，依题意，在区间上存在子区间使得不等式g (x)＞0成立. 注意到抛物线g (x)=2x2―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或即可由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得，由，即，得，所以，所以实数a的取值范围是.解法二：，依题意得，在区间上存在子区间使不等式2x2―2ax+1＞0成立.又因为x＞0，所以.设，所以2a小于函数g (x)在区间的最大值.又因为，由解得；由解得.所以函数g (x)在区间上递增，在区间上递减.所以函数g (x)在，或x=2处取得最大值.又，，所以，所以实数a的取值范围是.（Ⅲ）因为，令h (x)=2x2―2ax+1①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h (x)＞0恒成立，f (x)＞0，此时函数f (x)没有极值点；②当a＞0时，（i）当Δ≤0，即时，在（0，+∞）上h (x)≥0恒成立，这时f (x)≥0，此时，函数f (x)没有极值点；（ii）当Δ＞0时，即时，易知，当时，h (x)＜0，这时f (x)＜0；当或时，h (x)＞0，这时f (x)＞0；所以，当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.综上，当时，函数f (x)没有极值点；当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.4．解：. (Ⅰ)，解得.(Ⅱ).①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.③当时，，故的单调递增区间是.④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.(Ⅲ)由已知，在上有.由已知，，由(Ⅱ)可知，①当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故.②当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，，，所以，，，综上所述，.5、解：(Ⅰ)直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的定义域为因为，所以，所以a＝1，所以由解得x＞2 ；由解得0＜x＜2所以f(x)得单调增区间是，单调减区间是(Ⅱ)，由解得由解得所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减所以当时，函数f(x)取得最小值因为对于任意成立，所以即可则，由解得；所以a得取值范围是(Ⅲ)依题意得，则由解得x＞1，由解得0＜x＜1所以函数g(x)在区间上有两个零点，所以解得所以b得取值范围是6、解：(1)因为，，则，当时，；当时，．∴在上单调递增；在上单调递减，∴函数在处取得极大值．………3分∵函数在区间(其中)上存在极值，∴解得．(2)不等式，即为，记∴，…9分令，则，∵，∴，∴在上递增，∴，从而，故在上也单调递增，∴，∴．。

导数练习题及答案

导数练习题及答案一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )A．6 B．18C．54 D．81[答案] B[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B.3．y＝x2在x＝1处的导数为( )A．2x B．2C．2＋Δx D．1[答案] B[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2∴ΔyΔx＝2＋Δx当Δx→0时，ΔyΔx→2∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为( ) A．37 B．38C．39 D．40[答案] D[解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率C．f(x)在x0处的导数记为y′D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案] C[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( ) A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)ΔxD．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( )A．4a B．2a＋bC．b D．4a＋b[答案] D[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx ＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (4a＋b＋aΔx)＝4a＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．直线[答案] D[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的.图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( )A．0 B．3C．－2 D．3－2t[答案] B[解析] ∵ΔsΔt＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt＝3－Δt，∴s′(0)＝limΔt→0 ΔsΔt＝3.故应选B.10．设f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于( )A．－1a B.2aC．－1a2 D.1a2[答案] C[解析] limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a＝limx→a a－x(x－a)xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.二、填空题11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.[答案] －11，－112[解析] limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－f′(x0)＝－11；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝－12f′(x0)＝－112.12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy＝1＋Δx＋11＋Δx－1＋11＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx)2Δx＋1，∴ΔyΔx＝ΔxΔx＋1.∴y′|x＝1＝limΔx→0 ΔxΔx＋1＝0.13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．[答案] 2[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)＋4－2a－4Δx＝a，∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.14．已知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→3 2x－3f(x)x－3的值是________．[答案] 8[解析] limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.由于f(3)＝2，上式可化为limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.三、解答题15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．[解析] 由导数定义有f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0 (x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0 Δx(2x0＋Δx)Δx＝2x0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s＝12at2∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)ΔyΔx (2)f′(1)．[解析] (1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－12－3Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0 f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f(x)＝x＋x2 (x≥0)－x－x2 (x<0)Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)＝Δx＋(Δx)2 (Δx>0)－Δx－(Δx)2 (Δx<0)∴limx→0＋ΔyΔx＝limΔx→0＋ (1＋Δx)＝1，limΔx→0－ΔyΔx＝limΔx→0－ (－1－Δx)＝－1，∵limΔx→0－ΔyΔx≠limΔx→0＋ΔyΔx，∴Δx→0时，ΔyΔx无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x →0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)。

