第二节 中心极限定理
第二节-中心极限定理要点
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n，不管
Xi (i 1, 2, , n) 服从什么分布，只要它们是同分布，
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n, n 2 i 1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
k 1
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分
布，且有有限的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
n
Xi n
Yn i1 n 的分布函数 Fn (x) 满足如下极限式
lim n
lim
n
P
i 1
n
x
(
x);
这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
第二节中心极限定理
x,总成立
lim P{ μn np x} x
n np(1 p)
1
t2
e 2 dt
2π
定理表明：若 Yn服从二项分布，当n很大时， Yn
的标准化随机变量 Yn np 近似服从标准正态 np(1 p)
分布.
由此可知：当n很大，0<p<1是一个定值时（或
者说，np(1-p)也不太小时），服从二项分布B（n，p) 的随机变量 Yn近似服从正态分布 N(np,np(1-p)).
200 200} 15
P{13.33 X 200 0} Φ(0) Φ(13.33)
15
Φ(0) [1 Φ(13.33)] 0.5 （1 1） 0.5
例2.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕 是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变 量，它取1(元)，1.2 (元)，1.5(元)各值的概率分别为 0.3，0.2，0.5.某天售出300只蛋糕.求这天的收入至少 达400 (元)的概率
D( X i ) E（X i2） [E（X i）]2 1.713 1.292 0.0489
由独立同分布中心极限定理知：
300
X i 300 1.29近似
i 1
~ N (0，1）)
即
300 0.0489
300
i 1
Xi
387近似
~
N (0，1）)
3.8301
300
300
P{ i 1
Xi
400}
X i 387 P{ i1
3.8301
400 387 }
3.8301
300
X i 387
P{ i1
3.39} 1 Φ(3.39)
第五章 大数定律与中心极限定理
X X i N(n,n ) N(200,169)，所以，
2
100
P{180 X 220} P{1.54 X 200 1.54}
若要准确计算，应该用贝努里公式：
P 6800 X 7200
7199 k 6801
k C10000 0.7k 0.310000k
如果用切比雪夫不等式估计： E （X） np 10000 0.7 7000, D （X） npq 10000 0.7 0.3 2100, 2100 P 6800 X 7200 P X 7000 200 1 2 0.95. 200
二、4个大数定律（Ｐ117定义5.1－Ｐ120） 教学——我教你学或你教我学. 内容：1.大数定律的条件与结论； 2. 4个大数定律的关系. 了解：4大数定律的结论
定义5.1（Ｐ117）
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1.陪学定理5.1“切比雪夫大数定律”（Ｐ118）
相互独立
X
limP{| X E( X ) | } 1
第五章 大数定律与中心极限定理
第一节 第二节 大数定律 中心极限定理
大数定律主要含义： 在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎 必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说， 这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多 次，随机事件的频率近似于它的概率。比如，我们 向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶 然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上 万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬 币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。偶然 中包含着必然。 简单地说，大数定律就是“当试验次数足够多时，事 件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率。
