高中数学人教A版【精品习题】(必修2)配套练习第三章3.1.1

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(精校版)人教版必修二数学第三章测试题及答案解析

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三、解答题
16．解：设所求直线的方程为 y＝ 3 x＋b，
4
令 x＝0,得 y＝b,所以直线与 y 轴的交点为(0，b)；
令 y＝0，得 x＝－ 4 b,所以直线与 x 轴的交点为＋ 4 b＋0 ．
3
3
由已知，得|b｜＋＋ 4 b ＋ b2 ＋＋ 4 b2 ＝12，解得 b＝±3．
3
3
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18．解：(1)当 x，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令 m2―2m―3＝0,解得 m＝－1，m＝3;
令 2m2＋m－1＝0，解得 m＝－1，m＝ 1 ．
2
所以方程表示一条直线的条件是 m∈R，且 m≠－1．
(2）由（1）易知，当 m＝ 1 时,方程表示的直线的斜率不存在，
5．已知等边△ABC 的两个顶点 A（0，0),B(4，0），且第三个顶点在第四象限，则 BC 边所
在的直线方程是（ )．
A．y＝－ 3 x
B．y＝－ 3 (x－4)
C．y＝ 3 （x－4）
D．y＝ 3 （x＋4）
6．直线 l：mx－m2y－1＝0 经过点 P(2,1）,则倾斜角与直线 l 的倾斜角互为补角的一条直
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高中数学人教A版必修2习题第3章直线与方程3.1.2 Word版含解析

第三章一、选择题．(·临沧高一检测)直线、的斜率是方程－－＝的两根，则与的位置关系是( )．平行．重合．相交但不垂直．垂直[答案][解析]设方程－－＝的两根为、，则＝－.∴直线、的斜率＝－，故与垂直．．(·盐城高一检测)已知直线的倾斜角为°，直线∥，直线⊥，则直线与的倾斜角分别是( )．°，°．°，°．°，°．°，°[答案][解析]∵∥，∴直线与的倾斜角相等，∴直线的倾斜角为°，又∵⊥，∴直线的倾斜角为°.．满足下列条件的直线与，其中∥的是( )①的斜率为，过点()、()；②经过点()、(－)，平行于轴，但不经过点；③经过点(－)、(－，－)，经过点(－，)、()．．①②．②③．①③．①②③[答案][解析]＝＝，∴与平行或重合，故①不正确，排除、、，故选．．已知直线和互相垂直且都过点()，若过原点()，则与轴交点的坐标为( )．() ．()．() ．()[答案][解析]设与轴交点为(，)，∵⊥，∴＝－.∴＝－.∴×＝－，解得＝，即与轴交点的坐标为()．．已知直线经过两点(－，－)，(－)，直线经过两点()、(，)，且⊥，则＝( ) ．．－．．[答案][解析]∵⊥且不存在，∴＝，∴＝.故选．．直线的斜率为，∥，直线过点(－)且与轴交于点，则点坐标为( )．() ．(－)．(，－) ．()[答案][解析]设(，)，∵∥，∴＝，∴＝，故选．二、填空题．经过点(－，－)和点(，)的直线与倾斜角是°的直线平行，则＝[答案][解析]由题意，得°＝，解得＝.．已知△的三个顶点分别是()、()、()，点()在边的高所在的直线上，则实数＝[答案][解析]由题意得⊥，则有＝－，所以有·＝－，解得＝.三、解答题．已知在▱中，()、()、()()求点的坐标；()试判定▱是否为菱形？[解析]()设(，)，∵四边形为平行四边形，∴＝，＝，∴错误!，解得错误!.∴(－)．()∵＝＝，＝＝－，∴·＝－.∴⊥．∴▱为菱形．．△的顶点(，－)、()、(，)，若△为直角三角形，求的值[解析]()若∠＝°，则⊥，·＝－，＝＝－，＝＝－.。

高中数学(人教版必修2)配套练习第三章章末检测

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4
4
3
( )
A．k≤4或 k≥3 34
B．k≤－3或 k≥－4
4
3
C.4≤k≤3
D．－3≤k≤－4
9．已知直线 l1：ax＋4y－2＝0 与直线 l2：2x－5y＋b＝0 互相垂直，垂足为(1，c)，则
a＋b＋c 的值为
( )
A．－4
B．20
C．0
D．24
10．过点 P(0,1)且和 A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是
21．光线沿直线 l1：x－2y＋5＝0 射入，遇直线 l：3x－2y＋7＝0 后反射，求反射光线所在的直线方程．
22．某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到 1 m2)．
答案
1．A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7．C 8．C 9．A 10．C 11．D 12.B
13．－2 或 4 或 6
14．60 km 2
15．－3 16．2 17．解在 3x－y＋3＝0 中，令 y＝0，得 x＝－ 3，即 M(－ 3，0)．∵直线 l 的斜率 k＝
3，∴其倾斜角 θ＝60°.若直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 30°，则直线 l′的倾斜角为 60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为 x＝－ 3.若直线 l 绕点 M 顺时针方向旋
( )
A．M∈l
B．M∉l
C．重合
D．不确定
7．直线 mx＋ny－1＝0 同时过第一、三、四象限的条件是
( )
A．mn>
D．m<0，n<0
8．若点 A(－2，－3)，B(－3，－2)，直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交，则 l 的斜率 k 的

人教A版高中必修二试题3.3.1配套练习(含答案).doc

§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标一、基础过关1．两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系为() A．垂直B．平行C．重合D．平行或重合2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是() A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝03．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为() A．1 B．－1 C．2 D．－24．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为() A．－24 B．6 C．±6 D．以上答案均不对5．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________. 6．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．7．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.8．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为在x轴上截距的两倍的直线l的方程．二、能力提升9．若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫－32，2 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎫－32，0D.⎣⎡⎦⎤－32，2 10．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32B.23C ．－32D ．－2311．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．12．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．三、探究与拓展13．一束平行光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．答案1．D 2．A 3.B 4．C 5．26．8x ＋16y ＋21＝07．解 (1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行． (3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合． 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x .即2x －3y ＝0.∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0. 9．A 10．D 11．(－1，－2)12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1，故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6，故C 点坐标为(5，－6)．13．解设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得 ⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3.。

