第4讲拟合与回归分析
回归方程拟合度
回归方程拟合度回归方程拟合度是衡量回归模型拟合数据程度的指标。
它可以帮助我们判断回归模型对观测数据的拟合程度，从而评估模型的可靠性和预测能力。
常见的回归方程拟合度指标有决定系数R-square、调整决定系数Adjusted R-square、标准误差Standard Error和F统计量。
决定系数R-square是一种常见的回归方程拟合度指标，它表示有多少百分比的因变量的变异可以由自变量的线性组合来解释。
R-square的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型对数据的拟合越好。
然而，R-square有一个局限性，它只考虑了自变量的线性效应，对于非线性关系可能不太适用。
调整决定系数Adjusted R-square是对决定系数R-square的修正，考虑了自变量的个数和样本量的影响。
当自变量的个数增加，调整决定系数会减小，避免了过度拟合。
因此，调整决定系数可以更准确地评估模型的预测能力。
标准误差Standard Error是用来估计模型预测的误差大小的指标。
它是实际观测值与回归方程预测值之间的标准差。
标准误差越小，表示回归模型的拟合程度越好。
F统计量是用来判断回归方程是否有统计显著性的指标。
F统计量的计算涉及回归方程的残差平方和和回归方程的解释平方和的比值。
如果F统计量大于某个临界值，就可以认为回归方程具有统计显著性，即自变量对因变量的解释是显著的。
除了以上常见的回归方程拟合度指标，还可以使用预测误差和残差分析来评估模型的拟合程度。
预测误差是实际观测值与模型预测值之间的差异，可以用来评估模型的预测精度。
残差是实际观测值与模型拟合值之间的差异，可以帮助检验模型的合理性和正确性。
在实际应用中，选择合适的拟合度指标要根据具体的研究目的和数据特点进行。
不同的拟合度指标有不同的优势和局限性，需要综合考虑。
此外，还可以使用交叉验证等方法来进一步评估模型的性能。
总之，回归方程拟合度是评估回归模型拟合数据程度的重要指标，可以帮助我们判断模型的可靠性和预测能力。
如何用EXCEL做数据线性拟合和回归分析
如何用EXCEL做数据线性拟合和回归分析使用Excel进行数据线性拟合和回归分析的过程如下：一、数据准备：1. 打开Excel，并将数据输入到一个工作簿中的其中一列或行中。
2.确保数据已经按照自变量（X）和因变量（Y）的顺序排列。
二、线性拟合：1. 在Excel中选择一个空白单元格，键入“=LINEST(Y数据范围，X数据范围，TRUE，TRUE)”。
-Y数据范围是因变量的数据范围。
-X数据范围是自变量的数据范围。
-最后两个参数设置为TRUE表示计算截距和斜率。
2. 按下“Ctrl +Shift + Enter”键以在该单元格中输入数组公式。
3. Excel将返回一列值，其中包括线性回归方程的系数和其他有关回归模型的统计信息。
-第一个值为截距项。
-第二个值为斜率项。
三、回归分析：1. 在Excel中选择一个空白单元格，键入“=LINEST(Y数据范围，X数据范围，TRUE，TRUE)”。
2. 按下“Ctrl + Shift + Enter”键以在该单元格中输入数组公式。
3. Excel将返回一列值，其中包括线性回归方程的系数和其他有关回归模型的统计信息。
-第一个值为截距项。
-第二个值为斜率项。
-第三个值为相关系数（R^2）。
-第四个值为标准误差。
四、数据可视化：1.选中自变量（X）和因变量（Y）的数据范围。
2.点击“插入”选项卡中的“散点图”图表类型。
3.选择一个散点图类型并插入到工作表中。
4.可以添加趋势线和方程式以可视化线性拟合结果。
-右键单击散点图上的一个数据点，选择“添加趋势线”。
-在弹出的对话框中选择线性趋势线类型。
-勾选“显示方程式”和“显示R^2值”选项以显示线性回归方程和相关系数。
五、解读结果：1.截距项表示在自变量为0时，因变量的预测值。
2.斜率项表示因变量随着自变量变化而变化的速率。
3.相关系数（R^2）表示自变量对因变量的解释力，范围从0到1，越接近1表示拟合的越好。
4.标准误差表示拟合线与实际数据之间的平均误差。
第四章 线性回归分析
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
第04章 多元回归分析1
∑
y t2
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4.6 多元回归的假设检验
虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身 却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否 显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不 是。如何判断呢？ 与一元回归模型相同，如果用真实的但不可观察的σ2 的无偏估计量代替σ2，则OLS估计量服从自由度为 n－3 的 t 分布，而不是正态分布。