第5章中心极限定理
第一节
一,随机变量的收敛性 1. 依概率收敛
大数定律
定义1 若对任意给定的ε 定义1 若对任意给定的ε>0, 有:
lim P{| X n X |< ε } = 1,
n→∞
( lim P{| X n X |≥ ε } = 0 )
n→∞
则称{X 依概率收敛于X, 记作: 则称{Xn}依概率收敛于X, 记作:
σ2 P{| X |< ε } ≥ 1 2 ε
σ2 8 P{| X |< 3σ } ≥ 1 2 = 9σ 9
8 ∴ P { 3σ < X < + 3σ } ≥ 9
将一枚硬币抛掷1000 1000次 [例2] 将一枚硬币抛掷1000次,试利用车贝晓夫不等 式估计: 1000次中,出现正面H的次数在400至600次 式估计:在1000次中,出现正面H的次数在400至600次 次中 400 之间的概率. 之间的概率. 解: 设1000次抛掷中出现正面的次数为 则 次抛掷中出现正面的次数为X, 次抛掷中出现正面的次数为
n
D (∑ X i )
i =1
D(∑ X i )
i =1
n
n a n 1 b n = P{ < ( ∑ X i n ) ≤ } n σ n σ i =1 n σ
b n a n ≈ Φ( ) Φ( ) n σ n σ
2. 德莫佛---拉普拉斯定理
定理2 设随机变量X n ~ B( n, p ), (n = 1, 2), 则对 任意x ∈ R, 有
第一节 大数定律 第二节 中心极限定理
基本要求: 基本要求 理解实际推断原理; 1. 理解实际推断原理; 掌握车贝晓夫不等式; 2. 掌握车贝晓夫不等式; 熟悉几个常用的大数定律; 3. 熟悉几个常用的大数定律; 4. 熟练掌握并能运用几个常见的中心极限定理. 熟练掌握并能运用几个常见的中心极限定理. 重点: 重点 1.车贝晓夫不等式的运用; 1.车贝晓夫不等式的运用; 车贝晓夫不等式的运用 2.中心极限定理的应用. 2.中心极限定理的应用. 中心极限定理的应用 学时数 3-4
中心极限定理 公式
中心极限定理公式
摘要：
1.中心极限定理的概念
2.中心极限定理的公式
3.中心极限定理的应用
4.总结
正文：
1.中心极限定理的概念
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。
中心极限定理为数理统计学提供了一个理论依据，使我们能够在实际问题中应用正态分布来近似描述大量相互独立的随机变量的和的分布。
2.中心极限定理的公式
中心极限定理的公式如下：
设随机变量X1，X2，...，Xn 是相互独立的，且均值为μ，方差为σ^2。
则随机变量S_n = X1 + X2 +...+ Xn 的分布随着n 的增大趋近于一个均值为μ，方差为σ^2 的正态分布。
数学表达式如下：
lim(n→∞) [P(S_n - μσ≤x ≤S_n + μσ)] = N(x; μ, σ^2)
其中，N(x; μ, σ^2) 表示均值为μ，方差为σ^2 的正态分布。
3.中心极限定理的应用
中心极限定理在实际应用中有广泛的应用，例如在统计学中的假设检验、
回归分析等领域。
在假设检验中，我们通常使用正态分布来近似描述样本均值的分布，从而进行参数估计和假设检验。
在回归分析中，中心极限定理为回归系数的估计提供了理论依据。
4.总结
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。
中心极限定理【概率论与数理统计+浙江大学】
k 1
k 1
近似地
Zn ~ N (0,1)
2、随机变量X k 无论服从什么分布，只要满足
定理条件，随即变量之和
n
X
k，当n很大时，就近
k 1
似服从正态分布，这就是为什么正态分布在概率论
中所占的重要地位的一个基本原因.
定理3(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理）
设随机变量n(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1)
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
P(Y>1920)=1-P(Y1920) 1- (1920 1600) 400
=1-(0.8) =1-0.7881=0.2119
例2解答：
（1)解：设应取球n次，0出现频率为
1 n
n k 1
Xk
E(
1 n
n k 1
Xk
)
0.1,
D(
1 n
n k 1
Xk
)
0.09 n
n
Xk
近似地
~
N
(n , n
2
)
;
k 1
n
X k n 近似地
k 1
n
~ N (0,1).
