3-1 n维向量空间
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a1 b1 c1 0, a2 b2 c2 0,
于是
a1 a2 A B 0
b1 b2 0
0 c1 c2
满足
即
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
A B W2 , 对任意k R有
ka1 kA 0
且
kb1 0
0 kc1
ka1 kb1 kc1 0,
即 kA W2 , 故W2是R 23的子空间.
例3.1.1
例3.1.2 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R n R 试判断集合是否为 的子空间.
T
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn x2 , , xn R
T
解 V2不是向量空间.
因为若 1, a 2 ,, a n V2 ,
T
则2 2,2a 2 ,,2a n V2 .
T
定义3.1.5
设V 是一个向量空间，L 是V的一个非空 子集，如果L对于V中所定义的加法和乘数 两种运算线性运算封闭．即
(6) ; (7) ; (8) .
三、向量空间及其子空间
1、向量空间
定义1 设V为n维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合V为向量空间． 说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 若 V , V , 则 V ;
23
解 (1)不构成子空间. 1 0 A B 0 0 2 0 有 A B 0 0
因为对 0 W1 0 0 W1 , 0
即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间. 0 0 0 ( 2) 因 W2 , 即W2非空. 0 0 0 对任意 a1 b1 0 a2 b2 0 , B W2 A 0 0 c1 0 0 c2 有
T T T
解 V1是向量空间. 因为对于V1的任意两个元素
0, a2 , , an , 0, b2 , , bn V1 ,
有
0, a2 , , an V1 .
T
0, a 2 b2 ,, a n bn V1
若 V , R, 则 V .
2.
R n 本身是一个向量空间.
例1 3 维向量的全体 R 3 , 是一个向量空间 .
因为任意两个 3维向量之和仍然是 3维向量 ,数 3 乘3维向量仍然是 3维向量，它们都属于 R .
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 , , xn x2 , , xn R
第一节
向量与向量空间
一、n 维向量的概念 二、n维向量的表示法 三、向量空间及其子空间
一、n维向量的概念
定义1： n 个有次序的数 a1 , a 2 , , a n 所组成的数
组称为n维向量，这 n个数称为该向量的n个分量， 第i个数a i 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量. (1,2,3,, n) 例如
若 L, L, 则 L;
若 L, R, 则 L.
则称L为V的子空间．
例5
R 的下列子集是否构成子 空间?为什么? 1 b 0 (1) W1 b, c , d R ; 0 c d
a b 0 ( 2 ) W 2 a b c 0, a , b , c R . 0 0 c
注意
1、行向量和列向量总被看作是两个 不同的向量；
2、行向量和列向量都按照矩阵的运算 法则进行运算； ３、当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
非空集合
T , ,, R Rn x ( , , , ) x x x x1 x2 xn 1 2 n
定义了向量的加法和数乘（并满足八条运算 规律）后，称为一个 n 维向量空间． 注:1、向量的加法和数乘是按矩阵的加法和数 乘来定义的（P98） 2、八条运算规律（P99） ：
(1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量 n维复向量
第2个分量 第1个分量 第n个分量
二、n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 aT , bT , T , T 等表示，如： a T (a1 , a 2 ,, a n ) n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如： a1 T a2 或 a (a1 , a2 ,, an ) a a n
设 , , R n ; , R
(1) ;
( 2) ;
(3) 在R n中存在零元素 0, 对任Hale Waihona Puke Baidu R n , 都有
0;
(4) 对任何 R n , 都有的负元素 R n , 使 ( ) 0 ; (5) 1 ;
解： 0=0a+0b V, V是R n的非空子集 又若x1，x2 V， 则 x1 1a 1b x 2 2 a 2 b，所以
x1 x 2 (1 2 )a ( 1 2 )b V ,
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
于是
a1 a2 A B 0
b1 b2 0
0 c1 c2
满足
即
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
A B W2 , 对任意k R有
ka1 kA 0
且
kb1 0
0 kc1
ka1 kb1 kc1 0,
即 kA W2 , 故W2是R 23的子空间.
例3.1.1
例3.1.2 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R n R 试判断集合是否为 的子空间.
T
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn x2 , , xn R
T
解 V2不是向量空间.
因为若 1, a 2 ,, a n V2 ,
T
则2 2,2a 2 ,,2a n V2 .
T
定义3.1.5
设V 是一个向量空间，L 是V的一个非空 子集，如果L对于V中所定义的加法和乘数 两种运算线性运算封闭．即
(6) ; (7) ; (8) .
三、向量空间及其子空间
1、向量空间
定义1 设V为n维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合V为向量空间． 说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 若 V , V , 则 V ;
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解 (1)不构成子空间. 1 0 A B 0 0 2 0 有 A B 0 0
因为对 0 W1 0 0 W1 , 0
即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间. 0 0 0 ( 2) 因 W2 , 即W2非空. 0 0 0 对任意 a1 b1 0 a2 b2 0 , B W2 A 0 0 c1 0 0 c2 有
T T T
解 V1是向量空间. 因为对于V1的任意两个元素
0, a2 , , an , 0, b2 , , bn V1 ,
有
0, a2 , , an V1 .
T
0, a 2 b2 ,, a n bn V1
若 V , R, 则 V .
2.
R n 本身是一个向量空间.
例1 3 维向量的全体 R 3 , 是一个向量空间 .
因为任意两个 3维向量之和仍然是 3维向量 ,数 3 乘3维向量仍然是 3维向量，它们都属于 R .
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 , , xn x2 , , xn R
第一节
向量与向量空间
一、n 维向量的概念 二、n维向量的表示法 三、向量空间及其子空间
一、n维向量的概念
定义1： n 个有次序的数 a1 , a 2 , , a n 所组成的数
组称为n维向量，这 n个数称为该向量的n个分量， 第i个数a i 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量. (1,2,3,, n) 例如
若 L, L, 则 L;
若 L, R, 则 L.
则称L为V的子空间．
例5
R 的下列子集是否构成子 空间?为什么? 1 b 0 (1) W1 b, c , d R ; 0 c d
a b 0 ( 2 ) W 2 a b c 0, a , b , c R . 0 0 c
注意
1、行向量和列向量总被看作是两个 不同的向量；
2、行向量和列向量都按照矩阵的运算 法则进行运算； ３、当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
非空集合
T , ,, R Rn x ( , , , ) x x x x1 x2 xn 1 2 n
定义了向量的加法和数乘（并满足八条运算 规律）后，称为一个 n 维向量空间． 注:1、向量的加法和数乘是按矩阵的加法和数 乘来定义的（P98） 2、八条运算规律（P99） ：
(1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量 n维复向量
第2个分量 第1个分量 第n个分量
二、n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 aT , bT , T , T 等表示，如： a T (a1 , a 2 ,, a n ) n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如： a1 T a2 或 a (a1 , a2 ,, an ) a a n
设 , , R n ; , R
(1) ;
( 2) ;
(3) 在R n中存在零元素 0, 对任Hale Waihona Puke Baidu R n , 都有
0;
(4) 对任何 R n , 都有的负元素 R n , 使 ( ) 0 ; (5) 1 ;
解： 0=0a+0b V, V是R n的非空子集 又若x1，x2 V， 则 x1 1a 1b x 2 2 a 2 b，所以
x1 x 2 (1 2 )a ( 1 2 )b V ,
kx1 (k1 )a (k1 )b V .