北京工商大学高等数学题及答案(1)

dz =
将方程两端求微分，得
1 d ( xy ) + 4 xdx + dy 1+ x2 y2 1 ( ydx + xdy ) + 4 xdx + dy 1+ x2 y2
=
y x = + 4x + 1 dx + 2 2 2 2 dy ． 1+ x y 1+ x y
x 1 2
f ( x) = t ln t
− ∫1 dt
2
x
1 = x ln x − x + (1 + ln 2) ， 2
f ′( x) = ln x ，
令 f ′( x) = 0 ，得 x = 1 ． 而 f ′′( x) = 1 , f ′′(1) = 1 > 0 ， x
所以 x = 1 为 f ( x) 的极小值点．
2． 设 f ( x) 为连续函数，则 A． f ( x) + C
B． f ′( x) + C
∞
3． 设常数 k ≠ 0 ，则级数 ∑ (−1) n
n =1
A．条件收敛 C．发散 4． 方程 z = x 2 + y 2 表示的二次曲面是 A．椭球面 B．柱面
5． 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导， f (a ) = f (b) ，则曲线 y = f ( x) 在 (a, b) 内平行于 x 轴的切线 A．仅有一条 二．填空题： 6． 设 f ( x) = 1 , 则f ( f ( x)) = x ． ． ． B．至少有一条 C．不一定存在 D．不存在 （ ）
2− x 2 2− x
1
1
=
1
e2 e
− 1 2
解法二
2x 2x 2+ xx lim = lim1 + x →0 2 − x x →0 2− x
⋅
=e
tan ax , x < 0, 18．设函数 f ( x) = x 在 x = 0 处连续，求 a 的值． x + 2, x ≥ 0
D
= ∫ dx ∫
0
1
4− x 2 1− x 2
( x 2 + y 2 )dy + ∫ dx ∫
1
2
4− x 2
0
( x 2 + y 2 )dy
1 y3 2 =∫ x y + 0 3
28．设平面薄板所占 xOy 平面上的区域 D 为 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 ，其面密度为
µ ( x, y ) = x 2 + y 2 ．求该薄板的质量 m ．
一、选择题 1．A 2．C 5 4 3．B 1 2 4．D 5．B
二、填空题 6． x 10． 2 x 12．1 14．1 三、计算题 16．计算 lim e x + e−x − 2 ． x →0 x2 7． 8． 9． （1，－3）
24．设函数 z = ln(1 − x + y ) + x 2 y ，求 ∂z −1 = + 2 xy ， ∂x 1 − x + y ∂2z 1 = + 2x ． ∂x∂y (1 − x + y ) 2 25．将函数 f ( x) = x 2 e 2 x 展开成 x 的幂级数． 解： e x = ∑
x2 + x − 6 7． 极限 lim = x→2 x2 − 4
8． 由曲线 y = x 3 , y = 0, x = −1, x = 1 所围图形的面积为 9． 曲线 y = x 3 − 3 x 2 − x 的拐点坐标为 10．设 x 2 为 f ( x) 的一个原函数，则 f ( x) = ． ．
2+ xx 17．计算 lim ． x →0 2 − x x x 1 + 1 2+ xx 2 lim = x →0 2 − x 1− x 2 xx 1 + 2 = lim
x →0 1 1
1
解法一
xx 1 − 2 = e.
11 ．设平面 π 过点（ 1 ， 0 ，－ 1 ）且与平面 4 x − y + 2 z − 8 = 0 平行，则平面 π 的方程 为 12．设 z = ln( x + ∂z y ) ，则 ∂x 2x
(1, 0 )
． = ．
13．交换二次积分次序： ∫ dx ∫ f ( x, y )dy =
0 0
令 f ′( x) = 0 ，得 x = 1 ． 而 f ′′( x) = 1 ， f ′′(1) = 1 > 0 ， x
所以 x = 1 为 f ( x) 的极小值点．
f ( x) 的极小值为
∫
1
1 2
ln tdt =t ln t 11 − ∫1 dt
2 2
1
= 解法二
1 (ln 2 − 1) ． 2
北京工商大学高等数学试题及答案（一）
一、选择题： 。 1． 极限 lim A．0 sin 2 x 等于 x →∞ x B． 1 2 C．1 d f ( x)dx 等于 dx ∫ C． f ( x ) k 为 n2 B．绝对收敛 D．收敛性与 k 有关 （ C．圆锥面 D．抛物面 ） D． f ′( x) （ ） D．2 （ ） （ ）
n =0 ∞ ∞ 2n x n x n 2x ， ,e = ∑ n! n! n =0 ∞
∂2z ． ∂x∂y
解：
x e
2
2x
2 n x n+2 ， x ∈ (−∞,+∞) ． =∑ n! n =0
四、综合题： 26．求函数 f ( x) = ∫1 ln tdt 的极值点与极值．
2 x
解法一
f ′( x) = ln x ，
21．计算
ex ∫ 1 + e x dx ．
22．计算 ∫
4
1 x (1 + x)
1
dx ．
23．设函数 z = arctan( xy ) + 2 x 2 + y ，求 dz ．
∂2z 24．设函数 z = ln(1 − x + y ) + x y, 求 ． ∂x∂y
2
25．将函数 f ( x) = x 2 e 2 x 展开成 x 的幂级数．
21．计算
ex 1 解： ∫ dx = ∫ de x x x 1+ e 1+ e = ln(1 + e x ) + C
22．计算 解法一
∫
4
1 x (1 + x)
1
dx ．
设t = x ， 则 x = t 2 , dx = 2tdt ，
∫
4
1 x (1 + x)
1
dx = ∫
2
1
2t dt t (1 + t 2 )
dx ．
解法二
将方程两端关于 x 求导，得 y′ + 1 1− x
2
= (1 + y ′)e x + y ，
