期权定价的二叉树模型(ppt 39页)
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5-2_期权定价的二叉树模型
将此应用于图4-22的股价二叉树，得
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48
第六节 实证数据下二叉树模型分析
1
t
E
S S0
pu
1
pd
t
E
S S0
1
t
2
p1 pu d
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第六节 实证数据下二叉树模型分析
Hull-White算法：
令：
p1
2
则：
u d 1 t
2
u d 2 t
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11
p pu 3S0 qu 2dS0 q pu 2dS0 qud 2 S0
u 3 S0
pu 3S0 qu 2dS0
u 2dS0
X
pu 2dS0 qud 2 S0
ud 2 S0 pud 2 S0 qd 3S0
p pu 2dS0 qud 2S0 q pud 2S0 qd 3S0 d 3S0
第五章（下）：期权定价的二叉树模型
第一节 股票价格模型 第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价 第三节 美式期权定价 第四节 敲出期权定价 第五节 回望期权定价 第六节 实证数据下二叉树模型分析 第七节 N期二叉树模型的定价和对冲风险
1
第一节 股票价格模型
假设股票的价格在单位时间内只能够沿着两个方向变动。图4-1和图 4-2采用二叉树的形式列出了可能变动的两个方向，将来的价格等于现值 与相应收益率的乘积。
23
第三节 美式期权定价
如图4-14所示的分枝图，在节点处有两个选择：
（1）立即执行（在
）t； 2
t 3
（2）继续持有到下一期 再执行。
策略：计算每一种方案的价值，再选择最大的。
期权二叉树定价模型
期权二叉树定价模型期权二叉树定价模型是一种常用的金融衍生品定价模型，用于计算期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，将时间分为离散的步长，在每个步长上模拟期权的价格变化。
在期权二叉树定价模型中，二叉树的每个节点表示期权的一个可能价格，树的每一层表示时间的一个步长。
从根节点开始，根据期权的流动性和到期前可执行的次数，构建二叉树模型。
在每个节点上，计算期权的价值，以确定其合理价格。
在构建二叉树模型时，需要考虑期权的标的价格、波动率、到期时间和无风险利率等因素。
这些因素将被用来计算每个节点上的期权价格。
在每个步长上，通过向上或向下移动树的节点，模拟标的价格的波动，从而更新节点上的期权价格。
在二叉树的叶子节点上，期权的价值是已知的，可以直接计算。
在其他节点上，通过对未来价格的概率分布进行加权，计算期权的合理价格。
树的最后一层即为到期时间，即期权到期时的状态。
根据到期状态计算出期权的现值，并通过向根节点回溯，确定期权的公平价格。
期权二叉树定价模型的优点在于能够在离散时间步长上快速确定期权的价格，并且可以灵活地应用于不同类型的期权合约。
此外，该模型对于包含多个期权合约的复杂结构，如欧洲期权、美式期权和亚洲期权等，也具有较高的适用性。
然而，期权二叉树定价模型也存在一些局限性。
首先，该模型假设标的价格的波动服从几何布朗运动，这在实际市场中并不成立，因此模型的有效性有一定的限制。
其次，通过选择适当的步长数和树的深度来平衡精确度和计算效率是一个挑战。
总的来说，期权二叉树定价模型是一个常用且有效的金融工具，可以用于估计期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，通过离散时间步长模拟期权的价格变化，并通过回溯计算确定期权的公平价格。
虽然该模型存在一定的局限性，但在实际应用中仍被广泛应用。
期权二叉树定价模型是一种基于离散时间步长和二叉树结构的金融衍生品定价模型。
它是Black-Scholes模型的一种改进方法，通过模拟期权价格的变化来计算期权的公平价格。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
期权定价的二叉树模型介绍
险利率。
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
第八讲期权二叉树定价模型PPT课件
（9.1）
该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻 的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格变化与股票价格 变化之比。
2020/1/13
9
用r表示无风险利率，该组合的现值应为：
(Su fu )erT
而构造该组合的成本是：
S f
因此
2020/1/13
S f (Su fu )erT
得
Δ=0.25
是否一定为正?
