高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习题及答案

三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性 描述： 一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间 (a, b) 内，如果 f ′ (x) > 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递增；如果 f ′ (x) < 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减． 注：在 (a, b) 内可导的函数 f (x) 在 (a, b) 上递增（或递减）的充要条件是 f ′ (x) ⩾ 0 （或 f ′ (x) ⩽ 0 ），x ∈ (a, b) 恒成立，且 f ′ (x) 在 (a, b) 的任意子区间内都不恒等于 0 ． 例题： 求下列函数的单调区间： （1）f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 ；（2）f (x) = x 函数的极值定义 已知函数 y = f (x) ，设 x 0 是定义域 (a, b) 内任一点，如果对 x0 附近的所有点 x，都有 f (x) < f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值，记作
y 极大 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极大值点． 如果在 x 0 附近都有 f (x) > f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值，记作
1 3 x − x2 + 2x + 1 ． 3 解：（1）函数的定义域为 R．
（3）f (x) =
f ′ (x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1),
令 f ′ (x) > 0 ，解得
x < −1或x > 3,
令 f ′ (x) < 0 ，解得
−1 < x < 3.
所以 f (x) 的单增区间为 (−∞, −1)，(3, +∞)；单减区间为 (−1, 3) ． （2）f (x) 的定义域为 (0, +∞)．
x y′ y
(−∞, −1) −1 + 0 ↗ 极大值
(−1, 3) − ↘
3 0
极小值
(3, +∞) + ↗
所以，当 x = −1 时，函数 y = f (x) 有极大值，且 f (−1) = 10 ；当 x = 3 时，函数 y = f (x) 有极小值，且 f (3) = −22 ． 已知函数 f (x) = x 3 − 3ax 2 + 2bx 在点 x = 1 处有极小值 −1，试确定 a ，b 的值． 解：由已知得 f (1) = −1，f ′ (1) = 0． 求导得
f ′ (x) = 3x2 − 6ax + 2b,
所以
{
解得 a =
f (1) = 1 − 3a + 2b = −1, f ′ (1) = 3 − 6a + 2b = 0.
1 1 ，b = − ．代入检验，符合题意． 3 2
已知 f (x) = ax 3 + 3x 2 − x + 1 在 R 上无极值点，求 a 的取值范围． 解：
f ′ (x) = (kx + 1)ekx = 0,
得
x≠−
若 k > 0，则当 x ∈ (−∞, −
1 (k ≠ 0). k
(
)
1 ) 时，f ′ (x) < 0 ，函数 f (x) 单调递减；当 k
1 , +∞) 时，f ′ (x) > 0 ，函数 f (x) 单调递增； k 1 1 若 k < 0 ，则当 x ∈ (−∞, − ) 时，f ′ (x) > 0 ，函数 f (x) 单调递增；当 x ∈ (− , +∞) k k 时，f ′ (x) < 0 ，函数 f (x) 单调递减． x ∈ (−
f ′ (x) = 3ax2 + 6x − 1,
若 f (x) 在 R 上无极值点，则 f (x) 在 R 上恒增或恒减，所以 f ′ (x) ⩾ 0 或 f ′ (x) ⩽ 0 在 R 上恒成立． 当 a = 0 时，f ′ (x) = 6x − 1，在 R 上 f ′ (x) 有正有负，不符题意； 当 a ≠ 0 时，f ′ (x) 为二次函数，令f ′ (x) 中
a ． x
f (x) = x − 2 ln x, f ′ (x) = 1 −
2 (x > 0), x
因而 f (1) = 1 ，f ′ (1) = −1 ，所以曲线 y = f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为
y − 1 = −(x − 1),
即
x + y − 2 = 0. a x−a = , x > 0 知： x x ①当 a ⩽ 0 时，f ′ (x) > 0 ，函数 f (x) 为 (0, +∞) 上增函数，函数 f (x) 无极值； ②当 a > 0 时，由 f ′ (x) = 0 ，解得 x = a．又当x ∈ (0, a)时，f ′ (x) < 0 ；当 x ∈ (a, +∞) 时，f ′ (x) > 0 ，从而函数 f (x) 在 x = a 处取得极小值，且极小值为 f (a) = a − a ln a，无极
解：1 极大值点 x 0 ，首先满足 f ′ (x 0 ) = 0，其次，当 x < x0 时，f ′ (x) > 0 ，当 x > x0 时， f ′ (x) < 0 ．
求函数 y = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 的极值． 解：y ′ = 3x 2 − 6x − 9 ，令 y ′ = 0 ，即 3x2 − 6x − 9 = 0，解得 x1 = −1 ，x2 = 3． 当 x 变化时，y ′ ，y 的变化情况如下表：
高中数学选修1-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章导数及其应用 3.3 导数的应用
一、学习任务 1. 能利用导数研究函数的单调性；会求一些函数的单调区间． 2. 掌握利用导数求函数的极值． 3. 掌握利用导数求连续函数在闭区间上的最值．
二、知识清单
利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值 利用导数求函数的最值
f ′ (x) = 1 −
1 x−1 = , x x
令 f ′ (x) > 0 ，解得
x > 1;
令 f ′ (x) < 0 ，解得
0 < x < 1.