2
可以证明：
ESS = b 2 ∑ y t x 2 t + b 3 ∑ y t x 3 t RSS = R =
2
20
(4.19) (4.20) (4.21)
∑ b ∑
2
y t2 −b 2 ∑ y t x 2 t − b 3 ∑ y t x 3 t y t x 2 t + b3 ∑ y t x 3 t
15
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4.4 OLS估计量的方差与标准误
计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间； （2）检验统计假设。
var (b 2 ) = se ( b 2 ) =
(∑
x
2 2t
)(∑
∑
x
2 3t
) − (∑
x 32t
x 2t x3t )
2
⋅σ
2
(4.12) (4.13)
var( b 2 )
(4.26)
在给定显著性水平下，检验B2的置信区间是否包含0，若没有 拒绝原假设，否则接受原假设。
24
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4.7.2 显著性检验法
2、显著性检验法：检验H0：B2＝0，H1：B2
≠0
知识讲解-回归分析的基本思想及其初步应用(文、理)
回归分析的基本思想及其初步应用【学习目标】1. 通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤。
2. 能作出散点图，能求其回归直线方程。
3. 会用所学的知识对简单的实际问题进行回归分析。
【要点梳理】要点一、变量间的相关关系1. 变量与变量间的两种关系：（1） 函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积．S 与半径r 之间的关系S=πr 2为函数关系．（2）相关关系：这是一种非确定性关系．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，这两个变量之间的关系叫做相关关系。
例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系． 2. 相关关系的分类：（1）在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量； （2）两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩． 3. 散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据．4. 回归分析：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
要点二、线性回归方程：1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
2．回归直线方程ˆˆˆybx a =+ 对于一组具有线性相关关系的数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- 其中x 表示数据x i （i=1，2，…，n ）的均值，y 表示数据y i （i=1，2，…，n ）的均值，xy 表示数据x i y i （i=1，2，…，n ）的均值．a 、b 的意义是：以a 为基数，x 每增加一个单位，y 相应地平均变化b 个单位．要点诠释：①回归系数121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，也可以表示为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，这样更便于实际计算。
回归分析回归诊断
0.925064 0.855744
0.814528
0.192504 19
方差分析
回归分析 残差 总计
df 4
14 18
SS 3.077652 0.518811 3.596463
Intercept X Variable 1 X Variable 2 X Variable 3 X Variable 4
还有模型的设定
标准的回归假定：
1，关于模型设定的假定 2，关于误差的假定 3，关于预测变量的假定
非随机的 其取值是误差取得的，但几乎不可能。测量误差将 影响到误差方差，相关系数，复相关系数及回归系数 的估计，其影响程度的大小取决于多个因素。 是线性无关的
4，关于观测的假定 所有观测是同样可靠性
数据的诊断 异常值 强影响点 假定是否满足
y
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
