人教A版高中数学必修一专题讲解 全套名师教学资料
教材完全解读 高中数学必修一 人教A版 王厚雄
则 ｃａｒｄ（Ａ∪ Ｂ∪ Ｃ）＝ｃａｒｄ（Ａ）＋ｃａｒｄ（Ｂ）＋ｃａｒｄ（Ｃ）－
ｃａｒｄ（Ａ∩Ｂ）－ｃａｒｄ（Ａ∩ Ｃ）－ｃａｒｄ（Ｂ∩ Ｃ）＋ｃａｒｄ（Ａ∩ Ｂ∩
Ｃ）＝７５＋６８＋６１－１７－１２－９＋６＝１７２（人）．
１ ２７
答：听讲座的人数为 １７２人．
１６．解：∵Ａ∩Ｂ＝，∴Ａ＝，或 Ａ＝｛ｘ｜ｘ≤０｝．
{（１）有公共部分，
８．Ｄ 【提示】∵ＡＢ，∴有两种可能： （２）无公共部分．
∴①②③均不对，只有④对，故选 Ｄ．
９．，｛ａ｝，｛ｂ｝，｛ａ，ｂ｝ ，｛ａ｝，｛ｂ｝
１０．０，１或 －１ 【提 示】∵ Ｑ Ｐ，ａ＝０时 Ｑ＝；ａ≠０时，
ｘ＝１ａ，又
Ｐ＝｛ｘ｜ｘ２ ＝１｝＝｛１，－１｝，∴
１ ａ
第一章 集合与函数概念
１．１ 集合
１．１．１ 集合的含义与表示
能力题型设计 ★速效基础演练 １．Ｄ ２．Ｃ ３．Ｄ ４．ｍ≠０ ５．ｍ＜１ ６．ｘ＝－６或 １． ★知能提升突破 １．Ｄ
２．Ｃ 【提示】槡２∈｛ｘ｜ｘ∈ Ｒ｝正 确，０．３∈ Ｑ 正 确，０∈ Ｎ正 确， 所以有 ３个正确，故应选 Ｃ．
－２×４＝ａ２
解得 －１２．
ａ＝－２．
综上可得 ａ＝４，或 ａ＝－２，即实数 ａ的取值集合是｛－２，４｝． １６．解：∵ －１≤ｘ≤２，∴ －２－ａ≤２ｘ－ａ≤４－ａ，０≤ｘ２≤４．即
Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝２ｘ－ａ，ａ∈Ｒ，ｘ∈Ａ｝＝｛ｙ｜－２－ａ≤ｙ≤４－ａ｝， Ｃ＝｛ｚ｜ｚ＝ｘ２，ｘ∈Ａ｝＝｛ｚ｜０≤ｚ≤４｝．∵ＣＢ，∴由答图 ４
ｘ∈Ｐ｝＝｛２，１，０｝．
１１．ｘ≠ －１，ｘ≠０，且 ｘ≠３
{ } １２． （ｘ，ｙ） －１≤ｘ≤ ３２，－１２≤ｙ≤１，且 ｘｙ≥０
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册2.5.1 直线与圆的位置关系 精品教学课件
【对点训练】❸ 设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可 用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表 示，则从村庄外围到小路的最短距离是_7_2__2－__2___．
[解析] 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线 x－y＋ 2＝0 的距离减去圆的半径 2，
即 |122＋＋3＋－21|2－2＝722－2．
易错警示
忽视隐含条件
典例 5 已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若
过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是
C
()
A．(－2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－2,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[错解] 选A．由题意知点P(1，－1)必须在圆的外部，则12＋ (－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2．答案：A
题型三
直线与圆相交
典例 3 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0 截得的弦长．
[分析] 解法一求出直线与圆的交点坐标，解法二利用弦长公 式，解法三利用几何法作出直角三角形，三种解法都可求得 弦长．
[解析] 解法一：由3x2x＋＋yy2－－62＝y－0，4＝0，得交点 A(1,3)，B(2,0)，
当 Δ＜0，即－43＜m＜0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
方法 2：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)， 半径 r＝2．圆心(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离 d＝|2m－11＋－mm2－1|＝ |m1＋－m2|2．
当 d＜2，即 m＞0 或 m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个 公共点，
题型探究
人教A版高中数学选择性必修第一册《空间向量基本定理》名师课件
A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求 、 的坐标．
解析
因为 ＝－ ＝－( ＋ )＝－[ ＋ (＋ )]
＝－ － － .
