高二数学选修2-3 排列组合综合问题 ppt
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人教版高中数学选修2-3 第一章 组合 (共37张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
很
多
时
候
在
现
场
我
不
想
等
。
你
可
但
是
当
我
拍
完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
，
1
5
分
钟
后
你
还
没
有
弄
完
我
就
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
知识要 点
4 组合数的两个性质
性质1
高中数学人教A版选修2-3课件1.2.2 组合ppt版本
= C119 + C118 + ⋯ + C112 = 124. (3)原式 = C44 + C43 + C53 + ⋯ + C130
= C54 + C53 + C63 + ⋯ + C130 = C64 + C63 + ⋯ + C130 = C74 + C73 + C83 + C93 + C130 = C84 + C83 + C93 + C130
(4)规定每两人相互通话一次,5人共通了多少次电话? (5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信?
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)取出3个数字后,如果改变3个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题.
(2)取出3个数字之后,无论怎样改变这3个数字之间的顺序,其和 均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组 合问题.
活动,则至多有2名男运动员的选法有
.
解析:(1)第一步选男运动员有C41种选法,第二步选女运动员有C61
种选法.所以共有C41C61 = 24 种选法. (2)“至多有 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况.
①没有男运动员时,有C63种选法; ②有 1 名男运动员时,有C41C62种选法; ③有 2 名男运动员时,有C42C61种选法.
所以共有C63 + C41C62 + C42C61 = 20 + 60 + 36 = 116 种选法.
答案:(1)D (2)116种
= C54 + C53 + C63 + ⋯ + C130 = C64 + C63 + ⋯ + C130 = C74 + C73 + C83 + C93 + C130 = C84 + C83 + C93 + C130
(4)规定每两人相互通话一次,5人共通了多少次电话? (5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信?
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)取出3个数字后,如果改变3个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题.
(2)取出3个数字之后,无论怎样改变这3个数字之间的顺序,其和 均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组 合问题.
活动,则至多有2名男运动员的选法有
.
解析:(1)第一步选男运动员有C41种选法,第二步选女运动员有C61
种选法.所以共有C41C61 = 24 种选法. (2)“至多有 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况.
①没有男运动员时,有C63种选法; ②有 1 名男运动员时,有C41C62种选法; ③有 2 名男运动员时,有C42C61种选法.
所以共有C63 + C41C62 + C42C61 = 20 + 60 + 36 = 116 种选法.
答案:(1)D (2)116种
高二数学人教A版选修2-3：组合的应用 课件
（3）如果完成一件事情有几类不同的方案，采用分 类加法计数原理.
从4名男生3名女生中选出3名代表，按下列要求，分别有 多少种不同的选法？ （1）选出的3名代表中至少有1名女生入选； （2）选出的3名代表中不全是女生入选；
（ 1）解1：C31 C42 C32 C41 C33 C40 31 . 解2：C73 C43 31 .
组合的应用
高二年级 数学
请同学们观察给出的排列和组合的概念
从n个不同元素中取出m（
)个元素，按按照照一一定定
顺顺序序排排成成一一列列，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的一个排列.
从n个不同元素中取出m（
)个元素合成一组，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
（1）从5本不同的书中选3本，共有多少种不同选法？
解：教练员分两步完成这件事情：
C11
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有 17 种；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有 C111种.
C11 17
C111
136 136
.
何时使用分步乘法计数原理？
不能一步完成一件事，需要分几步完成
例1（教材P23例6）：一位教练的足球队共有17名初级学员， 他们中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛 时一个足球队的上场队员是11人，问： （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员， 那么教练员有多少种选择方案？
解1： 从10件产品中抽出5件中至少有1件次品分成三类
C C 第1类:其中1件是次品的抽法有
1 3
4 7
种；
第2类:其中2件是次品的抽法有 C32 C73 种；
第3类:其中3件是次品的抽法有C33 C72 种.