x 40
存在一个有影响观测值的散点图
有影响的观测值 (图示)
y
12
10
8
6
4
存在影响值的趋势
2
有影响的观
测值
0
0
10
20
30
x 40
存在一个有影响观测值的散点图
有影响的观测值 (图示)
y
12
10
不存在影响
8
值的趋势
6
4
存在影响值的趋势
2
有影响的观
测值
0
0
10
20
其次，必须确定“度量影响的尺度是什么？”为 了定量地刻划影响的大小，迄今为止已提出多种 尺度，基于置信域的尺度，基于似然函数的尺度 等等。
回归分析
回归分析回归分析（Regression Analysis ）是研究因变量y 和自变量x 之间数量变化规律，并通过一定的数学表达式来描述这种关系，进而确定一个或几个自变量的变化对因变量的影响程度。
简约地讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系，这个函数称为回归函数，在实际问题中称为经验公式。
回归分析所研究的主要问题就是如何利用变量X ，Y 的观察值（样本），对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等。
在SPSS 中的“Analyze ”菜单下的“Regression ”项是专门用于回归分析的过程组。
单击该项，将打开“Regression ”的右拉式菜单，菜单包含如下几项：1.Linear 线性回归。
2.Curve Estimation 曲线估计。
3.Binary Logistic 二元逻辑分析。
4.Multinomial Logistic 多元逻辑分析。
5.Ordinal 序数分析。
6.Probit 概率分析。
7.Nonlinear 非线性估计。
8.Weight Estimation 加权估计。
9.2-Stage Least Squares 两段最小二乘法。
本课程将介绍其中的“Linear ”、“Curve Estimation ”和“Nonlinear ”项过程的应用。
一元回归分析在数学关系式中只描述了一个变量与另一个变量之间的数量变化关系，则称其为一元回归分析。
其回归模型为i i i bx a y ε++=，y 称为因变量，x 称为自变量，ε称为随机误差，a ,b 称为待估计的回归参数，下标i 表示第i 个观测值。
若给出a 和b 的估计量分别为b aˆ,ˆ则经验回归方程：ii x b a y ˆˆˆ+=，一般把i i i y y e ˆ-=称为残差， 残差i e 可视为扰动ε的“估计量”。
例：湖北省汉阳县历年越冬代二化螟发蛾盛期与当年三月上旬平均气温的数据如表1-1，分析三月上旬平均温度与越冬代二化螟发蛾盛期的关系。
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，回归分析可以帮助我们预测未来的趋势，分析变量之间的影响关系，以及找出影响因变量的主要因素。
本文将介绍回归分析的基本概念、常见方法和实际应用。
首先，回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归两种基本类型。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，而多元线性回归则是指有多个自变量和一个因变量的情况。
在进行回归分析时，我们需要先确定自变量和因变量的关系类型，然后选择合适的回归模型进行拟合和预测。
常见的回归模型包括最小二乘法、岭回归、Lasso回归等。
最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化残差平方和来找到最佳拟合直线或曲线。
岭回归和Lasso回归则是在最小二乘法的基础上引入了正则化项，用于解决多重共线性和过拟合的问题。
选择合适的回归模型可以提高模型的预测准确性和稳定性。
在实际应用中，回归分析可以用于市场营销预测、金融风险评估、医学疾病预测等领域。
例如，我们可以利用回归分析来预测产
品销量与广告投放的关系，评估股票收益率与市场指数的关系，或
者分析疾病发病率与环境因素的关系。
通过回归分析，我们可以更
好地理解变量之间的关系，为决策提供可靠的依据。
总之，回归分析是一种强大的统计工具，可以帮助我们理解变
量之间的关系，预测未来的趋势，并进行决策支持。
在实际应用中，我们需要选择合适的回归模型，进行数据拟合和预测分析，以解决
实际问题。
希望本文对回归分析方法有所帮助，谢谢阅读！。
如何进行回归分析：步骤详解(Ⅰ)
回归分析是一种统计学方法，用于探索和解释变量之间的关系。
它可以帮助研究者理解变量如何相互影响，从而预测未来的趋势或结果。
在进行回归分析之前，需要先了解一些基本概念和步骤。
第一步：收集数据进行回归分析的第一步是收集相关数据。
这些数据可以是实验数据，调查结果，或者是已有的历史数据。
确保数据的准确性和完整性对于回归分析的结果至关重要。
