第十章动载荷资料重点
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第10章动载荷与交变载荷
3、交变应力：应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。疲 劳破坏是指在反复载荷作用下，结构中裂纹形成、扩展乃至 断裂的过程。
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
材料力学 第十章 动载荷
a t
max
m
max 2 m 2 a
min 0
r0
a
t
（3）静应力：如拉压杆
max min m
a 0
r 1
（4）非对称循环：
a 0
max min m t
max min 0 max min a
第二节 交变应力的循环特性和应力幅值
应力循环:一点的应力由某一数值开始，经过一次完整的变 化又回到这一数值的一个过程。
a
m
T
1.最大应力： max
2.最小应力： min
min
max
t 5.循环特性：
3.平均应力：
m
max min
2
4.应力幅：
a
max min
疲劳极限或有限寿命持久极限：
材料在规定的应力循环次数N下，不发生疲劳破环的最大 应力值，记作 rN ( rN ) 。 无限寿命疲劳极限或持久极限 r ： 当 max 不超过某一极限值，材料可以经受“无数次”应力 循环而不发生破坏，此极限值称为无限寿命疲劳极限或持久极限。
疲劳失效特点 a、在交变应力下构件破坏时，最大应力不仅低于材料强 度极限和屈服极限，甚至低于比例极限； b、在交变应力作用下，构件破坏前，总是要经历若干次 应力重复；而且即使是塑性很好的材料，在经历若干次应力 重复后，也会像脆性材料一样突然断裂，断裂前没有明显的 塑性变形。 c、疲劳破坏的断口存在三个区域： 疲劳源区——在光滑区内有以微裂纹 起始点，又称为裂纹源（①区域）为中心 并逐渐扩展的弧形曲线； 疲劳扩展区——又称为光滑区（②区 域），有明显的纹条，类似被海浪冲击后 的海滩，它是由裂纹的传播所形成；
第十章-动载荷
2 动载荷问题分类
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
动载荷
2. 求解冲击问题的能量法
冲击问题极其复杂,难以精确求解.工程中常采用一种 冲击问题极其复杂,难以精确求解. 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法, --能量法 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法,来近似估算构件 内的冲击载荷和冲击应力. 内的冲击载荷和冲击应力. 在冲击应力估算中作如下基本假定: 在冲击应力估算中作如下基本假定: ①不计冲击物的变形: 不计冲击物的变形: ②冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; 冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; ③构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计,冲击应 构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计, 力瞬时传遍整个构件 ④材料服从虎克定律; 材料服从虎克定律; ⑤冲击过程中,声,热等能量损耗很小,可略去不计. 冲击过程中, 热等能量损耗很小,可略去不计.
1. 工程中的冲击问题
锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题,其特点是冲击 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题, 物在极短瞬间速度剧变为零, 物在极短瞬间速度剧变为零,被冲击物在此瞬间经受很大 的应力变化. 的应力变化.
Fd sd Dd = = P s st D st
可得: 可得:
Dd
2
2T D st - 2D stD d = 0 P
解得: 解得:
骣 1 + 1 + 2T ÷ ÷ D d = D st ÷ PD st ÷ 桫
引入冲击动荷系数K 引入冲击动荷系数Kd
Dd 2T Kd = = 1+ 1+ D st PD st
要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速,增大横截面 要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速, 积并不能提高圆环的强度. 积并不能提高圆环的强度.
《材料力学》第十章 动载荷
第十章 动 载 荷
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
第十章 动载荷
解：⑴计算惯性力矩
Mf
0
2 n
60
2 100
60
10
3
rad
/
s
A
a
t
0
0
10
3
rad
/ s2
t
10
3
Md
Ix
a
0.5
3
0.5 kNm
3
a
Md B
0
(Dynamic Loading)
⑵计算轴内的最大扭转动应力(切应力)
Mx
0M f
Md
0.5 kNm
3
Mf
Td
Md
0.5 kNm
的轴作等速转动.已知环的角速度为 ,环的横截面面积为A,材 料的单位体积质量为r.求圆环横截面上的正应力.
