位移法要点1位移法的基本未知量是结点位移2位移法
建筑力学(位移法)
第十七章位移法求解超静定结构的两种最基本的方法力法适用性广泛，解题灵活性较大。
（可选用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法电算——矩阵位移法力法位移法力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移基本未知量F PϕBϕB在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B 只发生角位移ϕB 。
由于结点B 是一刚结点，故汇交于结点B 的两杆的杆端在变形后将发生与结点相同的角位移。
位移法计算时就是以这样的结点角位移作为基本未知量的。
第一节位移法的基本概念BAClhEI 1EI 2首先，附加一个约束使结点B 不能转动，此时结构变为两个单跨超静定梁。
称为位移法的基本结构。
在荷载作用下，可用力法求得两根杆的弯矩图。
由于附加约束阻止结点B 的转动，故在附加约束上会产生一个约束力矩1631l F F P P -=C BAF P316Fl 532FlCAB然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附加约束以恢复ϕB 。
两个单跨超静梁在B 端有角位移时的弯矩图，同样可由力法求得。
此时在附加约束上产生约束力矩Bh EI lEI F ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=211143ϕB ϕBBA CB lEI ϕ13B h EI ϕ24B hEI ϕ22F PBAC求基本未知量,可分两步完成：1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）转动附加约束使结点产生角位移ϕB ，使结构发生与原结构一致的结点位移。
ϕBϕB附加刚臂经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为F 11和F 1P 之和。
由于结构无论是变形，还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B 处无附加约束，亦无约束力矩，故有F 11+F 1P ＝001634321=-⎪⎭⎫⎝⎛+Fl h EI lEI B ϕ解方程可得出ϕB 。
位移法典型方程将求出后ϕB ，代回图22-1c ，将所得的结果再与图22-1b 叠加，即得原结构（图22-1a ）的解。
03-讲义：8.3 位移法的基本未知量和基本结构
第三节 位移法的基本未知量和基本结构一、位移法基本未知量的确定位移法的基本未知量是结点位移，其计算单元是单跨超静定等截面直杆（或直梁）。
如果结构上每根杆件的杆端位移已求出，则全部杆件的内力即可由转角位移方程确定。
结点位移包括结点角位移和结点线位移。
下面讨论如何确定结点位移个数。
1、独立的结点角位移图8-6(a)所示刚架在荷载作用下将产生如虚线所示的变形。
固定端A 的转角位移和线位移均为零。
刚结点B 是自由刚结点，可以转动。
根据变形连续条件可知，刚结点B 处只有1个独立的结点角位移B θ。
若忽略杆件AB 、BC 的轴向变形，刚结点B 处没有线位移。
结点C 是铰结点，设C 处转角为C θ，由0CB M =可知C θ不独立，可以不作为位移法基本未知量。
所以该刚架用位移法进行求解时，基本未知量是刚结点B 处的角位移B θ。
当结构中存在组合结点时，因组合结点既有刚性连接部分又有铰接部分，此时仍需把刚接部分的角位移计入位移法基本未知量。
另外，对有阶形杆变截面处的转角，或抗转动弹簧支座处的转角，均应计入独立角位移的数目。
因此，图8-6(b)所示刚架中独立的结点角位移数目是4，它们分别是变截面G 处的转角1∆、组合结点E 处的转角2∆、刚结点F 处的转角3∆以及抗转弹性支座C 处的转角4∆。
综上所述，独立的结点角位移数目等于刚结点（包括组合结点、弹性抗转弹簧）的数目。
图8-6 独立结点角位移的确定2、独立的结点线位移一般情况下，平面坐标系中每个结点均可能有水平线位移和竖向线位移。
但根据前述假设（忽略杆件轴向变形）可知，受弯杆件的两端距离在变形后保持不变，这样导致某些线位移为零或互等，从而减少了独立的结点线位移数目。
如图8-7(a)所示排架结构，支座A 、B 、C 为固定端，AD 、BE 和CF 杆长不变，故结点D 、E 和F 均没有竖向位移。
结点D 、E 和F 虽有水平位移，但由于杆DE 、杆EF 的长度不变，所以这些水平线位移应相等。
位移法的基本未知量
①
A
③
B
C
F
I
C
F
②
I
b)
“铰化结点” D
A B E
d)
G H A
基本未知量
Z1 Z7 Z2 B C D E Z3 G Z4 H I Z6 Z5
C
F
I
F
n = ny+nl = 4+3 =7
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4、两点说明
(1)当刚架中有需要考虑轴向变形（EA ）的二力杆时
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1
1 B
1
FP A D