从4名男生3名女生中选出3名代表，按下列要求，分别有 多少种不同的选法？ （1）选出的3名代表中至少有1名女生入选； （2）选出的3名代表中不全是女生入选；
（ 1）解1：C31 C42 C32 C41 C33 C40 31 . 解2：C73 C43 31 .
组合的应用
高二年级 数学
请同学们观察给出的排列和组合的概念
从n个不同元素中取出m（
)个元素，按按照照一一定定
顺顺序序排排成成一一列列，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的一个排列.
从n个不同元素中取出m（
)个元素合成一组，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
（1）从5本不同的书中选3本，共有多少种不同选法？
解：教练员分两步完成这件事情：
C11
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有 17 种；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有 C111种.
C11 17
C111
136 136
.
何时使用分步乘法计数原理？
不能一步完成一件事，需要分几步完成
例1（教材P23例6）：一位教练的足球队共有17名初级学员， 他们中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛 时一个足球队的上场队员是11人，问： （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员， 那么教练员有多少种选择方案？
解1： 从10件产品中抽出5件中至少有1件次品分成三类
C C 第1类:其中1件是次品的抽法有
1 3
4 7
种；
第2类:其中2件是次品的抽法有 C32 C73 种；
第3类:其中3件是次品的抽法有C33 C72 种.
人教版高中数学选修2-3 排列(共70张PPT)教育课件
观察排列数公式有何特征： （1）右边第一个因数是n（n是最大的整数），后面每 一个因数比它前面一个因数少1．
（2）最后一个因数是n－m＋1（其中最小的整数）．
（3）共m个连续的正整数相乘．（m是取出元素的个 数以及后面式子相乘的因子的个数）
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个 元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
焦点在 x 轴上的椭圆方程xa22＋by22＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 线方程xa22－by22＝1?
解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.
若方程xa22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系
一定； 在双曲线xa22－by22＝1 中，不管 a>b 还是 a<b，方程xa22－by22＝1 均表示焦点在 x
思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)都是从整体中取出部分（或全部）按照顺序排列 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等
能推广到一般
知识点一 排列的定义
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不 同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重
复抽取同一元素的情况。 2、按“一定顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排 列，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。（有序性） 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用 “树形图”。
（10）有10个车站，共需要多少种车票？
（2）最后一个因数是n－m＋1（其中最小的整数）．
（3）共m个连续的正整数相乘．（m是取出元素的个 数以及后面式子相乘的因子的个数）
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个 元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
焦点在 x 轴上的椭圆方程xa22＋by22＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 线方程xa22－by22＝1?
解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.
若方程xa22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系
一定； 在双曲线xa22－by22＝1 中，不管 a>b 还是 a<b，方程xa22－by22＝1 均表示焦点在 x
思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)都是从整体中取出部分（或全部）按照顺序排列 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等
能推广到一般
知识点一 排列的定义
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不 同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重
复抽取同一元素的情况。 2、按“一定顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排 列，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。（有序性） 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用 “树形图”。
（10）有10个车站，共需要多少种车票？
高中数学人教a版选修2-3复习课件排列组合所有试题分类 (共57张ppt)
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
将n个相共同有的_元__素_C_分_96_成__m_份_种（分n，法m。为正整数）,
每份至少一个元素,可以用 m-1块隔板，插入
n个元素排成一排的
元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素 进行排队再相把不相独邻元独素插入独中间相和两端
练6
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数
为（ ） 30
题型七.定序问题倍缩空位插入策略 例7.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多
数为
C m一1 n班1
二 班
三n个-1空四隙中五 ，所六有分七法
班班班 班 班
练10
10个相同的球装5个盒中,每盒至少一
C 个，有多少装法？ 4 9
题型十一、排列组合中的分组(堆)分配问 题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
（一）、平均分组问题
1.平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况， 所以分组后要除以Amm ，即m!，其中m表示组数。
例5. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法.
解：
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 捆绑法来解决问题.