解： ⑴求qd 因圆环很薄,可认为圆环上各点的
向心加速度相同,等于圆环中线上 各点的向心加速度.
an
D 2
2
因为环是等截面的,所以相
同长度的任一段质量相等.
O r
(Dynamic Loading)
已知：一重量为P 的重物由高度为h的位置自由下落,与一块和直杆 AB 相连的平板发生冲击. 杆的横截面面积为A,求杆的冲击应力.
重物是冲击物,杆AB（包括圆盘）是被冲击物.
冲击物减少的势能
A
A
V DV P(h Dd )
P
动能无变化 T DT 0
AB 增加的应变能
1
Vd 2 Fd Dd
Fd
或短时间内，荷载值急剧
FP (t )
增大或急剧减小。如： FP
t
⑶惯性力
tr
核爆炸冲击波荷载曲线
FP (t )
第10章动载荷
a A a A 1 g g
2
M max
l 1 l 1 a l R b 1 A 1 b l 2 2 2 2 g 4
相应的应力(一般称为动应力)为
M A d W 2W a l 1 b l g 4
4Q B. d 2
4Q 1 1 2 d E
8Q 1 1 2 d E
Q
l
4Q C. d 2
4Q D. d 2
h
设重物Q静止作用于梁上截面C处时，截面C和D处 的静位移分别为(st)C和(st)D ，如图示。现考虑重 物Q由高度h处自由下落，则下列结论中哪些是正 确的? 答： 。
l QHl D. h 2 Ebh
10.5 冲击韧性(impact toughness)
工程上衡量材料抗冲击能力的标准，是冲断试 样所需能量的多少。
W k A
k称为冲击韧性，
其单位为焦耳/毫 米2 (J/mm2)。
试样 试样
50 FATT
100
0
0
60
120
J
R
R
qs A qd Aa g
M max
当加速度a等于零时，由上式求得杆件在静载 (static load)下的应力为
A st 2W l b l 4
故动应力可以表为
a d st 1 K d st g
Kd 1 a g
1 A. l
g
2 B. l
g
O
A
l 2
B
1 2 g C. l
第10章 动载荷
7
§10-2 用动静法求应力和变形
达朗伯原理： 处于不平衡状态的物体, 存在惯性力, 惯性力的方向 与加速度方向相反, 惯性力的数值等于加速度与质量的 乘积。只要在物体上虚加上惯性力, 就可以把动力学问 题在形式上作为静力学问题来处理,这就是动静法。 惯性力大小等于质点的质量 m 与加速度 a 的乘积, 方向与 加速度a 的方向相反, 即 F= -ma
二 . 动载作用下，材料与胡克定律的关系
6
实验表明:在静载荷作用下服从胡克定律的材料，只要动应 力不超过比例极限，在动载荷作用下胡克定律仍然有效, 且弹 性模量与静载荷下的数值相同。即：
E静 = E动
三. 动荷系数
动响应 动荷系数K d 静响应
四. 动荷载的分类 1.惯性力 2.冲击荷载 3.振动问题 4.交变应力
Pd K d P
d K d st
24
例题9 图示钢杆的下端有一固定圆盘, 盘上放置弹簧。 弹簧在 1KN 的静载荷作用下缩短 0.625mm 。钢杆直径 d=40mm , l =4m , 许用应力 []=120MPa , E=200GPa 。 有重为 15KN 的重物自由落下， d 求: 其许可高度 h 。 解: 15 0.625 10 3 Pl 9.62 10 3 m st EA h
绳索中的动应力为
G
G
G a g
Static 静态的 FNd FNst d Kd K d st A A Dynamic 动态的 st 为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为
d K d st [ ]
10
N st
Nd
△d 表示动变形
△s t 表示静变形
m
m x
§10-2 用动静法求应力和变形
