高等结构力学选题讲义

高等结构力学综述

一综述所学结构动力学、结构稳定分析、结构极限荷载三个专题内容的基本知识以及分析方法。

结构动力学

结构动力学是结构力学的一个分支，着重研究结构对于动荷载的响应，以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。结构动力学同结构静力学的主要区别在于它要考虑结构因振动而产生的惯性力（达朗伯原理）和阻尼力，而同刚体动力学之间的主要区别在于要考虑结构因变形而产生的弹性力。

1.1分析结构动力响应的离散化分析方法

1.1.1集中质量法

集中质量法是把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块。此类方法适用于大部分质量集中在若干离散点上的结构。例如工程中房屋结构一般简化为层间剪切模型。

图1 集中质量法示意图

1.1.2广义坐标法

广义坐标法是假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和来表示。主要适用于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构。

1.1.3有限单元法

有限元法是将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。该方法先把结构划分成适当（任意）数量的单元；对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作为广义坐标；对每个广义坐标取相应的位移函数（插值函数）；由此提供了一种有效的、标准化的、用一系列离散坐标表示无限自由度的结构体系。

1.2运动方程的建立

在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律。建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。

1.2.1直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度法和柔度法。

1.2.2虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运动方程。

1.2.3变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程。

1.3自由振动和受压振动中重要概念

1.3.1自由振动和受迫振动的定义

1.结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。

2.如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动。

1.3.2阻尼及阻尼比

结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼。结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统。阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。阻尼比用于表达结构阻尼的大小，是结构的动力特性之一，是描述结构在振动过程中某种能量耗散的术语，引起结构能量耗散的因素（或称之为影响结构阻尼比的因素）很多，主要有 1.材料阻尼、这是能量耗散的主要原因。2.周围介质对振动的阻尼。3.节点、支座联接处的阻尼4.通过支座基础散失一部分能量。5.结构的工艺性对振动的阻尼。

1.3.3共振反映

共振是指一物理系统在特定频率下，相比其他频率以更大的振幅做振动的情形；这些特定频率称之为共振频率。共振可能导致结构破坏，在工程设计时，应通过调整结构的刚度和质量控制频率，避免接近荷载频率，防止共振发生。

1.3.4振型

振型是指体系的一种固有的特性。它与固有频率相对应，即为对应固有频率体系自身振动的形态。每一阶固有频率都对应一种振型。振型对应于频率而言，一个固有频率对应于一个振型。按照频率从低到高的排列，来说第一振型，第二振型等等。此处的振型就是指在该固有频率下结构的振动形态，频率越高则振动周期越小。在实验中，我们就是通过用一定的频率对结构进行激振，观测相应点的位移状况，当观测点的位移达到最大时，此时频率即为固有频率。实际结构的振动形态并不是一个规则的形状，而是各阶振型相叠加的结果。

1.4结构动力学与建筑抗震设计

目前世界各国普遍采用的抗震设计方法都是既考虑强度，又考虑变形能力和能量耗散能力。在进行结构抗震设计时，适当控制结构的强度和刚度，使结构在大地震作用下进入非弹

性状态时具有较好的延性，以便耗散输入结构的地震能量。这种抗震设计方法在很多情况下都是有效的。与其靠结构本身的强度、变形能力和能量耗散能力来抗御水平地震作用，不如人为地在结构中布置一些耗能装置，但这类耗能装置只能在结构能产生大变形时才有效。为适应这种需要，基地隔振方法应运而生。建筑物基地隔振是结构物地面以上部分的底部设置隔震层，使之与固结于地基中的基础顶面分离开。目前采用的底部隔振主要用于隔离水平向的地面运动。隔振层的水平刚度显著低于上部结构的侧向刚度才能收到隔振效果。基地隔振方法与传统的抗震设计方法相比，有很大的优越性，它用基地隔振系统来减少地震作用，并

耗散地震能量，而不特别要求结构本身有较大的变形能力和能量耗散能力。其结构动力学原理如下：

p0 sinωt—机器的不平衡力ω—机器的转速(角速度)

m—刚性质量k、c—隔振元件的总刚度和阻尼系数。f T —从隔振元件传到地基上的力

传到地基上的力为：

作用力f T的最大值为：将u st=p0

/k、c=2m ωnζ代入上式得：

TR—传递率(transmissibility)，是反映隔振效果的量

当频率比：ω/ωn>传递率：TR<1 时，为达到隔振的目的，可采用降低ωn的方法提高隔振效果，即减小隔振元件刚度或增加仪器质量。

结构稳定分析

1. 结构稳定分析方法

1.1 静力法（大挠度理论） 静力法，根据临界状态的静力特征而提

出的 。在分支点失稳问题中，临界状态的静

力特征是：平衡形式具有二重性。静力法的要点是：在原始平衡路径之外，寻找新的平

衡路径，确定二者交叉的分支点，从而求出临界荷载。 计算步骤： 1.假设临界状态时体系的新的平衡形式。 2.依静力平衡条件，建立临界状态平衡方程。 3.根据平衡具有二重性静力特征(位移有非

零解)，建立特征方程，习惯称稳定方程。 4.解稳定方程，求特征根，即特征荷载值。

5.由最小的特征荷载值，确定临界荷载(结构所能承受的压力必须小于这个最小特征荷载值，才能维持其稳定平衡)。

用静力法计算无限自由度体系稳定问题有两个特点：

第一，位移参数为无穷多个；

第二，临界状态平衡方程为微分方程。

1.2 能量法（小挠度理论）

临界状态的能量特征 其一，从能量守恒原理出发，有 （应变能增量等于荷载功增量），由此导出铁木辛柯能量法。其二，从势能驻值原理出发，有总势能 （以原始平衡位置为参考状态），由此导出瑞利－李兹能量法。

能量法计算临界荷载，按以下步骤进行：

1)假定失稳形式。 2)根据能量特征

建立临界状态方程（即以能量形式表示的临界状态平衡方程）。3)由位移有非零解的

条件，建立稳定方程。4)解稳定方程，求特征

荷载值。5)由最小特征荷载值，确定临界荷载。

2. 两类稳定问题

2.1 分支点失稳

分支点失稳——第一类稳定问题，其特征

是：当荷载逐渐增加时，结构原有的平衡形式

被破坏了，并出现了与原平衡形式有本质区别

的新的平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡，出现了稳定性的转变。分支点是平衡状态从稳定转变为不稳定的分界点。在分支点处所对应的荷载称为屈曲荷载或临界荷载。

2.2 极值点失稳

极值点失稳——非完善体系(受压杆或有初曲率或有偏心荷载等"初始缺陷")的极值点失稳(极值屈曲),失稳前后变形性质没有变化,杆件产生附加挠度,力-位移关系曲线存在极值点,该点对应的荷载即为临界荷载(低于欧拉荷载,即两端铰支轴心压杆的临界荷载),达到时结构被压溃,故常称之为压溃荷载.工程中大量稳定问题都属于第二类,但因为第一类稳定O 1D 稳定平衡随遇平衡不稳定平衡D F Pcr ⅡA B C

ⅠⅡⅠP F F P /2l l /2

(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小挠度理论)ΔΔU W =P 0E ≡ΔΔU W =