菱形的判定方法的应用

菱形的判定方法的应用(1)

菱形是特殊的平行四边形，它的常用判定方法有：

（1）四条边都相等的四边形是菱形；

（2）有一组临边相等的平行四边形是菱形；

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

下面，就给同学们说说如何应用这些方法进行判定一个四边形是菱形。

一、四条边都相等的四边形是菱形

例1（08年，郴州）如图1，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到ΔDBC ．请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由．

分析：翻折就是对称，也就是全等。

解：四边形ABCD 为菱形。 理由是：

由翻折，得：△ABC ≌△DBC ．

所以，,AC CD AB BD ==

因为，△ABC 为等腰三角形， 所以，AB AC =

所以，AC ＝CD ＝AB ＝BD ，

故，四边形ABCD 为菱形

点评：本题主要是应用对称的知识得出一组临边相等，在运用等腰三角形的两腰相等得到四条边都相等来解答。

二、有一组临边相等的平行四边形是菱形

例2（08年，永州）如图△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF∥AB

（1）求证：四边形EFCD 是菱形；

（2）设CD ＝4，求D 、F 两点间的距离．

分析：在四边形EFCD 中，由题意我们知道有一组临边ED 和CD 相等是很容易得到的，只要在说明这个四边形是平行四边形即可以。

（1）证明：

ABC Q △与CDE △都是等边三角形

ED CD ∴= 60A DCE BCA DCE ∴∠=∠=∠=∠=o

AB CD DE CF ∴∥，∥

又Q EF AB ∥

∴EF ∥CD ，

四边形EFCD 是平行四边形，

∴平行四边形EFCD 是菱形。

（2）解：连结DF ，与CE 相交于点G

由4CD =，可知2CG = ∴224223DG =-=

43DF ∴=

点评：观察是解答问题的途径和窗口。

三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

例3（08年，上海）如图11，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线

C A

B D 图1

上的点，且ACE △是等边三角形．

求证：四边形ABCD 是菱形；

分析：本题主要是利用等边三角形顶角的平分线、底边上的高和中线三线合一，得出AC ⊥BD ，然后在利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 证明：在平行四边形ABCD 中，

AO=OC, 又因为，ACE △是等边三角形，

所以，OC 是底边AC 上的中线，也是底边上的高

即AC ⊥BD ， 所以，平行四边形ABCD 是菱形。

点评：判定方法的确定要依据题目的特征来选择，要因题而宜，灵活运用。

以一当十：

1、（08年，赣州） 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点．

（1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形请直接写出结论；

（2）判断并证明四边形MENF 是何种特殊的四边形

2、（08年，无锡）如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于E ．

（1）求证：四边形AECD 是菱形；

（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．

参考答案：（1）△AMB ≌△DMC ；△BEN ≌△CFN

（2）判断四边形MENF 为菱形；

证明：∵ABCD 为等腰梯形，

∴AB =CD ，∠A =∠D ， 又∵M 为AD 的中点， ∴MA =MD

∴△AMB ≌△DMC ，∴BM =CM ；

又∵E 、F 、N 分别为BM 、CM 、BC 中点，

∴MF =NE =12MC ，ME =NF =12

BM ，（或MF ∥NE ， ME ∥NF ；） ∴EM =NF =MF =NE ；

∴四边形MENF 为菱形．

2、（1）AB CD Q ∥，即AE CD ∥，又CE AD Q ∥，∴四边形AECD 是平行四边形．

AC Q 平分BAD ∠，CAE CAD ∴∠=∠，

又AD CE Q ∥，ACE CAD ∴∠=∠，ACE CAE ∴∠=∠，AE CE ∴=，

∴四边形AECD 是菱形．

（2）E Q 是AB 中点，AE BE ∴=．又AE CE =Q ，BE CE ∴=，B BCE ∴∠=∠，

180B BCA BAC ∠+∠+∠=o Q ，22180BCE ACE ∴∠+∠=o ，90BCE ACE ∴∠+∠=o ． 即90ACB ∠=o ，ABC ∴△是直角三角形． M F E

N D C A B E

D

B A O 例3