2、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为
近似地
中心极限定理 公式
中心极限定理公式
中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，描述了当独立同分布的随机变量的个数足够大时，它们的均值的分布趋近于一个正态分布。
具体来说，设X₁、X₂、...、Xₙ是n个独立同分布的随机变量，均值为μ，方差为σ²。
定义随机变量Sₙ = (X₁ + X₂ + ... + Xₙ)/n 为样本均值。
则当n趋近于无穷大时，样本均值Sₙ的分布趋近于正态分布，均值为μ，方差为σ²/n，即Sₙ ~ N(μ, σ²/n)。
中心极限定理的应用非常广泛，其中一个常见的应用是在统计推断中的抽样分布。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布就近似于正态分布，这使得我们可以使用正态分布的性质进行统计推断，例如计算置信区间和假设检验。
除了上述基本形式的中心极限定理，还存在其他形式的中心极限定理。
例如，林德伯格-列维定理（Lindeberg-Lévy Central Limit Theorem）描述了当随机变量的方差存在且有限时，即使它们不完全独立，只要它们之间的相关性很弱，中心极限定理仍然成立。
总而言之，中心极限定理是概率论中一个重要的定理，它描述了当独立同分布的随机变量的个数足够大时，它们的均值的分布趋近于一个正态分布。
这个定理在统计推断中有广泛的应用，并且存在多个形式的中心极限定理。
大数定律和中心极限定理.ppt
n
X i n
i 1
n
3
近似服从标准正态分布
于是所求概率为
P
1 n
n i 1
Xi
P
n i1
Xi
n
n
n
P i1 X i n
3n
2
3n 1
n
3
(2)当n 36, 1/ 6时,所求概率为
（1）保险公司一年的利润不少于6万元的概率；
（2）保险公司亏本的概率。
解 设参加保险的一万人中一年内的死亡的人数为X ,
则X ~ b10000,0.006,其分布律为
PX
k
1k0000
0.006k
0.994 10000k
k 0,1,2,,10000
lim n
P
n np
np1 p
x
x
1
t2
e2
dt
Φ
x
2π
当n充分大时,对任意a b,有
Pa n b P
a np
np1 p
n np
np1 p
b np
np1 p
Φ
第五章 大数定律和中心极限定理
第一节 第二节
大数定律 中心极限定理
第一节 大数定律
定义1设Y1,Y2 ,,Yn ,是一个随机变量序列, a是一个常
数, 若对任何正数 , 有
limP Yn a 1
n
则称序列Y1,Y2 ,,Yn ,依概率收敛于a,记为Yn Pa 依概率收敛的序列有如下性质： 设X n Pa,Yn Pb,又设g(x, y)在点(a,b)连续,则
西北工业大学《概率论与数理统计》4-2 中心极限定理
(
)
2⎞ ⎛ 1 σ ⎟ ⎜ X = ∑ X i ~ AN ⎜ µ , ⎟ n i =1 n ⎠ ⎝ 3° 定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=1, 2,…, 20). 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间 (0， 10 )上服从均匀分布 , 记V =
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所 至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率 保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解 设
⎧1, 第i台机床工作 Xi = ⎨ ⎩0, 第i台机床不工作
内容小结
独立同分布情形 独立同分布情形
⎧林德贝格 − 列维中心极限定理 ⎪ 独立不同分布情形 独立不同分布情形 ⎪ ⎪ ⎨李雅普诺夫定理 ⎪ 二项分布的正态近似 二项分布的正态近似 ⎪ ⎪ ⎩棣莫佛 − 拉普拉斯定理
中心极限定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间(−1, 1) 上服从均匀分布(i=1, 2,…, n), 试证 n 1 当 n充分大时, 随机变量 Z n = ∑ X 2 近似服从 i n i =1 正态分布并指出其分布参数. 证 记 Yi = X i2 , ( i = 1,2, , n) E ( Yi ) = E ( X i2 ) = D( X i )
注 1° 定理4.7是独立不同分布情形的中心极限 定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有
∗ Yn ~ AN (0, 1)
而
n ⎛ n ⎞ 2 ⎟ µ , σ ∑ X i ~ AN ⎜ ∑ ∑ i i ⎟ ⎜ ⎝ i =1 i =1 ⎠ i =1 n
第二节 中心极限定理
1
t2
e 2 dt Φ( x) .
n np(1 p)
2
该定理表明,当 n 时,二项分布以正态分布
为极限分布.