练5
5个男生3个女生排成一排,3个女生 要排在一起,有多少种不同的排法?
人教A版高中数学选修2-3第一章《排列与组合综合应用》课件(共16张)
• 所以分配种树为：N=360+90+90=540
• 现场演练4.要将“五.四”青年节文艺汇演节目中 的7个节目分配给高一年级12个班中的5个班，每 个班至少有一个节目。一共有多少种分配方案？
• 提示：先确认分配下去的数字方案，再选班级选 节目。
• 1.12个班选出5个；
• 2.将7分解成1,1,1,1,3；1,1,1,2,2两类，按方案 选人“捆绑”——捆绑法
排列与组合分类讨论的产生：
• 1.待选取的元素有特殊性或有特殊要求； • 2.元素分配的位置有特殊性或有特殊要求； • 3.选取的不确定性或分组的不确定性。 • 基本原则： • （1）特殊问题特殊对待； • （2）分类不重复不遗漏
课堂小结
• 排列组合综合问题，要学会从条件中抠字 眼，认真体会，寻找解决问题的方案：
组合3.排列与组合 综合应用中的 常见问题研究
• 一.两个特殊的排列组合方法。
• 1.相邻问题捆绑法.
• 例1.4名男生，3名女生一起排成一排。 • （1）若三名女生要求站在一起，一共有多
少种排法? • （2）若其中恰好有三名男生按照固定的顺
序相邻，有多少种排法？
• 解：（1）女生不分开，则先将女生内部排序， 再将其看成“1”个，与4名男生一起一共“5”个 全排列。所以一共有
• 3.按照5个元素全排列方法完成分配分配
• 方案的种数为 N C152 (C73 C72C52 ) A55
规律小结
• 1.例3是局部元素选出全排列，因为条件限 制导致分类；
• 2.例4是元素的分配不是一对一，导致各个 位置分得的元素数字可以变化从而导致分 类，此类问题需要注意
• （1）先确认各位置数字分配方案； • （2）捆绑的对象内部是否需要排序。
排列与组合 课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版选修2-3
一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”，“一定顺序
”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要
标志。
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全
相同，而且元素的排列顺序也相同。
下列问题是排列问题吗
？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同
不是
4
3 4 1
3 4 2
4
1
4 2
2 4 3
4 1 2
4 1 3
4 2 1
4
2 3
4 3 1
4 3
4 3 2
概念形成
一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n)个不相同元
素（只研究被取出的元素各的情况），按照一定的顺序排成
一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
概念深化
排列的定义中包含两个基本内容：
同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.
(1)如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的
放法?
(2)如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那
么有多少种不同的放法?
答案：(1)665280;
(2)103680.
6.(1)空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作
一个平面，可以作多少个平面?
!
组合数
公式
!
! (−)!
性质
备注
①n、m∈
，m≤n ②规定：
1
1
1.计算：
2.在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品
中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要
标志。
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全
相同，而且元素的排列顺序也相同。
下列问题是排列问题吗
？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同
不是
4
3 4 1
3 4 2
4
1
4 2
2 4 3
4 1 2
4 1 3
4 2 1
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2 3
4 3 1
4 3
4 3 2
概念形成
一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n)个不相同元
素（只研究被取出的元素各的情况），按照一定的顺序排成
一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
概念深化
排列的定义中包含两个基本内容：
同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.
(1)如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的
放法?
(2)如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那
么有多少种不同的放法?
答案：(1)665280;
(2)103680.
6.(1)空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作
一个平面，可以作多少个平面?
!
组合数
公式
!
! (−)!
性质
备注
①n、m∈
，m≤n ②规定：
1
1
1.计算：
2.在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品
中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
高中数学选修2-3 北师大版 组合 ppt课件
������������ ������
∴
������
≤ ������ ≤ ������������, ,
������ ≤ ������ ≤
������������ ������������
∴ ≤n≤ .又∵n∈N+,∴n=10.