D
Z2
C B
Z3 C
B
C
C
A D Z1
B
2
F E
G
Z4
G
F E
G
nY= 4
A Z6 D F E
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Z5 B C
G
3、结点独立线位移数
(1)简化条件
不考虑由于轴向变形引起的杆件的伸缩（同力法 ）， 也不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近。 因此，可认为这样的受弯直杆两端之间的距离在变 形后仍保持不变，且结点线位移的弧线可用垂直于 杆件的切线来代替。
8.3 位移法的基本未知量
一、位移法的基本未知量 位移法选取结点的独立位移，包括结点的独立角位移 和独立线位移，作为其基本未知量，并用广义位移符 号Zi表示。 二、确定位移法的基本未知量的数目 1、位移法基本未知量的总数目 位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独 立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之 和，即 n n y nl
位移法基本概念
基本概念
F
A
B
C
D
E
BV
CV
D
E
G
解：由图可见，只有AB杆及CD杆有杆端相对侧移 -ΔBV 及ΔCV 。E端为弹簧铰，所以，刚结点有D和E。但是，因为CD杆旳刚 度无限大，ΔCV与D结点旳转角有关。
所以，构造有三个位移法变量：θE 、ΔBV 、ΔCV （或D结点 转角θD）
基本思绪
基本概念
三、位移法旳基本思绪---------先修改，后复原。
[举例]
基本概念
例题6
B
A
B
C
A
D
解：三根杆件，A支座为弹簧铰，有约束能力，也可产生转角， 但不可发生水平及竖向位移。C支座有约束能力，但可产生竖向 位移。
所以，位移法变量有：A、B处旳转角θA及θB ，C处旳竖向 位移Δ，共三个位移法变量。 BC杆有侧移Δ，D处无转角，C截面旳转角不作为位移法变量。
C
B
B
A 1．位移法变量：θB 2．修改旳措施
基本思绪
基本概念
1)在B结点附加刚臂，设想刚臂旳作用只是阻止结点B旳转动， 各杆旳弯矩不能相互传递。
2)求杆端弯矩。因为各杆旳弯矩不能相互 传递。所以AB杆与BC杆旳弯矩可独自求 解。即，对弯矩而言，BC杆等价于一端 固定，另一端铰支旳超静定杆；而AB杆
[举例]
基本概念
例题8 D
E
EI
F
EI
D
E
EI
EI1 EI
A B
C
F
F
解：①这是具有无限刚性杆旳构造，BD杆没有变形，只有刚体 侧移，设弦转角为θ。则因为结点E刚结点旳特征，三杆端在E 点保持相同旳转角，从而，结点E旳转角也为θ ②由结点E旳侧移方向垂直BE杆轴线，所以，ΔD =ΔE =ΔF =ΔH 与θ有关，不是独立旳变量。 ③至于弹簧支座，对变形没有影响，只与构造旳受力有关。
《结构力学》课程考试考前辅导资料
《结构力学》课程考试考前辅导资料一、考试题型介绍本次考试总共分为四个大题：(一)单项选择题，共10题，每题3分，共30分；(二)名词解释题，共5题，每题3分，共15分；(三)简答题，共4题，每题10分，共40分；(四)计算题，共1题，共15分；试卷中有注明本科和专科不同层次学生所做题目，请仔细阅读题目，不要盲目做题。
二、参考教材《结构力学Ⅰ》基本教程（第2版），龙驭球、包世华主编，高等教育出版社三、主要知识点及相关例题1.基本概念（1）自由度：是指体系远动时所具有的独立运动方式数目，也就是体系运动时可以独立变化的几何参数数目，或者说确定体系位置所需的独立坐标数目。
（2）刚片：在机动分析中，由于不考虑材料的变形，因此可以把一根杆件或已知是几何不变的部分看作是一个刚体，在平面体系中又将刚体称为刚片。
二维刚片有三个自由度。
（3）约束：限制运动的装置称为约束（或联系），体系的自由度可因加入约束而减少，能减少一个自由度的装置称为一个约束。
（4）虚铰：联结两个刚片的两根链杆的作用相当于在其交点处的一个单铰，不过这个铰的位置是随着链杆的转动而改变的，这种铰称为虚铰。
（5）几何不变体系：在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形状是不会改变的体系叫做几何不变体系。
（6）几何可变体系：即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用下，也会发生机械运动而不能保持原有的几何形状和位置，这样的体系称为几何可变体系。
（7）瞬变体系：原为几何可变体系，经微小位移后即转化为几何不变的体系，称为瞬变体系。
（8）常变体系：经微小位移后仍能继续发生刚体运动的几何可变体系称为常变体系。
（9）结点法：为了求得桁架各杆的内力，可以截取桁架的一部分为隔离体，由隔离体的平衡件来计算所求的内力，若所取隔离体只包括一个节点，称为结点法。
（10）截面法：为了求得桁架各杆的内力，可以截取桁架的一部分为隔离体，由隔离体的平衡件来计算所求的内力，若所取隔离体不止包含一个结点，称为截面法（11）零杆：桁架中内力为零的杆件称为零杆。
11第十一章 位移法
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:
位移法(结构力学).