实际应用中,若随机变量X ~ B(n, p) ,只要 n 充
分大,即有
~ X 近似地 N(np, npq)，或
即有近似计算公式
~ X np 近似地 N(0,1)， npq
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
4
中心极限定理，正是从理论上证明，对于大 量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总 和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量 的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是 未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函 数很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量 很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态 分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。
[1 Φ(1.34)] 2 0.1802．
12
~ Sn
12 /
n
近
似
地
N
(0,
1)
,
(2) 数据个数n应满足条件：
P{| Sn | 10 } P
| Sn | n / 12
10
0.90
,
n / 12
即 2Φ( 10 ) 1 0.90 , Φ( 10 ) 0.95 ,
P{40 X 60} Φ( 60 50) Φ( 40 50)
47.5
47.5
2Φ(1.45) 1 0.853 .
注 由切比雪夫不等式,
第二节--中心极限定理
四、拉普拉斯中心极限定理
例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.
解：设
Xi
0, 1,
第i台床不工作 第i台床工作
i 1, 2,
,100
则 Xi B(1, 0.8)
100
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 80
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2, ，则
lim
n
P
n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim P n
n i 1
Xi n n 2
x
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同0-1分布，即
n
Xi B(1, p), EXi p, DX i pq, i 1, 2, ， X i nA，
i 1
n
n
lim n
P
i 1
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim
n
P
nA np npq
x
近似
Xi N (n，n 2 ),
i 1
X
1 n
n
近似
X i N (， 2
i 1
n)
n
近似
~ Xi独立同0 - 1分布 Xi nA N (np，npq)
i 1
大数定律与中心极限定理
概率统计(5)大数定律与中心极限定理
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定理2: 定理
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贝努利大数定律) (贝努利大数定律)设nA是n次独立重复试 次独立重复试 定理3: 定理 验中事件A出现的次数 是事件 出现的次数. 是事件A在每次试验中发生的 验中事件 出现的次数 p是事件 在每次试验中发生的 概率 (0<p<1),则对任意的ε >0有: 则对任意的 有 或 证明:设Xi表示第 i 次试验中事件 出现的次数, 次试验中事件A出现的次数 出现的次数, 证明: i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为 的 相互独立且均服从参数为p的 则 (0-1)分布,故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,…,n 分布, 分布 由契比雪夫大数定律知, 且 ,由契比雪夫大数定律知,对于任意 的 ,有
定理1: 定理
相互独立, 证 因X1,X2,…相互独立,所以 相互独立
1 n 1 n 1 l D ∑ X i = 2 ∑ D( X i ) < 2 nl = n n n i =1 n i =1
又因
1 n 1 n E ∑ X i = ∑ E ( X i ), n i =1 n i =1
ε
ε2
可见契比雪夫不等式成立. 可见契比雪夫不等式成立
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设电站供电网有10000盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的 盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的 例2 设电站供电网有 盏电灯 概率都是0.7,而假定开,关时间彼此独立 估计夜晚同时 而假定开, 概率都是 而假定开 关时间彼此独立,估计夜晚同时 开着的灯数在6800与7200之间的概率 之间的概率. 开着的灯数在 与 之间的概率 表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参数为 解 设X表示在夜晚同时开着的灯的数目 它服从参数为 表示在夜晚同时开着的灯的数目 n=10000,p=0.7的二项分布 的二项分布. 的二项分布 若要准确计算,应该用贝努利公式 应该用贝努利公式: 若要准确计算 应该用贝努利公式:
大数定律
概率论
Simulation illustrating the Law of Large Numbers. Each frame, you flip a coin that is red on one side and blue on the other, and put a dot in the corresponding column. A pie chart shows the proportion of red and blue so far. Notice that the proportion varies a lot at first, but gradually approaches 50%.
1 n 1 n limP ∑Xi − ∑E( Xi ) < ε = 1 。 n→ ∞ n i=1 n i=1
我们用切比雪夫不等式证明该定理。 证: 我们用切比雪夫不等式证明该定理。
1 1 E ∑Xi = ∑E( Xi ) n i=1 n i=1
n n
概率论
由X1, X2, …,
一、依概率收敛定义
一 随 变 序 ， 定义: 定义 设 X1 , X2 ,L Xn ,L 是 个 机 量 列 a是 个 数 若 于 意 数 ， : 一 常 ， 对 任 正 ε 有
概率论
limP{| Xn − a |< ε} = 1
n→ ∞
P Xn →a.