第二步：确定变量在回归分析中，通常会有两种变量：自变量和因变量。
自变量是用来预测因变量的变量，而因变量则是被预测的变量。
在选择自变量时，需要考虑其与因变量的相关性，避免选择无关的变量。
第三步：建立模型建立回归模型是回归分析的核心步骤。
最常见的回归模型是线性回归模型，它假设自变量与因变量之间存在线性关系。
除了线性回归模型外，还有多项式回归模型、对数回归模型等。
选择合适的模型需要根据实际情况和数据特点进行判断。
第四步：拟合模型一旦确定了回归模型，就需要利用数据对模型进行拟合。
拟合模型的过程是通过最小化残差，来确定模型的参数估计值。
残差是观测值与模型预测值之间的差异，拟合模型的目标是使残差尽可能小。
第五步：评估模型评估模型的好坏是回归分析中的关键步骤。
常用的评估方法包括R方值、残差分析、假设检验等。
R方值是用来衡量模型对观测数据的拟合程度，值越接近于1表示模型拟合得越好。
残差分析可以帮助检验模型的假设是否成立，假设检验则可以用来检验模型的显著性。
第六步：预测结果一旦建立了合适的回归模型，并对模型进行了评估，就可以利用模型进行预测。
预测结果可以帮助研究者了解自变量对因变量的影响程度，从而进行合理的决策。
需要注意的是，回归分析只能用来观察变量之间的相关关系，并不能说明因果关系。
在进行回归分析时，需要注意变量选择、模型建立、模型评估等步骤，以确保分析结果的准确性和可靠性。
总之，回归分析是一种强大的工具，可以帮助研究者理解变量之间的关系，并进行预测和决策。
通过深入了解回归分析的基本步骤和方法，可以更好地应用这一方法来解决实际问题。
《回归分析》课件 刘超——回归分析教学大纲-hep
回归分析教学大纲概述本书主要内容、特点及全书章节主要标题并附教学大纲本书基于归纳演绎的认知规律，把握统计理论的掌握能力和统计理论的应用能力的平衡，依据认知规律安排教材各章节内容。
教材不仅阐述了回归分析的基本理论和具体的应用技术，还按照认知规律适当拓宽学生思维，介绍了伴前沿回归方法。
教材采用了引例、解题思路、解题模型、概念、案例、习题、统计软件七要素合一的教材内容安排模式，有助于培养学生的统计思维与统计能力。
全书共分14章，包括绪论、一元线性回归、多元线性回归、模型诊断、自变量的问题、误差的问题、模型选择、收缩方法、非线性回归、广义线性模型、非参数回归、机器学习的回归模型、人工神经网络以及缺失数据等内容。
第1章对回归分析的研究内容和建模过程给出综述性介绍；第2章和第3章详细介绍了一元和多元线性回归的参数估计、显著性检验及其应用；第4章介绍了回归模型的诊断，对违背回归模型基本假设的误差和观测的各种问题给出了处理方法；第5章介绍了回归建模中自变量可能存在的问题及处理方法，包括自变量的误差、尺度变化以及共线性问题；第6章介绍了回归建模中误差可能存在的问题及处理方法，包括广义最小二乘估计、加权最小二乘估计；第7章介绍了模型选择方法，包括基于检验的方法、基于标准的方法；第8章介绍了模型估计的收缩方法，包括岭回归、lasso、自适应lasso、主成分法、偏最小二乘法；第9章介绍了非线性回归，包括因变量、自变量的变换以及多项式回归、分段回归、内在的非线性回归等方法；第10章介绍了广义线性模型，包括logistic回归、Softmax回归、泊松回归等；第11章介绍了非参数回归的方法，包括核估计、局部回归、样条、小波、非参数多元回归、加法模型等方法；第12章介绍了机器学习中可用于回归问题的方法，包括决策树、随机森林、AdaBoost模型等；第13章介绍了人工神经网络在回归分析中的应用；第14章介绍了常见的数据缺失问题及处理方法，包括删除、单一插补、多重插补等。
回归分析中的拟合优度检验方法的比较研究论文素材
回归分析中的拟合优度检验方法的比较研究论文素材回归分析中拟合优度检验方法的比较研究1. 引言回归分析是分析和建立因变量与自变量之间关系的一种常用统计方法。
在进行回归分析时，评估模型的好坏是非常重要的一步。
拟合优度检验方法旨在衡量回归模型对数据的拟合程度，常用的方法有均方根误差（RMSE）、决定系数（R^2）和调整决定系数（adjusted R^2）等。
2. 均方根误差（RMSE）均方根误差是衡量实际观测值与回归方程预测值之间差距的一种指标。
计算公式如下所示：RMSE = sqrt(Σ(实际观测值 - 预测值)^2 / n)其中n表示样本量。
RMSE的值越小，说明模型对观测值的拟合程度越好。
3. 决定系数（R^2）决定系数是衡量因变量变异性能够被自变量解释的比例。
其取值范围为0到1，越接近1说明模型对数据拟合得越好。
计算公式如下所示：R^2 = 1 - SSR / SST其中SSR表示回归平方和，SST表示总平方和。
R^2值越大，模型的解释效果越好。
4. 调整决定系数（adjusted R^2）调整决定系数是对决定系数进行修正的指标，避免了仅仅根据决定系数大小来选择模型的问题。
调整决定系数考虑了自变量的个数和样本量的影响，因此更具有说服力。
