3-1 n维向量空间
第三章 向量 (2)
向量
【学习要求与目标】通过本章的学习，使学生理 解n维向量的概念，掌握向量的线性运算及其性质； 理解向量的线性组合与线性表出的概念；理解向量 组线性相关、线性无关的定义，会判定向量组的线 性相关(无关)性；了解向量组的极大无关组和向量 组的秩的定义，并掌握其求法；了解向量组等价的 概念及有关性质；了解n维向量空间、子空间、基 底、维数和坐标的概念；了解向量内积的概念和性 质，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法； 在此基础上建立起向量空间的概念。
运算规律
§3.2 向量组的线性组合
内容要点
线性方程组的向量形式 向量组的线性组合 向量组间的线性表示
3.2.1线性方程组的向量形式
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
n n 维向量及其线性运算 维向量及其线性运算
由数a1 ,, an 组成的有序数组称为 维向量， n 简称向量。 列向量通常用黑体小写 字母字母 , b, , , 等表示。 a
a1 a2 a n
列 向 量
T (a1 , a2 ,, an )
§3.1 n维向量的概念
内容要点 二、三 维向量 n维向量的概念 向量组与矩阵 n维向量的运算及其性质
二维向量
定义3.1.1 在平面直角坐标系中，取一个固 定点（一般取坐标原点）为始点，另一点为终 点，作一线段 ，这条既有大小，又有方向的线 段称为二维向量（也称为平面向量）。 二维向量常用一条有向线段来表示，有向线 段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表 示向量的方向。
n维向量空间
n维向量空间在数学中，向量是用来表示方向和大小的量，而n维向量空间是指由n个方向上的向量组成的空间。
这种空间在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、统计学等。
向量的定义和性质一个n维向量可以表示为一个包含n个实数的有序集合，通常写成列向量的形式：$$ \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix} $$在 n 维空间中，两个向量的加法和数量乘法满足以下性质：1.加法交换律：$$ \\mathbf{u} + \\mathbf{v} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} $$2.加法结合律：$$ \\mathbf{u} + (\\mathbf{v} + \\mathbf{w}) = (\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) + \\mathbf{w} $$3.数量乘法结合律：$$ c(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = c\\mathbf{u} + c\\mathbf{v} $$4.数量分配律：$$ (c+d)\\mathbf{u} = c\\mathbf{u} + d\\mathbf{u} $$5.数量乘法分配律：$$ c(d\\mathbf{u}) = (cd)\\mathbf{u} $$6.标量乘法的单位元：$$ 1\\mathbf{u} = \\mathbf{u} $$n维向量空间的例子n维向量空间并不局限于几何空间的概念，它可以应用于更广泛的领域。
比如在机器学习中，特征向量常常被表示为n维空间中的一个点，这个点对应于特征空间中的一个特定特征组合。
另外，在数字信号处理中，信号通常被表示为一个n 维向量，这样可以更好地处理信号的复杂性。
向量的内积和外积在 n 维空间中，向量的内积和外积是两个重要的运算。
内积定义如下：$$ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$内积有许多重要的性质，比如内积为零表示两个向量正交，内积的值与向量夹角的余弦有关等。
n维向量空间 (2)
n维向量空间简介在数学中，向量是一个多维度的数学对象，用于表示方向和大小。
而n维向量空间则是由n个向量组成的空间，可以用于描述和计算n个变量之间的关系。
n维向量空间在各种学科和领域中都有重要的应用，例如线性代数、计算机图形学和机器学习等领域。
本文将介绍n维向量空间的基本概念、性质和常见操作。
基本概念向量一个向量可以由一组有序的数值表示，这组数值被称为向量的分量。
向量通常用小写字母加粗表示，例如v。
在n维向量空间中，一个向量可以表示为：v = (v₁, v₂, …, vₙ)其中v₁, v₂, …, vₙ是向量的n个分量。
n维向量空间n维向量空间可以由n个向量组成，记为{v₁, v₂, …, vₙ}。
这些向量可以是任意长度的向量，但在n维向量空间中，它们的维度必须相同。
n维向量空间中的向量可以进行向量加法和数乘运算。
向量加法是指将两个向量的对应分量相加，数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个标量。
性质n维向量空间具有以下性质：1.封闭性：对于任意两个向量v和w，它们的和v+w仍然是n维向量空间中的向量。
2.交换律：向量加法满足交换律，即v+w = w+v。
3.结合律：向量加法满足结合律，即(v+w)+u =v+(w+u)。
4.数乘结合律：数乘满足结合律，即(a b)v = a(b v)。
5.分配律：数乘和向量加法满足分配律，即a(v+w) =a v + a w 和 (a+b)v = a v +b v。
常见操作向量点乘在n维向量空间中，可以对两个向量进行点乘运算。
点乘（也称为内积或数量积）的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角。
向量点乘的计算公式如下：v·w = v₁w₁ + v₂w₂ + … + vₙwₙ其中v和w分别是n维向量空间中的向量，v₁, v₂, …, vₙ和w₁, w₂, …, wₙ是它们的分量。