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导数练习题含答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】导数练习题班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A．0.40 B．0.41 C．0.43D．0.443．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A． 6 B．18C．54D．815．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )A．3 B．－3C． 2D．－26．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直7．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－2 B．y＝xC．y＝x＋ 2D．y＝－x－28．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )A．4 B．16 C．8D．29．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝ 1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－ 1D．a＝－1，b＝－111．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( )A．0 B．2xC． 6D．912．已知函数f(x)＝1x，则f′(－3)＝( )A． 4 B.19C ．－14D ．－1913．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋3?2B.x 2＋6x x ＋3C.－2xx ＋3?2D.3x 2＋6x x ＋3?2 14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．215．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤18．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞)D ．(1，19．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 20．设x 0为可导函数f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为022．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3C ．4D ．523．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－ 1C ．－1D ．－325．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)26．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．427．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B．－71C ．－15D ．－22 28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末二、填空题1．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________.2．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝________.3．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.4．令f (x )＝x 2·e x ，则f ′(x )等于________．5．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________. 6．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.7．一物体的运动方程是s (t )＝1t，当t ＝3时的瞬时速度为________．8．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.9．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．10．函数y ＝x e x 的最小值为________．11．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料．12．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x ＋10，求：(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x .4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．5．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．导数练习题答案班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数答案：A2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：选 B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A． 4B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx，故选B.4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A． 6B．18C．54D．81解析：选B.ΔsΔt＝3?3＋Δt2－3×32Δt，s′＝li mΔt→0ΔsΔt＝li mΔt→0(18＋3Δt)＝18，故选B.5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )A． 3B．－3C． 2D．－2解析：选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直解析：选 B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．7．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－ 2B．y＝xC．y＝x＋ 2D．y＝－x－2解析：选 A.f′(1)＝li mΔx→0－11＋Δx＋11Δx＝li mΔx→011＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A 处的切线斜率为( )A． 4B．16C．8D．2解析：选C.9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A．(0,0)B．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)故选D.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝ 1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a＝1，b＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 解析：选A.11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9解析：选 C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.12．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( )A ．4B.19C ．－14D ．－19解析：选 D.∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－19.13．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋3?2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋3?2D.3x 2＋6x x ＋3?2解析：选A14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选 B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， ∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2.∴f ′(－1)＝－1.15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0. 18．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，C ．(12，＋∞)D ．(1，＋解析：选 C.∵y′＝8x－1x2＝8x3－1 x2>0，∴x>12.即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．19．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.20．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A22．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.23．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．24．函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2x取极小值时，x的值是( )A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：选 C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：∴x＝－1时取极小值．25．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．26．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0C．2 D．4解析：选C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2. 27．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A．－10 B．－71C．－15 D．－22解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x －3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A．13万件B ．11万件C．9万件D ．7万件解析：选C29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14t4－53t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末B ．0秒C．4秒末D ．0,1,4秒末解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.答案：12．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.答案：33．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.答案：24．令f(x)＝x2·e x，则f′(x)等于________．解析：f′(x)＝(x2)′·e x＋x2·(e x)′＝2x·e x＋x2·e x＝e x(2x＋x2)．答案：e x(2x＋x2)5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.解析：2＝li mΔx→0x＋Δx2＋4?x0＋Δx－x20－4x0Δx＝2x0＋4，∴x0＝－1.答案：－16．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.解析：∵y′＝10x ln10，∴y′|x＝1＝10ln10.答案：10ln107．一物体的运动方程是s(t)＝1t，当t＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s′(t)＝－1t2，∴s′(3)＝－132＝－19.答案：－198．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′(π3)＝12，则a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－b cos x，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －19．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．解析：y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝± 2.当x <－2或x >2时，y ′>0；当－2<x <2时，y ′<0.∴函数在x ＝－2时，取得极大值a ＋4 2.答案：a ＋4210．函数y ＝x e x 的最小值为________．解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e.答案：－1e11．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料．解析：设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x2×x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则高h ＝25664＝4 (dm)．答案：412．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.解析：设矩形的长为x m ，则宽为16－2x2＝(8－x ) m(0<x <8)， ∴S (x )＝x (8－x )＝－x 2＋8x∴S ′(x )＝－2x ＋8，令S ′(x )＝0，则x ＝4，又在(0,8)上只有一个极值点，且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16.答案：16三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x；(2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.解：(1)y′＝6x＋cos x－x sin x.(2)y′＝1＋x－x1＋x2＝11＋x2.(3)y′＝(lg x)′－(e x)′＝1x ln10－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎨⎧y＝x2＋4，y＝x＋10，得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0，∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝limΔx→0x＋Δx2＋4－x2＋4?Δx＝limΔx→0Δx2＋2x·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2x)＝2x.∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝1 2x .解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y′＝1－1 x .令1－1x>0，解得x>1；再令1－1x<0，解得0<x<1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x ＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可知－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－23a，－1×3＝b3，解得⎩⎨⎧a＝－3，b＝－9，∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.由f(－1)＝7，得－1－3＋9＋c＝7，∴c＝2.∴极小值为f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.5．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为283；而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为－4 3 .(2)f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.。

导数复习导数大题练习(含详解答案)

1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。

〔I 〕求函数()f x 单调区间；〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ．〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式；〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕；〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

完整版)导数测试题(含答案)

完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。

3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。

4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。

6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。

8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。

9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。

10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。

11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。

13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。

14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。

15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。

16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。

17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。

18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。

导数高中试题及解析答案

导数高中试题及解析答案1. 计算函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $ 在 $ x = 1 $ 处的导数。

解析：首先，我们需要找到函数 $ f(x) $ 的导数。

根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 $ x = 1 $ 代入 $ f'(x) $ 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的导数为 $ -1 $。

2. 已知函数 $ g(x) = \sin(x) $，求 $ g'(x) $。

解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 $ \sin(x) $ 的导数是$ \cos(x) $。

因此，我们可以直接写出 $ g(x) $ 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 $ g(x) $ 的导数是 $ \cos(x) $。