计算公式如下所示：adjusted R^2 = 1 - (1 - R^2) * (n - 1) / (n - p - 1)其中n表示样本量，p表示自变量的数量。
调整决定系数的值越大，模型越优秀。
5. 不同拟合优度检验方法的比较研究根据以上介绍的三种方法，我们可以发现它们对于回归模型的拟合优度均有所衡量，但各有侧重。
均方根误差主要关注实际观测值与预测值之间的误差程度，越小越好；决定系数主要关注自变量对因变量的解释程度，越接近1越好；调整决定系数在决定系数的基础上，进一步考虑了变量个数和样本的量，可以更准确地衡量模型的拟合程度。
在实际应用中，根据具体问题和目标，选择合适的拟合优度检验方法是十分关键的。
第四讲-统计学中的相关分析
3．当 r ＝1 时，即零相关，表示 x和 y 没有线性相关关系。
零相关表示x和y不相关或存在非线性关系。 4．当 0< r < 1时，表示 x和 y存在着一定的线性相关关系。
r < 0.3称为微弱相关; 0.3 ≤ r < 0.5称为低度相关;
0.5 ≤ r < 0.8称为显著相关;
0.8 ≤ r < 1称为高度相关;
如果相关关系表现为因素标志和结果标志的数值在变动方向上保持 一致，则称为正相关。 例如家庭收入增加，银行储蓄也会增加。
如果相关关系表现为因素标志和结果标志的数值在变动方向上相 反，则称为负相关。 例如企业的生产规模越大，产品的单位成本就越低。
现象总体表现出来的正相关或负相关是有一定条件和范围的。某种 现象不会永远以正相关表现，也不会永远以负相关表现。 例如，在一定的范围内，增加施肥量能提高农作物的产量，但如果 施肥过多，反而使庄稼只长叶子，不长果实， 最后可能收获量很少。
0.99
6 9 080 2082 6 27 124 4022
即产品产量与单位成本呈现高度负相关。
2019/11/22
21
例8‐3 试根据下表分组资料计算某地人均收入与人均支出的相关系数。
某地人均收入与人均支出的样本资料
0123456
人均年收入 （千元）
1.0以下 1.0～2.0 2.0～3.0 3.0～4.0 4.0～5.0 5.0以上
2019/11/22
第八章 相关分析
14
协方差的正负号与相关方向的关系图示：
0123456
y
Ⅱ
Ⅰ
xx0 y y 0 (x x)( y y)为负
y
Ⅲ
“回归分析”
“回归分析”回归（regression）：发生倒退或表现倒退；常指趋于接近或退回到中间状态。
在线性回归中，回归指各个观察值都围绕、靠近估计直线的现象。
多元回归模型（multiple regression model）：包含多个自变量的回归模型，用于分析一个因变量与多个自变量之间的关系。
它与一元回归模型的区别在于，多元回归模型体现了统计控制的思想。
因变量（dependent variable）：也称为依变量或结果变量，它随着自变量的变化而变化。
从试验设计角度来讲，因变量也就是被试的反应变量，它是自变量造成的结果，是主试观测或测量的行为变量。
自变量（independent variable）：在一项研究中被假定作为原因的变量，能够预测其他变量的值，并且在数值或属性上可以改变。
随机变量（random variable）：即随机事件的数量表现。
这种变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的。
连续变量（continuous variable）：在一定区间内可以任意取值的变量，其数值是连续不断的，相邻两个数值可作无限分割，即可取无限个数值，比如身高、体重等。
名义变量（nominal variable）：本身的编码不包含任何具有实际意义的数量关系，变量值之间不存在大小、加减或乘除的运算关系。
随机变量（random variable）：即随机事件的数量表现。
这种变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的。
截距（intercept）：函数与y坐标轴的相交点，即回归方程中的常数项。
斜率（slope）：即回归方程中各自变量的系数。
它表示自变量一个单位的变化所引起的因变量的变化量，如果是线性模型，则在坐标图上表现为两个变量拟合直线之斜率。
偏效应（partial effect）：在控制其他变量的情况下，或者说在其他条件相同的情况下，各自变量X对因变量Y的净效应（net effect）或独特效应（unique effect）。
初中数学 如何进行数据的回归分析
初中数学如何进行数据的回归分析
在初中数学中，进行数据的回归分析通常是通过简单线性回归来进行的。
简单线性回归通常包括以下几个步骤：
1. 收集数据：首先，需要收集一组相关数据，通常是两组数据，一组作为自变量（x），另一组作为因变量（y）。
2. 绘制散点图：将收集到的数据绘制成散点图，以观察数据的分布情况和可能的线性关系。
3. 计算相关系数：计算自变量和因变量之间的相关系数，来衡量两组数据之间的线性关系强弱。