向量叉乘除了点乘，n维向量空间还可以进行向量叉乘运算。
向量叉乘（也称为外积或矢量积）的结果是一个新的向量，垂直于原来的两个向量。
高等代数第二版课件§3[1].2_n维向量空间
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a , a , , a , b 元向量来表示： i 1 i 2 i n i
a ,,, aa , b ,,, bb 向量的相等：如果两个n维向量 1 2 n 1 2 n bi , 1 , 2 , . n 的对应分量都相等，即 a ，则 i i 称这两个向量相等，记为 a b , a b ,, a b 向量的和：向量 称为向量 1 12 2 n n aa ,2 , , a 与 记为 r=α+β。 bb ,2 , , b 1 n 的和， 1 n 0,0 ,0 称为零向量。 零向量：分量全为零的n维向量： 负向量：向量 a , a , , a aa ,2 , , a 称为向量 的负向 1 2 n 1 n 量，记为-α。 a , a , , akF , ，则称向量 向量的数量乘积：设 1 2 n k ak ,a , , k a 为向量α与数k的数量乘积， 1 2 n 记为kα。 向量的减法：α-β=α+（-β）。
如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那 些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。 定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维 向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其 加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空 间，记为 F n 。 由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、 0 0； 2、 1 ； 3、k 0 0； 4、若 k 0 ,0，则
§3.2
n维向量空间
一、向量空间的定义和例子
向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨 论过二维和三维向量空间中的向量。 在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向 量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向 量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量 的定义。 定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 ,a , ,a a 有序数组： 1 2 n 其中 a i 称为向量的第i个分量。 几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含 通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同 的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 x a x a xb 向量，一个方程 a 就可以用一个n+1 i 1 1 i 2 2 i n n i
n维向量空间
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
数学线性代数n维向量空间
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
3-1,2n维向量及其运算向量组的线性相关性
0
1
定义2 设两个n维向量组
I
1, 2, 3,……,s
(II)
1, 2, 3, ……,t
如果(I)组中每一个向量i (i=1,2,…,s)都能由
向量组(II)线性表示，则称向量组(I)可以
由向量组(II)线性表示.
如果两个向量组可以相互线性表示，则称这
两个向量组等价.
例如，对于向量组
一. n维向量空间
1. n 维向量
定义：n 个有次序的数a1,a2 , ,an 所组成的有序数组
a1,a2 , ,an 称为一个n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i个数 ai 称为第 i 个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，
分量为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
注意 1. 若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
的和，记为
负向量：向量 a1, a2 , , an 称为向量 的负向量
向量减法： ( )
数乘向量：设k为实数，向量 ka1, ka2 , , kan 称为向量 a1,a2 , ,an
与数k的数量乘积。记为 k
满足运算律：
(1)
(5)1
(2)( ) ( ) (6)k(l ) (kl)
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1))
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
n维向量空间
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
3.1n维向量概念及其线性运算
( 3)α + 0 = α ; (4)α + ( −α ) = 0 (5)1 × α = α ;
8( （ ）kl )α = k ( lα ). 数乘向量结合律） （数乘向量结合律）
例1
设 α = ( 2,1,3), β = ( −1,3,6), γ = ( 2,−1,4).求向量
2α + 3β − γ .