3. 计算复合函数 $ h(x) = (x^2 - 1)^4 $ 的导数。

解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。

首先，设$ u = x^2 - 1 $，那么 $ h(x) = u^4 $。

对 $ u $ 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 $ h(x) $ 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 $ h(x) $ 的导数是 $ 8x(x^2 - 1)^3 $。

导数考试题型及答案详解

导数考试题型及答案详解一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是：A. 2x + 3B. x^2 + 2C. 2x + 6D. 3x + 2答案：A2. 若f(x) = sin(x)，则f'(π/4)的值是：A. 1B. √2/2C. -1D. -√2/2答案：B二、填空题1. 求函数g(x) = x^3 - 2x^2 + x的导数，g'(x) = __________。

答案：3x^2 - 4x + 12. 若h(x) = cos(x)，求h'(x) = __________。

答案：-sin(x)三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的导数，并求f'(2)的值。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

然后将x = 2代入得到f'(2) = 3 * 2^2 - 12 * 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3。

2. 已知函数y = ln(x)，求y'。

解：根据对数函数的导数公式，y' = 1/x。

四、证明题1. 证明：若函数f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。

证明：根据幂函数的导数公式，对于任意实数n，有f'(x) = n * x^(n-1)。

五、应用题1. 某物体的位移函数为s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5，求该物体在t = 3时的瞬时速度。

解：首先求位移函数的导数s'(t) = 3t^2 - 12t + 9。

然后将t = 3代入得到s'(3) = 3 * 3^2 - 12 * 3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0。

因此，该物体在t = 3时的瞬时速度为0。

六、综合题1. 已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5，求f'(x)，并求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率。

(完整版)导数练习题(含答案)

导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题：1 已知，若，则a 的值等于32()32f x ax x =++(1)4f '-=ABCD1931031631332 已知直线与曲线，则b 的值为1y kx =+3y x ax b =++切于点（1，3）A3B-3C5D-53 函数的导数为2y x a a =+2（）(x-)ABCD 222()x a -223()x a +223()x a -222()x a +4 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为313y x x =+4(1,)3A B C D192913235已知二次函数的导数为，对于任意实数x ，有，则2y ax bx c =++(),(0)0f x f ''>()0f x ≥的最小值为(1)(0)f f 'A3BC 2 D52326 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为()f x 1x =()f x A B2()(1)3(1)f x x x =-+-()2(1)f x x =-CD 2()2(1)f x x =-()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是AB211(1x x x'+=+21(log )ln 2x x '=CD 3(3)3log x x e '=⋅2(cos )2sin x x x x'=-8 曲线在处的切线的倾斜角为32153y x x =-+1x =AB C D6π34π4π3π9 曲线在点处的切线方程为3231y x x =-+(1,1)-A BCD 34y x =-32y x =-+43y x =-+45y x =-10设函数的图像上的点处的切线斜率为k ，若，则函数的sin cos y x x x =+(,)x y ()k g x =()k g x =图像大致为11 一质点的运动方程为，则在一段时间内相应的平均速度为253s t =-[1,1]t +∆ABCD 36t ∆+36t -∆+36t ∆-36t -∆-12 曲线上的点到直线的最短距离是()ln(21)f x x =-230x y -+=ABCD 013 过曲线上的点的切线平行于直线，则切点的坐标为32y x x =+-0P 41y x =-0P A B(0,1)(1,0)-或(1,4)(1,0)--或CD (1,4)(0,2)---或(2,8)(1,0)或14 点P 在曲线上移动，设点P 处切线的倾斜角为，则角的取值范围是323y x x =-+ααABC D [0,]2π3[0,)[,)24πππ 3[,)4ππ3(,]24ππ二、填空题15 设是二次函数，方程有两个相等实根，且，则的表达式()y f x =()0f x =()22f x x '=+()y f x =是______________16 函数的导数为_________________________________2sin x y x=17 已知函数的图像在点处的切线方程是，则_________()y f x =(1,(1))M f 122y x =+(1)(1)f f '+=18 已知直线与曲线有公共点，则k 的最大值为___________________________y kx =ln y x =三、解答题19 求下列函数的导数（1）(2) (3)(4) 1sin 1cos xy x-=+y =y =+tan y x x =⋅20 已知曲线与，直线与都相切，求直线的方程21:C y x =22:(2)C y x =--l 12,C C l 21 设函数，曲线在点处的切线方程为()bf x ax x=-()y f x =(2,(2))f74120x y --=（1）求的解析式()f x（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并()y f x =0x =y x =求此定值。