高一数学人教a版必修二_习题_第三章_直线与方程_3.3.4_word版有答案

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2015·西安高新一中月考)点(1,2)到直线y ＝2x ＋1的距离为( ) A.55 B.255C. 5D ．2 5 解析：直线y ＝2x ＋1即2x －y ＋1＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|2×1－2＋1|22＋(－1)2＝55，选A. 答案： A2．已知点(3，m )到直线x ＋3y －4＝0的距离等于1，则m 等于( )A. 3B ．－ 3C ．－33 D.3或－33解析： |3＋3m －4|2＝1，解得m ＝3或－33，故选D. 答案： D3．两平行线y ＝kx ＋b 1与y ＝kx ＋b 2之间的距离是( )A ．b 1－b 2B.|b 1－b 2|1＋k 2 C ．|b 1－b 2| D ．b 2－b 1解析：两直线方程可化为kx －y ＋b 1＝0，kx －y ＋b 2＝0，所以d ＝|b 1－b 2|1＋k 2.故选B.答案： B4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：所求为过A (1,2)，且垂直OA 的直线，所以k ＝－12，故所求直线为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2015·珠海希望之星月考)直线5x ＋12y ＋3＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________．解析：直线10x ＋24y ＋5＝0可化为5x ＋12y ＋52＝0，所以两平行直线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3－5252＋122＝126. 答案： 126 6．一直线过点P (2,0)，且点Q ⎝⎛⎭⎫－2，433到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________．解析：当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°，当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，设过P 点的直线为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，由d ＝⎪⎪⎪⎪－2k －433－2k k 2＋1＝4，解得k ＝33. 所以直线的倾斜角为30°.答案： 90°或30° 7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为________．解析：如右图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，则k l ＝－2，所以方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.答案： 2x ＋y －5＝0三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离等于2.解析：设点P 的坐标为(a ，b )，∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 中点M 的坐标为(3，－2)，而AB 的斜率为k AB ＝－1－(－3)2－4＝－1. ∴线段AB 的垂直平分线方程为y －(－2)＝x －3.即x －y －5＝0.而点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，故将(a ，b )代入方程，得a －b －5＝0，①由P 到l 的距离为2，得|4a ＋3b －2|42＋32＝2.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧ a ＝277，b ＝－87.∴所求P 点为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为34. (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．解析： (1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式得|3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( )A ．0＜d ≤3B ．0＜d ≤5C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5，故选B.答案： B11．已知x ＋y －3＝0，则(x －2)2＋(y ＋1)2的最小值为____________．解析：设P (x ，y )在直线x ＋y －3＝0上，A (2，－1)，则(x －2)2＋(y ＋1)2＝|PA |.|PA |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2. 答案： 2 12．直线l 过点A (2,4)，且被两平行直线x －y ＋1＝0与x －y －1＝0所截得的线段的中点在直线x ＋y －3＝0上，求直线l 的方程．解析： ∵线段的中点在直线x ＋y －3＝0上，∴设中点坐标为P (a,3－a )．又∵中点P 到两平行直线的距离相等，∴|2a －2|2＝|2a －4|2，∴a ＝32.即P ⎝⎛⎭⎫32，32.又∵直线l 过点A (2,4)，∴k l ＝4－322－32＝5，故所求直线l 的方程为5x －y －6＝0.13．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．解析： ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2. (1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0. ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0， ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.所以，所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.。

高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册第三章3.1.1椭圆及其标准方程教学设计

椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学·选择性必修第一册》（人教A版）第三章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时。

用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线。

圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。

17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。

在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。

解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。

在第二章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在本章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。

由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。

本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。

因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。

二、教学目标：按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义。

②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。

2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心三、教学重难点：重点：椭圆定义的形成过程、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用四、教法分析：新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。

人教A版高中必修二试题3.1.1配套练习(含答案).doc

第三章直线与方程§3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率一、基础过关1．下列说法中：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条．其中正确的个数是() A．0 B．1 C．2 D．32．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为() A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为() A．－2 3 B．0 C. 3 D．2 34．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是() A．[0°，90°] B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°]5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．8．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的坐标．二、能力提升9．设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 10. 若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 211．已知直线l 的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．12．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小．答案1．B 2．C 3.B 4．C5．30°或150° 33或－336．(－2,1)7．解直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°.k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0， k AC ＝33，k BD ＝－ 3.8．解设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意，由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x ，解得x ＝2，即P (2,0)． 9．D 10．D 11.20°≤α<200°12．解如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33，k AC ＝tan 30°＝33.13．解画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率．由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a.。