因此，一个无风险的组合由0.25股股票和一个期权空 头构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在 期权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。
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5
在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险 利率。
假设无风险利率为年率12％。则该组合的现值应为：
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3
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4
由图8-1可知，当股票价格从$20上升到$22时，该证 券组合的总价值为22Δ-1；当股票价格从$20下降到$18时， 该证券组合的总价值为18Δ。
完全可以选取某个Δ值，使得该组合的终值对在上述两 种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。 由
22Δ—1=18Δ
之所以如此，原因在于，我们并不是在完全的条件下 为期权估值，而只是根据标的股票的价格估计期权的价值。 未来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中。它说明， 当根据股票价格为期权估值时，我们不需要股票价格上涨下 降的概率。
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12
8.2 风险中性估值
8.2.1 风险中性估值原理
式（9.2）中的变量p可以解释为股票价格上升的概率， 于是变量1—p就是股票价格下降的概率。这样，
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第三节-二叉树模型课件
表示了看涨期权获得完全保值时，所需要的 股票的数量。
思考：当二叉树步数增加时，delta是否会变化？
PPT学习交流
28
二、两期二叉树模型与delta动态保值
考虑两期二叉树
22
B
24.2 D 3.2
20 1.2823
A
B点处的delta值：
2.0257
19.8
E
0.0
18
C
0.0
16.2
D 3.20 0.73 24.219.8
PPT学习交流
12
一、单期二叉树
无套利定价法的思路 • 首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组
成的证券组合，使得该组合为无风险组合，即：
Su D – ƒu
Sd D – ƒd
D su fuD sd fd
由此计算出该组合为无风险时的Δ值。
PPT学习交流
13
一、单期二叉树
• 如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值 一定是（SuΔ-fu）e-rT,而构造该组合的成本是SΔf，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即 SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT ，所以
PPT学习交流
11
一、单期二叉树
一般的例子
• 假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价 格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权 的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者 上升到Su，或者下降到Sd（d<exp(rT)<u）。当 股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu， 如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。
PPT学习交流
4
一、单期二叉树
例：假设一种不支付红利股票目前的市价为20元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是22元，要 么是18元。假设现在的无风险年利率等于10%（连 续复利），现在我们要找出一份3个月期协议价格 为21元的该股票欧式看涨期权的价值。
第八章 期权定价二叉树模型[优质ppt]
![第八章 期权定价二叉树模型[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/3bbb042902768e9950e73815.png)
• 3、例2
• 假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价 为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利 年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期 权协议价格为50元，求该期权的价值。
4、倒推定价法总结
5、有红利资产期权的定价
• 课后自行阅读
6、构造树图的其他方法和思路
• 不作要求
畅想网络
Sert pSu(1p)Sd 在股票价格服从BS模型所假定的几何布朗运动下，
其方差为：S2e2rt(e2t 1)。而在S二叉树模型下
的方差为：pS2u2 (1p)S2d2 S2pu(1p)d。故：
S2e2rt(e2t 1) pS2u2 (1p)S2d2 S2 pu(1p)d
第三节 利用二叉树模型给美式期权定价