y′ =
1 − x 2 e x+ y − 1 1 − x (1 − e
2 x+ y
，
) dx
dy = y ′dx =
1 − x 2 e x+ y − 1 1 − x 2 (1 − e x + y )
D
= ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy
D
在极坐标系下，区域 D 可表示为：
0 ≤θ ≤
π
2
,1 ≤ r ≤ 2 ．
π
2
因此 m = ∫ 2 dθ ∫ r 3 dr
0 1
= 解法二
π
8
D
(2 4 − 1) =
15 π． 8
m = ∫∫ µ ( x, y )dσ = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy
y=e
1 − ( − ) dx x
y 1 + x 2 ，且该曲线经过点 1, ． x 2
∫
) dx 2 ∫ (− 1 ∫ x e x dx + C
1 = x x 2 + C ， 2 由y
1
x =1
=பைடு நூலகம்
1 1 知 C = 0 ，故 f ( x) = x 3 ． 2 2
解法二 将方程两端分别对 x ， y 求偏导，得
∂z ∂z x y = + 4 x, = +1， 2 2 ∂x 1 + x y ∂y 1 + x 2 y 2
dz =
∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y
y x = 1 + x 2 y 2 + 4x dx + 1 + x 2 y 2 + 1 dy ．
1
tan ax , 18． 设函数 f ( x) = x x + 2,
x < 0, x≥0
在 x = 0 处连续，求 a 的值．
19．设函数 y = y ( x) 由方程 y + arcsin x = e x + y 确定，求 dy ．
t 2 x = ∫0 sin u du , dy 20．设 求 ． 2 dx y = cos t ,
四．综合题： ． 26．求函数 f ( x) = ∫1 ln tdt 的极值点与极值．
2 x
27．设曲线 y = f ( x) 上任一点 ( x, y ) 处的切线斜率为 （1）求函数 y = f ( x) ；
y 1 + x 2 ，且该曲线经过点 1, ． x 2
（2）求由曲线 y = f ( x), y = 0, x = 1 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V．
2
1 dt 1+ t2 2 = 2 arctan t 1 = 2∫
1
π = 2 arctan 2 − . 4
解法二
∫
4
1 x (1 + x)
1
dx = ∫
4
2 1 + ( x )2
4 1
1
d x
= 2 arctan x
π = 2 arctan 2 − . 4
23．设函数 z = arctan( xy ) + 2 x 2 + y ，求 dz ． 解法一
1
x
． ． ．
14．幂级数 ∑
( x − 2) n 的收敛半径为 n2 n =1
∞
15．微分方程 y ′′ + y ′ = 0 的通解为 三、计算题： ． 16． 计算 e x + e−x − 2 ． lim x →0 x2
17． 计算
2+ xx lim ． x →0 2 − x
f ( x) 的极小值为
1 1 f (1) = −1 + (1 + ln 2) = (ln 2 − 1) ． 2 2 27．设曲线 y = f ( x) 上任一点 ( x, y ) 处的切线斜率为 （1）求函数 y = f ( x) ； （2）求由曲线 y = f ( x) ， y = 0, x = 1 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V． 解： （1） dy y 1 = + x 2 , y′ − y = x 2 ， dx x x
（2） V = ∫ πf 2 ( x)dx
0
=
π
x 4∫
0
1
6
dx =
π
28
．
28 ．设平面薄板所占 xOy 平面上的区域 D 为 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, ≥ 0, y ≥ 0 ，其面密度为
µ ( x, y ) = x 2 + y 2 ．求该薄板的质量 m ．
解法一 m = ∫∫ µ ( x, y )dσ
x = t sin u 2 du , dy ∫0 20．设 求 ． 2 dx cos y = t 解： dx dy = sin t 2 , = −2t sin t 2 ， dt dt dy dy dt − 2t sin t 2 = = = −2t ． dx dx sin t 2 dt ex ∫ 1 + e x dx ．
19．设函数 y = y ( x) 由方程 y + arcsin x = e x + y 确定，求 dy ． 解法一 将方程两端求微分，得 dy + d arcsin x = de x + y ， dy + 1 1− x
2
dx = e x + y (dx + dy ) ，
dy =
1 − x 2 e x+ y − 1 1 − x 2 (1 − e x + y )
11． 4( x − 1) − y + 2( z + 1) = 0(或4 x − y + 2 z − 2) = 0 13． ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
0 y 1 1
15． y = C1 + C 2 e − x
解： lim
e x + e−x − 2 ex − ex = lim x →0 x →0 2x x2 e x + e−x x →0 2 =1 = lim
解： lim f ( x) = lim − −
x →0 x →0
x →0 + x →0
tan ax =a， x
lim f ( x) = lim ( x + 2) = 2 +
由于 f ( x) 在 x = 0 处连续，所以
x →0 −
lim f ( x) = lim f ( x) +
x →0
故a = 2