人教A版高中数学选择性必修第一册3.1椭圆经典例题及配套练习题

3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(−2,0)，(2,0)，并且经过点(52,−32)，求它的标准方程．解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．由椭圆的定义知c=2，2a=√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10，所以a=√10，所以b2=a2−c2=10−4=6．所以，所求椭圆的标准方程为x2 10+y26=1．例2 如图3.1-5，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？图3.1-5分析：点P在圆x2+y2=4上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程．解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则点D的坐标为(x0,0)，由点M是线段PD的中点，得x=x0，y=y02．因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4．①把x0=x，y0=2y代入方程①，得x2+4y2=4，即x24+y2=1．所以点M的轨迹是椭圆．例3如图3.1-6，设A，B两点的坐标分别为(−5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是−49，求点M的轨迹方程．图3.1-6分析：设点M的坐标为(x,y)，那么直线AM，BM的斜率就可用含x，y的关系式分别表示．由直线AM，BM的斜率之积是−49，可得出x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是(−5,0)，所以直线AM的斜率k AM=yx:5(x≠−5)．同理，直线BM的斜率k BM=yx;5(x≠5)．由已知，有y x:5×yx;5=−49(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为x2 25+y21009=1(x≠±5)．点M的轨迹是除去(−5,0)，(5,0)两点的椭圆．练习1．如果椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离为____【答案】14【分析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a及椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，可得PF2的长.【详解】解：根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，又椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，∴6+|PF2|=20，故|PF2|=14，2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）a=4，b=1，焦点在x轴上；（2）a=4，c=√15，焦点在y轴上；（3）a+b=10，c=2√5．【答案】（1）x216+y2=1；（2）y216+x2=1；（3）x236+y216=1或y236+x216=1.【分析】（1）根据已知直接得出方程；（2）根据已知求得b，即可得出方程；（3）由已知联立求得a,b即可得出方程.【详解】（1）a=4，b=1，焦点在x轴上的椭圆方程为x216+y2=1；（2）由a=4，c=√15可得b2=a2−c2=1，又焦点在y轴上，所以标准方程为y216+x2=1；（3）联立{a+b=10 c=2√5a2=b2+c2，解得a=6,b=4，所以标准方程为x236+y216=1或y236+x216=1.3．已知经过椭圆x225+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.（1）求ΔAF1B的周长;（2）如果AB不垂直于x轴,ΔAF1B的周长有变化吗?为什么?【答案】（1）20；（2）不变，理由见解析【分析】根据椭圆的定义ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a求解.【详解】（1）由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10，所以ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20.（2）不变，由椭圆的定义ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a.只受a的影响，不受AB与x轴的位置关系影响.4．已知A，B两点的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？【答案】点M的轨迹是直线x=−3，并去掉点(−3,0)【分析】设出点M的坐标，求出直线AM,BM斜率，由k AMk BM=2可求出.【详解】设点M的坐标为(x,y)，则k AM=yx:1(x≠−1)，k BM=yx;1(x≠1)，当y≠0时，k AMk BM =x;1x:1=2，整理得x=−3(y≠0)，所以点M的轨迹是直线x=−3，并去掉点(−3,0).3.1.2 椭圆的简单几何性质例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把原方程化成标准方程，得x2 52+y242=1，于是a=5，b=4，c=√25−16=3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率e=ca =35，两个焦点坐标分别是F1(−3,0)和F2(3,0)，四个顶点坐标分别是A1(−5,0)，A2(5,0)，B1(0,−4)和B2(0,4)．练习5．你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？【答案】能. 依据见解析.【分析】根据椭圆中a2=b2+c2的几何表示，即原点、焦点、短轴端点构成直角三角形，且体现a2=b2+c2求解.【详解】能.如图，以点B2(或B1)为圆心, |OA2|(或|OA1|)为半径画圆弧，与x轴交于点F1,F2，则点F1,F2就是椭圆的两个焦点.依据：因为在Rt△B2OF2中，|OB2|=b,|B2F2|=|OA2|=a，所以|OF2|=c，同理有|OF1|=c.6．求下列椭圆的焦点坐标：（1）x2100+y236=1；（2）2x2+y2=8．【答案】（1）(8,0)和(−8,0)；（2）(0,2)和(0,−2)【分析】由椭圆方程得到a2，b2，根据c2=a2−b2求出c，即可得解；【详解】解：（1）因为椭圆方程为x2100+y236=1，焦点在x轴，所以a2=100，b2=36，因为c2=a2−b2，即c=√a2−b2=√100−36=8，所以椭圆的焦点坐标为(8,0)和(−8,0)（2）因为2x2+y2=8，所以y28+x24=1，焦点在y轴，所以a2=8，b2=4，因为c2=a2−b2，即c=√a2−b2=√8−4=2，所以椭圆的焦点坐标为(0,2)和(0,−2) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．【答案】（1）x236+y232=1（2）y225+x216=1【详解】试题分析：（1）由离心率公式，求得c，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程；（2）由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程试题解析：（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，则椭圆的标准方程为：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．则椭圆的标准方程为：=1．8．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过P(−3,0)，Q(0,−2)两点；（2）长轴长等于20，离心率等于35．【答案】（1）x 29+y 24=1 （2）x 2100+y 264=1或y 2100+x 264=1.【分析】（1）设出椭圆方程,根据椭圆经过点A (−3,0),B (0,−2),得出{a =3b =2 ,代入方程即可.（2）由条件可得{2a =20c a =35 ,则可得{a =10c =6b =8 ,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可. 【详解】解:（1）设椭圆方程为:x 2a 2+y 2b 2=1,因为椭圆经过点A (−3,0),B (0,−2), A (−3,0),B (0,−2)分别为左顶点和下顶点, 所以得{a =3b =2,所以椭圆标准方程为x 29+y 24=1.（2）椭圆的长轴长等于20, 离心率等于35依题意: {2a =20c a =35 ,所以{a =10c =6，由b 2=a 2−c 2=64,即b =8所以椭圆标准方程为:x 2100+y 264=1或y 2100+x 264=1.9．比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？（1）9x 2+y 2=36与x 216+y 212=1；（2）x 2+9y 2=36与x 26+y 210=1．【答案】（1）x 216+y 212=1更接近于圆；（2）x 26+y 210=1更接近于圆.【分析】探究可得离心率e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆. 所以只需比较离心率的大小即可得出结果.【详解】因为椭圆的离心率e =ca =√1−(b a )2，所以e 越大，ba 越小，椭圆越扁；e 越小，ba 越大，椭圆越圆. （1）椭圆9x 2+y 2=36即x 24+y 236=1，其离心率e 1=√1−436=2√23，椭圆x 216+y 212=1的离心率e 2=√1−1216=12，因为e 2<e 1，所以椭圆x 216+y 212=1更接近于圆；（2）椭圆x 2+9y 2=36即x 236+y 24=1，其离心率e 3=√1−436=2√23，椭圆x 26+y 210=1的离心率e 4=√1−610=√105，因为e4<e3，所以椭圆x26+y210=1更接近于圆.例5 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）．图3.1-11解：建立如图3.1-11所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为x2 a2+y2b2=1(a>b>0)．在Rt△BF1F2中，|F2B|=√|F1B|2+|F1F2|2=√2.82+4.52．由椭圆的性质知，|F1B|+|F2B|=2a，所以a=12(|F1B|+|F2B|)=12(2.8+√2.82+4.52)≈4.1；b=√a2−c2=√4.12−2.252≈3.4．所以，所求的椭圆方程为x2 4.12+y23⋅42=1．例6 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=254的距离的比是常数45，求动点M的轨迹．解：如图3.1-12，设d是点M到直线l:x=254的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合。

高中数学(人教版必修2)配套练习第三章3.3.3-3.3.4.doc

3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离一、基础过关1．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．±2 2．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是 ( ) A.10B ．22 C. 6D ．2 3．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程为( )A ．3x －4y －11＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝04．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 5．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 6．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 7．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2，3)． (1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .8．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．二、能力提升9．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17]10．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．011．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°12．已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0.直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1∶d 2＝1∶2，求直线l 的方程．三、探究与拓展13．等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x ＋3y －6＝0上，顶点A 的坐标是(1，－2)．求边AB 、AC 所在直线方程．答案1．D 2.B 3．C 4．C 5.71326 6．2x ＋y －5＝07．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8. 8．解设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3. 从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0. 9．C 10．B 11．①⑤12．解因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82. 又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|.解得C ＝21或C ＝5.故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.13．解已知BC 的斜率为－23，因为BC ⊥AC ，所以直线AC 的斜率为32，从而方程y ＋2＝32(x －1)，即3x －2y －7＝0，又点A (1，－2)到直线BC ：2x ＋3y －6＝0的距离为|AC |＝1013，且|AC |＝|BC |＝1013.由于点B 在直线2x ＋3y －6＝0上，可设B (a,2－23a )，且点B 到直线AC 的距离为|3a －2(2－23a )－7|32＋(－2)2＝1013，|133a －11|＝10.所以133a －11＝10或133a －11＝－10，所以a ＝6313或313，所以B ⎝⎛⎭⎫6313，－1613或B ⎝⎛⎭⎫313，2413 所以直线AB 的方程为y ＋2＝－1613＋26313－1·(x －1)或y ＋2＝2413＋2313－1(x －1)．即x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0，所以AC 所在的直线方程为3x －2y －7＝0，AB 所在的直线方程为x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0.。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作必修2 第三章3.2直线的方程测试题制卷：王小凤学生姓名一．选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）A ．045,1B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在3．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．072=+-y x B ．012=-+y xC ．250x y --=D ．052=-+y x4．直线01=-+By Ax 在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线333=-y x 的倾斜角的2倍，则（） A ．A ＝3，B ＝1B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝15．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（） A ． 0 B ． 8- C ． 2 D ． 10 6．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限7．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x8．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（） A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)9．过两点)1,1(-和)9,3(的直线在x 轴上的截距为（）A ．23-B ．32-C ．52D ．2 10．如图，直线aax y 1-=的图象可能是（）A B C D二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为 12．若直线MN 的斜率2=k ，且过点)2,1(-O ，则直线MN 的点斜式方程是13．直线PQ 的倾斜角为︒120，在y 轴上的截距为3-，则直线PQ 的斜截式方程为14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（用一般式表示）三、解答题：（本题共2小题，每小题15分，共30分）15．已知三角形ABC 的顶点坐标为()1,5A -、()2,1B --、()4,3C ，M 是BC 边上的中点。