������ ������ ������������- ������ ������������ ������������ ������������ ������ ������ ∴ ������������������ + ������������������ +������ = ������������������ +������������������ =������������������ +������������������ ������������× ������������
组合数公式的应用 ������������- ������ ������������ 求������������������ + ������������ +������������ 的值 .
【解析】∵
������������
������ ≤ ������������- ������ ≤ ������������, ������ ≤ ������������ ≤ ������������ + ������,
【解析】因为相同字母间无区别,所以排法取决于 9 个位置中哪几个排 a,哪几个排 b,剩下的再排 c,故 ������ ������ ������ 共有������������ ������������ ������������ =1260 种不同的排法.
排列、组合概念的理解 判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)10 个人相互各写一封信,共写了多少封信? (2)10 个人规定相互通一次电话,共通了多少次电话? (3)10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次 比赛需要进行多少场次? (4)10 支球队以单循环进行比赛,这次比赛的冠亚军获得 者有多少种可能?
∴
������
≤ ������ ≤ ������������, ,
������ ≤ ������ ≤
������������ ������������
∴ ≤n≤ .又∵n∈N+,∴n=10.
������ ������ ������������- ������ ������������ ������������ ������������ ������ ������ ∴ ������������������ + ������������������ +������ = ������������������ +������������������ =������������������ +������������������ ������������× ������������
组合数公式的应用 ������������- ������ ������������ 求������������������ + ������������ +������������ 的值 .
【解析】∵
������������
������ ≤ ������������- ������ ≤ ������������, ������ ≤ ������������ ≤ ������������ + ������,
【解析】因为相同字母间无区别,所以排法取决于 9 个位置中哪几个排 a,哪几个排 b,剩下的再排 c,故 ������ ������ ������ 共有������������ ������������ ������������ =1260 种不同的排法.
排列、组合概念的理解 判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)10 个人相互各写一封信,共写了多少封信? (2)10 个人规定相互通一次电话,共通了多少次电话? (3)10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次 比赛需要进行多少场次? (4)10 支球队以单循环进行比赛,这次比赛的冠亚军获得 者有多少种可能?
人教版A版高中数学选修2-3：排列与组合_课件1
(2)方法 1：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人， 有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种站法，根椐分 步计数原理，共有 A55·A22＝240 种站法．
方法 2：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种站法， 再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有 A15种站法，最后 让甲、乙全排列，有 A22种方法，共有 A44·A15·A22＝240 种．
三 几何型排列组合问题
【例 3】已知平面 a∥β 在 a 内有 4 个点，在 β 内有 6 个点． (1)过这 10 个点中的 3 点作一平面，最多可作多少个
不同平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
【解析】 (1)所作出的平面有三类： ①α 内 1 点，β 内 2 点确定的平面，有 C14·C26个； ②α 内 2 点，β 内 1 点确定平面，有 C24·C16个； ③α，β 本身，共 2 个． 所以所作的平面最多有 C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．
(2)要使六位数为奇数，其个位数字必须是 1 或 3 或 5，所 以所求六位奇数的个数是 A13A14A44＝288.
(3)要使六位数能被 5 整除，个位数字必须是 0 或 5，当个 位数字是 0 时，有 A55个；当个位数字是 5 时，有 4A44个，因 此，能被 5 整除的六位数的个数是 A55＋4A44＝216.
相邻问题捆绑法；
不相邻问题插空法；
多排问题单排法； 定序问题倍缩法； 定位问题优先法； 有序分配问题分步法； 多元问题分类法； 交叉问题集合法； 至少(或至多)问题间接法； 选排问题先取后排法； 局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法.
3.解答组合应用题的总体思路 (1)⑥ 整体分类 .从集合的意义讲,分类要 做到各类的并集等于全集,以保证分类的不 遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分 类的不重复,计算结果是使用分类计数原理. (2)⑦ 局部分步 .整体分类以后,对每一类 进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证 分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步 的不重复.计算结果时用分步计数原理.
