第二节 中心极限定理

i 1
n
1 n 1 n P X i E ( X i ) 0. n i 1 n i 1 n
由此考虑利用标准化因子
Yn
X
i 1
i
E ( X i )
i 1 n
n
D( X i )
i 1
一、中心极限定理的意义
EYn E
X
i 1
n
i
E ( X i )
大数定律与中心极限定理
第二节 中心极限定理
一、中心极限定理的意义
在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和)影响所形成的.
例如，炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许 多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等） 综合影响的. 每个随机因素对弹着点（随机变量和） 所起的作用都是很小的. 那么弹着点服从怎样分布？
n Xi lim P i 1 x ( x ) n n
1 n 令X X i n i 1
X N ( , ) n
2
X

N (0,1)
n
三、勒维中心极限定理
三、勒维中心极限定理
例1 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中 目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率. 解：设Xi -第i次轰炸命中目标的炸弹数，i=1,2, …,100 则100次轰炸命中目标的炸弹总数为 X X i
i 1 i 1
n
n
一、中心极限定理的意义
所以，欲求随机变量 X X i 的分布，先求
i 1 n
标准化因子Yn
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
Байду номын сангаас
的分布情况.
D( X i )
i 1
讨论Yn的极限分布是否为标准正态分布.
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态 分布这一类定理都叫做中心极限定理.
n X i n lim P i 1 x n n 2
1 2

x
e
t2 2
dt ( x )
三、勒维中心极限定理
三、勒维中心极限定理
勒维定理的另外一种表现形式:
1 n 1 n X i E( X i ) n i 1 n i 1 lim P n n 1 D( X i ) n i 1 1 n 1 n X i EX i n i 1 n i 1 x lim P x n 1 n DX i 2 n i 1
i 1 100
依题意， E ( X ) E ( X i ) E ( X i ) 200
i 1 i 1
100
100
D( X ) D( X i ) D( X i ) 169
i 1 i 1
100
100
三、勒维中心极限定理
例1 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中 目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率.
三、勒维中心极限定理
对于勒维中心极限定理中的随机变量序列，将 其约束条件改为独立同0-1分布，即
X i B(1, p),
X
i 1
n
i
nA , EX i p, DX i pq, i 1, 2, n
n n X i E ( X i ) nA np i 1 i 1 lim P x lim P x n n n npq D ( X ) i i 1 ( x ) 拉普拉斯 中心极限定理

1 2

x
e
t2 2
dt ( x )
二、李雅普诺夫中心极限定理
注意：
Xi
i 1
n
近似
2 N ( ， ~ i i) i 1 i 1
n
n
X
i 1 i i 1 2 i i 1 n
n
n
i 近似
1) ~ N (0，
二、李雅普诺夫中心极限定理
一、中心极限定理的意义
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.
高 斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响所起的作用不大，则这种随机变量一般都服从 或近似服从正态分布.
一、中心极限定理的意义
如果将研究对象的整体设为X，影响因素为X i， 根据因素间独立与共同作用的本质属性，可以得出 X Xi .
i 1 n
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题.
当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 在什么条件下极限分布会是正态的呢？
一、中心极限定理的意义
由于 lim X i ，单纯研究 X i 并无实际意义.
n i 1 i 1 n n
于是引入E X i，而根据大数定律可知
三、勒维中心极限定理
例2 计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则. 为简单计，现从小数点后第一位进行舍入运算，设
1 1 误差 X U [ , ] . 若一项计算中进行了100次数字运 2 2 3 3
算，求平均误差落入 [
解： 设Xi -第i次运算中产生的误差，i=1,2, …,100
1 1 则诸Xi 独立，服从 X U [ , ] ， 2 2 1 100 Xi 100次运算的平均误差为 X 100 i 1
i 1 n
n

1 D( X i )
i 1 n
D( X i )
i 1
[ E ( X i ) E ( X i )] 0
i 1 i 1
n
n
DYn D
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n