高中数学必修二第三章同步训练(含答案)

3.1.1 倾斜角与斜率练习一一、选择题1、已知，A(–3, 1)、B(2, –4)，则直线AB 上方向向量AB的坐标是A 、(–5, 5)B 、(–1, –3)C 、(5, –5)D 、(–3, –1) 2、过点P(2, 3)与Q(1, 5)的直线PQ 的倾斜角为 A 、arctan2 B 、arctan(–2) C 、–arctan2 D 、π–arctan23、直线l 1: ax+2y –1=0与直线l 2: x+(a –1)y+a 2=0平行，则a 的值是 A 、–1 B 、2 C 、–1或2 D 、0或1 4、过点A(–2, m), B(m, 4)的直线的倾斜角为+arccot2，则实数m 的值为A 、2B 、10C 、–8D 、05、已知点A(cos77 °,sin77°), B(cos17°, sin17°)，则直线AB 的斜率为 A 、 tan47° B、cot47° C、–tan47° D、–cot47°6、下列命题正确的是A 、若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应B 、若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应C 、直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan kD 、直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tan α7、过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–，则a 等于A 、–8B 、10C 、2D 、48、过点A (2, b )和点B (3, –2)的直线的倾斜角为，则b 的值是A 、–1B 、1C 、–5D 、59、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则A 、k 1<k 2<k 3B 、k 3<k 1<k 2C 、k 3<k 2<k 1D 、k 1<k 3<k 210、已知点M (cos α, sin α), N (cos β, sin β)，若直线MN 的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π, 则θ等于A 、(π+α+β) B 、(α+β)2π2π2143π2121C 、(α+β–π) D 、(β–α)11、若直线l 的斜率为k =–a b(ab >0)，则直线l 的倾斜角为A 、arctan a bB 、arctan(–a b)C 、π–arctana bD 、π+arctan a b二、填空题：12、若直线k 的斜率满足–<k<，则该直线的倾斜角α的范围是.13、若直线l 的倾斜角是连接P(3, –5), Q(0, –9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为. 14、已知直线l 1和l 2关于直线y=x 对称，若直线l 1的斜率为，则直线l 2的斜率为；倾斜角为. 15、已知M(2, –3), N(–3,–2)，直线l 过点P(1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是. 答案：一、选择题1、C ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B ；6、A ；7、B ；8、A ；9、B ；10、C ；11、C 二、填空题 12、2[0,)(,)63πππ13、247-2121333314、,36π 15、344k k ≥≤-或3.1.1 倾斜角与斜率练习二一、选择题1、过（0，5）和（1，2）两点的直线的倾斜角是（）A 、π-arctan3B 、π+arctan3C 、arctan(-3)D 、2、若直线l 的倾斜角θ满足，则θ的取值范围是（）A 、（k ∈Z ） B 、或C 、或D 、或3、已知直线的倾斜角为θ，且cot θ=α（α<0）则θ为（）A 、arctan αB 、C 、D 、4、k 是直线l 的斜率，θ是直线l 的倾斜角，若30°≤θ<120°，则k 的取值范围是（）A 、B 、C 、或D 、5、已知直线过点A （2，-1）和B （3，2），直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则直线的斜率是（）A 、-6B 、C 、D 、3arctan 2+π3tan <θ3+<<-ππθππk k 260πθ<≤πθπ<<230πθ<≤πθπ<<260πθ<≤πθπ<<32α1arctan-απ1arctan+απarctan -333≤≤-k 133≤≤k 3-<k 33≥k 33≥k 1l 2l 1l 2l53-4343-6、函数y=f(x)与其反函数的对称轴绕原点按逆时针旋转90°得直线，则直线到直线的斜率k 的变化范围是（）A 、B 、[1，+∞）C 、（-∞，-1）D 、（-∞，-1）∪[1，+∞]7、已知直线l 1: y =x sin α和直线l 2: y =2x +c ，则直线l 1与l 2（） A 、通过平移可以重合 B 、不可能垂直C 、可能与x 轴围成等腰直角三角形D 、通过绕l 1上某一点旋转可以重合8、已知直线l 的倾斜角为α，若cosα=–，则直线l 的斜率为A 、B 、C 、–D 、–二、填空题9、若直线l 的斜率k=sin θ，其倾斜角的取值范围是___________。