称 列 则 序 X1 , X2 ,L Xn ,L 依 率 敛 a.记 : 概 收 于 为
下面给出不要求随机变量方差存在的大数定律 3. 定理 辛钦大数定律 定理(辛钦大数定律 辛钦大数定律):
相互独立, 服从同一分布, 设随机变量序列 X1, X2, … 相互独立 服从同一分布 具有数学期 E(Xi)=µ, i=1, 2,…, 则对于任意正数 ε, 有:
02-5.2中心极限定理
第五章大数定律和中心极限定理第二节中心极限定理【学习目标】1、了解中心极限定理产生的背景、条件和意义；2、理解和掌握两个中心极限定理的条件和结论、计算方法、应用及近似计算.【学习重点】要求了解几个主要大数定律的条件和结论，并会用于判断（包括数理统计中参数估计量的一致性）和计算。
掌握几个主要的中心极限定理，并会利用中心极限定理求简单的独立同分布变量和的近似分布，以及应用题中概率的近似计算。
在上述极限定理基础上，了解频率稳定性的含义和根据，以及正态分布的特别重要性。
【学习难点】1、理解两个中心极限定理的条件和结论；2、掌握两个中心极限定理的应用和计算.【学习任务清单】一、课前导学1、让学生在了解大数定律的基础上，了解中心极限定理产生的背景.2、如何理解中心极限定理产生的条件和怎样掌握中心极限定理的应用？二、学习视频第二十八讲中心极限定理视频1：二中心极限定理产生的背景和定义1.1 中心极限定理产生的背景（0分23秒）在自然界很多随机变量的分布都服从或者近似服从正态分布.1.2 举例：步枪射击问题来介绍中心极限定理的背景（2分19秒）例题1：步枪射击问题（一个变量由很多微小的误差和的影响引起）.1.3 给出中心极限定理的定义（8分55秒）视频2：服从中心极限定理的条件2.1提出问题：服从中心极限定理的条件是什么呢？（0分20秒）给出一个例子说明，随机变量只具有独立性、存在均值和方差是不够的。
视频3：独立同分布中心极限定理3.1独立同分布中心极限定理（0分10秒）在视频2的疑惑中，提出满足中心极限定理的一个条件：独立同分布中心极限定理。
视频4：棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理4.1 给出棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的结论（0分24秒）它是独立同分布中心极限定理的一个特例4.2 对棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的证明（2分33秒）在二项分布的背景下利用独立同分布中心极限定理证明结论。
视频5：中心极限定理的意义视频6：中心极限定理的应用6.1：二项分布和正态分布的关系（0分40秒）离散分布（二项分布）和连续分布（正态分布）之间的关系6.2：从例题上理解二项分布和正态分布的关系（1分32秒）6.3：高尔顿板试验（4分57秒）高尔顿板试验最后落下的小球会呈现中间高两头低的形状对高尔顿板试验的解释（6分40秒）利用中心极限定理对实验结果进行解释视频7：利用中心极限定理进行近似计算7.1 中心极限定理对概率的近似计算非常有用（0分2秒）7.2 例题1：电话交换机问题（0分27秒）三、随堂测试（见慕课每一讲最后一节）四、讨论区和慕课堂上在线提问交流五、线下辅助教学1、课后作业2、QQ群在线答疑。
中心极限定理
随机变量
Zn
1 n
n i 1
X
2
i
近似服从
正态分布并指出其分布参数.