• 一，基本方法 • 在每个节点都将二叉树模型所计算出来
的值与提前执行所得的收益进行比较， 取较大者。 • 二、例1
• 一份2年期的美式股票看跌期权，期权执 行价格为52，当前价格为50。假设用两 步二叉树模型，每步长一年，每步股票 价格或上升20%，或下跌20%。无风险利 率为5%。见下图
S0u3 S0u2d S0ud2 S0d3
三、单步二叉树定价模型
• 构造由 单位的股票多头和一个单位衍生 证券的空头形成的投资组合，则
• 如股票价格上升，则投资组合的价值为：
S0u fu
• 若下跌，则组合的价值为：
•
S0d fd
• 如果 取特殊值，使得股价无论上升还 是下降，其价值都相等，即
将上述两个方程简化，有： e rt p u (1 p ) d e 2r t 2 t p u 2 (1 p ) d 2 在 加 入 C ox、 R oss和 R ubinstein 用 的 第 三 个 条 件 u= 1
金融工程概论课件 - 期权(二叉树)
主要内容
z 期权合约及市场运作 z 期权交易策略 z 股票期权的性质 z 期权定价
¾ 二叉树 ¾ BS模型
z 股指期权、货币期权与期货期权 z 期权价格的敏感性及套期保值
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树用来表示在期权期限内可能会出现的股票 价格变动的路径。
Su
fu
S
f
Sd
40
9.4636
72
0
48
4
32
20
p = e0.05*1 − 0.8 = 0.6282 1.2 − 0.8
fu = e−0.05 (0.6282 * 0 + 0.3718 * 4) = 1.4147
fd = e−0.05 (0.6282 * 4 + 0.3718 * 20) = 9.4636
f = e−0.05 (0.6282*1.4147 + 0.3718*9.4636)
d = 1 = 0.7408 1.3499
p = e0.05 − 0.7408 = 0.5097 1.3499 − 0.7408
e0.05 = 1.0513
e0.3 = 1.3499
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树定价的一般方法
(ud (=u1)d = 1)
倒推定价法
j
9 支付红利率 9 支付红利额
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 对于不同标的资产
p= a−d u−d
a = e(r−q)Δt a = e(r−rf )Δt
a =1
支付连续股息收益率股票或股指 货币
期货
u = eσ Δt d = e−σ Δt
z 期权合约及市场运作 z 期权交易策略 z 股票期权的性质 z 期权定价
¾ 二叉树 ¾ BS模型
z 股指期权、货币期权与期货期权 z 期权价格的敏感性及套期保值
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树用来表示在期权期限内可能会出现的股票 价格变动的路径。
Su
fu
S
f
Sd
40
9.4636
72
0
48
4
32
20
p = e0.05*1 − 0.8 = 0.6282 1.2 − 0.8
fu = e−0.05 (0.6282 * 0 + 0.3718 * 4) = 1.4147
fd = e−0.05 (0.6282 * 4 + 0.3718 * 20) = 9.4636
f = e−0.05 (0.6282*1.4147 + 0.3718*9.4636)
d = 1 = 0.7408 1.3499
p = e0.05 − 0.7408 = 0.5097 1.3499 − 0.7408
e0.05 = 1.0513
e0.3 = 1.3499
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树定价的一般方法
(ud (=u1)d = 1)
倒推定价法
j
9 支付红利率 9 支付红利额
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 对于不同标的资产
p= a−d u−d
a = e(r−q)Δt a = e(r−rf )Δt
a =1
支付连续股息收益率股票或股指 货币
期货
u = eσ Δt d = e−σ Δt
期权定价的二叉树模型介绍PPT课件( 24页)
但不能虚伪;可以平凡，但不能平庸;可以浪漫，但不能浪荡;可以生气，但不能生事。
•
17、人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的东西。
•
18、在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。
在计算Pu和Pd时，应使用各自持有价值或执行价值中较大的一个。
Pu=4.96
对应执行价格为： Pu=0
Pd=23.4
Pd=24
P=12.94
21
6.5 股价指数期权、外币期权
【例6-8】 有一项美式的英镑看跌期权，期限为6个月，即期 汇率为$1.51/₤，期权的执行价格为$1.50/ ₤，英镑兑美元 的波动性或易变性为12%。美国的无风险利率为10%，英 国的无风险利率为11%。建立一个以2个月为1期的外币二 叉树期权模型。
17
6.3 期权定价N期模型的通用公式
n
c e rT[
n ! q j( 1 q )n jmsa ju d n x j ( k ,0 )]
j o j! (n j)!
n
p e rT[
n ! qj(1 q )n jmka sx ju dn (j,0 )]
无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃!