人教A版高中数学必修2教案第三章

_3.1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率[提出问题]在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能．问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条．问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同．[导入新知]1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系[化解疑难]对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x 轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.[提出问题]日常生活中，常用坡度(坡度＝升高量前进量)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度32＞22.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等． [导入新知]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.2．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[化解疑难]1．倾斜角α与斜率k 的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．[例1] (1)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．30°或150°D ．60°或120°(2)下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α[解析] (1)如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.(2)对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D.[答案] (1)D (2)D [类题通法]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用]1．直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是( ) A ．[0°，90°) B ．[90°，180°) C ．(90°，180°)D ．(0°，180°)解析：选C 直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是(90°，180°)．2．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°解析：选D 当0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l 1的倾斜角为α－135°，故应选D.[例2] (1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________； (2)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为________； (3)已知过A (3,1)，B (m ，－2)的直线的斜率为1，则m 的值为________． [解析] (1)直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1，又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－5.(2)由斜率公式k ＝4－mm ＋2＝1，得m ＝1.(3)当m ＝3时，直线AB 平行于y 轴，斜率不存在．当m ≠3时，k ＝－2－1m －3＝－3m －3＝1，解得m ＝0.[答案] (1)－5 (2)1 (3)0 [类题通法]利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．[活学活用]3．(2012·河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：选A 设直线的倾斜角为α，直线斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33，∴tan α＝33. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.[例3] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得yx 的最大值为2，最小值为23.[类题通法]根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y 2－y 1x 2－x 1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．[活学活用]4．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]， ∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)． ∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16，53]．6.倾斜角与斜率的关系[典例] 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角的取值范围________；直线l 的斜率k 的取值范围________．[解析] 如图，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1，则直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，∴直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.[答案] 45°≤α≤135° k ≤－1或k ≥1 [易错防范]1．本题易错误地认为－1≤k ≤1，结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线PB 与直线P A 的倾斜角之间，要特别注意，当l 的倾斜角小于90°时，有k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，则有k ≤k P A .2.如图，过点P 的直线l 与直线段AB 相交时，因为过点P 且与x 轴垂直的直线PC 的斜率不存在，而PC 所在的直线与线段AB 不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即k P A ≤k ≤k PB .解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．[成功破障]已知直线l 过点P (3,4)，且与以A (－1,0)，B (2,1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵直线P A 的斜率k P A ＝4－03－(－1)＝1，直线PB 的斜率k PB ＝4－13－2＝3，∴要使直线l与线段AB 有公共点，k 的取值范围为[1,3]．[随堂即时演练]1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( ) A ．任一直线都有倾斜角，都存在斜率 B ．倾斜角为135°的直线的斜率为1C ．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan αD ．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)解析：选D 任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A 、C 错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B 错误；只有D 正确．2．已知经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( ) A ．5 B ．8 C.132D ．7解析：选C 由斜率公式可得8－m m －5＝1，解之得m ＝132.3．直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．解析：k l ＝1－0－1－0＝－1，因此倾斜角为135°. 答案：135°4．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________．解析：∵A 、B 、C 三点共线， ∴k AB ＝k BC ，即53－a＝9a ＋75，∴a ＝2或29.答案：2或295．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1. ∴k AC ＝(－m ＋3)－4m ＋1，k BC ＝(m －1)－42－(－1).∴(－m ＋3)－4m ＋1＝3·(m －1)－42－(－1).整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)，即(m ＋1)(m －4)＝0， ∴m ＝4或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝4.[课时达标检测]一、选择题1．给出下列说法，正确的个数是( )①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ) A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1.3.如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选A 根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确． 4．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞－1 C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－1解析：选C ∵直线l 的倾斜角为锐角， ∴斜率k ＝m 2－11－2＞0，∴－1＜m ＜1.5．(2012·广州高一检测)如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,3]解析：选B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．二、填空题6．已知a ＞0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 解析：若平面内三点共线，则k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，整理得a 2－2a －1＝0，解得a ＝1＋2，或a ＝1－2(舍去)．答案：1＋ 27．如果直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.答案：30°8．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________．解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝⎛⎭⎫1，52，B ⎝⎛⎭⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞三、解答题9．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．解：设l 的斜率为k ，倾斜角为α，当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°，当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1，当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°，当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，此时α为钝角，90°＜α＜180°.所以α∈(0°，180°)，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 10．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)， (1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.3．1.2 两条直线平行与垂直的判定[提出问题]平面几何中，两条直线平行同位角相等．问题1：在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？提示：相等．问题2：若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在．问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？提示：不一定．可能平行也可能重合．[导入新知]对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.[化解疑难]对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.[提出问题]已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2.问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1＝33，k2＝－ 3.问题2：上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系？提示：k1k2＝－1.问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？提示：一定．[导入新知]如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[化解疑难]对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)．[解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－(－3)－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2.(2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1，故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. [类题通法]判断两条不重合直线是否平行的步骤[活学活用]1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解：由题意直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12，由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m －6－m ＝12，得m ＝－2.经验证m ＝－2时直线AB 的斜率存在，所以m ＝－2.[例2] 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．[解] 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意．当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6. [类题通法]使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．总之，l 1与l 2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l 1⊥l 2；l 1与l 2斜率都存在时，满足k 1·k 2＝－1.[活学活用]2．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是________．解析：以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥BC .设C (x,0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4，所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，得x ＝1或2，所以C (1,0)或(2,0)．答案：(1,0)或(2,0)[例3] 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．[解] 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形． [类题通法]1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时，仅有k 1＝k 2是不够的，注意排除两直线重合的情况． [活学活用]3．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标．解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝yx －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以，k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC，所以⎩⎨⎧1×y －4x＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6)．8.利用平行或垂直确定参数值[典例] 已知直线l 1经过A (3，m )，B (m －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，m ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求m 的值． [解题流程]欲求m 的值，需根据l 1∥l 2或l 1⊥l 2列出关于m 的关系式由直线l 1过A 、B 两点，直线l 2过C 、D 两点，求斜率[规范解答]由题知直线l 2的斜率存在且k 2＝2－(m ＋2)1－(－2)＝－m 3①.(2分)(1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率也存在，由k 1＝k 2，得2－m m －4＝－m 3，解得m ＝1或m ＝6，(4分)经检验，当m ＝1或m ＝6时，l 1∥l ③2.(6分)(2)若l 1⊥l 2，当k 2＝0②时，此时m ＝0，l 1斜率存在，不符合题意；(8分)当k 2≠0②时，直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，且k 1·k 2＝－1，即－m 3·2－m m －4＝－1，解得m ＝3或m ＝－4，(10分) 所以m ＝3或m ＝－4时，l 1⊥l ③2.(12分)[名师批注]①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m 值，解答过程不严谨 ②处讨论k 2＝0和k 2≠0两种情况③此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范 [活学活用]已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1. 综上，m 的值为1或－1.[随堂即时演练]1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．已知△ABC 中，A (0,3)、B (2，－1)，E 、F 分别为AC 、BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E 、F 分别为AC 、BC 的中点， ∴EF ∥AB . ∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2. 答案：－24．经过点(m,3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．解析：由题意可知k l ＝14，又因为k l ＝m －32－m ，所以m －32－m ＝14，解得m ＝145.答案：1455．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．解：(1)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110.∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2. (4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.[课时达标检测]一、选择题1．已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选B 因为MN ∥PQ ，所以k MN ＝k PQ ，即4－(－1)－3－2＝2－2mm －3，解得m ＝－1.2．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：选C 如右图所示，易知k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．3．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0,7)C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0)解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·(－y －66)＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)． 4．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD 中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得k AB ＝－4－26－(－4)＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，k AD ＝12－22－(－4)＝53，k AC＝6－212－(－4)＝14，k BD ＝12－(－4)2－6＝－4，所以AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD .5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－312，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．二、填空题6．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m ＝－1，∴m ＝0.答案：07．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．解析：∵l 2∥l 1，且l 1的倾斜角为45°，∴kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1，即a －(－1)3－(－2)＝1，所以a＝4.答案：48．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在．则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0) 三、解答题9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行？解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32，或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3. 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34，或m ＝－1.10．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．解：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1，即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92.综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.3．2直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程[提出问题]斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B ，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定．从一点可引出多条斜拉索．问题2：若某条斜拉索过点B (0，b )，斜率为k ，则该斜拉索所在直线上的点P (x ，y )满足什么条件？提示：满足y －bx －0＝k .问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？提示：可以．方程为y －b ＝kx . [导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程y －y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．[例1](1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．[解析](1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即2x －y＝0.[答案](1)x＝－5(2)y－4＝－(x－3)(3)2x－y＝0[类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－5＝4(x－2)．(2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan45°＝1.∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0.∴直线的点斜式方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3. (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5.[例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合，当b 1≠b 2时，两直线平行；当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a ＝________. 解析：(1)由题意可知kl 1＝2a －1，kl 2＝4. ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.(2)因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1，且2a ≠2，解得a ＝－1，所以a ＝－1时两直线平行．答案：(1)38(2)－17.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1.∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2，解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上的截距分别等于( ) A ．2,3 B ．－3，－3 C ．－3,2 D ．2，－3答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3D ．y －2＝x ＋3 解析：选A ∵直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为y ＋3＝x －2.3．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．解析：α＝60°，k ＝tan 60°＝3，由点斜式方程，得y ＋4＝3(x ＋2)．答案：y ＋4＝3(x ＋2)4．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________．解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2. 答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程．解：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－13.∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)，即x ＋3y ＋8＝0.[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 直线的方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．直线y ＝ax －1a的图象可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a可知，斜率和截距必须异号，故B 正确．3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4。