证记
Yi
X
2 i
,
(i 1,2, ,n)
E(Yi
)
E(
X
2 i
)
D(
X
i
)
D(Yi
)
E(Yi2 )
[E(Yi
)]2
E
(
X
4 i
)
[E(Yi
)]2
因为
E
(
X
4 i
)
1 1
xi4
1 2
dxi
1 5
,
所以
D(Yi
)
1 5
1 2 3
30500 np(1
np
p)
30500 np
np(1 p) 29500 np
1
t2
e 2 dt
2π
np(1 p)
30500 np 29500 np np(1 p) np(1 p)
n 90000, p 1 , 3
P{29500 X 30500} 5 2 5 2 2 2
(1) 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于
340的概率.
解 (1) 以 Xk k=1, 2,…, 400 记 第k个学生来参加会议的家长数.
则Xk的分布律为 Xk 0 1 2
pk 0.05 0.8 0.15
易知 E( Xk ) 1.1, D( Xk ) 0.19, k 1,2, ,400
4, 45
因为X1, X2,…, Xn相互独立, 所以Y1, Y2,…,Yn
第二节 中心极限定理
第二节中心极限定理独立同分布序列的中心极限定理定理1设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。
记随机变量的分布函数为F n（x），则对于任意实数x，有（不证）其中φ（x）为标准正态分布函数。
由这一定理知道下列结论：（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N（nμ，nσ2）。
我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。
中心极限定理进一步告诉我们。
不论X1,X2,…X n,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Z n近似服从正态分布。
（2）考虑X1,X2,…X n,…的平均值，有它的标准化随机变量为，即为上述Y n。
因此的分布函数即是上述的F n（x），因而有由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。
解设X i为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则为100次射击中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同分布且相互独立。
由定理1可知，随机变量近似服从标准正态分布，故有[例]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。
现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。
解设第i只电器元件的寿命为X i=（i=1,2,…16）,E（X i）=100，D（X i）=1002=10 000，则是这16只元件的寿命的总和。
E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理1的特殊情况。
中心极限定理 公式
中心极限定理公式中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，它可以描述一类随机变量的分布特性。
该定理的公式形式如下：设X₁, X₂, ..., Xₙ是独立同分布的随机变量，它们具有相同的概率分布，且具有有限的均值μ和方差σ²。
令Sₙ = (X₁ + X₂ + ...+ Xₙ) / √n，则当n趋近于无穷大时，随机变量Sₙ的分布趋近于正态分布，其均值为μ，方差为σ²/n。
中心极限定理被认为是概率论和统计学的一个基本定理，它在理论和实际应用中都起到了至关重要的作用。
它的核心思想是，当一个随机变量是由大量相互独立的随机事件叠加而成时，其分布趋向于正态分布。
这意味着即使原始随机变量的分布不是正态分布，但当样本数足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
中心极限定理的生动性在于它提供了一个如何从大量随机事件中得到可靠结论的方法。
假设我们想要研究某地区居民的身高。
如果我们直接从全体居民中随机抽取一些人，可能面临样本不足、样本不具有代表性等问题。
而中心极限定理告诉我们，只要我们能够抽取足够数量的样本，样本均值的分布将逐渐接近正态分布，从而能够提供关于全体居民身高的合理估计。
中心极限定理的全面性在于它适用于各种类型的随机变量。
无论原始分布是均匀分布、指数分布、二项分布还是任何其他形式，只要满足独立同分布的条件，中心极限定理都成立。
这使得中心极限定理成为处理实际问题的有力工具。
不论我们需要研究某种产品的质量、市场的需求量，还是其他任何具有随机性的现象，中心极限定理都可以帮助我们得到更准确的结果。
中心极限定理的指导意义在于它可以为我们提供关于样本大小的参考。
根据中心极限定理的要求，当我们想要得到一个具有一定可靠性的估计值时，我们需要确保样本数足够大。
通常，当样本数超过30时，中心极限定理的近似效果足够好；当样本数超过100时，其近似效果更加显著。
因此，在实际应用中，我们可以根据中心极限定理的指导，选择适当的样本大小，以获得可靠的结果。
第二节中心极限定理
n 充分大时就近似服从正态分布。
概率统计
三. 棣莫弗---拉普拉斯定理
（De Moivere—laplace 中心极限定理）
定理3. 设随机变量 n 相互独立，且服从参数为
n, p (0 p 1) 的二项分布，则对任意 x
恒有:
lim
n
P
n np
np(1 p)
x
x
1 t2 e 2 dt
定理2. 设随机变量 X1, X2 Xn 相互独立，它们 具有数学期望和方差为：
E( Xk ) k ,
D( Xk
)
2 k
0
,
k 1, 2
n
记 Bn2
2 k
,
若存在正数 ,
使得当
n
k 1
n
1 Bn2
E
k 1
Xk k 2 0
概率统计
n
则随机变量之和 X k 的标准化变量 Zn ：
(1). 获利不少于10000元，即赔偿不大于 38000(元)，
即一 年内至多有 38000 19（人）死亡
2000
所以:
X 16 19 16
P( X 19) P(
)
4
4
1
0.75 t 2
e 2 dt
2
( 0.75 ) 0.7734
该公司获利不少于 10000(元)的概率为 0.7734.