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.2排列.pptx
（法3）（排除法）7个人任意排 A77
甲在6 7 6!2 6! 5 720 3600
（5）甲、乙必须相邻 解：由于甲、乙必须相邻，可分2步：
第1步：视甲、乙为一个元素与其他5人排， A66
第2步：甲、乙在一起排， A22
∴由分步计数原理 A22 A66 2 720 1440
5 5 5 125
说明：两个小题的区别，（1）是典型的排列问题 （2）不是排列问题，用分步计数原理解决
例3某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆
上表示信号，每次可以任挂1面，2面或3面，并且不同
的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解：分为3类：
第1类：挂1面
A31
第2类：挂2面
7! 3!
练习：甲、乙顺序一定
840 （）AA7272
7! 2!
2520
说明：n个不同元素中m个元素顺序一定的排列
问题的排法
Ann
Amm
练习： （1）5个人站成一排，其中甲不站在排头，
乙不站在排尾，有多少种排法？ 分析：甲站排头有种A44排法，
乙站排尾有种排法 A44
但两种情况中都包含了“甲站排头，
解（法1）优先考虑特殊元素
分两步，第1步：先排甲，不在头、尾 A51
第2步：再排其他人
A66
∴由分步计数原理 A51 A66 5 720 3600 （法2）优先考虑特殊位置
分两步，第1步：除甲外，其他6人中选2人
站头、尾
A62
第2步：其余位置 A55
∴由分步计数原理 A62 A55 6 5 120 3600
的三位数？
分析：有一个限制条件：百位上不能排0
解法1从特殊位置出发，分2步： 法2从特殊元素出发，分3类
高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(组合)ppt课件
P27 习题1.2 10、 11
组合与组合数
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义， 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上，继续学习它们的一些应用
（一）组合数的 公式及其性质：
n! C m!(n m)!
m n
m A n(n 1)(n 2) (n m 1) m n Cn n Am m!
C C
1 9
3 x 2 10
1,或5 , 则x ________
99 100
97 （4 ） 99
（5）求
C C C
98 99
2 9
5050 _______
511
C C C
9 的值 9
例题解读
1 2 3 n 1 1 求证： 1 2! 3! 4! n! n! 证明：因为 n! (n 1)! (n 1) (n 1)!
a
b
c d
c
d
b c d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(6个)
概念讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m m C 个元素的组合数，用符号 表示. n
注意： m
Cn
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素 2 C3 3 的所有组合个数是: 如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 2 两个元素的所有组合个数是： C4 6
练习：
1.有10道试题，从中选答8道，共有 种选法、 又若其中6道必答，共有 不同的种选法.
2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学 参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种 不同的选法？ （1）无任何限制条件； （2）正、副班长必须入选； （3）正、副班长只有一人入选； （4）正、副班长都不入选； （5）正、副班长至少有一人入选； （5）正、副班长至多有一人入选；
组合与组合数
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义， 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上，继续学习它们的一些应用
（一）组合数的 公式及其性质：
n! C m!(n m)!
m n
m A n(n 1)(n 2) (n m 1) m n Cn n Am m!
C C
1 9
3 x 2 10
1,或5 , 则x ________
99 100
97 （4 ） 99
（5）求
C C C
98 99
2 9
5050 _______
511
C C C
9 的值 9
例题解读
1 2 3 n 1 1 求证： 1 2! 3! 4! n! n! 证明：因为 n! (n 1)! (n 1) (n 1)!
a
b
c d
c
d
b c d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(6个)
概念讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m m C 个元素的组合数，用符号 表示. n
注意： m
Cn
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素 2 C3 3 的所有组合个数是: 如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 2 两个元素的所有组合个数是： C4 6
练习：
1.有10道试题，从中选答8道，共有 种选法、 又若其中6道必答，共有 不同的种选法.