(完整word版)高二数学导数大题练习详细答案

(完整word 版)高二数学导数大题练习详细答案一、解答题1．已知()()e 1x f x mx m =+<-.(1)当2m =-时，求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-恒成立，求实数m 的范围.2．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围． 3．己知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.4．已知函数()()24e 1xf x x =-+．(1)求()f x 的极值．(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<．5．求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.6．已知函数()1e x axf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 7．已知函数()1ln xf x x+=. (1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当e x ≥时，不等式()ekf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； 8．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值. 9．已知函数()()e x f x x m =+⋅.(1)若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0m =时，若对任意的0x ≥，不等式()2e x ax f x ⋅≤恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当20e <≤a ，且2x >时，()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立，求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)10x y +-=；(2)ln 3⎡-⎣.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可利用斜率求得切点坐标，由此可得切线方程；（2）令()()2213222m g x f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，将问题转化为当0x ≥时，()min 0g x ≥恒成立；①当10m +≥时，由导数可证得()g x 单调递增，由()00g ≥可求得m 范围； ②当10+<m 时，利用零点存在定理可说明存在()00g x '=，并得到()g x 单调性，知()()020min 13e e 022x xg x g x ==-++≥，由此可解得0x 的范围，根据00e x x m -=可求得m 范围. (1)当2m =-时，()e 2x f x x =-，()e 2xf x '=-；令()e 21xf x '=-=-，解得：0x =，∴切点坐标为()0,1，∴所求切线方程为：1y x =-+，即10x y +-=；(2)令()()22221313e 222222x m m g x f x x mx x ⎛⎫=-+-=+--+ ⎪⎝⎭，则原问题转化为：当0x ≥时，()0g x ≥恒成立，即()min 0g x ≥恒成立；()e x g x m x '=+-，()e 1x g x ''=-，则当0x ≥时，()0g x ''≥，()g x '∴在[)0,∞+上单调递增，()()01g x g m ''∴≥=+； ①当10m +≥，即1m ≥-时，()0g x '≥，()g x ∴在[)0,∞+上单调递增，()()2min301022m g x g ∴==-+≥，解得：m ≤≤m ⎡∴∈-⎣； ②当10+<m ，即1m <-时，()00g '<，当x →+∞时，()g x '→+∞；()00,x ∴∃∈+∞，使得()00g x '=，即00e x x m -=，则当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()()()00022022000000min e1313e e e 222222x x x x xm g x g x mx x x x x -∴==+--+=+---+00213e e 022x x =-++≥，解得：01e 3x -≤≤，即0ln 3x ≤，又()00,x ∈+∞，(]00,ln3x ∴∈，令()e xh x x =-，则()1e xh x '=-，∴当(]0,ln3x ∈时，()0h x '<，()h x ∴在(]0,ln3上单调递减，()[)000e ln33,1x h x x ∴=-∈--，即[)ln33,1m ∈--；综上所述：实数m 的取值范围为ln 3⎡-⎣.【点睛】思路点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解，解题基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为()min 0g x ≥，从而利用对含参函数单调性的讨论来确定最小值点，根据最小值得到不等式求得参数范围. 2．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==，所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=，所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥，因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==-⎪⎝⎭33001044，所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =.即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞. 3．(1)22y x =- (2)1-(3)(),1-∞-；证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意，()2ln f x x =，分别求出()1f 和()1f '求解即可；（2）条件等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+求解最大值即可；（3）令()()ln 0xm x x a x x=-->，求出()m x 的单调性，得到()()11max m x m a ==--，根据题意求解a 的范围即可；不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，题设即证明()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，构造()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，求解单调性得到()()10x ϕϕ>=即可求解. (1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =- (2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立，所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立，等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=，令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0xx a x--=，令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=，设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-；再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-，当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x xy x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷，所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==，所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x xϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．4．(1)极小值为71e 12-+，()f x 无极大值； (2)证明见解析﹒ 【解析】【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性，根据单调性即可求其极值； (2)由函数单调性指数函数性质可得x ＜72时，f (x )＜1，设m ＜n ，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时，易证7m n +<；当732m <<时，构造函数()()()7p m f m f m =--，根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-'，由()0f x '=，得72x =．当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 无极大值．