【精品习题】高中数学人教版必修2配套练习第三章3.1.2

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、基础过关1．下列说法中正确的有 ( ) ①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值为 ( ) A ．－8B ．0C ．2D ．10 3．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．－45°D ．120° 4．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．0或2 D ．0或1 5．经过点A (1,1)和点B (－3,2)的直线l 1与过点C (4,5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝________.6．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.7．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD .(2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a 的值．8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．二、能力提升9．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对 10．已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2经过点A (1，3)，B (－2，－23)，则直线l 1，l 2的位置关系是____________．11．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________．12．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．三、探究与拓展13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．答案1．A 2．A 3.B 4.D5．526．2 －987．(1)证明由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝114－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD .(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋120－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 8．解由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ， k QR ＝22＋t －2t 1－2t ＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ， k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t ＝－1t. ∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ . ∴四边形OPQR 为平行四边形．又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，故四边形OPQR 为矩形．9．B10．平行或重合11．(－19，－62)12．解由斜率公式可得k AB ＝6462＝54， k BC ＝6－66－0＝0， k AC ＝6402＝5. 由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在．设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45； AC 边上的高所在直线的斜率为－15. 13．解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，由图可知：A (2，－1)．(2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ，⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BCk AD ·k AB ＝－1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝165n ＝－85.综上⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝165n ＝－85.。

高中数学人教A版必修2练习第三章单元检测 Word版含解析

第三章单元检测班级姓名考号分数本试卷满分分，考试时间分钟．一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．在轴与轴上截距分别为－的直线的倾斜角为( )．°．°．°．°答案：．直线＋－＝和直线(－)－＋＝平行，则的值是( )．．－．或．－或答案：解析：当＝时，两直线方程分别为＋＝和－－＝，不平行；当≠时，＝≠，解得＝.．下列三点能构成三角形的三个顶点的为( )．()()()．(－)()(－)．()()()．(，－)()()答案：解析：因为，，选项中的三点均共线，不能构成三角形．．已知点(－)和()，则原点到直线的距离为( )．．答案：解析：直线的方程为－＋＝，＝＝.．过点()且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )．＝．＋－＝．＋－＝或＝．＋－＝或－＋＝答案：解析：当所求直线过原点时，它在两坐标轴上的截距都是，适合题意，此时直线方程为＝；当所求直线不过原点时，可设它的方程为＋＝，把点()的坐标代入得＝，解得＝，故此时直线的方程为＋－＝.．已知直线的斜率为－，将直线绕点顺时针旋转°所得到的直线的斜率为( )．－．．＋答案：解析：直线的斜率为－，则直线的倾斜角为°，所求直线的倾斜角为°，°＝.．两平行线：－＋＝与：＋＋＝(＞)之间的距离是，则的值是( )．．－．－答案：解析：根据两直线平行得：＝≠，所以＝－.又两直线的距离是，所以有：＝，即－＝，所以＝或＝(舍去)，所以＝－，＝代入＝＝－.．已知点在直线＋－＝上，点在直线＋＋＝上，线段的中点为(，)，且＜＋，则的取值范围是( )．[－，]．(－，)．(－，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)答案：解析：∵点在直线＋－＝上，点在直线＋＋＝上，线段的中点为(，)，∴＝，化为＋＋＝.又＜＋，设＝，当点位于线段(不包括端点)时，则＞，当点位于射线(不包括端点)时，＜－.∴的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．故选.．已知点(－)和()，在轴上求一点，使＋取最小值，则点的坐标为( )．(－) ．()．() ．(－)答案：．直线＋＋＝与连接()，(－)的线段相交，则的取值范围是( )．[－]．(－∞，－)∪[，＋∞)．[－)．(－∞，－]∪[，＋∞)答案：解析：直线＋＋＝过定点(，－)，当直线处于与之间时必与线段相交，应满足－≥，或－≤－，即≤－，或≥.．过点(，－)向直线作垂线，垂足为(－)，则直线与坐标轴围成的三角形的面积是( ) ．．．答案：解析：因为(，－)，(－)，所以直线的斜率是＝＝－，所以直线的斜率＝，直线方程是：－＝(＋)，即直线方程是－＋＝，直线与坐标轴的交点坐标是(，)，(－)，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积＝××＝.．如图所示，已知()，()，从点()射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是( )．．．．答案：解析：分别求关于直线＋＝及轴的对称点，为()、(－)，由物理知识知，光线所经路程即为＝.二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．若直线的倾斜角为°，⊥，则直线的斜率为．答案：－解析：，的斜率之积为－.．已知直线与直线＋－＝平行，且与两坐标轴围成的图形面积是，则直线的方程为．答案：＋＋＝，或＋－＝。

高中数学(人教版必修2)配套练习第三章3.1.1

第三章直线与方程§3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率一、基础过关1．下列说法中：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条．其中正确的个数是() A．0 B．1 C．2 D．32．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为() A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为() A．－2 3 B．0 C. 3 D．2 34．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是() A．[0°，90°]B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°]5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．二、能力提升9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为() A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°10. 若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 211．已知直线l 的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．12．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小．答案1．B 2．C 3.B 4．C5．30°或150° 33或－336．(－2,1)7．解直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°.k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0， k AC ＝33，k BD ＝－ 3.8．解设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意，由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x ，解得x ＝2，即P (2,0)． 9．D 10．D 11.20°≤α<200°12．解如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33，k AC ＝tan 30°＝33.13．解画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率．由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a .小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

