第六章 欧几里得空间

因为当i≠j 时 i , j 0 ，所以
0 i ,0 i , a j j
j 1 n
a j i , j ai i , i
j 1
n
但 i , i 0，所以 ai
1,2,, n, 即
1, 2 ,, n 线性无关.
第六章 欧几里得空间 (Euclid Spaces)
第一节 欧几里得空间 6.1 向量的标准内积 6.2 标准正交基 第二节 正交变换
第一节 欧几里得空间 一、基本概念
定义: 设 V 是实线性空间,如果存在一个法则
f , 使得 V 中任意两个向量 , , 有 R 中 一个确定的实数 ( , ) 与之对应,且具有 如下性质: 1) 对称性: ( , ) ( , )
a 2 c 2 1, b 2 d 2 1, ad bd 0 （2）
由第一个等式，存在一个角α，使 a = cos α，c = ±sinα
由于
cos α = cos(±α)，± sin α= sin（±α）
因此可以令
a = cos φ，c = sin φ 这里φ =α或 –α . 同理，由（4）的第二个等式，
[ E ( 2 / aT a ) a aT ] [ E ( 2 / aT a ) a aT ]
E [2 / (a a )] a a [2 / (a a )] a aT
T T T
[4 / (a a ) ]a (aT a ) aT .
T 2
a 0, aT a为一非零数,
第二步，先取
2 , 1 2 2 1 2 2 , 1 1 1, 1
1 1 1 (0,1,2) 3 , , (1,0,1) 3 3 3
然后令
2 1 1 2 ,0, | 2 | 2 2
2) 线性性: ( , ) ( , ) ( , )
(k , ) k ( , )
3) 正定性: 0, 有( , ) 0
这里 , , V , k R ,那么实数 ( , ) 称为 与 内积,而 V 称为关于这个内积的 的欧氏空间,简称欧氏空间.
则 i) xi ( , i ),
n
( , i ) i
i 1
n
ii)
( , ) xi yi
i 1
定理
来自百度文库
n 维欧氏空间中任一个正交向量
组都能扩充成一组标准正交基.
定理
对于 n 维欧氏空间中任一组基 1 , 2 ,, n , 都可以找到一组标准正交基 1 ,2 ,,n， 使得 i L(1 , 2 ,, i ), i 1,2,, n ,即 L(1 ,2 ,,i ) L(1 , 2 ,, i ), i 1,2,, n
内积的矩阵表示 [ x, y] xT y, 其中x , y都是列向量.
例
R n 里,对于任意两个向量 在
规定 , x1 y1 x2 y 2 ... xn y n
( x1, x2 ,..., xn ), ( y1 , y 2 ,..., y n )
容易验证,关于内积的公理被满足,因而R n 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. 例
我们 设有n维向量
y1 x1 y2 x2 x , y , y xn n 令[ x , y ] x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n , [ x , y ]称为向量 x与y的内积.
第三步，取
3 , 1 3 , 2 3 3 1 2 1, 1 2 , 2
3 3 , 1 1 3 , 2 5 1 (2,0,3) , 3 3 5 5 5 , , 3 6 6 1 3 , 1 1 1 1 1 , , 3 2 2 2 2
R n 里,对于任意向量 在
( x1, x2 ,..., xn ), ( y1 , y 2 ,..., y n )
规定 , x1 y1 x2 y 2 ... xn y n R n 也作成一个欧氏空间. 不难验证,
2 欧几里德空间的基本性质
定义
令 x [ x, x]
存在一个角ψ使
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是 的一个奇数倍. 由此 2
得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
一、如何证明所给矩阵为正交矩阵
方法1 证明矩阵的各列 或行)元素满足正 ( 交条件
n n
aki akj ij (或 aik a jk ij ), i , j 1,2,, n; k 1 k 1
方法2 根据正交阵的定义 先求出 AT , 然后 , 验证A AT E .
3 标准正交基底
定义 欧氏空间 V 的一组非零向量，如果它们两两 正交(内积等于零)，就称之为一个正交组。 全由单位向量构成的正交组称为标准正交组。
约定：单独一个非零向量也叫一个正交组。
例
1 在 R3中， (1,0,0), 2 (0,1,0),3 (0,0,1) 与
1 (0,1, 0),2 (
向量的内积满足施瓦茨 不等式 [ x , y ] [ x , x ][ y , y ],
2
从而有
[ x, y] 1, (当 x y 0时). x y
定义 当 x 0, y 0时,
[ x, y] arccos x y 称为n维向量x与y的夹角.
