误差分析及绪论习题-复习题

课本例外补充习题 (第一章)

1. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数?

2. 2.为了使

11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?

3. 3.如果利用四位函数表计算

ο2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.

4.求方程

01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.

( 已知

975.19399≈ )

5、设

0>x , *x 的相对误差为δ

求

x ln 的误差。

6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位。摄指出他们是几位有效数字。 解：(1)

*1x =1.1021 是五位有效数字 (2) *2x =0.031 (2位) (3) *3x =385.6 (4位) (4) *

4x =56.430 (5位)

(5)

*5x =7*1.0 (2位) .

7、 求下 列各近似值得误差限 .

(.

1)

*

3*2

*

1

x x x ++ , (

.1.

1)*

3*2*1x

x x ， (

.1.1.

1) *

4

*2

x x , 其中*4*3*2*

1

,,,x x x x 均为

第6题 所给的数 .

8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径R 是允许的相对误差限

是多少?、

9、设

2

2

1gt s =

假定g 是准确的 , 而对t 的测量有1.0±秒的误差 , 证明 当t 增加时s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.

10、

)1ln()(2--=x x x f 求)30(f 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时误差有多大?若改用另一个等价公

式

)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算 ,求对数时误差由多大?

课本例外补充习题 (第一章)答案

4. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数?

2.为了使

11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?

解:

3166

.311≈ , 31

=∴a , %1.010**21

|)(|11

*≤≤

∴+-n r a x ε

⇒ 1000

6101≤

+-n

⇒ (-n+1)lg10≤lg6-lg1000= -n+1≤ 0.77815 –3

⇒-n+1≤-2.2218 ⇒n ≥3.2218 .

∴

n=4 . 说明应取4位有效数时相对误差限

≤0.1% .

3.如果利用四位函数表计算

ο2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.

解: 用四位函数表值接计算0006.09994.012cos 1=-≈-ο

, 只有1位有效数字.

4

2210*092.69994.1)03490.0(2cos 12sin 2cos 1-≈≈+=-ο

οο

只有4位有效数字.

4210*09.61sin 22cos 1-≈=-οο , 只有3位有效数字.准确值 410*0917.62cos 1-=-ο , 故

以上3种算法误差限分别为

44410*002.0,10*0003.0,10*1.0--- .

4.求方程

01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.( 已知 975.19399≈ )

解: 975

.39399202

1400240241600401=+=-+=-+=

x Θ

975.1920*

1+=x , 由伟大定理

211x x = ,)1*(21=x x , 故0250151.0975

.391

2==x , 02500

.0975.1920399202

1400240*22=-=⇒-=--=

x x Θ

00005.010*2

1

00001565.0|975.19974984.19||975.19399||||)(|4*

111=≤

=-=-=-=-x x x εΘ

4*

22210*2

1

|975.19399||||)(|-≤

-=-=x x x ε 可见 21,x x 有四位有效数字. 5、设

0>x , *x 的相对误差为δ求

x ln 的误差。

解：求x

ln 的误差限就是求

x

x f ln )(= 的误差限。由公式

)

(|)(|)(***x x f x f δδ'≈ 有

)(|)(|m ax

|)()(|)(*)

(||****x x f x f x f x f x x x δδδ'≤-=≤-

已知 *x 的相对误差限δ

满足

|

*||

*|x x x -δ≤<1而

x x f ln )(= , x

x f 1)(=

' , |

|)(||*

*

*x x x x δδ=≤- ,故

)

(|||||||1|max |ln ln |**

**

*)(|*|*

x x x x x x x x x x x x δδ--≤-≤-≤- 即

δ

δ

δδ-≤

--=

111|*||*|)(ln *x x x x 。

6‘-为了减少运算次数，应将表达式.54324216171814131

1681

x x x x x x x x -+---++-

改写为；

答案：

()()()()()()()1

816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x

6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位。摄指出他们是几位有效数字。 解：(1)

*1x =1.1021 是五位有效数字。 (2) *

2x =0.031 (2位) (3)

*3x =385.6 (4位) (4) *4x =56.430 (5位) (5)

*5x =7*1.0 (2位) .

7、 求下 列各近似值得误差限 .

(.

1)

*

3*2

*1

x x x ++ , (

.1.

1)*

3*2*1x

x x ， (

.1.1.

1) *

4

*2

x x , 其中*4*3*2*

1

,,,x x x x 均为

第6题 所给的数 . 解: (.

1

)*3*2*

1

x x x ++ 用 7p 公式=±)(*2*1x x ε±)(*

1x ε)(*2x ε

∴

)()()()(*

4*2*1*4*2*1x x x x x x εεεε++=++

有绝对误差限公式1*110*2

1

||

+-≤

-n m x x