•
5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。
•
6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
金融数学第五讲期权定价 二叉树方法ppt课件
推广到一般情形
一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 T
Su
S
ƒu
ƒ
Sd
ƒd
推广到一般情形
(continued)
考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头
当 D满足下面的条件时，组合为无Su风D –险ƒ：u
SuD
–
ƒu
=
Sd
DS–dDƒd–
or ƒd
D ƒu fd Su Sd
S*(iDt)S(iDt)
当 iDt 时
S * (iD t) S (iD t) D e r( iD t) 当 iDt 时（表示红利）
在 iDt 时刻：
当 iDt 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*ujdijD er(iDt) 当 iDt 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*u jdi j
无风险组合为: 持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头
三个月后组合的价值为 22´0.25 – 1 = 4.50 组合在时刻0的价值为 4.5e – 0.12´0.25 = 4.3670
期权的估值
资产组合为 持有 0.25份股票
成为一份看涨期权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670 股票的价值是 5.000 (= 0.25×20 ) 从而，期权的价格为 0.633 (= 5.000 – 4.367 )
72 D0
48
E
4
32 F 20
美式期权该如何估值？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
金融工程二叉树模型介绍PPT课件
22
B
24.2 D 3.2
20 1.2823
A
2.0257 18
C
19.8
E
0.0
0.0
16.2
节点B的价值
F 0.0
= e–0.12×0.25(0.6523×3.2 + 0.3477×0) =
2.0257
节点A的价值
= e–0.12×0.25(0.6523×2.0257 +
0.3477×0)
1111..118
一个例子
K = 52, 时间步= 1年 r = 5%
50 4.1923
A
60
B
1.4147
40
C
9.4636
72 D1111..119
当期权为美式期权时 会如何？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
1111..220
构造一个无风险证券组合
考虑一个证券组合: D 股股票多头 一个看涨期权空头
22D – 1
18D
证券组合是无风险的，当22D – 1 = 18D 或 D = 0.25
1111.5
证券组合的价值
无风险证券组合是:
0.25 股股票多头 1 个看涨期权空头
证券组合价值3个月时是 22×0.25 – 1 = 4.50
证券组合的现值是 4.5e – 0.12×0.25 = 4.3670
1111.6
期权的估值
证券组合为 0.25 股股票多头 1个看涨期权空头
现值是4.367 股票价值是
金融工程二叉树定价课件
35
u和d 的选取
已知股票的波动率，一种 u 和 d 的取法 ud = 1 u = e Dt d = e- Dt
若d>erT，则在期初借钱买入股票，到期股价即 使下跌到dS0，也要卖出股票，偿还银行借款， 到期获益为正。
16
重做例1
S0=20 V0=?
S0u = 22 Vu = 1
S0d = 18 Vd = 0
在Q的意义下，股价预期收益率是r，
即，EQ (ST) = puS0 +(1-p)dS0 = erTS0
= e–rT EQ (VT)
在Q的意义下，期权的 预期收益率是r
12
续（4）
在上面的定义中，p 为股票价格上升的概 率，q=1-p 为股价下降的概率。但它们不 是股价上升和下降的实际概率。
S0u
Vu
S0
V0=?
S0d
Vd
13
续（5）
EQ (ST) = puS0 +(1-p)dS0 = erTS0
21
Delta
注意，在[t, t+Δt]中，
Dt
=
Vu t +Dt Stu
-
Vt
d +Dt
- Std
Delta (D) 表示期权价格变化与标的资产价格变
化的比率。
D-对冲就是构造由标的资产和期权组成的无风 险投资组合
D的值是随时间变化的，这说明为保持一个无风 险对冲，需要定期调整所持有的标的资产数量。
为期权的风险中性价格。 风险中性世界：所有人对风险都是无差异
的，在这样的世界中，人们对风险不要求 补偿，所有证券的预期收益都是无风险利 率。
15
市场无套利 d < erT < u
第8讲：二叉树期权定价模型
Binomial Trees and Option Valuation
6
组合的价值
The riskless portfolio is: long 0.25 shares short 1 call option The value of the portfolio in 3 months is 220.25 – 1 = 4.50 (no matter if the price is up or down) The value of the portfolio today (r =12% per annum) is 4.5e – 0.120.25 = 4.3670
17
两期二叉树定价A Two-Step Binomial Tree
24.2 22
B D
20
A
19.8
E
18
C
16.2
F
Stock: Price = $20, up or down by 10% in each quarter (3 months); there are two quarters. A call with a strike of $21. r = 12%.