达朗伯原理： 处于不平衡状态的物体, 存在惯性力, 惯性力的方向 与加速度方向相反, 惯性力的数值等于加速度与质量的 乘积。只要在物体上虚加上惯性力, 就可以把动力学问 题在形式上作为静力学问题来处理,这就是动静法。 惯性力大小等于质点的质量 m 与加速度 a 的乘积, 方向与 加速度a 的方向相反, 即 F= -ma
二 . 动载作用下，材料与胡克定律的关系
6
实验表明:在静载荷作用下服从胡克定律的材料，只要动应 力不超过比例极限，在动载荷作用下胡克定律仍然有效, 且弹 性模量与静载荷下的数值相同。即：
E静 = E动
三. 动荷系数
动响应 动荷系数K d 静响应
四. 动荷载的分类 1.惯性力 2.冲击荷载 3.振动问题 4.交变应力
Pd K d P
d K d st
24
例题9 图示钢杆的下端有一固定圆盘, 盘上放置弹簧。 弹簧在 1KN 的静载荷作用下缩短 0.625mm 。钢杆直径 d=40mm , l =4m , 许用应力 []=120MPa , E=200GPa 。 有重为 15KN 的重物自由落下， d 求: 其许可高度 h 。 解: 15 0.625 10 3 Pl 9.62 10 3 m st EA h
绳索中的动应力为
G
G
G a g
Static 静态的 FNd FNst d Kd K d st A A Dynamic 动态的 st 为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为
d K d st [ ]
10
N st
Nd
△d 表示动变形
△s t 表示静变形
m
m x
材料力学第十章 动载荷
Pl / 4 st 6 MPa Wz
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
动载荷
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第十章 动载荷
例 6－4 已知梁为16号工字钢，吊索横截面面积 A＝108
mm2,等加速度a =10 m/s2 ，不计钢索质量。求：1,吊索的动应 力d ; 2,梁的最大动应力d, max 。 解： 1. 求吊索的d 16号工字钢单位长度的 重量为
qst20.5×9.81=201.1 N/m
2πn nπ 轴的角速度为 60 30 w nπ 1 000 π 10 472 .0 rad/s 2 角加速度为 t 30t 30 0.01 其转向与n的转向相反。
w
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第十章 动载荷
飞轮的转动惯量为
PD 2 0.6 103 0.42 J0 1.223 N· m· s2 8g 8 9.81
河南理工大学土木工程学院
材料力学 由能量守恒定律
第十章 动载荷
1 1 P P ( d st ) P d d P st 2g 2 2 d P Pd st
2
2 st d
2 d
2
g
st 0
2 ) K d st d st ( 1 g st
①
② ③
不考虑冲击时能量的损失；
冲击物视为刚体，受冲构件不计质量; 冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动;
④
最大冲击应力小于材料的比例极限。
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第十章 动载荷
二、自由落体冲击
设弹性梁AB，有重量为P的物体自高度为h处自由下落冲击 在梁的中点，求梁的变形和应力。
根据能量守恒，有
变，构件内各质点加速度很小，可不考虑。
第十章 动载荷
d d d
本章小结