k12=－1.5i Δ2 i/16 k21 =15 乘 M2
0.75i
k2
1.5i
F1 k11 1 k12 2 F1P 0 F2 k21 1 k22 2 F2 P 0
k22 F 21 2P
3 i 0 16
0 6i 0
3i 6i ql 1. 56 i 4 24
2i 4i 4i
M图
1
4i
i
2i
M 2图
3i
2i
（3）计算系数项
EI 设 i l
k11 4i 4i 8i k21 2i
k22 4i 3i i 8i k12 2i
(4)计算自由项
ql2 F1P 2 3ql 2 3ql 2 3ql 2 F2 P 8 16 16
1 2i 4i M
QBA
MBA<0
M AB 4i,
i=EI/l
M BA 2i
Δ
MBA
由单位杆端位移引起的形常数
单跨超静定梁简图
A A
MAB
B B
MBA
QAB= QBA
θ=1
4i 1
6i l
2i
6i l
6i
l
12i
l2
A
θ=1
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
M AB
2i AB Z1
3 Pl 56
M BA
4i AB Z1
3Pl 28
M BC
3iBC
Z1
3Pl 16
3Pl 28
MCB 0
（五）作M图：
3Pl
28
P
A
C
3Pl
B
56
M 图 (kN m) 11Pl 56
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
一、基本思路
位移法通过引入附加约束，把原 超静定结构转化为若干单跨梁的组合 体，从而把复杂结构的计算问题转化 为简单杆件的分析和综合问题。
B
M BC
M BA
为了区别弯矩转向和力的方向， 在Z1方向上带两道竖杠，以表示 它是转角位移。
平衡条件
MB 0
RB 0
即，RB M BC M BA 0
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
一、基本思路
（三）列方程求Z1：
平衡条件
M BA M BC 0
Z1 P
列等截面直杆转角位移方程：
（一）n1：表示刚结点数目：
注意： 1.包含组合结点；
2.不包含与EI=∞杆刚结的结点。
EI
Z1
Z2
EA
n1=2
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
2、位移法基本未知量数目 （二）n2：独立的结点线位移数目：
认为变形前后杆件两端距离保持不变
n2：由不动点原理来确定； 不动点：无线位移的点。
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
二、位移法基本概念： （一）基本结构：
在原结构上增加一些附加约束（刚臂、支座
链杆），以使原结构变成若干单跨超静定梁的组 合体。该组合体称为位移法基本结构。
位移法基本概念汇总
一端固定、一端简支
M AB
Δ AB 3iθ A 3i MF AB L
3iθ A Δ AB F F 3i F QAB QAB 2 L L 3iθ A Δ AB F F 3i F QBA QBA 2 L L
一端固定、一端定向
F M i θ M AB A AB F M i θ M A BA BA
6i 4i 2i F M AB L θ M A AB 6i F M 2i 4i θ M BA B BA L F F F Δ QAB 6i 6i 12i AB QAB L 2 L L
§8-1
1. 位移法的简例
位移法基本概念
可见位移法的要点
拆 搭
（变形协调条件）
结构拆成杆件，得杆件的刚度方程 基本方程
（静力平衡条件） 杆件组成结构，进行整体分析，得出
基本未知量： 结点位移 基本位移法方程： 隔离体平衡条件
2. 位移法计算刚架的基本思路
如图a 所示的刚架，在荷载的作用下发生变形，杆件AB、BC 在结点B 处有相同的转角θ，称为结点B 的角位移。 将整个刚架分解为AB、BC 杆件，则AB 杆件相当于两端固定 的单跨粱，固定端B发生一转角θ( 图b )，BC 杆相当于一端 固定另一端铰支的单跨粱，受荷载作用，同时在 B 端发生角位 移( 图c )。 如果能够求出角位移，则能够计算出杆件的内力，问题的 关键是求结点的角位移。
Δ AB F M 4i θ 2i θ 6i M A B AB AB L Δ AB F M 2i θ 4i θ 6i M BA A B BA L
位移法
杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是 位移法基本方程的基础．因此位移法也叫做刚度法。
位移法的思想主要有两点：
第一，将结构拆开，分析各根杆件的受力情况，用 杆端位移表示各杆件的杆端力； 第二，将各杆件联结起来组成结构，利用变形谐调 条件和平衡条件，建立求解结点位移的方程。 求出结点位移后，再利用转角位移方程求出 杆端力，进而绘制内力图。
位移法的基本方法