(2)由(1)可知，()f x 的极值点为72，f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当x →－∞时，2e 0x →，∴f (x )→1，故当x ＜72时，f (x )＜1.设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，则()()1f m f n =<，则()274e 1142n n n -+<⇒<<． ①当3m ≤时，7m n +<，显然成立．②当732m <<时，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---．设()()()7p m f m f m =--，则()()()214227e em mp m m -=--'．设()2142e e x xh x -=-，73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．∵732m <<，∴270m -<，()0p m '>，则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭，∴()()7f n f m <-．又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴7n m <-，即7m n +<．综上，7m n +<．5．最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性与最值情况. 【详解】由()31443f x x x =-+，得()24f x x '=-令()0f x '=.得2x =±1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x =-舍去，列表如下：()f x ∴的极小值为()23f =-又1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()31f =，所以，()f x 的最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫=⎪⎝⎭. 6．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：()f x 0x (2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=，解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数；当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围. 7．(1)1y = (2)(],4∞- 【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可；（2）分离变量可得()()()e 1ln x x k g x x++≤=，利用导数可求得()()e 4g x g ≥=，由此可得k 的取值范围. (1)()2211ln ln x xf x x x--'==-，()10f '∴=，又()11f =， ()f x ∴在1x =处的切线方程为1y =；当e x ≥时，由()e k f x x ≥+得：()()()()e 1ln e x x k x f x x ++≤+=，令()()()e 1ln x x g x x ++=，则()2eln x x g x x -'=，令()eln h x x x =-，则()ee 1x h x x x-'=-=， ∴当e x ≥时，()0h x '≥，()h x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()e e elne 0h x h ∴≥=-=， ()0g x '∴≥，()g x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()()2e 1ln e e 4eg x g +∴≥==， 4k ∴≤，即实数k 的取值范围为(],4∞-. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决函数中的恒成立问题；解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间关系，即由()a f x ≥得()max a f x ≥；由()a f x ≤得()min a f x ≤.8．(1)答案见解析(2)e π--【解析】【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值；（2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值.(1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0；当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞上单调递减，极值点个数为1.由()()0af x g x +=，得sin 1x x a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤，因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==，令()0h x '=，则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=，所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<，所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->- 所以当)e ,0x a -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．9．(1)(],2-∞- (2)2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出导函数，得到11m --≥，即可求出m 的取值范围；（2）把题意转化为2x ax e ≤，分类讨论：当0x =时，求出R a ∈；当0x >时，转化为2xe a x≤，令2()x e g x x =，利用导数求出min ()g x ，即可求出实数a 的取值范围. (1)因为()()e x f x x m =+⋅，所以()(1)e x f x x m '=++⋅，令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(,1]m -∞--，因为()f x 在(,1]-∞上是减函数，所以11m --≥，即2m ≤-，故m 的取值范围是(],2-∞-；(2)由题知：()e x f x x =⋅，则22e 0,e x x x ax ∀≥⋅≤，即2e x ax ≤，当0x =时，01≤恒成立，则a R ∈，当0x >时，2e x a x≤，令2(e )x g x x =，则2432e e e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅⋅-'==，则当02x <<时，()0g x '<，()g x 递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 递增，故2min e ()(2)4g x g ==，则2e 4a ≤，综上所述，实数a 的取值范围是2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 10．(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）求出()'f x ，然后算出(0),(0)f f '即可；（2）由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立，构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则原不等式等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立，然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，然后得()h x 在()1,+∞上单调递增，然后即可求解. (1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立，即e 1ln(1)ln x bx x b x b a a +-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立. 构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则e e ln 1ln(1)x x b x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ，所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>，则2()e 1x H x -'=-，显然()H x '是增函数，则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增，所以()()20H x H >=，故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增，所以当()1,x ∈+∞时，()10b h x x '=+≥恒成立.所以b x ≥-，所以1b ≥-，即b 的取值范围是[-1，+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.。