1．本章研究简单动载荷问题。简单介绍了三种问题的分析方法： 1）构件作等加速度直线运动时的动应力分析； 2）构件等角速转动时动应力分析； 3）冲击问题的简化计算。 2．本章涉及以下基本概念： 1）动载荷， 冲击载荷 2）动应力， 冲击应力 3）动载荷系数，冲击载荷系数 3．关于动载荷系数及冲击载荷系数 k d 构件等加速运动或等角速转动时的动载荷系数 k 为： d d kd st kd 的 这个式子是动载荷系数的定义式，它给出了 k d 的内涵和外延。 计算式，则要根据构件的具体运动方式，经分析推导而定。 构件受冲击时的冲击动载荷系数 k d 为：
d max
d max
满足 不满足
若：
例2 起重机钢丝绳长60m，名义直径28cm，有效横截面面积
A=2. 9cm2 , 单位长重量q=25. 5N/m , [] =300MPa , 以a=2m/s2的加 速度提起重50kN 的物体，试校核钢丝绳的强度。 解：①受力分析如图: Nd ②动应力 L q(1+a/g)
d
W
3EIlQ g
解毕。 思考题：①如果 AC 杆的质量不能忽略，对上述分析有何影响？仔细 研究之。② AC 杆内的最大冲击剪应力如何分析？ 要点讨论 1．本例的分析中，借助了静态量与动态量之间的比例关系： Pd d d Q st st d 上式中，Pd 当然是 Q 在其作用点 C 处引起的冲击载荷；st 可视为 d x 任意 断面处动位移与静位移的比。 不仅表示B 截面处动、静 st x 应力最大值的比，也表示任意 断面处动、静应力之比。 2．不利用上述比例关系，也能方便地求解此问题。具体方法是， 1 直接求出 C 点在 Pd 作用下的动位移 d ，再由U 2 P ，求得冲击 变形能。
本章小结
1．本章研究简单动载荷问题。简单介绍了三种问题的分析方法： 1）构件作等加速度直线运动时的动应力分析； 2）构件等角速转动时动应力分析； 3）冲击问题的简化计算。 2．本章涉及以下基本概念： 1）动载荷， 冲击载荷 2）动应力， 冲击应力 3）动载荷系数，冲击载荷系数 3．关于动载荷系数及冲击载荷系数 k d 构件等加速运动或等角速转动时的动载荷系数 k 为： d d kd st kd 的 这个式子是动载荷系数的定义式，它给出了 k d 的内涵和外延。 计算式，则要根据构件的具体运动方式，经分析推导而定。 构件受冲击时的冲击动载荷系数 k d 为：
d max
d max
满足 不满足
若：
例2 起重机钢丝绳长60m，名义直径28cm，有效横截面面积
A=2. 9cm2 , 单位长重量q=25. 5N/m , [] =300MPa , 以a=2m/s2的加 速度提起重50kN 的物体，试校核钢丝绳的强度。 解：①受力分析如图: Nd ②动应力 L q(1+a/g)
d
W
3EIlQ g
解毕。 思考题：①如果 AC 杆的质量不能忽略，对上述分析有何影响？仔细 研究之。② AC 杆内的最大冲击剪应力如何分析？ 要点讨论 1．本例的分析中，借助了静态量与动态量之间的比例关系： Pd d d Q st st d 上式中，Pd 当然是 Q 在其作用点 C 处引起的冲击载荷；st 可视为 d x 任意 断面处动位移与静位移的比。 不仅表示B 截面处动、静 st x 应力最大值的比，也表示任意 断面处动、静应力之比。 2．不利用上述比例关系，也能方便地求解此问题。具体方法是， 1 直接求出 C 点在 Pd 作用下的动位移 d ，再由U 2 P ，求得冲击 变形能。
第10章动载荷解析
绳索中的动应力为
G
GGa g
d
FNd A
Kd
FNst A
K d st
Static 静态的 Dynamic 动态的
st 为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为 d Kd st [ ]
10
N st
△d 表示动变形
mm
△s t 表示静变形 当材料中的应力不超过
A
x
比例极限时, 荷载与变形成正比
Nd A Aa
(qst
qG
)x
Ax(1
a g
)
a L
mn
x
2. 动应力
d
FNd A
x(1
a) g
a
FNd 动荷系数
Kd
1
a g
qst
x