又| |＝4,||＝4,||＝2,所以 ＝(－2,－1,－4)．
因为 ＝ － ＝ －( ＋ )＝ － － .
形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
变式训练
2、如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,设 ＝a, ＝b, ＝c, P是CA1的
中点,M是CD1的中点.用基底{a,b,c}表示以下向量：(1) ；(2) .
解析
如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中连接AC,AD1.
一的线性表示．
素养提炼
2．空间向量坐标表示注意点
(1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若基底为
{e1,e2,e3},b＝λe1＋μe2＋ke3,则b的坐标为(λ,μ,k)．
(2)点的坐标反应了点在空间直角坐标系中的位置,而向量的坐标
实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示,它
又||＝2,||＝4,| |＝4,
所以 ＝(－4,2,－4)．
方法归纳
用坐标表示空间向量的方法步骤
素养提炼
1．对空间向量基本定理的理解
(1)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二
者是相关联的不同概念．
(2)向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量惟
方法归纳
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量
是否是共面向量,若不是共面向量,就可以作为一个基底.
人教A版高中数学必修一课件 《幂函数》函数的概念与性质名师优秀课件
在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是( ) 解析：选 D.函数 y＝x－21的定义域为(0，＋∞)，是减函数．
若 y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则 m＋n＝________．
解析：因为 y＝mxα＋(2n－4)是幂函数， 所以 m＝1，2n－4＝0，即 m＝1，n＝2，所以 m＋n＝3. 答案：3
已知幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对 称，且在 x∈(0，＋∞)上为减函数，求满足不等式(a＋1) －m3＜ (3a－2) －m3的实数 a 的取值范围．
解：若幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称，则为偶函 数，即 m 为奇数，又在 x∈(0，＋∞)上为减函数，因而 3m－9 ＜0，即 m＜3.又 m∈N*，从而 m＝1.故不等式(a＋1) －m3＜(3a －2) －m3可化为(a＋1) －31＜(3a－2) －13. 函数 y＝x－31的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(－∞，0)与(0， ＋∞)上均为减函数，因而 a＋1＞3a－2＞0，或 0＞a＋1＞3a－2， 或 a＋1＜0＜3a－2，解得 a 的取值范围为a|a＜－1或23＜a＜32.
B．1
1 C.2
D．0
解析：选 A.因为 f(x)＝ax2a＋1－b＋1 是幂函数，所以 a＝1，－b
＋1＝0，
即 a＝1，b＝1，所以 a＋b＝2.
幂函数的图象及应用
已知幂函数 f(x)＝xα的图象过点 P2，14，试画出 f(x)的 图象并指出该函数的定义域与单调区间．
【解】 因为 f(x)＝xα 的图象过点 P2，14， 所以 f(2)＝14，即 2α＝14， 得 α＝－2，即 f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞， 0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
高中数学必修第一册人教A版5.3《诱导公式---第一课时》名师课件
2
；
47
cos
；
6
(3)tan945° .
解析
(1)sin −1200° = sin −4 × 360° + 240° = sin240° = sin 180° + 60° = −sin60° = −
(2)cos
47
6
= cos
11
6
+ 6 = cos
11
6
= cos 2 −
6
6
= cos =
y
y
tan( )
x
x
公式四
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
y
tan
x
探究新知
sin( k 2 ) sin
cos( k 2 ) cos
公式一 tan( k 2 ) tan
= −1.
=
1−2sin70° cos70°
−sin70° +cos70°
=
|cos70° −sin70° |
cos70° −sin70°
=
方法归纳
化简是一种不指明答案的恒等变形，将三角函数式化为
最简形式的标准是相对的，一般是指函数种类最少，项数最
少，函数次数最低，能求出数值的求出数值，分母上不含三
sin(−)+5cos(2+)
3cos(−)−sin(−)
解析
由已知得−sin = 2cos，所以tan = −2.