4. 拟合直线：利用最小二乘法，拟合一条直线来表示两组数据之间的线性关系，这条直线称为回归线。
5. 预测数值：利用回归线，可以进行数值的预测，例如根据一个自变量的数值，预测对应的因变量的数值。
这些是初中数学中常见的进行数据回归分析的步骤，希望能帮助你更好地理解。
如果有任何问题，请随时提出。
第4章 回归分析
r=1
r＝－1
y
y
x
x
r＜0：x与y负线性相关（negative linear correlation） r＞0：x与y正线性相关（positive linear correlation）
－1＜r＜0
0＜r＜1
y y
x
② 自由度
SST的自由度 ：dfT＝n－1 SSR的自由度 ：dfR＝1 SSe的自由度 ：dfe＝n－2 三者关系： dfT＝ dfR ＋dfe
③ 均方
MSR
SSR dfR
MSe
SSe dfe
④ F检验
F MSR MSe
F服从自由度为（1，n－2）的F分布
给定的显著性水平α下 ，查得临界值： Fα（1，n－2)
① 离差平方和
总离差平方和：
n
SST ( yi y)2 Lyy
i 1
回归平方和（regression sum of square） ：
n
SSR ( $yi y)2 b2 Lxx bLxy i 1
残差平方和 ： n SSe ( yi $yi )2 i 1
三者关系：
SST SSR SSe
性回归方程，其中b1,b2,…,bm 称为偏回归系数。。
设变量 x1, x2 , xm , y 有N组试验数据：
x11, x21, xm1, y1 x12 , x22 , xm2 , y2
回归系
数?
x1k , x2k , xmk , yk (k 1,2, , N )( N m)
回归系数的确定
根据最小二乘法原理 ：求偏差平方和最小时的回归系数。
试验设计与数据处理第4章回归分析
a' ln a
y' ln y
yˆ abx ln yˆ ln a xln b
yˆ a bx
a' ln a
b' ln b
对数函数 (logarithmic function)
x' lg x
yˆ a blg x
yˆ a bx'
x' ln x
yˆ a bln x
yˆ a bx'
幂函数 (power function)
（2）回归系数的确定 根据最小二乘法原理 ：求偏差平方和最小时的回归系数
偏差平方和：
n
n
Q ( yi $yi )2 ( yi a b1x1 b2x2 ... bmxm )2
i 1
i 1
根据：
Q 0
Q 0
a
bj
得到正规方程组，正规方程组的解即为回归系数。
应用条件：
注意：虽然模型要求因变量是连续数值变量，但对自变量的类型不限。若 自变量是分类变量，特别是无序分类变量，要转化为亚变量才能分析。对 于自变量是分类变量的情形，需要用广义线性回归模型分析。
－1≤r≤1 r＝±1：x与y有精确的线性关系
y
y
r=1 x
r＝－1
x
r＜0：x与y负线性相关（negative linear correlation） r＞0：x与y正线性相关（positive linear correlation）
y y
0＜r＜1 x
－1＜r＜0 x
r＝0
r＝0
y y
b0 11.9259 0.1424 5.8126 0.3515 2.8407 0.2706 6.1467 0.6382 9.1185
多变量回归拟合
多变量回归拟合
多变量回归是一种统计方法，用于分析多个自变量与一个因变量之间的关系。
拟合多变量回归模型的目标是找到一个函数，该函数可以最好地描述因变量与多个自变量之间的关系。
以下是拟合多变量回归模型的一般步骤：
收集数据：收集包含多个自变量和一个因变量的数据集。
确保数据的质量和完整性。
探索性数据分析：对数据进行初步分析，包括描述性统计、相关性分析和可视化等，以了解变量之间的关系。
选择模型：选择适当的多变量回归模型。
这可能涉及确定使用线性回归、多项式回归还是其他类型的回归模型，以及确定要包含的自变量。
拟合模型：使用选择的回归模型拟合数据。
这可以通过最小化残差平方和（最小二乘法）来完成，以找到最佳拟合参数。
评估模型：评估拟合的模型，包括检查模型的拟合优度、残差分析、参数估计的显著性等。
解释结果：解释拟合模型的结果，包括解释每个自变量对因变量的影响，以及模型的整体解释能力。
验证模型：使用新的数据验证模型的泛化能力，以确保
模型在新数据上的表现良好。
在实际应用中，拟合多变量回归模型可能会涉及到更复杂的问题，例如处理缺失数据、处理变量间的共线性等。
因此，在进行多变量回归分析时，需要注意选择适当的方法和技术来解决可能遇到的问题。
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通常选择的六类曲线如下：
（1）双曲线
（2）幂函数曲线 y=ax b , 其中 x>0,a>0
1 b a y x
（3）指数曲线 y=ae bx 其中参数 a>0.