是数， 向量运算的8条运算律：设 α , β , γ都是n维向量 , k , l是数，则 向量运算的8条运算律：
(1)α + β = β + α ; (加法交换律 ) ( 2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ); (加法结合律 )
(6)k (α + β ) = kα + kβ ; (数乘分配律 ) (7)( k + l )α = kα + lα （数乘分配律） ; 数乘分配律）
的线性组合， （ β 能否表示成 α 1， α 2， α 3的线性组合，取决于该 方 程组是否有解。 程组是否有解。对它的 增广矩阵施行初等行变 换，得
( A, β ) 1 → 0 0 1 0 2 − 1 3 1 = (α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 2 1 3 4 6 5 1 0 0 2 2 − 1 − 1 → 0 1 − 1 1 −1 3 3 0 0 4 0 8 4 − 4
≠
（2，1） ， ）
2．n维零向量 ． 维零向量 3．负向量 ．
0 = (0, 0,L , 0)
α = (a1 , a2 ,L , an ), −α = (−a1 , −a2 ,L , −an )
3-1 n维向量空间
若 L , R , 则 L .
例1
3 维向量的全体
R , 是一个向量空间
3
.
因为任意两个
3 维向量之和仍然是
3 维向量 , 数
乘 3 维向量仍然是
3 维向量，它们都属于
R .
3
例2 判别下列集合是否为向量空间.
a 2 b2 c 2 0 ,
于是
a1 a 2 A B 0
b1 b 2 0
c1 c 2 0
满足
即
a 1 a 2 b1 b 2 c 1 c 2 0 ,
A B W 2 , 对任意 k R 有
T
0 , a 2 , , a n V 1 .
T
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V 2 x 1 , x 2 , , x 解 V 2 不是向量空间
.
T
因为若 1 , a 2 , , a n V 2 , 则 2 2 , 2 a 2 , , 2 a n V 2 .
n n
( 5 ) 1 ;
( ) 0 ;
( 6 )
;
( 7 ) ; ( 8 )
.
三、向量空间及其子空间
1、向量空间
定义1 设V为n维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合V为向量空间． 说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
T
例4 设 a , b 为两个已知的
n 维向量，集合
V
n维向量空间
3、 n维向量空间
定义 数域P上的n维向量的全体，同 时考虑到定义在它们上的的加法和数 量乘法运算，称为数域P上的n维向量 空间，记作Pn。
称之为列向量；
an
2. 向量的相等
对于两个n维向量 =(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn)
如果其对应分量皆相等，即 ai= bi , i=1,2,…,n,
则称向量与相等，记作 =．
3.一些特殊向量
零向量：分量全为零的向量称为零向 量，记作0．即０＝(0,0,…,0).
n维向量空间
一、n维向量的概念
1．定义 由数域P上的n个数组成的有序数组
(a1, a2,…, an) 称为数域P上的一个n维向量，称希腊字母,,,…来表示
② 向量通常写成一行=(a1, a2,…, an)
称之为行向量；
a1
向量写成一列
a2
M
2. 向量运算的基本性质
1) 加法交换律 +=+ 2) 加法结合律 (+)+= +(+) 3) 零元特性 +0= 4) 负元特性 +()=0
5) 1=
6) 结合律 k(l)= (kl)
7) (k+l)= k+l
8) k(+)= k+k 9) 0=0，(-1)=-, k0=0 10) 如果k0, 0, 则k0，即
负向量：向量(a1, a2,…, an)称为 向量=(a1, a2,…, an)的负向量，记作.