左边=
sin+5cos
−3cos+sin
新课标高中数学人教A版必修一全册课件习题讲解 公开课一等奖课件
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
人教高中数学必修一A版《集合间的基本关系》集合与常用逻辑用语说课教学课件复习
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
3．集合相等的概念 一般地，如果集合 A 的___任__何__一__个__元__素_____都是集合 B 的元素， 同时集合 B 的___任__何__一__个__元__素_____都是集合 A 的元素，那么集 合 A 与集合 B 相等，记作_A__＝__B_，也就是说，若_A__⊆_B__，且 _B__⊆_A__，则 A＝B.
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
(1)求集合子集、真子集个数的 3 个步骤
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
(2)与子集、真子集个数有关的 4 个结论 假设集合 A 中含有 n 个元素，则有 ①A 的子集的个数有 2n 个； ②A 的非空子集的个数有 2n－1 个； ③A 的真子集的个数有 2n－1 个； ④A 的非空真子集的个数有 2n－2 个．
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
若集合 A {1，2，3}，且 A 中至少含有一个 奇数，则这样的集合有________个． 解析：若 A 中含有一个奇数，则 A 可能为{1}，{3}，{1，2}， {3，2}； 若 A 中含有两个奇数， 则 A＝{1，3}． 答案：5
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
4．真子集的概念 文字语言
如果集合 A⊆B，但存在元 素___x_∈__B_，__且___x_∉_A____， 就称集合 A 是 B 的真子集
符号语言
A______B (或 B A)
图形语言
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
■名师点拨 (1)若 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝B；反之，如果 A＝B，则 A⊆B， 且 B⊆A. (2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺 序无关． (3)在真子集的定义中，A B 首先要满足 A⊆B，其次至少有一 个 x∈B，但 x∉A.
高中数学必修第一册人教A版3.4《函数的应用(一)》名师课件
(3)幂函数模型: = + (, , 为常数, ≠ 0, ≠ 1).
(4)反比例函数模型: = + (, 为常数, ≠ 0 ).
(5)分段函数模型:一种比较复杂的函数模型,可以用来描述在不同区间上有不同变化规
得最大纯利润,并求出最大纯利润.(均精确到0.1万元)
解析
以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,画出散点图,如图所示:
典例讲解
例3、某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润制成
下表：
解析
据此,可考虑用函数 = − − 4
2
+ 2( > 0)
①表示投资A种商品的
金额与其纯利润的关系,用函数 = ( > 0)
每辆每月要维护费50 元.
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为(3600 − 3000) ÷ 50 = 12,所以这
时租出了100 − 12 = 88辆车.
1200.
由①②知 = 1225.故该种商品的日销售额的最大值为1225元.
典例讲解
例3、某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润制成
下表：
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品
各多少万元才最合算.请你帮他制订一个资金投入方案,使得该经营者能获
5
2
1
2 ,即
高中数学必修1课件全册(人教A版)
否则，称为mA,读作“元素m不属于集合A。
例如：1 N， -5 Z,
Q
∈
∈
2、集合与元素的关系（属于∈或不属于 ）
1.5 N
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如下： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x∈A。 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值（因变量），函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域。而对应的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9”
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
⑵设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合, B为这个班学生的全体组成的集合;
⑶ 设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.
一、子集和真子集的概念
1、子集：一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
2,3
-2
-1,1
A
B
C
交集的运算性质：
思考题：如何用集合语言描述？
2、并集
一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即 A∪B = {x|x∈A，或x∈B} A∪B可用右图中的阴影部分来表示
高中数学必修第一册人教A版《5.5两角差的余弦公式》名师课件
连接1 1 ,．若把扇形,绕着点旋转角,则点,
分别与点1 , 1 重合．根据圆的旋转对称性可知,与
1 1 重合,从而, 所以＝1 1
ห้องสมุดไป่ตู้究新知
根据两点间的距离公式,得
cos − − 1 2 + s −
复习引入
不用计算器,求cos −375° 的值.
−° = ° = ° + ° = °
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. 15 ° = (45 ° − 30 °) = 45 ° − 30 °成立吗?
3. (45 ° − 30 °)能否用45 °和30 °的角的三角函数来表示?
−
=
，求的值
−
=
由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .
又cos(α－β)＝ ， ∴
( − ) =
− (
− ) =
−
由 = − ( − )得
= [ − ( − )] = ( − ) + ( − )
不妨令 ≠ 2kπ＋β, ∈ ． 如图,设单位圆与轴的正半轴相交于点(1,0),
以轴非负半轴为始边作角, , — , 它们的终边分别与单位圆相交于
1 (, ), 1 (, ),((－), (－))．
任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原
＝(－ ＝(－
)×(－ )×
)＋(－
＋
×)×
＝＝ －
. .