21人教版高中a版数学同步必修2模块练习题--3.3.1和3.3.2两条直线的交点坐标和两点间的距离

3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离基础过关练题组一两条直线的交点坐标1.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n 的值为( ) A.12 B.10 C.-8 D.-62.(2019安徽淮南第一中学高一月考)已知直线kx-y+2k+1=0与直线2x+y-2=0的交点在第一象限,则实数k 的取值范围是( ) A.-32<k<-1 B .k<-32或k>-1C.k<-13或k>12D.-13<k<123.(2018北京高二期末)已知直线l 1:4x+By-C=0,直线l 2:2x-3y-1=0,若l 1与l 2的交点在x 轴上,则C 的值为 .4.已知直线l 1:x-y-1=0,l 2:2x-y+3=0,l 3:x+my-5=0,若直线l 1,l 2,l 3只有两个交点,则m= .5.已知两条直线l 1:mx+8y+n=0和l 2:2x+my-1=0,试分别确定满足下列条件的m,n 的值:(1)l 1与l 2相交于一点P(m,1); (2)l 1∥l 2且l 1过点(3,-1); (3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为-1.6.如图,在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.题组二两点间的距离7.(2019天津耀华中学高二开学考试)已知过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-12,则|MN|等于( )A.10B.180C.6√3D.6√58.若点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标为(3,4),则线段AB的长度为( )A.10B.5C.8D.69.已知平面上两点A(x,√2-x),B(√22,0),则|AB|的最小值为( )A.3B.13C.2 D.1210.已知点A(-1,2),B(3,4),P(x,0),|PA|=|PB|,则|PA|= .题组三与对称相关的问题11.已知点A(x,5)关于点(1,y)对称的点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是( )A.2B.4C.5D.√1712.点P(-3,4)关于直线x+y-2=0对称的点Q的坐标是( )A.(-2,1)B.(-2,5)C.(2,-5)D.(4,-3)13.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( )A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=014.光线从点B(-3,5)出发射到x轴上,经反射后过点A(2,10),则光线从点B到点A 经过的路程为.15.已知点A(10,-2),B(5,7).若在x轴上存在一点P,使||PA|-|PB||最大,则点P 的坐标为.16.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.能力提升练一、选择题1.(★★☆)两条直线l 1:y=kx+1+2k,l 2:y=-12x+2的交点在直线x-y=0的上方,则k的取值范围是( ) A.(-12,110)B.(-∞,-110)∪(12,+∞)C.(-∞,-12)∪(110,+∞) D.(-110,12) 2.(★★☆)已知两点M(a,b),N(c,d),且√a 2+b 2-√c 2+d 2=0,则( ) A.原点一定是线段MN 的中点 B.M,N 一定都与原点重合C.原点一定在线段MN 上,但不一定是中点D.M,N 到原点的距离相等3.(★★☆)直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|的值为( ) A.√895B.175C.135D.1154.(2019贵州高二开学考试,★★☆)著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:√(x -a )2+(y -b )2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得f(x)=√x 2+10x +26+√x 2+6x +18的最小值为( ) A.2√2 B.2√5 C.√2+√10 D .3+√5二、填空题5.(★★☆)动点P在直线x+y-1=0上运动,Q(1,1)为定点,当|PQ|最小时,点P的坐标为.6.(★★☆)点P1(a,b)关于直线x+y=0对称的点是P2,P2关于原点O对称的点是P3,则|P1P3|= .7.(★★☆)已知直线l:5mx-5y-m+3=0.若使直线l不经过第二象限,则m的取值范围为.8.(★★☆)已知函数y=2x的图象与y轴交于点A,函数y=lg x的图象与x轴交于点B,点P在直线AB上移动,点Q(0,-2),则|PQ|的最小值为.9.(★★☆)已知直线l:3x+λy-2+2λx+4y+2λ=0,则直线l过定点.三、解答题10.(★★☆)过点A(3,-1)作直线l交x轴于点B,交直线l1:y=2x于点C,若|BC|=2|AB|,求直线l的方程.11.(★★☆)光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y 轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在直线的方程.12.(★★☆)已知两直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4(0<a<2)与两坐标轴围成四边形.当a为何值时,围成的四边形面积取得最小值?并求最小值.13.(★★★)(1)已知点P是平面上一动点,A(1,1),B(2,-2)是平面上两个定点,求|PA|2+|PB|2的最小值,并求此时点P的坐标;(2)求函数f(x)=√x2-4x+13+√x2-12x+37的最小值.答案全解全析基础过关练1.B 将点(2,-1)代入3x+my-1=0,可得m=5,将点(2,-1)代入4x+3y-n=0,可得n=5,所以m+n=10.2.D 由{kx -y +2k +1=0,2x +y -2=0得{x =1-2k2+k ,y =2+6k 2+k (k≠-2). ∵直线kx-y+2k+1=0与直线2x+y-2=0的交点在第一象限, ∴1-2k2+k >0,2+6k2+k >0,解得-13<k<12.则实数k 的取值范围是(-13,12).故选D.3.答案 2解析因为l 2与x 轴的交点为(12,0),所以4×12+B×0-C=0,所以C=2. 4.答案 -1或-12解析 ∵l 1与l 2相交,故只需l 1∥l 3或l 2∥l 3即可, 若l 1∥l 3,则-1m =1,可得m=-1,若l 2∥l 3,则-1m=2,可得m=-12,经检验,m=-1或m=-12均满足题意.故答案为-1或-12.5.解析 (1)把点P(m,1)的坐标分别代入l 1,l 2的方程,得m 2+8+n=0,2m+m-1=0,解得m=13,n=-739. (2)显然m≠0.∵l 1∥l 2且l 1过点(3,-1),∴{m2=8m ≠n-1,3m -8+n =0,解得{m =4,n =-4或{m =-4,n =20.(3)当l 1⊥l 2时,满足2m+8m=0,解得m=0,又l 1在y 轴上的截距为-1,即l 1过点(0,-1),代入得-8+n=0,解得n=8,∴m=0,n=8.6.解析由方程组{x -2y +1=0,y =0得顶点A(-1,0),则AB 的斜率k AB =2-01-(-1)=1.∵∠BAC 的平分线所在直线的方程为y=0,∴直线AC 的斜率为-1,AC 所在直线的方程为y=-(x+1). ∵BC 边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∴k BC =-2. 又点B 的坐标为(1,2),∴BC 所在直线的方程为y=-2(x-1)+2. 由{y =-2(x -1)+2,y =-(x +1)得C(5,-6). 综上,A(-1,0),C(5,-6).7.D ∵过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率k=4-aa -(-2)=-12,解得a=10,∴|MN|=√(a +2)2+(4-a )2=6√5.