当[ x , y ] 0时, 称向量x与y正交. 若x 0, 则x与任何向量都正交 .
1 2 , 0, 1 2 ),3 ( 1 2 , 0, 1 2 )
为标准正交基，而 e1 (1,0,1), e2 (0, 2,0) 是 是正交组但不是标准正交组
定理 正交组必是线性无关组。 证： 设有 a1 , a2 ,, an R 使得
a11 a2 2 an n 0
cos U sin sin cos
或
在前一情形中，σ是将 V2 的每一向量旋转角 φ的旋转； 在后一情形，σ将 V2 中以（x, y）为坐标的变 量变成以(xcosφ+ysinφ, xsinφ–ycosφ) 为 坐标的向量. 这时σ是直线的 y tan( ) x 反射. 2 这样， 2 的正交变换或者是一个旋转，或者是 V 关于一条过原点的直线的反射.
例1 设a是n维列向量, E为n阶单位矩阵, 证明 A E [2 /(a T a )]a a T 为正交矩阵.
证明 先验证 AT A, 然后根据正交矩阵的定 义验
证A AT E . T T T T A [ E ( 2 / a a ) a a ] E ( 2 / aT a )a aT A, AT A AA
再令
于是 1 , 2 , 3 就是 R 3 的一个规范正交基。
3 1 2 3 , , | 3 | 6 6
1 6
第二节 正交变换
定义
如果n阶矩阵A满足 A A E
T
(即 A 1 AT ),
那么称A为正交矩阵.
方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交．
解一
先正交化，再单位化
(1)取 1 1;
(2)令 2 k 1 2 , 使得 2 与 1 正交,
[ 1 , 2] k[ 1 , 1] [ 1 , 2] 0,
12 [ 1 , 2] 1 1 2 k , 故2 1 ; [ 1 , 1] 2 0
k 1,2,, n
i i , i 1,2,, n | i |
例 在欧氏空间
R 3 中对基 1 (1,1,1), 2 (0,1,2), 3 (2,0,3)
施行正交化方法得出 R 3 的一个标准正交基.
解:
第一步，取
1 1 1 1 1 , , | 1 | 3 3 3
x x x ,
2 1 2 2 2 n
x 称为n维向量x的长度(或范数).
向量的长度具有下列性质：
(1)非负性 当x 0时, x 0;当x 0时, x 0; ( 2)齐次性
x x ;
x y x y.
( 3)三角不等式
当 x 1时, 称x为单位向量.
故a(aT a ) aT (aT a )(a aT ), AT A E [4 /(aT a )]a aT [4 /(aT a )]a aT E ,
故A是正交矩阵 .
特别当aT a 1时, A E 2a aT 是正交矩阵.
二、将线性无关向量组化为正交单 位向量组
将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化． 1 1 1 1 0 0 例2 已知向量 1 , 2 , 3 是线性 0 1 0 0 0 1 无关向量组, 求与之等价的正交单位 向量组.
n 维欧氏空间中正交组中向量的个数 n
定义
设 V 为n 维欧氏空间，若基 1, 2 ,, n 是正交组，则称之为V 的一个正交基。 而由标准正交组作成的基称为标准正 交基。
注意
Rnn 的标准正交基是存在的但不是唯一的。 R
标准正交基的性质
1
1 , 2 ,, n 为 V 的一个正标准正交基的充分 必要条件是 ( i , j ) ij 。即
正交矩阵A的n个列(行 )向量构成向量空间R n 的一个规范正交基 .
定义 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px称为 正交变换． 正交变换的特性在于保持线段的长度不变．
设y Px为正交变换, 则有 y y y
T T T x P px T x x x.
V2空间的正交变换 设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
施密特正交化方法
1 1
( 2 , 1 ) 2 2 1 ( 1 , 1 ) ( k , 1 ) ( k , 2 ) ( k , k 1 ) k k 1 2 k 1 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( k 1 , k 1 )
1 , 2 ,, n 的度量矩阵 A ((i , j ))nn E
n维欧氏空间V 的标准正交基是存在的。
2 设1 , 2 ,, n 为V 的一个正标准正交基，而 x11 x2 2 xn n
y11 y2 2 yn n