2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学 参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种 不同的选法？ （1）无任何限制条件； （2）正、副班长必须入选； （3）正、副班长只有一人入选； （4）正、副班长都不入选； （5）正、副班长至少有一人入选； （5）正、副班长至多有一人入选；
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.1排列.pptx
-7-
1.2.1 排列
首页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
探究一 简单的排列问题
在“树形图”的操作中,先将元素按一定顺序排出,然后以安排哪个元素 为首位为标准,进行分类,再在余下的元素中确定第二位并按顺序分类,依次 一直进行到完成一个排列.这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有的 排列.
方法二:(优先考虑特殊元素)先排 0,除首位之外的其他四个数位均可,
有������14 种方法,其余四个数字全排,有 ������44 种方法.故组成的无重复数字的五位 数共有������14������44 =96(个).
(3)(优先考虑特殊位置)先排个位,1 和 3 均可,有������12种方法.然后从剩下 的 3 个非 0 数中选一个排在万位,有������13种方法,最后将剩下的 3 个数排在其 他三个数位上,有������33 种方法.故组成的无重复数字的五位奇数共有 ������12������13 ������33=36(个).
-18-
1.2.1 排列
首页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
(4)(捆绑法)若 1 和 3 相邻,则把 1 和 3“捆绑”,看成一个整体与 0,2,4 进 行排列.则共可组成无重复数字的五位数共有������22������13������33 =36(个).
1.2.1 排列
1.2.1 排列
首页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
探究一 简单的排列问题
在“树形图”的操作中,先将元素按一定顺序排出,然后以安排哪个元素 为首位为标准,进行分类,再在余下的元素中确定第二位并按顺序分类,依次 一直进行到完成一个排列.这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有的 排列.
方法二:(优先考虑特殊元素)先排 0,除首位之外的其他四个数位均可,
有������14 种方法,其余四个数字全排,有 ������44 种方法.故组成的无重复数字的五位 数共有������14������44 =96(个).
(3)(优先考虑特殊位置)先排个位,1 和 3 均可,有������12种方法.然后从剩下 的 3 个非 0 数中选一个排在万位,有������13种方法,最后将剩下的 3 个数排在其 他三个数位上,有������33 种方法.故组成的无重复数字的五位奇数共有 ������12������13 ������33=36(个).
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探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
(4)(捆绑法)若 1 和 3 相邻,则把 1 和 3“捆绑”,看成一个整体与 0,2,4 进 行排列.则共可组成无重复数字的五位数共有������22������13������33 =36(个).
1.2.1 排列
高中数学选修2-3精品课件5：1.2.2 第2课时 组合的综合应用
1．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指 定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选 法？ (1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选．
解：(1)一名女生，四名男生，故共有 C15·C48＝350(种)选法． (2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类， 故共有 C22·C311＝165(种)选法． (3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长 都当选．故共有 C12·C411＋C22·C131＝825(种)选法．或采用间接法：C153－ C511＝825(种)．
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有 C16C52C33＝60 种方法. (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有 C16C25C33A33＝360 种方法. (5)可以分为三类情况：①“2、2、2 型”即(1)中的分配情况，有 C26C24C22 ＝90 种方法；②“1、2、3 型”即(4)中的分配情况，有 C61C25C33A33＝360 种方法；③“1、1、4 型”，有 C46A33＝90 种方法，所以一共有 90＋360 ＋90＝540 种方法.