完整版)导数大题练习带答案

完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。

Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。

+\infty)$。

Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。

m+3]$ 上的最值。

$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。

m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。

Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。

证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。

2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。

Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。

$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。

高中数学导数大题练习(详细答案)

高中数学导数大题练习(详细答案)1 ．已知函数的图象如图所示．（ I ）求的值；（II ）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；（ III ）在（ II ）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．2 ．已知函数．（ I ）求函数的单调区间；（ II ）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（ 1 ， 3 ）上不是单调函数，求 m 的取值范围．3 ．已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．（ I ）求实数的取值范围；（ II ）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；（ III ）对于（ II ）中的函数，对任意，求证：．4 ．已知常数，为自然对数的底数，函数，．（ I ）写出的单调递增区间，并证明；（ II ）讨论函数在区间上零点的个数．5 ．已知函数．（ I ）当时，求函数的最大值；（ II ）若函数没有零点，求实数的取值范围；6 ．已知是函数的一个极值点（）．（ I ）求实数的值；（ II ）求函数在的最大值和最小值．7 ．已知函数（ I ）当 a=18 时，求函数的单调区间；（ II ）求函数在区间上的最小值．8 ．已知函数在上不具有单调性．（ I ）求实数的取值范围；（ II ）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立．9 ．已知函数（ I ）讨论函数的单调性；（ II ）证明：若10 ．已知函数．（ I ）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；（II ）若，设，求证：当时，不等式成立．11 ．设曲线：（），表示导函数．（ I ）求函数的极值；（ II ）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．12 ．定义，（ I ）令函数，写出函数的定义域；（ II ）令函数的图象为曲线 C ，若存在实数 b 使得曲线 C 在处有斜率为－ 8 的切线，求实数的取值范围；（ III ）当且时，求证．答案1 ．解：函数的导函数为………… （2 分）（ I ）由图可知函数的图象过点（ 0 ， 3 ），且得………… （ 4 分）（ II ）依题意且解得所以………… （ 8 分）（ III ）．可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点；，+ 0 - 0 +增极大值减极小值增．………… （ 10 分）当且仅当时，有三个交点，故而，为所求．………… （ 12 分）2 ．解：（ I ）（ 2 分）当当当 a=1 时，不是单调函数（ 5 分）（ II ）（ 6 分）（ 8 分）（ 10 分）（ 12 分）3 ．解：（ I ）由，因为当时取得极大值，所以，所以；（ II ）由下表：+ 0 - 0 -递增极大值递减极小值递增依题意得：，解得：所以函数的解析式是：（ III ）对任意的实数都有在区间 [-2 ， 2] 有：函数上的最大值与最小值的差等于 81 ，所以． 4 ．解：（ I ），得的单调递增区间是， ………… （ 2分） ∵， ∴， ∴，即． ………… （ 4 分）（ II ），由，得，列表- 0 +单调递减极小值单调递增当时，函数取极小值，无极大值．由（ I ），∵ ，∴ ，∴，………… （ 8 分）（ i ）当，即时，函数在区间不存在零点（ ii ）当，即时若，即时，函数在区间不存在零点若，即时，函数在区间存在一个零点；若，即时，函数在区间存在两个零点；综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．5 ．解：（ I ）当时，定义域为（ 1 ， + ），令，∵ 当，当，∴ 内是增函数，上是减函数∴ 当时，取最大值（ II ）① 当，函数图象与函数图象有公共点，∴ 函数有零点，不合要求；② 当，……………… （ 6 分）令，∵ ，∴ 内是增函数，上是减函数，∴ 的最大值是，∵ 函数没有零点，∴ ，，因此，若函数没有零点，则实数的取值范围6 ．解：（ I ）由可得…… （ 4 分）∵ 是函数的一个极值点，∴∴ ，解得（ II ）由，得在递增，在递增，由，得在在递减∴ 是在的最小值；…………… （ 8 分），∵∴ 在的最大值是．7 ．解：（Ⅰ），2 分由得，解得或注意到，所以函数的单调递增区间是（ 4 ，+∞ ）由得，解得 -2 ＜＜ 4 ，注意到，所以函数的单调递减区间是.综上所述，函数的单调增区间是（ 4 ，+∞ ），单调减区间是 6 分（Ⅱ）在时，所以，设当时，有△=16+4×2 ，此时，所以，在上单调递增，所以 8 分当时，△= ，令，即，解得或；令，即，解得.① 若≥ ，即≥ 时，在区间单调递减，所以.② 若，即时间，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.③ 若≤ ，即≤2 时，在区间单调递增，所以综上所述，当≥2 时，；当时，；当≤ 时， 14 分8 ．解：（ I ），∵ 在上不具有单调性，∴ 在上有正也有负也有 0 ，即二次函数在上有零点……………… （ 4 分）∵ 是对称轴是，开口向上的抛物线，∴的实数的取值范围（ II ）由（ I ），方法 1 ：，∵ ，∴ ，………… （ 8 分）设，在是减函数，在增函数，当时，取最小值∴ 从而，∴ ，函数是增函数，是两个不相等正数，不妨设，则∴ ，∵ ，∴∴ ，即……………… （ 12 分）方法 2 ：、是曲线上任意两相异点，，，……… （ 8 分）设，令，，由，得由得在上是减函数，在上是增函数，在处取极小值，，∴ 所以即9 ．（ 1 ）的定义域为，（ i ）若，则故在单调增加．（ ii ）若单调减少，在（0 ，a-1 ），单调增加．（ iii ）若单调增加．（ II ）考虑函数由由于，从而当时有故，当时，有10 ．解：（ I ），∵ 函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，∴ 当时，恒成立，即恒成立，∴ 在时恒成立，或在时恒成立，∵ ，∴ 或（ II ），∵ 定义域是，，即∴ 在是增函数，在实际减函数，在是增函数∴ 当时，取极大值，当时，取极小值，∵ ，∴设，则，∴ ，∵ ，∴∴ 在是增函数，∴∴ 在也是增函数∴ ，即，而，∴∴ 当时，不等式成立．11 ．解：（ I ），得当变化时，与变化情况如下表：＋0 －单调递增极大值单调递减∴ 当时，取得极大值，没有极小值；（ II ）（方法 1 ）∵ ，∴ ，∴即，设，，是的增函数，∵ ，∴ ；，，是的增函数，∵ ，∴ ，∴ 函数在内有零点，又∵ ，函数在是增函数，∴ 函数在内有唯一零点，命题成立（方法 2 ）∵ ，∴ ，即，，且唯一设，则，再设，，∴∴ 在是增函数∴ ，同理∴ 方程在有解∵ 一次函数在是增函数∴ 方程在有唯一解，命题成立……… （ 12 分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分．12 ．解：（ I ），即得函数的定义域是，（ II ）设曲线处有斜率为－ 8 的切线，又由题设∴ 存在实数 b 使得有解，由① 得代入③ 得，有解，…………………… （ 8 分）方法 1 ：，因为，所以，当时，存在实数，使得曲线 C 在处有斜率为－ 8 的切线……………… （ 10 分）方法 2 ：得，方法 3 ：是的补集，即（ III ）令又令，单调递减. …………………… （ 12 ）分单调递减，，。