Binomial Trees and Option Valuation
7
期权的价值
The portfolio that is long 0.25 shares short 1 option is worth 4.367 The value of the shares is D stock value = 5.000 (i.e., 0.2520 ) The value of the option is $0.633. D stock value – call value = 4.367 Call value = 5.000 – 4.367 = 0.633
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第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
22
ftrf S S f1 22S2 S 2f2rf f
c St N d1 X erf Tt N d2
St erf Tt N d1 X N d2 erf Tt
EST Nd1 X N d2 erf Tt EST Nd1 X N d2 erf Tt
2022/3/23
21
风险中性定理表达了资本市场中的这样的 一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的 条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交 易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与 投资者的风险态度无关的。
这个结论在数学量，尤其是期望收益率。
公平的入局费＝2000×50％+0×50％＝ 1000元
第7章 期权定价的二叉树模型
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愿意支付的入局费 风险类型 数量 入局费＜1000元 风险厌恶者 众多 入局费＝1000元 风险中性者 入局费＞1000元 风险喜好者 极少
如果有人愿意无条件地参加公平的赌博， 则这样的人被认为是风险中性。风险中性者对 风险采取无所谓的态度。
考虑以下组合：
①买入1份股票看涨期权 ②卖空Δ股股票
显然，适当调整Δ可以使得上述组合为无风 险组合。
第7章 期权定价的二叉树模型
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3
如果这个组合是无风险组合，则其价值与 状态无关，所以，以下数学表达式成立：
22118
解得，
0.25
也就是说，1份看涨期权多头加上0.25股股 票空头构成的组合是无风险组合。
这就是风险中性定价的基本思想。
第7章 期权定价的二叉树模型
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我们回到之前的示例中，在那里，我们可 以把股票价格上升的概率定义为p，于是在到 期日T时刻，股票价格的期望值为：
E S T p u S 0 1 p d S 0
代入p值，得
EST S0erfTt S0EST erfTt
u1
u2
u1
r
r
风险爱好型效用函数 风险中立型效用函数
U＝f（财富）→U＝g（E（R）） U＝h（风险）→U＝q（σR） R＝φ（σR）
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风险中性的投资者对风险不要求回报，他 们投资于任何资产所要求的收益率等于无风险 收益率。
投资回报率=无风险利率+风险溢价
p
0.6523
ud 1.10.9
f 1 0 . 6 5 2 3 0 1 0 . 6 5 2 3 e 1 2 % 0 . 2 5 0 . 6 3 3
结果与之前一致。
第7章 期权定价的二叉树模型
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10
单步二叉树模型至少给我们两点启示： ⑴期权价格与股票价格变化的真实概率无 关（这与我们的直觉不一致） ⑵期权价格在定价形式上可以看成到期日 价值期望值的贴现值（按无风险利率贴现）
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7
将Δ代入f，得
f u S fu 0 d fd S 0S 0 1 u e r fT t fue r fT t
ffu fd1 u e rfT t u d
fue rfT t
f u 1 d f u f d f u u e r f T t f d u e r f T t u f u e r f T t d f u e r f T t
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利用风险中性假设的分析方法进行金融 产品的定价，其核心环节是构造出风险中性 的概率。
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S0 20
Su 22
p
1 p
T t
rf 12%
Sd 18
标的股票价格变动路径
2 2 p 1 8 1 p 2 0 e 1 2 % 0 .2 5
在我们的假设下，从概率角度讲，股票价格 以无风险利率增长（也就是说股票的期望收益率 等于无风险利率）。
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所谓风险中性假设就是： 如果对一个问题的分析过程和投资者的风险 偏好无关，则可以将问题放到一个假设的风险中 性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界 里也应成立。
解得
p0.6523
即股票价格上升的概 率为0.6523。
第7章 期权定价的二叉树模型
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S0 20 f
p0.6523
Su 22 fu 1
fupfd1pferfT t
1p0.3477
T t
rf 12%
Sd 18 fd 0
1 0 .6 5 2 3 0 1 0 .3 4 7 7 fe 1 2 % 0 .2 5
ud 0 .6 5 2 3
u d S0 19.8 fdu 0
f u e r fT tp f u u 1 p f d u 2 .0 2 5 7
第7章 期权定价的二叉树模型
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d S0 18 fd ?