n
n
Xk k
Zn k1
n
k 1
Bn
近似服从标准正态分布。
n
即， Xk Bn Zn k 近似服从正态分布
k 1
k 1
n
~ N ( k , Bn2 )
k 1
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20 20
,
]
上的概率.
三、勒维中心极限定理
1 100 1 100 Xi E ( X i ) 0, 依题意， E ( X ) E 100 i 1 100 i 1 1 100 1 1 100 D( X ) D Xi D( X i ) , 2 1200 100 i 1 100 i 1
四、拉普拉斯中心极限定理
3. 棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace）定理
设随机变量序列{ X i }( i 1, 2,)独立同0-1分布，即 X i B(1, p ), EX i p, DX i pq , i 1, 2,， X i nA，
n n X i E ( X i ) i 1 lim P i 1 n n D( X i ) i 1 t2 x 1 2 e dt ( x ) 2 n i 1
由中心极限定理,
20
X 0 1 / 10 12
20 20
近似服从N(0,1)，
3 10 12) 1 / 10 12 20 X
3 3 3 于是， P ( X ) P ( 10 12 P ( 3 X 1 / 10 12
3) (3) (3) 2(3) 1 0.9973
i 1 n
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题.
当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 在什么条件下极限分布会是正态的呢？
一、中心极限定理的意义
由于 lim X i ，单纯研究 X i 并无实际意义.
n i 1 i 1 n n
于是引入E X i，而根据大数定律可知
(
b E ( X i )
i 1
n
D( X i )
i 1
n
) (
a E ( X i )
i 1
n
D( X i )
i 1
n
)
二、李雅普诺夫中心极限定理
对于李雅普诺夫定理中的随机变量序列，将其 约束条件改为独立同分布，即
n n X i E ( X i ) i 1 lim P i 1 n n D( X i ) i 1
三、勒维中心极限定理
对于勒维中心极限定理中的随机变量序列，将 其约束条件改为独立同0-1分布，即
X i B(1, p),
X
i 1
n
i
nA , EX i p, DX i pq, i 1, 2, n
n n X i E ( X i ) nA np i 1 i 1 lim P x lim P x n n n npq D ( X ) i i 1 ( x ) 拉普拉斯 中心极限定理
i 1 i 1
n
n
一、中心极限定理的意义所以，欲求随ຫໍສະໝຸດ 变量 X X i 的分布，先求
i 1 n
标准化因子Yn
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
的分布情况.
D( X i )
i 1
讨论Yn的极限分布是否为标准正态分布.
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态 分布这一类定理都叫做中心极限定理.