导数专项训练及答案

导数专项训练例题讲解【1】导数的几何意义及切线方程1．已知函数()a f x x =在1x =处的导数为2-,则实数a 的值是________.2. 曲线y =3x -x 3上过点A （2,-2）的切线方程为___________________.3. 曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是． 4．若直线y =kx -3与曲线y =2ln x 相切,则实数k =_______.5．已知直线2+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切,则a 的值为 _______. 6. 等比数列{}n a 中,120121,9a a ==,函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+,则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为_____________.7．若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为________. 8. 若点P 、Q 分别在函数y =e x 和函数 y =ln x 的图象上,则P 、Q 两点间的距离的最小值是_____. 9. 已知存在实数a ,满足对任意的实数b ,直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线,则实数a 的取值范围是_________.10. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根,则实数k 的取值范围是_____________. 11. 函数f (x)=ax 2+1(a >0),g (x )=x 3+bx .若曲线y =f (x )与曲线y =g(x )在它们的交点(1, c )处具有公共切线,则c 的值是___________.【2】常见函数的导数及复合函数的导数1．f(x)=2 , 则f ’(2) =______. 2. 设曲线y =ln 1xx +在点(1, 0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝_______.3．函数333()(1)(2)(100)f x x x x =+++在1x =-处的导数值为___________.4. 已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是____________.5. 若函数()1*()n f x x n N +=∈的图像与直线1x =交于点P ，且在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则20131201322013320132012log log log log x x x x ++++的值为．6. 设f 1(x )=cos x ,定义)(1x f n +为)(x f n 的导数,即)(' )(1x f x f n n =+,n ∈N *,若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=,则sin A 的值是______.【3】导数与函数的单调性22x xe e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为______. 2. 已知函数()ln ()f x x a R =∈，若任意12[2,3]x x ∈、且12x x >，t =()2121()f x f x x x --,则实数t的取值范围____________.3. 已知函数f (x )=x 3-6x 2+9x +a 在x R ∈上有三个零点，则实数a 的取值范是．4.设'()f x 和'()g x 分别是f (x )和()g x 的导函数，若'()'()0f x g x ≤在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性相反.若函数f(x)=3123x ax -与g (x )=x 2+2bx 在开区间(a , b )上单调性相反(a >0)，则b -a 的最大值为．【4】导数与函数的极值、最值1. 已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n += ． 2. 已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .3. 已知函数f (x )=x 4+ax 3+2x 2+b ,其中a , b R ∈.若函数f (x )仅在x =0处有极值,则a 的取值范围是______________.4. 设曲线(1)x y ax e =-在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()x e x y --=1在点02(,)B x y 处的切线为2l .若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得12l l ⊥,则实数a 的取值范围为____________.5.已知函数f (x )=e x -1, g(x )= -x 2+4x -3若有f (a )=g (b ),则b 的取值范围为______.6. '()f x 是函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+的导函数，若函数['()]y f f x =在区间[m ，m+1]上单调递减，则实数m 的取值范围是__________. 【解答题】1. 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为()3c c >.设该容器的建造费用为y 千元. (1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r2. 已知函数f （x ）＝2ax －（a ＋2）x ＋ln x .（1）当a ＝1时，求曲线y = f(x )在点(1, f(1))处的切线方程；（2）当a ＞0时，若f (x )在区间[1，e ）上的最小值为－2，求a 的取值范围．3. 已知函数x a x x f ln )()(-=,(0≥a ).(1)当0=a 时,若直线m x y +=2与函数)(x f y =的图象相切,求m 的值; (2)若)(x f 在[]2,1上是单调减函数,求a 的最小值;(3)当[]e x 2,1∈时,e x f ≤)(恒成立,求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).4.已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R ．（1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．5.设函数2()1x f x e x ax =---（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围导数专项练习答案【1】导数的几何意义及切线方程1. 2；2. y =-2或9x +y -16=03.34； 4. 2e ； 5. 3； 6.201232y x =+; 7. 2； 8. 2； 9. 13a < 10. ()0,3e -11. 4【2】常见函数的导数及复合函数的导数 1. e -1e; 2. 12- 3. 3⨯99! 4. 2x -y -1=0； 5. -1 ; 6. 1;【3】导数与函数的单调性1. (0, 1);2. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭; 3. (-4, 0); 4. 12【4】导数与函数的极值、最值1. 11；2. 2ln2-2；3. 88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; 4. 312a ≤≤; 5. []1,3 ; 6.0m ≥[5] 解答题 1. 答案解:(1)由题意可知()23480233r l r l r πππ+=≥,即2804233l r r r =-≥,则02r <≤. 容器的建造费用为2228042346433y rl r c r r r c rππππ⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪⎝⎭, 即2216084y r r c rπππ=-+,定义域为{}02x r <≤. (2)2160168y r rc r πππ'=--+,令0y '=,得3202r c =-.令32022r c ==-,得92c =,①当932c <≤时,32022c ≥-,当02r <≤时,0y '<,函数单调递减,∴当2r =时y有最小值;②当92c >时,32022c <-,当32002r c <<-时,0y '<;当3202r c >-时,0y '>, ∴当3202r c =-时y 有最小值. 综上所述,当932c <≤时,建造费用最小时2r =;当92c >时,建造费用最小时3202r c =-2. 答案()()()()()()()22(2)2ln 0+22110220......5f x ax a x x ax a a f x ax a x x x =-++∞-+-'>=-++=>函数的定义域是，，当时，分()()()()()22212110=0,11..............................................................62ax a x ax f x f x x xx x a -+---''=====⋯⋯⋯令，即所以或分3. 解答4.若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．5. 解答导数专题复习（配详细答案）体型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

高中导数试题题型及答案

高中导数试题题型及答案一、选择题1. 函数 $ y = 3x^2 - 2x + 1 $ 在 $ x = 1 $ 处的导数是：A. 6B. 4C. 5D. 72. 已知 $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $，其中 $ a = 1 $，$ b = -1 $，$ c = 1 $，求 $ f'(x) $：A. $ 3x^2 + 2x - 1 $B. $ 3x^2 + 2x + 1 $C. $ 3x^2 + 2x $D. $ 3x^2 + 1 $二、填空题3. 函数 $ y = x^3 $ 的导数是 ______ 。

答案：$ 3x^2 $4. 如果 $ f(x) = \sin(x) $，那么 $ f'(x) $ 是 ______ 。

答案：$ \cos(x) $三、计算题5. 求函数 $ y = x^4 - 5x^3 + 6x^2 $ 的导数。

答案：$ y' = 4x^3 - 15x^2 + 12x $6. 已知 $ f(x) = \ln(x) + 2x^2 - 3x $，求 $ f'(x) $。

答案：$ f'(x) = \frac{1}{x} + 4x - 3 $四、应用题7. 某物体的位移函数是 $ s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t $，求物体在$ t = 2 $ 秒时的瞬时速度。