平衡方程法和典型方程方法。 平衡方程法：“先拆后搭” 平衡方程法力学概念非常清楚，但 不能象力法那样以统一的形式给出 位移法方程。我们将讨论位移法的 第二种思想 –– 典型方程法。 典型方程法：“先锁后松”
等截面杆件刚 度方程 等截面单跨超 静定梁杆端弯 矩和剪力表
例题详解
如图 (a) 所示刚架，柱的线刚度为 i ，梁的线刚度为 2 i 。 基本未知量为刚结点B的转角θB和柱顶的水平位移Δ， 如图(b)所示。
A BA BA AB
对于柱CD： 1 M 0 ,Q M 4
D CD
DC
这样就有：
M AB M BA M DC 24 0
即
6i B 3.75i 24 0
（2 ）
联立（1）、（2）两式就可算得：
1 1 B 0.737 ， 7.58 i i
F2 P 6kN .
(2) 基本体系在单位转角△1＝1作用下的计算。 当结点 B 转角△ 1 ＝ 1 时，分别求各杆的杆端弯矩，作 出弯矩图( M 1 图)，如图a、b、c所示。
11 4i 3 2i 10i
21 1.5i
(3) 基本体系在单位水平位移△2＝1 , 2 7.58 i i
利用下列叠加公式作刚架的M图：
第6 章位移法汇总
1
2 D B
P
A F11 发生位移Δ1 C D B
基本体系
F2P
F12 F21
C
发生位移Δ2 D F22
P
A B
＋
A B
＋
A B
F11 ＋ F12 ＋F1P = 0 F21 ＋ F22 ＋F2P = 0
k11 Δ 1 ＋ k12 Δ 2 ＋F1P = 0 k21 Δ 1 ＋ k22 Δ 2 ＋F2P = 0
附加刚臂
F1P
P
C
A φA
A
P φA
C
A
P
C
L/2
B
F11 A Δ1 = φA
B C
忽略轴向变形和剪切变形的影响， 在微弯状态下，假定受弯直杆两端之 间距离在变形前后保持不变，故结点 A只有转角位移。这就是位移法的基 本未知量。 附加刚臂的作用：只限制结点的转 动不限制结点的线位移。
B
F11 ＋ F1P = 0
1、一个基本未知量（见前面）
k11 Δ1 ＋ F1P = 0 式中：k11 为基本结构在单位位移Δ1=1单独作用时其 附加约束中的约束力矩； F1P 为基本结构在荷载单独作用时其附加约束中 的约束力矩；
2、二个基本未知量 基本未知量：结点C的 转角Δ1和结点D的水平 位移Δ2
F1P C D C
D
C
系数和自由项的物理意义见教材189页（必须理解！）
3、多个基本未知量 k11 Δ 1 ＋ k12 Δ 2 ＋··· ＋ k1n Δ n ＋F1P = 0 k21 Δ 1 ＋ k22 Δ 2 ＋··· ＋ k2n Δ n ＋F2P = 0 ························· kn1 Δ 1 ＋ kn2 Δ 2 ＋··· ＋ knn Δ n ＋FnP = 0 kij 称为刚度影响系数，它的物理意义见教材189页 kij = kji
位移法要点1位移法的基本未知量是结点位移2位移法
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m 25kN.m
32kN
A
D
4m
4m
4）解方程，求结点位移。
5）将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。 6）校核 （平衡条件）
2m
2EI 2
EI 1
2m
B
EI i=1
C
EI 1
E
§7-6
对称结构的计算
对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：
与对称轴重合的杆弯矩=0，剪力=0。
*§7-7
支座移动和温度改变时的计算
1、支座移动时的计算
基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是固端 力一项不同。
1.5i
A
i B
l
i
M图
C
l
l
M BA 3iq B = 1.5i l M BC 3iq B 3i = 1.5i l l
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ=1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ=1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
直接平衡法的计算步骤：
1）确定位移法的基本未知量。
（铰结点、 铰支座的转角， 定向支座的侧移 不作为基本未知量）。 2）由转角位移方程列杆端弯 矩表达式。 3）由平衡条件列位移法方程。
l
升温T°C
l L
l
C
l
l
Δ=αTL M=－3iΔ/h
l
l
l
l
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
结构力学第8章
(h)
1 1 ∆ AB ′ θ A = θ A +θ ′′ = M AB − MBA + 3i 6i l (c) 1 1 ∆ AB ′ θ B = θ B +θ ′′ = − M AB + MBA + 6i 3i l
