选修4-4《第二讲参数方程》高考真题

第二讲 参数方程

本章归纳整合

高考真题

1．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

[命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化．

解析 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ

得，cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ＝2y ρ＋4x ρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.

答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0

2．已知两曲线参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎨⎧x ＝54

t 2，y ＝t

(t ∈R )，它们的交点坐标为________．

[命题意图]本题考查参数方程问题，主要考查转化与化归思想．将参数方程转化为直角坐标方程的关键在于消去参数，但也要注意所给参数的取值范围．

解析 由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)，得x 25＋y 2＝1(y ≥0，x ≠－5)，

由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，得x ＝54y 2，联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y 2，

则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2

＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1，又y ≥0，所以其交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 答案 ⎝

⎛⎭⎪⎫1，255 3．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________．

[命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．

解析 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普

通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x

－4)，即x －2y －4＝0.

答案 x －2y －4＝0

4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ

－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．

[命题意图]本题考查圆的参数方程、直线的极坐标方程，直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查等价转化的思想方法，考查方程思想．

解析 曲线C 1的普通方程是x 2＋(y －1)2＝1，曲线C 2的直角坐标方程是x －y ＋1＝0，由于直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心，故两曲线的交点个数是2.

答案 2

5．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极

坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．

[命题意图]本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程互化的相关知识．

解析 消掉参数θ，得到C 1的普通方程(x －3)2＋(y －4)2＝1，表示以(3，4)为圆心，以1为半径的圆；C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1表示的是单位圆，|AB |的最小值为

32＋42－1－1＝3.

答案 3

6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参

数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原

点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫4，π2，判

断点P 与直线l 的位置关系；

(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

[命题意图]本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．

解 (1)把极坐标系下的点P ⎝

⎛⎭⎪⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)． 因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．

(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为

d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＋42 ＝2cos ⎝

⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝

⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ，

(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，

当α＝π2时，这两个交点重合．

[命题意图]本题主要考查了参数方程与普通方程的互化问题，极坐

标方程与极坐标方程的互化．

(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；

(2)设当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4

时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积． 解 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.

当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.

(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.

当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点

B 1的横坐标为x ′＝31010.

当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1

关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的

面积为（2x ′＋2x ）（x ′－x ）2

＝25.