2013高考数学(理)一轮复习课件：12-6

2
(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝± 2. 又E(η)＝aE(X)＋b， 所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2. 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
a＝2， ∴ b＝－2， a＝－2， 或 b＝4，
即为所求．
考向三 均值与方差的实际应用 【例3】►(2011· 福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等 级系数X依次为1,2，„，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B. 已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙 厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、 乙两厂的产品都符合相应的执行标准． (1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示： X1 5 6 7 8
答案 A
5．(2010· 上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出： ξ 7 8 9 10
P 0.3 0.35 0.2 0.15 该随机变量ξ的均值是________． 解析 由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋
10×0.15＝8.2. 答案 8.2
考向一
离散型随机变量的均值和方差
基础梳理 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 „ xi „ xn P p1 p2 „ pi „ pn
(1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋„＋xipi＋„＋xnpn为随机变量X的均值 或 数学期望 ，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 ． (2)方差 称D(X)＝ [ xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变
解析 由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1. －1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－12 s2 ＝ 5 ＝2. 答案 D
2．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( 7 A. B．4 C．－1 D．1 3 解析 1 1 1 E(X)＝－ ＋ ＝－ ， 2 6 3 1 2 1 1 3 6 )．
【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10 个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示 所取球的标号． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
解
(1)X的分布列为 X 0 P 1 2 3 4
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等 级系数X2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个 工厂的产品更具可购买性？说明理由．
产品的等级系数的数学期望 注：(1)产品的“性价比”＝ ； 产品的零售价 (2)“性价比”大的产品更具可购买性． [审题视点] (1)利用分布列的性质P1＋P2＋P3＋P4＝1及E(X1)＝6 求a，b值．(2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息 判断．
2 7 E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－ ＋3＝ . 3 3 答案 A
3．(2010· 湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 1 0
P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________． A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.① 又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.② 由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4. 答案 A
2 3 P(Y＝2)＝P(X＝1)＝5，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝25. X的分布列为 X 0 1 2 3
3 2 28 8 P 25 5 75 75
Y的分布列为 Y 3 2 1 P 0
3 2 28 8 25 5 78 75
8 28 2 3 22 (2)E(X)＝3× ＋2× ＋1× ＋0× ＝ ； 75 75 5 25 15 23 因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝15.
解 (1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0. 2 2 2 8 P(X＝3)＝3×5×5＝75， 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 P(X＝2)＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ， 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(X＝1)＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ， 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(X＝0)＝3×5×5＝25； 根据题意X＋Y＝3，所以 8 28 P(Y＝0)＝P(X＝3)＝ ，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝ ， 75 75
(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分 布列，然后利用公式计算． (2)由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考题之一，常根 据期望和方差的性质求解．
【训练1】
(2011· 四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车
骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租 车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元 (不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该 租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车 1 1 的概率分别为 4 ， 2 ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分 1 1 别为2，4；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布 列及数学期望E(ξ)．
解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车 1 1 的概率分别为 ， . 4 4 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则 1 1 1 1 1 1 5 P(A)＝4×2＋2×4＋4×4＝16. 5 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 . 16
(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8. 1 1 1 P(ξ＝0)＝ × ＝ ； 4 2 8 1 1 1 1 5 P(ξ＝2)＝4×4＋2×2＝16； 1 1 1 1 1 1 5 P(ξ＝4)＝2×4＋4×2＋4×4＝16； 1 1 1 1 3 P(ξ＝6)＝2×4＋4×4＝16； 1 1 1 P(ξ＝8)＝ × ＝ . 4 4 16
P 0.4 a b 0.1 且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机 抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 6 3 4 7 5 3 8 3 4 3 4 4 5 6 3 4 4 8 5 3 7 5 6 7
【例1】►A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队 员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多 次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1和B1 A2和B2 A3和B3 2 3 2 5 2 5 1 3 3 5 3 5
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队 最后所得总分分别为X，Y (1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)． [审题视点] 首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X， Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义 求期望．
第6讲 离散型随机变量的均值与方差
【2013年高考会这样考】 1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题． 【复习指导】 均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在 考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公 式，并能运用其性质解题．
0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得 等级系数X2的概率分布列如下： X2 所以 E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝ 4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. 3 4 5 6 7 8
i＝1 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
量X与其均值E(X)的平均 偏离程度 ，其算术平方根 DX 为随 机变量X的标准差．
两个防范 在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b， D(aX＋b)≠aD(X)． 三种分布 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； (3)若X服从超几何分布， M 则E(X)＝n N .
4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则 ( A．n＝8，p＝0.2 C．n＝5，p＝0.32 B．n＝4，p＝0.4 D．n＝7，p＝0.45 )．
解析 ∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，
n＝8， D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴ p＝0.2.
1 1 1 1 1 15 解 ∵E(X)＝1×5＋2×5＋3×5＋4×5＋5×5＝ 5 ＝3. 1 1 2 1 2 1 1 2 2 E(X )＝1×5＋2 ×5＋3 ×5＋4 ×5＋5 ×5＝11.
2
1 1 1 1 2 2 2 D(X)＝(1－3) × ＋(2－3) × ＋(3－3) × ＋(4－3) × ＋(5－ 5 5 5 5
2
1 1 3) × ＝ (4＋1＋0＋1＋4)＝2. 5 5
2
∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4) ＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27. D(2X－1)＝4D(X)＝8， DX－1＝ DX＝ 2.
若X是随机变量，则η＝f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望 和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分 布列带来的繁琐运算．
甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为 ξ 0 P 2 4 6 8
1 5 5 3 1 8 16 16 16 16
1 5 5 3 1 7 所以E(ξ)＝0×8＋2×16＋4×16＋6×16＋8×16＝2.
考向二
均值与方差性质的应用
1 【例2】►设随机变量X具有分布P(X＝k)＝ 5 ，k＝1,2,3,4,5，求 E(X＋2)2，D(2X－1)， DX－1. [审题视点] 利用期望与方差的性质求解．
1 1 1 3 1 2 20 10 20 5
1 1 1 3 1 ∴E(X)＝0×2＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5. 1 1 1 2 2 D(X)＝(0－1.5) × 2 ＋(1－1.5) × 20 ＋(2－1.5) × 10 ＋(3－
2
3 1 2 1.5) ×20＋(4－1.5) ×5＝2.75.
解
(1)因为E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a
＋7b＝3.2. 又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.
6a＋7b＝3.2， 由 a＋b＝0.5， a＝0.3， 解得 b＝0.2.
(2)由已知得，样本的频率分布表如下： X2 f 3 4 5 6 7 8
六条性质 (1)E(C)＝C(C为常数) (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数) (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2 (4)如果X1，X2相互独立，则E(X1· 2)＝E(X1)E(X2) X (5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2 (6)D(aX＋b)＝a2· D(X)
双基自测 1．(2010· 山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若 该样本的平均值为1，则样本方差为( A. 6 5 6 B. C. 2 D．2 5 )．
P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件， 6 所以其性价比为6＝1. 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件， 4.8 所以其性价比为 4 ＝1.2. 据此，乙厂的产品更具可购买性．