e b / x 其中 a>0， （4）倒指数曲线 y=a
（5）对数曲线 y=a+blogx,x>0
（6）S 型曲线 y
(7) 多项式
对一元线性回归，取 p=1 即可
非线性回归函数nlinfit lsqnonlin，lsqcurvefit
y f ( x1, x2 , ,xp ; a1, a2 , , ak )
未知参数
此处有链接
1. 利用nlinfit函数作非线性拟合 调用格式 [beta, r, J, COVB,mse] = nlinfit( X,
年份 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
时间 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
人口（万人） 92420 93717 94974 96259 97542 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333
x f 1 1.5 2 3.9 4 6.6 7 11.7 9 15.6 12 13 18.8 19.6 15 20.6 17 21.1
根据散点图或者经验公式，确定函数的形式。
函数的形式分成两种：线性的（可化为线性的）和非线性的
线性的：
y=a1x1+a2x2+ …+amxm ,
要求m<n(样本容量） 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 可化为线性的：确定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), 设 y=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 非线性的线性化方法 两端取对数得：lg y = lg + lg x 令：y' = lgy，x'= lg x，则y' = lg + x'
图像
1 =1
0< < 1
=-1
<-1
-1< <0
双曲线函数 基本形式： 线性化方法 令：y' = 1/y，x'= 1/x, 则有y' = + x'
ˆ 0 ˆ 1 b ... ˆ p
Y1 Y Y 2 ... Yn
1 x11 1 x 21 X ... ... 1 x n1
x12 x 22 ... xn 2
... x1 p ... x 2 p ... ... ... x np
1 a be x
指数函数 基本形式： 线性化方法 两端取对数得：lny = ln + x 令：y' = lny，则有y' = ln + x 图像
<
负指数函数 基本形式： 线性化方法 两端取对数得：lny = ln + / x 令：y' = lny， x' = 1/x，则有y' = ln + x' 图像
ˆ1 a a ˆ2 ... ˆk a
残 差
雅 可 比 矩 阵
事先用m-文件 定义的非线性 函数
y, fun, b0, options)
回 归 系 数 初 值 优 化 属 性 设 置
x11 x 21 X xn1
x12 x22 xn 2
x1 p y1 y x2 p y 2 xnp yn
案例
根据经验，人口增长的预测模型通常采用Logistic函数
A y (t ) Ct 1 Be
其中y( t )为t 时刻人口数，A，B，C为常数。试根据1975-2005 年的中国人口数据（见下页表），得出中国人口增长预测模型。
人口（亿人） 9.242 9.3717 9.4974 9.6259 9.7542 9.8705 10.0072 10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.93 11.1026 11.2704 11.4333
年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
拟合与回归
四川师范大学赵凌
曲线拟合
一、 拟 合
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准 则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y + + + + + + + + +
x
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
图像
<0
>0
对数函数 基本形式： 线性化方法
x'= lgx , 则有y' = + x'
图像
0
<0
S 型曲线 基本形式：
线性化方法 令：y' = 1/y，x'= e-x, 则有y' = + x'
图像
多项式曲线 polyfit polyval
基本形式：
线性化方法 令：y' = y，x1=x, x2=x2, …, xn= xn 则有
图像
对于不能化为线性模型的非线性模型， 应直接用非线性最小二乘法处理
线性回归：regress
y 0 1 x1 ... p x p
1、确定回归系数的点估计值：
b=regress( Y, X )