高中数学知识要点重温之线面关系

线面关系

江苏 郑邦锁

1．“公理1”用于证明“线在面内”；“公理2”用于证明“点在线上”，“公理3”及其推论用于证明“共面”。 [举例1]⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1所在的平面交于直线l ，AB 和A 1B 1交于P ，BC 和B 1C 1交于Q ，AC 和 A 1C 1交于R ，则下列判断正确的是： （ ） A ．P 、Q 、R 确定平面γ，且l ⊂γ； B ．P 、Q 、R 确定平面γ，且l ∥γ； C ．P 、Q 、R 确定平面γ，且l ⊥γ； D ．P 、Q 、R 都在直线l 上

解析：易见P 是平面ABC 和平面A 1B 1C 1的一个公共点，由公理2知，P 在它们的公共线l 上，

同理：Q 、R 也在直线l 上。 [举例2] 如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，

四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ， 1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．

求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面．

（07高考安徽理17） 解析：几何体为六面体，则AB 、A 1B 1共面，BC 、B 1C 1共面， CD 、C 1D 1共面，AD 、A 1D 1共面；

1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ． ∴平面1111A B C D ∥平面ABCD 于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．

设E F ，分别为DA

DC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有：A 1D 1平行且等于AD ，故A 1E 平行且等于DD 1， 同理C 1F 平行且等于DD 1，于是A 1E 平行且等于C 1F

∴11AC EF ∥．又由

1DE DF ==，得EF AC ∥， 故11AC AC ∥，11AC 与AC 共面．过点1B 作1B

O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，，于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，

OE OF =∴．1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴．1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．

所以点O 在BD 上，而11D B 与DO 共面，故11D B 与DB 共面．

[巩固1]已知在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的

点，且BG ：GC=DH ：HC=2：1，则EG 、FH 、AC 的位置关系是： （ ） A ．两两异面 B ．两两平行 C ．交于一点 D ．两两相交。

A

B

C

D 1A 1B 1

C 1

D A

B

C

D

1

A 1

B 1

C 1

D M

O

E

F

C D D 1

A 1

B 1

C 1

[巩固2] 如图，已知1111ABCD A BC D -是棱长为3的正方体， 点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． 求证：1E B F D ，，，四点共面； （07高考江苏卷18）

2．在分析比较复杂的“孤立”的线面关系（不在几何体中）时，可以将其放置于一个我们熟悉的几何体（如三棱锥、长方体等）中研究，以便观察、寻找它们之间的联系。 [举例] 设γβα、、、为平面，l n m 、、为直线，以下四组条件：① l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα②γβγαγα⊥⊥=⋂,,m ； ③αγβγα⊥⊥⊥m ,,；④αβα⊥⊥⊥m n n ,,；可以作为β⊥m 的一个充分条件是 。

解析：题中线面关系既复杂又抽象，注意到其中包含大量的垂直关系，故可以在正方体内观察：①记面AD 1为α，面AC 为β，则AD 为l ，若视AB 为

m ，m ⊥l ，但m 在面β内；②若γβα、、、两两垂直，则

可以得到β⊥m ，但该条件中没有α⊥β，故反例只可能存在 于此处，记面AD 1为α，面BB 1D 1D 为β，面AC 为γ，则AD

为m ，但m 与β成450角；③注意到m ⊥α，只要α、β不平行，就得不到β⊥m ，记面AD 1为α，面BB 1D 1D 为β，面AC 为γ，视AB 为m ，但m 与β成450角；④由

n ⊥α，n ⊥β得α∥β，再由m ⊥α得β⊥m ；故只有④。

[巩固]设a 、b 为直线，α为平面，直线1a 、1b 分别为a 、b 在面α内的射影，则下列四个命题中正确的个数是： （ ） ①若a ⊥b 则1a ⊥1b ；②若1a ⊥1b 则a ⊥b ；③若a ∥b 则1a ∥1b ；④若1a ∥1b 则a ∥b A ．3， B ．2 C ．1， D ．0

注：07年高考上海卷理科第10题就是由这一题变形、延伸而来：

[延伸] 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个 相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条

件：

3．证明立几问题时要有降维的思想：通过线线垂直证线面垂直，通过线面垂直证面面垂直；

C

H

M

D

E

F

1

B 1

A 1

D 1

C

A

C

D

S

图4-1

Q

P

A

B C

D S

图4-2 Q

P

A

B C

D

S 图4-3

Q

P

Q 1 P 1

通过线线平行证线面平行，通过线面平行证面面平行。

4．证明“线面平行”的关键是找准“这条直线”平行于平面内的哪条直线，（也可以先证经过“这条直线”的平面与平面平行）；

[举例] 右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为

ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．

若点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ；（07高考江西理20） 解析：取A 1B 1中点 D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥．

1111

()32

OD AA BB CC =

+==． ∴四边形1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．

又1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，∴OC ∥面111A B C ． 注：在找“线”与面内的一条直线平行时，常用到一些平面图形的性质，

如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例 定理的逆定理等。

[巩固] 如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． 证明EF ∥平面SAD ；（07高考全国卷Ⅱ理19）

5．已知“线面平行”的条件，一般只有一个“发展”方向：过“线”的议和平面与已知“面”的交线和已知的“线”平行，故设法找到经过“线”的平面与已知“面”的交线往往是解题的关键。 [举例]如图4-1，正四棱锥S-ABCD 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P 、Q 分别在BD 和SC 上，并且BP ：PD=1：2，P Q ∥面SAD ，求线段PQ 的长。

解析：要用条件“P Q ∥面SAD ”，需找到过PQ 的平面与面SAD 的交线，方法有二：①分别延长CP 、DA 交于点R ，如图4-2，则面SCR 交面SAD 于SR ，又P Q ∥面SAD ，∴QP ∥SR ；

11

A

E

B

C

F

S

D