解排列组合综合题的思路 解决该问题的一般思路是先选后排，先_____组__合_____后___排__列_______， 解题时应灵活运用___分__类__加__法__计__数__原理和___分__步__乘__法__计__数_____原理． 分类时，注意各类中是否分步，分步时注意各步中是否分类．
有限制条件的组合问题
1.2.2 组 合 第2课时 组合的综合应用
1．掌握组合的有关性质． 2．能解决有关组合的简单实际问题． 3．能解决无限制条件的组合问题．
人教A版高中数学选修2-3课件 1.2.2组合(三)课件2
新知导学
有限制条件的排列组合综合问题是主要考查方 向．解决此类问题要遵循“谁特殊谁__优__先__” 的原则，采取分类或分步，或用间接法处理； 对于选排列问题可采用先__选__后__排___的方法， 分配问题的一般思路是先__选__取____再分配．
牛刀小试
1．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至 少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 ()
[点评] 可用建模法解． 8 个名额可视作 8 个 0,6 个厂每厂至少调 1 人可看作将这 8 个 0 分成 6 堆，每堆至少 1 个，故从 7 个空中选 5 个插入 1， 将它们分开，∴有分配方案 C57＝21 种．
建模求解排列组合问题
一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点 O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记 可能的爬行方法总数为 f(m，n)，则 f(m，n)＝_______校为庆祝 2014 年国庆节，安排了一场文艺演 出，其中有 3 个舞蹈节目和 4 个小品节目，按下面要求安排节 目单，有多少种方法：
(1)3 个舞蹈节目互不相邻； (2)3 个舞蹈节目和 4 个小品节目彼此相间．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①题目中涉及3个舞蹈、4个小品共7个节目；
方法二：先安排 3 个舞蹈节目在 2、4、6 位，有 A33种排法； 再安排 4 个小品节目在 1、3、5、7 位，共 A44种排法，故共有 A33·A44＝144(种)排法．
[方法规律总结] 解决排列、组合的综合应用 题时注意以下三点：
(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题， 或者是二者的混合，要按元素的性质分类， 按事件发生的过程分步；(2)深入分析，严密 周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多； (3)对于有限制条件的比较复杂的排列、组合 问题，要通过分析设计出合理的方案，把复 杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分 类加法计数原理或分步乘法计数原理来解 决．
有限制条件的排列组合综合问题是主要考查方 向．解决此类问题要遵循“谁特殊谁__优__先__” 的原则，采取分类或分步，或用间接法处理； 对于选排列问题可采用先__选__后__排___的方法， 分配问题的一般思路是先__选__取____再分配．
牛刀小试
1．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至 少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 ()
[点评] 可用建模法解． 8 个名额可视作 8 个 0,6 个厂每厂至少调 1 人可看作将这 8 个 0 分成 6 堆，每堆至少 1 个，故从 7 个空中选 5 个插入 1， 将它们分开，∴有分配方案 C57＝21 种．
建模求解排列组合问题
一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点 O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记 可能的爬行方法总数为 f(m，n)，则 f(m，n)＝_______校为庆祝 2014 年国庆节，安排了一场文艺演 出，其中有 3 个舞蹈节目和 4 个小品节目，按下面要求安排节 目单，有多少种方法：
(1)3 个舞蹈节目互不相邻； (2)3 个舞蹈节目和 4 个小品节目彼此相间．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①题目中涉及3个舞蹈、4个小品共7个节目；
方法二：先安排 3 个舞蹈节目在 2、4、6 位，有 A33种排法； 再安排 4 个小品节目在 1、3、5、7 位，共 A44种排法，故共有 A33·A44＝144(种)排法．
[方法规律总结] 解决排列、组合的综合应用 题时注意以下三点：
(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题， 或者是二者的混合，要按元素的性质分类， 按事件发生的过程分步；(2)深入分析，严密 周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多； (3)对于有限制条件的比较复杂的排列、组合 问题，要通过分析设计出合理的方案，把复 杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分 类加法计数原理或分步乘法计数原理来解 决．
高二数学选修23组合1ppt.ppt
【问题题组】
1.杭州、上海、北京三地的火车动车组，①车票共有多少 种？ ②票价有多少种？
2.从写有1、2、3、4、5、6、7、8、9 九张卡片中取两 张不同卡片，①能排多少个不同的两位数。②卡片放入一 个盒子中，有多少种不同的取法？
两个问题中的问题① ，与问题②的共同点是什么？
问题①：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列
C ⑵ 96 100
性质：Cnm
C nm n
你能给出合理的解释吗？
练习
3．求证：C
m n
m 1 nm
C
m1 n
4．设
x N,
C 求
x 1 2 x 3
C
2 x3 x 1
的值．
5.解方程：⑴
3C n7 n3
5A2 n4
⑵
C5 n1
C3 n3
C3 n3
19 5
2.从7名乒乓球选手中，选取3名去打团体赛，有多少种 不同的选法。
3.用1、2、3、4、5排一个没有重复数字的三位数，①有 多少个不同的三位数？②如果百位数字大于十位数字，十 位数字又大于个位数字，这样的三位数又多少个？
练习
C C C 1．计算：⑴
C
4 7
⑵7
10
⑶3
10
3 7
C 2．计算：⑴ 4 100
表示：
C
m n
组合数乘积公式：
Cm n
Am n
Am m
n(n 1)(n m 1) m!