二、李雅普诺夫中心极限定理
1. 李雅普诺夫(Liapounov)定理
设随机变量序列{ X i }( i 1, 2,)相互独立， EX i i , DX i i2 , i 1, 2,，则
n n X i E ( X i ) i 1 lim P i 1 n n D( X i ) i 1 n n X i i i 1 x lim P i 1 x n n 2 i i 1
林德贝尔德—勒维
中心极限定理
三、勒维中心极限定理
2. 林德贝尔格－勒维（Lindeberg-Levy）定理
设随机变量序列{ X i }( i 1, 2,)独立同分布， EX i , DX i 2 , i 1, 2,，则
n n X i E ( X i ) i 1 lim P i 1 n n D( X i ) i 1 n n X i EX i i 1 x lim P i 1 x n n DX i i 1
n Xi lim P i 1 x ( x ) n n
1 n 令X X i n i 1
X N ( , ) n
2
X
N (0,1)
n
三、勒维中心极限定理
三、勒维中心极限定理
例1 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中 目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率. 解：设Xi -第i次轰炸命中目标的炸弹数，i=1,2, …,100 则100次轰炸命中目标的炸弹总数为 X X i
n X i n lim P i 1 x n n 2
1 2
x
e
t2 2
dt ( x )
三、勒维中心极限定理
三、勒维中心极限定理
勒维定理的另外一种表现形式:
1 n 1 n X i E( X i ) n i 1 n i 1 lim P n n 1 D( X i ) n i 1 1 n 1 n X i EX i n i 1 n i 1 x lim P x n 1 n DX i 2 n i 1
X B( n, p), X i B(1, p), X i nA , EX i p, DX i pq,
i 1 n
EX i , DX i 2 , i 1, 2,，则
n n X i EX i i 1 x lim P i 1 x n n DX i i 1
n X i n lim P i 1 x ( x ) n n 2
分布函数的极限关系称为依分布收敛
二、李雅普诺夫中心极限定理
中心极限定理给出了求解随机变量序列和分布的 极限方法。如果计算和落入任意区间的概率，可按照 标准正态分布求其标准化因子落入相应区间内的概率。
n n n n a E ( X i ) X i E ( X i ) b E ( X i ) n i 1 i 1 i 1 P (a X i b) lim P i 1 n n n n i 1 D( X i ) D( X i ) D( X i ) i 1 i 1 i 1
nA np x lim P n npq
x
四、拉普拉斯中心极限定理
定理表明: 二项分布的极限分布是正态分布
在n重贝努利试验中，描述A事件发生次数的随机 变量服从二项分布. 当试验次数较多时，根据中心极 限定理，可利用正态分布近似计算二项分布，即
一、中心极限定理的意义
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.
高 斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响所起的作用不大，则这种随机变量一般都服从 或近似服从正态分布.
一、中心极限定理的意义
如果将研究对象的整体设为X，影响因素为X i， 根据因素间独立与共同作用的本质属性，可以得出 X Xi .
i 1 n
n
1 D( X i )
i 1 n
D( X i )
i 1
[ E ( X i ) E ( X i )] 0
i 1 i 1
n
n
DYn D
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
1 D( X i )
i 1 n
D( X i )
i 1
D[ X i E ( X i )] 1
1 2
x
e
t2 2
dt ( x )
二、李雅普诺夫中心极限定理
注意：
Xi
i 1
n
近似
2 N ( ， ~ i i) i 1 i 1
n
n
X
i 1 i i 1 2 i i 1 n
n
n
i 近似
1) ~ N (0，
二、李雅普诺夫中心极限定理
i 1
n
1 n 1 n P X i E ( X i ) 0. n i 1 n i 1 n
由此考虑利用标准化因子
Yn
X
i 1
i
E ( X i )
i 1 n
n
D( X i )
i 1
一、中心极限定理的意义
EYn E
X
i 1
n
i
E ( X i )
注意：中心极限定理其实是描述的随机变量序列和， 经标准化后，当序列容量无限大时的极限分布
n n X i E ( X i ) i 1 lim P i 1 x lim P Yn x lim Fn ( x ) ( x ) n n n n D ( X ) i i 1
三、勒维中心极限定理
例2 计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则. 为简单计，现从小数点后第一位进行舍入运算，设