方法归纳
高中数学必修第一册人教A版《3.3幂函数》名师课件
2
1
(-1,1)
-6
-4
-2
(1,1)
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
-3 -2 -1 0
= 2 9 4 1 0
1
1
2
4
3
9
探究新知
(-2,4)
(2,4)
y=x2
4
3
y=x
2
1
(-1,1)
-6
-4
(1,1)
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
= 3
-2
-1
0
1
2
3
-27 -8
在（-∞，0]上减,
(1,1)
探究新知
(-2,4)
4
在第一象限内,函数
图象的变化趋势与
指数有什么关系?
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
(-1,1)
-4
(2,4)
y=x2
3
1
-6
y=x3
(1,1)
2
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
y=x0
y=x-1
4
6
在第一象限内，
当α＞０时，图象随增大而上升
当α＜０时，图象随增大而下降
,∴ =
,
=
−
−
2、已知函数(ሻ = − −
解析
,
= .
−−
−或
是幂函数，则实数=_________.
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册2.4.2 圆的一般方程 精品教学课件
[解析] (1)x2＋y2－4x＋2y＋4＝0 可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1， 所以半径和圆心分别为 r＝1，(2，－1)． (2)因为 x2＋y2－x＋y＋m＝0 表示圆， 则 1＋1－4m＞0，所以 m＜12．
题型二
求圆的一般方程
典例 2 圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6， 求圆C的方程．
即点 M 的轨迹方程为 x2＋y2－4x－3y＋241＝0．
解法二：设点 M 的坐标为(x，y)，连接 OC、PC，取线段 OC 的中点 A，连接 MA．
圆 C 的方程可化为(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心 C(4,3)，|CP|＝2．则点 A 的坐标为(2，32)．
如图，在△OCP 中，M、A 分别是 OP、 OC 的中点，
由①②③得D＝12，E＝－22，F＝27，或D＝－8，E＝－2， F＝7．
故圆C的方程为x2＋y2＋12x－22y＋27＝0或x2＋y2－8x－2y＋7 ＝0．
[规律方法] 圆的方程的求法
求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或 需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准 方程，再用待定系数法求出a，b，r；如果已知条件与圆心和 半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数 法求出常数D，E，F．
(3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程不表示任何图形．
思考1：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0都表示圆吗？ 提示：不一定，当D2＋E2－4F＞0时才表示圆．
知识点2 圆的一般方程
(1)方程：当___D__2＋__E_2_－_4_F_＞__0____时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0称为圆的一般方程． (2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
人教A版高中数学必修第一册 5.5.2简单的三角恒等变换公开课优秀课件(好用、与教材同步)
以
2
代替 2 ，以
代替
，得
cos
1 2sin2
,
2
2
所以 ① sin2 1 cos .
2
2
在倍角公式 cos2 2cos2 1 中，以 代替 2 ，以
代替 ，得 cos 2 cos2 1,
2
2
所以 ② cos2 1 cos .
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得 tan2 1 cos . 2 1 cos
即得 sin sin 2sin cos .
2
2
拓展： (1)积化和差公式(不要求记忆和应用)
sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cosαcosβ＝1[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
2 sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
所在象限由
a
和
b
的符号确定．仅仅讨论ba＝±1，±
3，±
3的情况． 3
(2)sin2x＝1－cos2x，cos2x＝
1＋cos2x 2
2
，sinxcosx＝12 sin2x
.