qG 强度条件 dmax Kd stmax [ ]
12
例题3 起重机钢丝绳长 60m , 名义直径 28cm , 有效
横截面面积 A=2. 9cm2 , 单位长重量 q=25. 5N/m ,
A 2D2
4g
0
sin d A 2D2
2g
FNd
Rd 2
A
A2D22D2
4g4g 0
sidn
FddA22DD2
A 2g4g
2
园环轴A线 上2D点2 的线速度
2g
d
2
g
D v
2
强度条件
v2
d g [ ] FNd
y
Rd
d
o
q
d
(
D 2
d
)
qd
FNd
环内应力与横截面面积无关。
要保证强度, 应限制圆环的转速。
10动载荷
根据力和变形之间的关系： Pd k d
P
Pd
P
Pd d P st
2
x 顶 dF 部 m m
1 x A( x ) A0 (1 ) 2 l
d
m l x R0 R1
l 3 2 FNmax A0 [ R0 l ] 3 4
2
FNx 叶 根
2 2 3 R x l x l x 2 0 FNx A0 [ R0 l (1 ) (1 )(1 2 ) (1 3 )] l 2 2l l 6 l
a
a 引入动荷因数 K d 1 g 2m 4m 4m 2m A C B z
则
q Kdqst
由对称关系可知两吊索的轴力FN相等. qst Ag 1 FN qst l Fy 0 2FN qst l 0
2
b)
吊索的静应力为 FN qst l A 2A B a qst l A K (1 ) d d 故得吊索的动应力为 g 2A 由型钢表查得 qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g及已
l R1
R0
解:设距叶根为 x 的横截面 m-m 的面积为A(x) 1 x [ksai] A( x ) A0 (1 ) 2 l 在距叶根为 处取长 顶 d 部 为d 的微元,其质量为 l m m dm A( )d x 距叶根 处的向心加速度为 叶 2 an ( R0 ) 根 R1 R0
Up
Down
对于作匀加速直线运动的构件： Kd = 1+ a/g
Pd K d Pst
d K d st
其动载荷下的强度条件仍然为： σd =Kd· σst ≤[σ]
第十章 动载荷
第十章动载荷
材料力学
动载荷/概述
§10.1 概述
材料力学
动载荷/概述
一.基本概念
静载荷：
大小不变或变化缓慢的载荷。
动载荷： 使构件产生明显加速度的载荷或者 随时间变化的载荷。
材料力学
动载荷/概述
本章讨论的两类问题：
作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件； 冲击载荷作用下构件的应力和变形计算。
qd
an D / 2
2
o
沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度为：
材料力学
A AD 2 qd an g 2g
动载荷/动静法的应用
(2)根据平衡问题求解 圆环横截面上的内力为：
qd
y
2 N d qd D
x
Nd
o
AD 2 2 Nd 4g
Nd
圆环横截面上的应力为：
Nd D 2 2 v 2 d A 4g g
材料力学
3.小能量多次冲击
思考： 大能量一次冲击和小能量多次冲击 之间是否存在必然着必然的联系？ 试验1：人
试验2：铸铁
可把动力学问题在形式上作为静力学问题
来处理，这就是动静法。
材料力学
动载荷/动静法的应用
动静法的解题步骤：
1.计算惯性力；
* F ma
2.将惯性力作为虚拟外力加于各质点上； 3.将整体作为平衡问题处理。
材料力学
动载荷/动静法的应用
三.动静法的应用举例
1. 匀加速运动构件 一吊车以匀加速度起吊重物Q, 吊索自重不计，若吊索的横截面积 为A，上升加速度为a，试计算吊索 中的应力。
求简支梁中点处的最大冲击应力。
Q H B L/2 L/2
材料力学