组合数阶乘公式：
C
m n
n! m!(n
m)!
练习 试列出从a、b、c、d四个元素中取出三个的所有排列。 若列出从a、b、c、d四个元素中取出三个的所有组合呢？
1.杭州、上海、北京三地的火车动车组，①车票共有多少 种？ ②票价有多少种？
2.从写有1、2、3、4、5、6、7、8、9 九张卡片中取两 张不同卡片，①能排多少个不同的两位数。②卡片放入一 个盒子中，有多少种不同的取法？
两个问题中的问题① ，与问题②的共同点是什么？
问题①：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列
C ⑵ 96 100
性质：Cnm
C nm n
你能给出合理的解释吗？
练习
3．求证：C
m n
m 1 nm
C
m1 n
4．设
x N,
C 求
x 1 2 x 3
C
2 x3 x 1
的值．
5.解方程：⑴
3C n7 n3
5A2 n4
⑵
C5 n1
C3 n3
C3 n3
19 5
2.从7名乒乓球选手中，选取3名去打团体赛，有多少种 不同的选法。
3.用1、2、3、4、5排一个没有重复数字的三位数，①有 多少个不同的三位数？②如果百位数字大于十位数字，十 位数字又大于个位数字，这样的三位数又多少个？
练习
C C C 1．计算：⑴
C
4 7
⑵7
10
⑶3
10
3 7
C 2．计算：⑴ 4 100
表示：
C
m n
组合数乘积公式：
Cm n
Am n
Am m
n(n 1)(n m 1) m!
组合数阶乘公式：
C
m n
n! m!(n
m)!
练习 试列出从a、b、c、d四个元素中取出三个的所有排列。 若列出从a、b、c、d四个元素中取出三个的所有组合呢？
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2.现有10个去博物馆参观的名额，分给三个班级，每个班 级都要有名额，则不同的分法总数有多少？
Байду номын сангаас
自主练习
1.从1至20共20个自然数中任取3个数，所取的数恰好能构 成等差数列的不同取法有多少种？
2.一个人上楼梯，楼梯有10级台阶，此人上台阶时有时一 步上一个台阶，有时一步上两个台阶，则此人上完楼梯恰 好有三次是一步上两个台阶的不同情况有多少种？
3、染色问题
1.现有四种颜色，给下图涂色，要求相邻的两块不能涂同 样的颜色，颜色不一定全部用完。
2 1 3 4 5
图2
4、隔板法
1.10个颜色大小完全相同的小球，全部放入标有1、2、3 三个号码的盒子里，要求盒子里的球数不少于其编号数， 则不同的放法总数有多少？
排列组合综合应用题
1、几何问题
1.如图，共有多少个矩形？连接所有的交点能作出多少个 三角形？
2.连接正方体所有顶点，一共可以作出多少个四面体？其 中又有多少对异面直线？ 3.正四面体有四个顶点，每条棱又有六个中点，连接这些 点又可以作出多少个四面体？
2、定序问题
1.用1、1、2、2、2、3、3、3、3共可以排多少个不同的 九位数？