(2) B端为定向支承，如图(d)所示。 B端为定向支承 如图(d)所示。 端为定向支承， (d)所示
1. 位移法的基本未知量的数目(至少要求出多少个位 位移法的基本未知量的数目( 移未知量) 移未知量) 2. 单跨超静定梁分析 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 3. 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。
在本节中，我们讨论第一个问题， 在本节中，我们讨论第一个问题，位移法的基本未 知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题， 知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题， 后面讨论。 后面讨论。 为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁， 为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁，可以在原 刚架的结点上引入某些附加约束 刚架的结点上引入某些附加约束 如：附加的刚臂（阻止结点转动的约束） 附加的刚臂（阻止结点转动的约束） 附加链杆（阻止结点线位移的约束） 附加链杆（阻止结点线位移的约束） 引入附加的刚臂 附加链杆后 使得结构的结点 附加的刚臂或 结点变 引入附加的刚臂或附加链杆后，使得结构的结点变 固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。 成固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。所得的 结构即为位移法计算时的基本结构 位移法计算时的基本结构。 结构即为位移法计算时的基本结构。 而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为 独立的基本未知量数目 而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为 基本结构时， 附加的刚臂和附加链杆数目之和 数目之和。 基本结构时，所附加的刚臂和附加链杆数目之和。这样 在确定了基本结构的同时， ，在确定了基本结构的同时，也就确定了位移法的基本 未知量的数目。 未知量的数目。如：
位移法 结构力学知识点概念讲解
位移法1.概述力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。
力法在19世纪末就已经应用于各种超静定结构的分析。
随后，由于钢筋混凝土结构的出现，大量高次超静定刚架逐渐增多，如果仍用力法计算将十分麻烦。
于是20世纪初又在力法的基础上建立了位移法。
力法的基本思路是先解除超静定结构上的多余约束，代之以多余未知力，以多余未知力为基本未知量，一般取静定结构为基本结构进行计算。
利用位移协调条件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后进一步求出结构的内力。
位移法的基本思路和力法相反。
位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以单跨超静定梁为计算的基本单元。
先设法确定出单根杆件的杆端内力，用杆端位移来表示，这些杆端位移应与其所在结点的其他杆端位移相协调。
然后用力的平衡条件建立位移法基本方程，确定出未知的结点位移,从而进一步求出整个结构的内力。
为了说明位移法的基本概念，我们来分析图1a所示的刚架位移。
（a）原结构（b）基本结构图1在荷载作用下，刚架产生的变形如途中虚线所示，设结点B 的转角为1∆，根据变形协调条件可知，汇交于结点B 的BA 杆、BC 杆两杆端也该有同样的转角1∆。
为了简化计算，在受弯杆件中，忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响，假设弯曲变形很小，因此可以假定结构变形后受弯杆件的两端之间的距离不变。
根据这些假定，B 结点就只有角位移没有线位移。
这样1b B 我们将第一步和第二步的结果叠加，得到的基本结构的变形和原结构一致。
我们注意到原结构在B 点并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，所以可得11F ＋P F 1＝0 （1）这里的11F 是基本结构在B 点发生转角1∆时，产生在附加刚臂中的反力矩。
用11k 来表示基本结构在B 点处发生单位转角1∆＝1时，产生在附加刚臂中的反力矩，则式（1）可以写成01111=+∆P F k （2）式(2)我们称为位移法基本方程。
11k 、P F 1我们可以用上一章学习的力法确定，然后我们可求出1∆，进而求出原结构的全部内力。