1 D( X i )
i 1 n
D( X i )
i 1
D[ X i E ( X i )] 1
由中心极限定理,
于是，
X 200 近似 169
~ N (0,1)
P (180 X 220) P (
180 200 X 200 220 200 ) 13 13 13 20 X 200 20 20 20 P ( ) ( ) ( ) 0.87644 13 13 13 13 13
注意：中心极限定理其实是描述的随机变量序列和， 经标准化后，当序列容量无限大时的极限分布
n n X i E ( X i ) i 1 lim P i 1 x lim P Yn x lim Fn ( x ) ( x ) n n n n D ( X ) i i 1
EX i , DX i 2 , i 1, 2,，则
n n X i EX i i 1 x lim P i 1 x n n DX i i 1
n X i n lim P i 1 x ( x ) n n 2
二、李雅普诺夫中心极限定理
1. 李雅普诺夫(Liapounov)定理
设随机变量序列{ X i }( i 1, 2,)相互独立， EX i i , DX i i2 , i 1, 2,，则
n n X i E ( X i ) i 1 lim P i 1 n n D( X i ) i 1 n n X i i i 1 x lim P i 1 x n n 2 i i 1
(
b E ( X i )
i 1
n
D( X i )
i 1
n
) (
a E ( X i )
i 1
n
D( X i )
i 1
n
)
二、李雅普诺夫中心极限定理
对于李雅普诺夫定理中的随机变量序列，将其 约束条件改为独立同分布，即
n n X i E ( X i ) i 1 lim P i 1 n n D( X i ) i 1
20 20
,
]
上的概率.
三、勒维中心极限定理
1 100 1 100 Xi E ( X i ) 0, 依题意， E ( X ) E 100 i 1 100 i 1 1 100 1 1 100 D( X ) D Xi D( X i ) , 2 1200 100 i 1 100 i 1
林德贝尔德—勒维
中心极限定理
三、勒维中心极限定理
2. 林德贝尔格－勒维（Lindeberg-Levy）定理
设随机变量序列{ X i }( i 1, 2,)独立同分布， EX i , DX i 2 , i 1, 2,，则
n n X i E ( X i ) i 1 lim P i 1 n n D( X i ) i 1 n n X i EX i i 1 x lim P i 1 x n n DX i i 1
四、拉普拉斯中心极限定理
3. 棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace）定理
设随机变量序列{ X i }( i 1, 2,)独立同0-1分布，即 X i B(1, p ), EX i p, DX i pq , i 1, 2,， X i nA，
n n X i E ( X i ) i 1 lim P i 1 n n D( X i ) i 1 t2 x 1 2 e dt ( x ) 2 n i 1
X B( n, p), X i B(1, p), X i nA , EX i p, DX i pq,
i 1 n
分布函数的极限关系称为依分布收敛
二、李雅普诺夫中心极限定理
中心极限定理给出了求解随机变量序列和分布的 极限方法。如果计算和落入任意区间的概率，可按照 标准正态分布求其标准化因子落入相应区间内的概率。
n n n n a E ( X i ) X i E ( X i ) b E ( X i ) n i 1 i 1 i 1 P (a X i b) lim P i 1 n n n n i 1 D( X i ) D( X i ) D( X i ) i 1 i 1 i 1
由中心极限定理,
20
X 0 1 / 10 12
20 20
近似服从N(0,1)，
3 10 12) 1 / 10 12 20 X
3 3 3 于是， P ( X ) P ( 10 12 P ( 3 X 1 / 10 12
3) (3) (3) 2(3) 1 0.9973
nA np x lim P n npq
x
四、拉普拉斯中心极限定理
定理表明: 二项分布的极限分布是正态分布
在n重贝努利试验中，描述A事件发生次数的随机 变量服从二项分布. 当试验次数较多时，根据中心极 限定理，可利用正态分布近似计算二项分布，即