二、n维向量的运算
定义 设=(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn), k 为数域P中的数，定义向量
n维向量
n 维向量空间§3.1 n 维向量的定义 1. 定义定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a , 称为n 维行向量．i a –– 称为向量 的第i 个分量 R i a –– 称 为实向量 C i a –– 称 为复向量 零向量：)0,,0,0(负向量：),,,()(21n a a a列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作n a a a 21 , 或者T21),,,(n a a a , 称为n 维列向量．零向量：000 负向量： n a a a 21)( 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为1212()(,,,)...T n n a aa a a aL 列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。
说明1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
行向量可看作是列向量的转置。
零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同)负向量 12(,,,)T n a a a L 。
向量相等设1212(,,,)(,,,)T Tn n a a a b b b L L ，，若,1,2,,i i a b i n L 则 。
向量运算规律：①② ()()③ 0 （0是零向量，不是数零）④ ()0 ⑤ 1⑥ ()()() ⑦ () ⑧ ()满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。
1． 内积的概念定义1：n 维实向量n n b b b a a a 2121, ，称n n b a b a b a 2211),(T n n b b b a a a2121,,,为 和 的内积。
第三章向量空间熊维玲版
第三章 向量空间§3.1 n 维向量及其运算一、N 维向量的概念 1．定义1定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数i a 称为第i 个分量.记为 ()12,,,n a a a a =，出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，前者称为行向量，而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵，故又称行矩阵；而列向量可看作一个1n ⨯矩阵，故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算，从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便，我们约定：用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量，用,,,T T T T a b αβ表示行向量.也可用T n a a a ),,(21 来表示一个列向量。
即T n a a a ),,(21 =α是一种很觉的表述。
在不特别声明时我们说到的向量均为列向量，行向量视为列向量的转置.例如：二维向量可以表示平面上一个点的坐标。
三维向量可以表示空间里的一个点的坐标。
四维以上的向量，四维以上的向量，没有具体的几何意义。
但在研究中是常见的向量。
2．几个特殊的向量及与向量相关的概念（1）分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. （2）分量全为零的向量，称为零向量。
记为O 。
（3）相等向量：二个向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b b 21当且仅当i i b a =的时候，b a = （4）方程组的矩阵表示式中的向量：b x A =，方程组的解通常也直接表示成：βα,=x 等。
（5）向量的加法： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+n n b a b a b a b a 2211（6）向量的数乘：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n kb kb kb kb 21（7）负向量a a)1(-=-。
n维向量空间
第二节 n 维向量空间定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母表示。
称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()Tn n b b b b b b ,,,2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β为n 维列向量。
称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。
特别对矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为矩阵A 的行向量；每一列()Tnj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。
定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。
定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。
定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。
定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。
()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。
向量的运算性质：（1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(（3）αα=+0 （4）0)(=-+αα （5）()βαβαk k k +=+ （6）()αααl k l k +=+ （7）)()(ααl k l k =⋅ （8）αα=⋅1定义7：在n 维向量的集合中，如果其中任意二个向量的和以及一个向量与数的积都在这个集合中，则称这集合为n 维向量空间。
维向量空间
维向量空间n-维向量空间（n-dimensional vector space），在解析几何中有些事物的性质不能用一个数来刻画，如一个n元方程组的解是由n 个数组成，而这n个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的，这时我们就需要用n维向量来刻画方程组的解。
在几何上这样的例子是很多的，所以n维向量在抽象代数这一领域的研究中起着很重要的作用。
若向量空间V中分别有两组基，[a1a2⋅⋅⋅an]与[b1b2⋅⋅⋅bm]，那么这两组基有什么特点呢？实际上，只要是同一个向量空间中的基，它们包含的向量数目一定是相等的，即m=n=dimV我们将这个固定的数字dimV称为向量空间的维数。
若dimV是有穷的，我们称向量空间V是有限维的，否则称V是无限维的。
在绝大多数情况下，机器学习聚焦的都是有限维的向量空间，因为无限维的向量空间性质上会有一些不同。
下面是一些显而易见的定理：定理1：有限维向量空间的任意两个基的长度都相同（都等于dimV）。
证明：设B1,B2是V中的任意两组基，则B1在V中是线性无关的，并且B2张成V，因此B1的长度不小于B2长度，互换B1,B2的角色，可以得出B2的长度不小于B1长度，因此两个向量组长度相等。
定理2：若V是有限维的，并且U是V的子空间，则dimU≤dimV。
定理3：若V是有限维的，则V中每个长度为dimV的张成向量都是V的一个基。
定理4：如果V是有限维的，则V中每个长度为dimV的线性无关向量组都是V的基。
定理5：如果U1,U2是同一个有限维向量空间的两个子空间，那么dim(U1+U2)=dimU1+dimU2−dim(U1∩U2)定理6：在有限维向量空间中，线性无关向量组的长度小于或等于张成向量组的长度。
定理7：在有限维向量空间中，每个线性无关向量组都可以扩充成一组基。
第4章 n维向量空间
第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.向量常用黑体小写字母βα、、、b a 等表示,即n 维列向量记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α,n 维行向量记为),,,(21n αααα =.行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求.x 解（1）γβα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T =（2）由,0253=++-x γβα得x )53(21γβα-+-=])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --= 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.§4.2 向量组的线性相关性1、向量组的概念若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.例如，一个n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i ==α组成的向量组m ααα,,,21 称为矩阵A 的行向量组.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。
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ka1 kA 0
且
kb1 0
0 kc1
ka1 kb1 kc1 0,
即 kA W2 , 故W2是R 23的子空间.