位移法的基本未知量和基本结构
位移法\位移法的基本未知量和基本结构 例如图a所示结构，铰化结点后增加一根链杆可变为几何不
变体系(图b)，所以结点独立线位移的数目为一，整个结构基本 未知量的数目为三。
目录
位移法\位移法的基本未知量和基本结构 需要指出，当要考虑一杆件的轴向变形时，结点的独立线
位移数目要根据具体情况来判断。例如图c所示刚架，当要考 虑杆CD的轴向变形时，点C和点D的水平位移一般不相等，所 以结构的独立结点线位移数目为二。
其基本结构如图b所示。
(a)原结构
(b)基本结结构构
目录
位移法\位移法的基本未知量和基本结构
最后需要注意：力法中的基本结构是从原结构中拆除多余 约束而代之以多余未知力的静定结构。而位移法的基本结构 是在原结构上增加约束构成一系列单跨超静定梁的组合体。 虽然它们的形式不同，但都是原结构的代表，其受力和变形 和原结构是一致的。
在两根竖杆弯曲变形的影响下，结点A和B将发生一相同的水平
位移，在刚结点A处附加刚臂，在结点A处或B处附加一水平支
座链杆，以阻止结点A、B的水平位移。
基本结构如图b所示
A
B
Z1
A
B
Z2
q q
(a)原结构
(b)基本结构
目录
位移法\位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架有四个刚结点A、B、D、E和一个铰结点C，在四 根竖杆弯曲变形的影响下，五个结点将产生一相同的水平位移。 此外还应注意，在水平杆件BC和CD的弯曲变形影响下，结点C还 将产生竖向位移。因此要形成基本结构，需要在刚结点A、B、D、 E处附加刚臂，在结点E处附加一水平支座链杆，以阻止各结点的 水平位移，在结点C处附加一竖向支座链杆，以阻止该结点的竖 向位移。
位移法的基本未知量
位移法的基本未知量
位移法的基本未知量是（结点位移）。
扩展资料：
1、位移法是解决超静定结构最基本的计算方法，计算时与结构
超静定次数关系不大，相较于力法及力矩分配法，其计算过程更加简单，计算结果更加精确，应用的范围也更加广泛，可以应用于有侧移刚架结构的计算。
此外，对于结构较为特殊的体系，应用位移法可以很方便地得出弯矩图的形状，位移法不仅适用于超静定结构内力计算，也适用于静定结构内力计算，所以学习和掌握位移法是非常有必要的。
2、位移法的基本原理，是以在小变形的基础的结构体系中，内
力是可以叠加的，位移也是可以叠加的。
结构中的受力、变形是可以分阶段、分次发生的，分阶段、分次发生的受力、变形是可以线性叠加的，叠加的结果与这些力、变形同时发生的结构所产生的内力、变形是相同的。
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ΔAB= 60α ΔBC= －80α
B 10oC C 10oC
B 20oC C 20oC
6m
A 中面温差
DA
6m
D
壁面温差
mAB=mBA
6EI H2
A
B
22.5E
I
mBC=mCB
6EI l2
BC
13.3EI
4m
20oC 20oC 0oC 0 oC
49－.7mAB=mBA － mBMC=图m×CBαEI
（铰结点、
B Ei=I 1 C 32kN
E1I E
铰支座的转角，
22EI
E1I
定向支座的侧移
A
D
不作为基本未知量）。
4m
4m
2）由转角位移方程列杆端弯
矩表达式。
3）由平衡条件列位移法方程。
4）解方程，求结点位移。
5）将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。
6）校核 （平衡条件）
§7-6 对称结构的计算
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m 12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
4m
8
4
8
↓↓↓↓↓↓↓↓
M对称
20
20
A
C
EI
EI 等代结构
B
4m
M BA 2iq A 16 =－20kN.m M AB 4iq A 16 =8kN.m M AC 4iq A =－8kN.m M CA 2iq A =－4kN.m
例：图示结构各杆尺寸相同，截面高度h=0.6m。作弯矩图。
30oC
30oC
30oC
4m
30oC
30oC
10oC
6m
10oC
6m
10oC
6m
10oC 10oC 10oC 10oC 20oC
20oC 0oC 0oC
在杆件中面温差作用下： AB柱缩短αt0 l=40α CD柱伸长αt0 l=40α BC梁缩短αt0 l=60α
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
－i
QAB= QBA
6i l
12i l2
3i l 3i
l2
0
2m 2m
直接平衡法的计算步骤：
12kN/m 25kN.m
1）确定位移法的基本未知量。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