u 2 S 0 19.8 fdu 0
d 2 S 0 16.2 fdd 0
第7章 期权定价的二叉树模型
➢ 单步二叉树模型 ➢ 风险中性定价原理 ➢ 两步二叉树模型
一、单步二叉树模型
⒈ 一个示例
S
u T
22
c
u T
1
S0 20 c0 ?
3个月
S
d T
18
c
d T
0
执行价格为21 元的看涨期权。
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股票和股票期权所面临的系统风险相关，适 当配置两种资产可以消除系统风险，组建无风险 组合。
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u S 0 fu d S 0 fd fu fd uS0 d S0
S 0 f d S 0 f d e r f T t u S 0 f u e r f T t
f S 0 1 u e r fT t fu e r fT t
f e r fT t p fu 1 pfd
第7章 期权定价的二叉树模型
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三、两步二叉树模型 ⒈ 一个示例
u S0 22 fu ?
S0 20 f ?
d S0 20 fd ?
u 2 S 0 24.2 fuu 3.2
u d S0 19.8 fdu 0
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⒉ 两步二叉树的一般形式
u S0 fu
u 2 S0 fuu
S0 f
t
d S0 fd
t
u d S0 fdu
e rf t d p
ud
f e r f t p fu 1 pfd
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⒉ 风险中性定价理论
风险中性理论又称风险中性定价方法（ Risk Neutral Pricing Theory ），是考克斯（Cox J.C.）和 斯蒂芬·罗斯（Stephen A. Ross）于1976年推导期 权定价公式时建立的。
第7章 期权定价的二叉树模型
第7章 期权定价的二叉树模型
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对风险中性定价原理的总结：
在风险中性的经济环境中，投资者并不要 求风险补偿或风险报酬，所以基础证券与衍生 证券的期望收益率都恰好等于无风险利率；由 于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的 贴现率也恰好等于无风险利率，所以基础证券 或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现值 与它们当前的价值相等。
2 2 q 1 8 1 q 2 0 e 1 6 % 0 .2 5
解得 q0.7041
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与此对应，在真实世界里，该股票期权在到 期日的预期价值为：
1q01q0.7041
由此可以得到期权的预期收益率
rcln00..7603431442.58%
股票期权的预期收益率明显高于股票的预期 收益率。这与我们的直觉是一致的，因为期权的 风险要高于股票的风险。
per fuT t dd 1puerfTt
ud
ffup fd1 pe rfT t
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在之前的示例中，u1.1,d0.9,rf 12% , T t 0 .2 5 ,fu 1 ,fd 0 。
我们得到：
erfT td e12% 0.250.9
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假定风险中性世界中基础资产价格上升的 概率为p，由于其未来价格的期望值按无风险 利率贴现的现值必须等于其当前的价格，因此 该概率可通过下式求得：
S 0 e r fT t p S u 1 pS d
erf T t d p
ud
则以该资产为标的物的衍生证券的价格为：
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在一个假想的风险中性的世界（RiskNeutral World ）里，所有的市场参与者都是风 险中性的，那么，所有的资产不管其风险的大 小或是否有风险，预期收益率都相同，都等于 无风险收益率，因此，所有资产现在的市场均 衡价格都应等于其未来价值的预期值，加上考 虑到货币的时间价值，就都是未来预期价值按 无风险收益率贴现的价值（即现值）。
根据无套利原则，得
fd 0
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S0 22 f ?