例3.1.1
例3.1.2 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R n R 试判断集合是否为 的子空间.
第一节
向量与向量空间
一、n 维向量的概念 二、n维向量的表示法 三、向量空间及其子空间
一、n维向量的概念
定义1： n 个有次序的数 a1 , a 2 , , a n 所组成的数
组称为n维向量，这 n个数称为该向量的n个分量， 第i个数a i 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量. (1,2,3,, n) 例如
T T T
解 V1是向量空间. 因为对于V1的任意两个元素
0, a2 , , an , 0, b2 , , bn V1 ,
有
0, a2 , , an V1 .
T
0, a 2 b2 ,, a n bn V1
a1 b1 c1 0, a2 b2 c2 0,
于是
a1 a2 A B 0
b1 b2 0
0 c1 c2
满足
即
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
A B W2 , 对任意 R有
设 , , R n ; , R
(1) ;
( 2) ;
(3) 在R n中存在零元素 0, 对任何 R n , 都有
0;
(4) 对任何 R n , 都有的负元素 R n , 使 ( ) 0 ; (5) 1 ;
若 V , R, 则 V .
2.
R n 本身是一个向量空间.
例1 3 维向量的全体 R 3 , 是一个向量空间 .
因为任意两个 3维向量之和仍然是 3维向量 ,数 3 乘3维向量仍然是 3维向量，它们都属于 R .
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 , , xn x2 , , xn R
(1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量 n维复向量
第2个分量 第1个分量 第n个分量
二、n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 aT , bT , T , T 等表示，如： a T (a1 , a 2 ,, a n ) n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如： a1 T a2 或 a (a1 , a2 ,, an ) a a n
23
解 (1)不构成子空间. 1 0 A B 0 0 2 0 有 A B 0 0
因为对 0 W1 0 0 W1 , 0
即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间. 0 0 0 ( 2) 因 W2 , 即W2非空. 0 0 0 对任意 a1 b1 0 a2 b2 0 , B W2 A 0 0 c1 0 0 c2 有
若 L, L, 则 L;
若 L, R, 则 L.
则称L为V的子空间．
例5
R 的下列子集是否构成子 空间?为什么? 1 b 0 (1) W1 b, c , d R ; 0 c d
a b 0 ( 2 ) W 2 a b c 0, a , b , c R . 0 0 c
(6) ; (7) ; (8) .
三、向量空间及其子空间
1、向量空间
定义1 设V为n维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合V为向量空间． 说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 若 V , V , 则 V ;
T
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn x2 , , xn R
T
解 V2不是向量空间.
因为若 1, a 2 ,, a n V2 ,
T
则2 2,2a 2 ,,2a n V2 .
T
定义3.1.5
设V 是一个向量空间，L 是V的一个非空 子集，如果L对于V中所定义的加法和乘数 两种运算线性运算封闭．即
注意
1、行向量和列向量总被看作是两个 不同的向量；
2、行向量和列向量都按照矩阵的运算 法则进行运算； ３、当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
非空集合
T , ,, R Rn x ( , , , ) x x x x1 x2 xn 1 2 n
定义了向量的加法和数乘（并满足八条运算 规律）后，称为一个 n 维向量空间． 注:1、向量的加法和数乘是按矩阵的加法和数 乘来定义的（P98） 2、八条运算规律（P99） ：
解： 0=0a+0b V, V是R n的非空子集 又若x1，x2 V， 则 x1 1a 1b x 2 2 a 2 b，所以
x1 x 2 (1 2 )a ( 1 2 )b V ,
kx1 (k1 )a (k1 )b V .