故选D.8.A 由题意可得A 点的坐标为(6,0),B 点的坐标为(0,8),所以由两点间距离公式得|AB|=10.9.D ∵|AB|=√(x -√22)2+(√2-x )2=√2(x -3√24)2+14≥12,当且仅当x=3√24时等号成立,∴|AB|min =12.10.答案√652解析解法一:由题意得|PA|=√[x -(-1)]2+(0-2)2=√x 2+2x +5,|PB|=√(x -3)2+(0-4)2=√x 2-6x +25.由|PA|=|PB|,得√x 2+2x +5=√x 2-6x +25,解得x=52.故点P 的坐标为(52,0).|PA|=√[52-(-1)]2+(0-2)2=√652.解法二:因为A(-1,2),B(3,4),|PA|=|PB|,所以点P 在线段AB 的垂直平分线上,k AB =4-23-(-1)=12,线段AB 的中点坐标为(1,3),则线段AB 的垂直平分线l 的斜率k=-1k AB=-2,l 的直线方程为y=-2(x-1)+3,令y=0,解得x=52,故点P 的坐标为(52,0).|PA|=√[52-(-1)]2+(0-2)2=√652.11.D 根据中点坐标公式得到x -22=1且5-32=y,解得x=4,y=1,所以点P 的坐标为(4,1),则点P(x,y)到原点的距离d=√(4-0)2+(1-0)2=√17.12.B 设对称点Q 的坐标为(a,b),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,即Q(-2,5).13.D 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x+3y-6=0平行, 则可设所求直线方程为2x+3y+C=0(C≠-6).在直线2x+3y-6=0上任取一点(3,0),则(3,0)关于点(1,-1)对称的点为(-1,-2), 则点(-1,-2)必在所求直线上, ∴2×(-1)+3×(-2)+C=0, ∴C=8.∴所求直线方程为2x+3y+8=0.14.答案 5√10解析点B(-3,5)关于x 轴对称的点为B'(-3,-5),设AB'交x 轴于P 点,则|PA|+|PB|=|AB'|=√[2-(-3)]2+[10-(-5)]2=5√10,即光线从点B 到点A 经过的路程为5√10.15.答案 (12,0)解析易知点A 关于x 轴对称的点A'的坐标为(10,2), 设直线A'B 的方程为y=kx+b,∴{7=5k +b ,2=10k +b , 解得{k =-1,b =12,∴直线A'B 的方程为y=-x+12. 令y=0,解得x=12,∴P(12,0).16.解析设l 1与l 的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A 关于点P 对称的点B(-a,2a-6)在l 2上, 将其代入l 2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0, 解得a=4,即点A(4,0)在直线l 上, 所以直线l 的方程为x+4y-4=0.能力提升练一、选择题1.C 由方程组{y =kx +1+2k ,y =-12x +2解得{x =2-4k2k+1,y =6k+12k+1.∵交点在直线x-y=0的上方, ∴6k+12k+1>2-4k 2k+1,解得k∈(-∞,-12)∪(110,+∞),故选C.2.D 原式可变形为√(a -0)2+(b -0)2=√(c -0)2+(d -0)2,其意义是点M(a,b)与点N(c,d)到原点O(0,0)的距离相等,故选D.3.C 直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B (-1,25),由两点间的距离公式,得|AB|=135.4.B f(x)=√(x +5)2+(0+1)2+√(x +3)2+(0-3)2,表示x 轴上的点(x,0)到点(-5,-1)、(-3,3)的距离之和, f(x)的最小值即为距离之和的最小值d min ,则d min =√[(-3)-(-5)]2+[3-(-1)]2=2√5.二、填空题 5.答案 (12,12)解析设P(x,1-x),由两点间距离公式得|PQ|=√(1-x )2+x 2=√2x 2-2x +1=√2(x -12)2+12,所以当x=12时,|PQ|最小,所以P (12,12). 6.答案 √2|a-b|解析由题意得P 2(-b,-a),P 3(b,a),∴|P 1P 3|=√(a -b )2+(b -a )2=√2|a-b|.7.答案 [3,+∞)解析直线l 的方程可化为y-35=m (x -15),所以无论m 取何值,直线l 恒过定点A (15,35).令x=0,则y=3-m 5,若直线l 不经过第二象限,则3-m 5≤0,解得m≥3.所以m 的取值范围为[3,+∞).8.答案 3√22 解析易知A(0,1),B(1,0),所以直线AB:y=1-x.设P(x 0,y 0),则y 0=1-x 0,又Q(0,-2),所以|PQ|=√(x 0-0)2+(y 0+2)2=√x 02+(3-x 0)2=√2(x 0-32)2+92≥√92=3√22(当且仅当x 0=32时等号成立),所以|PQ|的最小值为3√22. 9.答案 (-2,2)解析根据题意将直线l 化为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0.由{3x +4y -2=0,2x +y +2=0解得{x =-2,y =2. 所以直线l 过定点(-2,2).三、解答题10.解析当直线l 的斜率不存在时,直线l:x=3,所以B(3,0),C(3,6).此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|,所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y+1=k(x-3),显然k≠0且k≠2.令y=0,得x=3+1k ,所以B (3+1k ,0).由{y =2x ,y +1=k (x -3)得点C 的横坐标x C =3k+1k -2. 因为A 、B 、C 三点共线,且|BC|=2|AB|,所以|x C -x B |=2|x B -x A |,所以|3k+1k -2-1k -3|=2|1k |,所以3k+1k -2-1k -3=2k 或3k+1k -2-1k -3=-2k ,解得k=- 32或k=14. 所以直线l 的方程为3x+2y-7=0或x-4y-7=0.11.解析作出草图,如图所示,设A 关于直线y=x 对称的点为A',D 关于y 轴对称的点为D',则易得A'(-2,-4),D'(1,6).由反射角等于入射角可得A'D'所在直线经过点B 与点C.故BC 所在直线的方程为y -6-4-6=x -1-2-1,即10x-3y+8=0.12.解析两直线l 1:a(x-2)=2(y-2),l 2:2(x-2)=-a 2·(y -2),都过点(2,2),如图:设两直线l 1,l 2的交点为C,且它们的斜率分别为k 1和k 2,∵0<a<2,∴k 1=a 2∈(0,1),k 2=-2a 2∈(-∞,-12).∵直线l 1与y 轴的交点A 的坐标为(0,2-a),直线l 2与x 轴的交点B 的坐标为(2+a 2,0),∴S 四边形OACB =S △OAC +S △OCB =12(2-a)×2+12×(2+a 2)×2=a 2-a+4=(a -12)2+154.∴当a=12时,四边形OACB 的面积最小,最小值为154.13.解析 (1)设点P(x,y)(x∈R,y∈R),则|PA|=√(x -1)2+(y -1)2,|PB|=√(x -2)2+(y +2)2, ∴|PA|2+|PB|2=(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x 2-6x+2y 2+2y+10=2(x -32)2+2(y +12)2+5.∴当x=32,y=-12时,|PA|2+|PB|2最小.故|PA|2+|PB|2的最小值为5,此时P (32,-12).(2)f(x)=√(x -2)2+9+√(x -6)2+1=√(x -2)2+(0-3)2+√(x -6)2+(0-1)2. 设A(2,3),B(6,1),P(x,0),如图,则问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.易知点A 关于x 轴对称的点为A'(2,-3),∵|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|=4√2,∴|PA|+|PB|≥4√2.∴函数f(x)的最小值为4√2.。

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