动载荷/概述
§10.1 概述
材料力学
动载荷/概述
一.基本概念
静载荷：
大小不变或变化缓慢的载荷。
动载荷： 使构件产生明显加速度的载荷或者 随时间变化的载荷。
材料力学
动载荷/概述
本章讨论的两类问题：
作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件； 冲击载荷作用下构件的应力和变形计算。
qd
an D / 2
2
o
沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度为：
材料力学
A AD 2 qd an g 2g
动载荷/动静法的应用
(2)根据平衡问题求解 圆环横截面上的内力为：
qd
y
2 N d qd D
x
Nd
o
AD 2 2 Nd 4g
Nd
圆环横截面上的应力为：
Nd D 2 2 v 2 d A 4g g
材料力学
3.小能量多次冲击
思考： 大能量一次冲击和小能量多次冲击 之间是否存在必然着必然的联系？ 试验1：人
试验2：铸铁
可把动力学问题在形式上作为静力学问题
来处理，这就是动静法。
材料力学
动载荷/动静法的应用
动静法的解题步骤：
1.计算惯性力；
* F ma
2.将惯性力作为虚拟外力加于各质点上； 3.将整体作为平衡问题处理。
材料力学
动载荷/动静法的应用
三.动静法的应用举例
1. 匀加速运动构件 一吊车以匀加速度起吊重物Q, 吊索自重不计，若吊索的横截面积 为A，上升加速度为a，试计算吊索 中的应力。
求简支梁中点处的最大冲击应力。
Q H B L/2 L/2
材料力学第10章 动载荷
Kd = 1 + 1 + 2H
∆st
P
Pl 3 + P ∆st = 48EI 4C
σ st max = Pl / 4 = Pl
W
4W
MF
Pl/4
σd max = Kdσ st max ≤ [σ ] [H] =
∆st
2 σ st max
[(
[σ ]
−1) −1]
2
等截面刚架，重物P自高度 处自由下落。 、 、 自高度h处自由下落 例：等截面刚架，重物 自高度 处自由下落。 E、I、 W已知 。 试求截面的最大竖直位移和刚架内的最大 已知。 已知 冲击正应力（ 刚架的质量可略去不计， 冲击正应力 （ 刚架的质量可略去不计 ， 且不计轴力 对刚架变形的影响） 对刚架变形的影响）。
第十章 动载荷
§10.1 概述 §10.2 动静法的应用 §10.3 强迫振动的应力计算 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
§10.1 概述
1）动载荷问题的特点： ）动载荷问题的特点： 静载荷问题：载荷平稳地增加， 静载荷问题：载荷平稳地增加，不引起构件 的加速度——准静态。 准静态。 的加速度 准静态 动载荷问题：载荷急剧变化， 动载荷问题：载荷急剧变化，构件速度发生 急剧变化。 急剧变化。
2FNd = qd (2R)
qd FNd FNd
qd
σd =
FNd = ρR2ω2 = ρv2 A
注意： 无关！ 注意：与A无关！ 无关
4）匀减速转动（飞轮刹车） ）匀减速转动（飞轮刹车） 例 4 ： 飞 轮 转 速 n=100r/min ， 转 动 惯 量 为 Ix=0.5kNms2 ， 轴 直 径 d=100mm ， 10 秒停转，求最大动应力。 秒停转，求最大动应力。 解：角速度： ω0 = nπ 角速度： 30 角加速度： 角加速度：α = −ω0 / t
第10章_动载荷汇总
Fst
1
a g
x
Ax x
Kd
1
a g
—动荷系数
FNd
A x
Ax g
a
FNd Kd Fst d Kd st
Q
Q
Q g
a
二、构件作等速转动时的应力计算
例题4 一平均直径为D的薄圆环,绕通过其圆心且垂于环平面的
轴作等速转动.已知环的角速度为 ,环的横截面面积为A,材料的 单位体积质量为r.求圆环横截面上的正应力.