便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 y Asinx
利用和角公式将其展开，可化为 y a sin x b cosx 的形式． 反之，利用和（差）角公式，可将 y a sin x b cosx 转化
为 y Asinx 的形式，进而就可以求得其周期和最值了．
巩固练习
练习1 cos2πcos4πcos8π＝________. 777
解：cos 2
7
cos 4
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 精品教学课件
由 AB⊥CD，且 AD∥BC， 得y－x 4×1＝－1，
－23＝x－y 1， 解得xy＝ ＝－10， 6， 所以点 D 的坐标为(10，－6)．
角度2 平行、垂直在图形中的应用 典例 4 如图所示，在平面直角坐标系中，
四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为 O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t,2)， 其中t＞0．试判断四边形OPQR的形状．
题型探究
题型一Βιβλιοθήκη 两直线平行典例 1判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． [分析] 斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2进行判断， 若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论．
题型二
两直线垂直
典例 2 (1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点 M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)， D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． [分析] (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断； 若一条直线的斜率不存在，再看另一条直线的斜率是否为0， 若为0，则垂直．
[规律方法] 关于直线平行，垂直的综合应用
(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组) 去解．
(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形 的形状不确定时要分情况讨论．
高中数学必修第一册人教A版《5.4正切函数的性质与图象》名师课件
，所以在 − ,
内，当0 ≤ tan < 1 时 , 0 ≤ < ，
4
2 2
4
由于正切函数的周期为，所以对于 ∈ ，当0 ≤ tan <
1时， ≤ < + , ∈ ，
4
4
所以原函数的定义域为 ∣ ≤ < + , ∈ .
探究新知
y
正
切
函
数
的
性
质
0
函数
y=tanx
x x k , k Z
2
定义域
值域
R
周期性
T=
奇偶性
奇函数
单调性
对称中心
增区间
x
典例讲解
例1、求函数 =
解析
π
2
+
3
的定义域、周期及单调区间．
2
1
3
自变量的取值应满足 + ≠ +kπ, ∈ ,即 ≠ +2k, ∈ .
当 ∈[0, ) 时,随着的增大,线段AT的长度也在增大，
而且当趋向于 时,AT的长度趋向于无大.相应地,函数
1
o1
o
6
3
2
= ,
∈[0, ) 的图象从左向右呈不断上升趋势，
且向右上方无限逼近直线 ＝ .
-1
探究新知
根据正切函数是奇函数,只要画y = ta ,
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高中数学必修一专题讲解高中数学必修一专题讲解（集锦）专题一：抽象函数常见题型解法总章——抽象函数的考察范围及类型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为11≤≤-x 。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。
练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。
例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。
[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。
相当于求内函数()x ϕ的值域。
练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为，值域为 。
(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0, ∴f(1)=21,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 ,又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （12）2.的值是则且如果)2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。
2000 2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)f f f f f f f f f +++++= .( ()2nf n =,原式=16)3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f CA.-1B.1C. 19D. 434、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ ）（B ）A . 2005 B. 2 C.1 D.071)71(7)1(,,3)73(,2)72()72(21)2720()71(,)71()2(21)],1([)1()24341()21()1()43(,)41()21()1(522==∴===∴=+===-++-=+=+-==∴=b f bf b f b f f f f b f a a a a a a a f f aa a f a f a f 同理则设可解得又、5、定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f -1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f -1(2x)，则Y=f -1(16)为（ ）（A ） A ）18 B ）116C ）8D ）16 的值求的值求均有对所有上的函数，满足，是定义在为实数，且、已知)71()2()1()()()1()2(,,1)1(,0)0(]10[)(,106f a y af x f a y x f y x f f x f a a +-=+≤==<<三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。
解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。
若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。
由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0)2()(2≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f x f ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11 ,求f(x)的解析式。
解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ---- ,12)11()1(:x1-x xx xf xx f x -=-+-得代换用（2）:)1(x-11得中的代换再以x .12)()x -11f(xx x f --=+---（3）1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由小结：通过解方程组的方法可求表达式。
怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。
通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n ∈N; ②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2. 又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*) (数学归纳证明 略）小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例9、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)21()23(+=-x f x f 恒成立，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，则当)0,2(-∈x 时，函数)(x f 的解析式为（ D ） A ．2-x B ．4+x C ．12++x D ． 13+-x解：易知T=2，当)1,2(--∈x 时,()3,24∈+x ,∴)(4)4(x f x x f =+=+; 当)0,1(-∈x 时()3,22∈-x ,∴)()(2)2(x f x f x x f =-=-=-.故选D 。
小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。
练习：1、.232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (x f 3 x ,x1)x (f 2)x 1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用，.232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由2.（2006重庆）已知定义域为R 的函数f(x)满足f (f (x )-x 2+x )=f (x )-x 2+x. （Ⅰ）若f (2)=3，求f (1)；又若f (0)=a ，求f (a )；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)=x 0，求函数f (x )的解析表达式。