3 2
F1P
1
q
l
பைடு நூலகம்
2
6 2
k11 4iAB
iBE
MP
k11 Δ 1 + F1P = 0
PB
E 反弯点
2iAB M1 Z3 B
Δ1
A
D
A
A
l/2
2、偶数跨
q
(1)对称荷载
C
q
C
(2)反对称荷载 P
N=0 I
M= Q= 0 PP
反弯点 P
II 22
P
P
+ I
I
2
2
无限短跨 P
I 2
20
20
72
72
C
i
i
l
l
M反=0
2、温度改变时的计算
固端弯矩
•杆件内外温差产生的“固端弯矩” •温变产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使
杆端产生相对横向侧移产生的 “固端弯矩”
C
h h
l
l
l
l
l
升温T°C
L
C
Δ=αTL
M=－3iΔ/h
l
l
l
l
对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移, 立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移Δ
72
X 0
11 1
1P
11
1 EI
43 3
43
256 3EI
964 512
4
1P 3EI
EI
X 1P 6
1 11
4 4
M1
4
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
4m
EI
EI
EI
等代结构
4m
MP
X1 =1 96
↓↓↓↓↓↓↓↓
M对称
M反对称
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
24 24
8
4
8
24
4m 52
4m
92
(kN.m)
E4I8 M图
2EI
EI
24kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
4m
EI
EI
32
4
16
24
24
24
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
M反对称
72
E E
It 66.7EI Ih8t 1.686.7EI
h
杆端弯矩为
6m
6m
86.5
B 20oC C 20oC
6m
A
D
M 2 EIq (22.566.7)EI 0.5EIq 89.4EI =－86.5αEI
AB
4B
B
M 4 EIq (22.566.7)EI EIq 44.2EI =49.6αEI
BA
对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：
I2
I1
I1
M
Q
N
对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：
P
P
M
Q
N
利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。
1、单数跨
(1)对称荷载 qE
B Δ1
A
iBE
EI l/2
l/2
(2)反对称荷载
PΔ3
B
E
Δ1
P
C Δ2
1
q
l
2
基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是固端
力一项不同。
A i
l
1.5i l
M图
B
C
i
l
Δ
M 3iq = 1.5i
BA
B
M
BC
3iq
B
3i
l
=
l 1.5i
l
M BA M BC 0
6iq
B
3i
l
0
q
B 2l
Δ
A
B
C
i
i
l
l
1.5i
l
A
B
C
i
i
l
l
Δ/2
Δ/2
Δ/2
Δ/2
A
B
4B
B
M 4 EIq (13.366.7)EI 0.67EIq 53.3EI =－49.7αEI
BC
6B
B
M 2 EIq (13.366.7)EI 0.33EIq 80.0EI =81.8αEI
CB
6B
B
M M M 0
BA
BC
1.67EIq B 9.1EI 0
q 5.4 B
M AC 4q A =8kN.m
M
CA
2q A
=4kN.m
1荷）载斜作梁用（时静，定M其或A弯超矩M静图A定B与）M同受水AC竖平向0跨
度同荷载的8q水A平1梁6 弯0矩图相同。 2与）对对称称轴结重q构合A 在的2对杆称弯荷矩载=作0，用剪下力，
=0。
*§7-7 支座移动和温度改变时的计算
1、支座移动时的计算
M A M AB M AC 0
8iq A 160 q 2
Ai
12202k0N/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
8
8
M图 4I(kN.m)
4I
4I
4 4m
4 4m
4m 3m
B
A
i=1 C
4m
A MAB
MAC
M
AB
4q A
12×42 12
4q A
16
=－8kN.m
M BA 2q A 16 =20kN.m