答案：首先求导数 $ s'(t) = 6t^2 - 6t + 4 $，然后将 $ t= 2 $ 代入，得到 $ s'(2) = 6 \times 2^2 - 6 \times 2 + 4 =24 - 12 + 4 = 16 $ 米/秒。

8. 某工厂的产量函数是 $ P(x) = 100x - x^2 $，求工厂在 $ x= 10 $ 时的边际产量。

导数大题经典练习及答案

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导数大题专题训练
2g(x)－ax，＝－x1．已知f(x)＝xlnx的取值范围；，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数2，－
a(Ⅰ)对一切x∈(0＞1lnx＋＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＝－(Ⅱ)当a成立．
的单调区垂直，求函数y=f (x)f (1)）处的切线与直线y=x+2P.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点（1，2、已知函数a=1当R）.g (x)=f (x)+x―b（b∈成立，试求间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)a的取值范围；（Ⅲ）记1―.，e]上有两个零点，求实数b的取值范围在区间时，函数g (x)[e
a=0，求函数f (x)[1，e]（Ⅰ）若af (x)=lnx+(x3．设函数－a)，∈R.在2上的最小值；在
上存在单调递增区间，试求实数（Ⅱ）若函数f (x)a的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x)的极值点.
、已知函数.4设，若对任意，均存在，使得，求的)Ⅲ(求的单调区间；)Ⅱ(若曲线在和处的切线互相平行，求的值；)Ⅰ(
取值范围.
5、已知函数
(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围；
(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．
6、已知函数．
(1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围；
(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则，
在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，
即，所以.
(Ⅱ)当，，由得.
①当时，在上，在上
因此，在处取得极小值，也是最小值. .
由于因此，
②当，，因此上单调递增，所以，
……9分
(Ⅲ)证明：问题等价于证明
由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，
设，则，易知，当且仅当时取到，
但从而可知对一切，都有成立.
2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为，所以，所以a=1.所以. .由解得x＞0；由解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（Ⅱ），由解得；由解得.所以f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数f (x)取得最小值，. 因为对于都有成立，
所以即可. 则.由解得.所以a的取值范围是.
（Ⅲ）依题得，则.由解得x＞1；由解得0＜x＜1.所以函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函－1.所以b的取值范围是[e，e]上有两个零点，所以.解得.数.又因为函数在区间，e]上是增函数，∞）. 因为，所以f (x)在[103．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（，+ e]上的最小值为1.所以f (x)在[1，f (x)当x=1时，取得最小值f (1)=1.2注意到抛.
，依题意，在区间上存在子区间使得不等式g (x)＞0成立2ax+1（Ⅱ）解法一：设g (x)=2x―2物线g (x)=2x―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或即可由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得，由，即，得，所以，
所以实数a的取值范围是.
所以.又因为x＞0，依题意得，在区间上存在子区间使不等式2x―2ax+1＞0成立.解法二： . 2，
又因为，小于函数g (x)在区间的最大值设，所以2a 由解得；由解得. .所以函数g (x)在区间上递增，在区间上递减又，，所以，x=2处取得最大值.所以函数g (x)在，或 .所以实数a的取值范围是2―2ax+1 （Ⅲ）因为，令h (x)=2x 没有极值点；＞0，此时函数f (x)+0，∞）上h (x)＞0恒成立，f (x)0①显然，当a≤时，在（ 0a＞时，②当没有极值点；≥0，此时，函数f (x)f (x)h (x)0i（）当Δ≤0，即时，在（，+∞）上≥0恒成立，这时；f (x)＜0，这时＜0h (x)0ii（）当Δ＞时，即时，易知，当时，；0＞f (x)，这时0＞h (x)当或时，
所以，当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.
综上，当时，函数f (x)没有极值点；
当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.
，解得. 4．解：. (Ⅰ) Ⅱ). ( ①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.
②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ③当时，，故的单调递增区间是.
④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 可知，由已知，，由(Ⅱ)(Ⅲ)由已知，在上有. ①当时，在上单调递增，故， .所以，，解得，故 .②当时，在上单调递增，在上单调递减，故由可知，，，所以，，， . 综上所述，＝1，所以f(x)的定义域为因为，所以，所以a函数＝、解：(Ⅰ)直线yx＋2的斜率为1，5得单调增区间是，单调减区间是＜2所以f(x)由解得由解得x＞2 ； 0＜x ，由解得由解得(Ⅱ) 在区间上单调递增，在区间上单调递减所以f(x) 取得最小值所以当时，函数f(x) 因为对于任意成立，所以即可 a得取值范围是则，由解得；所以 )依题意得，则Ⅲ( 在区间上有两个零点，1所以函数g(x)＜，由解得由解得x＞10＜x 所以解得得取值范围是所以b 、解：6(1)因为，，则，当时，；当时，．∴在上单调递增；在上单调递减，分∴函数在处取得极大值．………3．
∵函数在区间(其中)上存在极值，
∴解得．
(2)不等式，即为，
记∴，…9分
令，则，∵，∴，∴在上递增，
∴，从而，故在上也单调递增，
∴，∴．。