所以 f (x) 的单增区间为 (1, +∞)，单减区间为 (0, 1)． （3）f (x) 的定义域为 R．
f ′ (x) = x2 − 2x + 2 = (x − 1)2 + 1, f ′ (x) > 0 在 R 上恒成立，所以 f (x) 在 R 上恒增．
f ′ (x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1).
令 f ′ (x) = 0 得 x 1 = −1 ，x 2 = 3，求得
f (−2) = −1, f (−1) = 6, f (3) = −26, f (4) = −19.
所以函数 f (x) 在 [−2, 4] 上的最大值为 6 ，最小值为 −26 ． （2）（1）中 f (x) 导函数已求，令 f ′ (x) > 0 可得 x < −1 或 x > 3． 令 f ′ (x) < 0 可得 −1 < x < 3 ． 则 f (x) 在 (0, 4) 内的单调性为：在 (0, 3) 单调递减，在 (3, 4) 单调递增，所以 f (x) 在 (0, 4) 上的最小值为 f (3) = −26 ． 已知函数 f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c 在 x = − （1）求 a ，b 的值及函数 f (x) 的单调区间；
若函数 f (x) = x 3 − 3ax 2 − 2x + 5 在 (0, 1) 内单调递减，求实数 a 的取值范围． 解：求导，得
f ′ (x) = 3x2 − 6ax − 2,
因为 f (x) 在 (0, 1) 内单调递减，所以不等式 3x2 − 6ax − 2 ⩽ 0 在 (0, 1) 内恒成立，即
（2）由 f ′ (x) = 1 − 大值． 综上，当 a ⩽ 0 时，函数 f (x) 无极值；当 a > 0 时，函数 f (x) 在 x = a 处取得极小值 a − ln a，无极大值．
3.利用导数求函数的最值 描述： 一般地，求函数 y = f (x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数 y = f (x) 在 (a, b) 内的极值； （2）将函数 y = f (x) 在各极值与端点处的函数值 f (a)，f (b) 比较，其中最大一个是最大值， 最小的一个是最小值． 例题： 下列结论正确的是（ ） A．在区间 [a, b] 上，函数的极大值就是最大值 B．在区间 [a, b] 上，函数的极小值就是最小值 C．在区间 [a, b] 上，函数在 x = a 和 x = b 处取得最大值和最小值 D．在区间 [a, b] 上连续的函数 f (x) 在 [a, b] 上必有最大值和最小值 解：D 由于连续函数在给定的闭区间上不一定有极值，但必有最值，且最值有可能在端点处取得，也有 可能在极值点处取得，因此前三个选项都不正确．故选 D． 已知 f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 1． （1）求 f (x) 在区间 [−2, 4] 上的最大值与最小值； （2）求 f (x) 在区间 (0, 4) 上的最小值． 解：（1）
a⩾
令 g(x) =
1 1 x− , 2 3x
1 1 ，则 x− 2 3x g ′ (x) = 1 1 + > 0, 2 3x2 1 1 1 − = , 2 3 6
所以 g(x) 在 (0, 1) 内是增函数，且