F=ma F-ma=0 F+(-ma)=0
目录
§10-2 动静法的应用
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车，现在问3个问题
1.物体离开地面，静止地由绳索吊挂
l
2.物体匀速地向上提升
3.物体以加速度a向上提升
求这3种情况下的绳索应力？
目录
1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂
P
Q
绳子：
st
Q A
A
B
0
§10-4 杆件受冲击时的应力和变形（Stress
and deformation by impact loading)
目录
冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加 速度a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用 计算中，一般采用能量法。
在计算时作如下假设:
d
1.冲击物视为刚体，不考虑其变形;
Kd 1
1 2h st
st
Q A
15 103
p d2
12MPa
4
d Kd st 1
1
2h st
12
[ ]
120
h 0.385m=385 mm
第10章 动载荷
第十章 动载荷
§10–1 概述 10–
静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这时， 静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这时， 构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。 构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。 在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。 动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。 作用下 构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。 构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。 动载荷而引起的应力称为动应力 实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限， 实验证明， 动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限， 作用下 胡克定律仍然适用。 胡克定律仍然适用。
∆d =
v2 ∆ st g∆ g∆ st
∆d Kd = = ∆ st
v2 g∆ st
∆ d = K d ∆ st
Pd = K d P
σ d = K dσ st
}
§10-4 构件受冲击时的应力和变形
一、自由落体的冲击应力
P
h
A
△d
B
根据能量守恒原理，有 根据能量守恒原理，
(T1 + V1 ) − (T2 + V2 ) = Vεd
Q T1 = T2 = 0, V1 − V2 = P (h + ∆ d ),
1 Vεd = Fd ∆ d 2
1 ∴ P(h + ∆ d ) = Fd ∆ d 2
[例10－2]已知 例 － 已知 已知P=4kN、h=10cm、b=8cm、h=12cm、 E=200GPa、c=0.8kN/mm，求图示两种支承下梁的最大应力。 、 ，求图示两种支承下梁的最大应力。
h b
P
A 1m
P
P
B A 1m B A
§10–1 概述 10–
静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这时， 静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这时， 构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。 构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。 在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。 动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。 作用下 构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。 构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。 动载荷而引起的应力称为动应力 实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限， 实验证明， 动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限， 作用下 胡克定律仍然适用。 胡克定律仍然适用。
∆d =
v2 ∆ st g∆ g∆ st
∆d Kd = = ∆ st
v2 g∆ st
∆ d = K d ∆ st
Pd = K d P
σ d = K dσ st
}
§10-4 构件受冲击时的应力和变形
一、自由落体的冲击应力
P
h
A
△d
B
根据能量守恒原理，有 根据能量守恒原理，
(T1 + V1 ) − (T2 + V2 ) = Vεd
Q T1 = T2 = 0, V1 − V2 = P (h + ∆ d ),
1 Vεd = Fd ∆ d 2
1 ∴ P(h + ∆ d ) = Fd ∆ d 2
[例10－2]已知 例 － 已知 已知P=4kN、h=10cm、b=8cm、h=12cm、 E=200GPa、c=0.8kN/mm，求图示两种支承下梁的最大应力。 、 ，求图示两种支承下梁的最大应力。
h b
P
A 1m
P
P
B A 1m B A
第十章 动载荷
第十章 动 载 荷
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
§10. 2 构件作匀加速直线运动或 匀速转动时的应力计算
一、构件作匀加速直线运动时的应力计算 以矿井升降机以匀加速度 a 起吊一吊笼为例。 吊笼重量为P；钢索横截
面面积为 A，单位体积的重量 为 。求吊索任意横截面上的 应力。
Kd 1
1
v02 2gh g Δst
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
当构件受水平方向冲击时
T
1 2
P g
v2,
V 0
Vε d
1 2
Fd
Δd
1 2
Δd Δst
PΔd
P 2 Δst
Δd2
1 2
P v2 g
P 2 Δst
Δd2
Fd P
Δd Δst
Δd
v2 g Δst
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
qd
A g
D 2 2
A D 2 2g
第十章 动 载 荷
FN d
qd D 2
A D2 2 4g
d
FN d A
D2 2 4g
v2 g
1
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
强度条件
1
2h Δst
12
[
]
120
h 0.385 m = 385 mm
第十章 动 载 荷
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例：重量为 P 的物体自由落下冲击在 AB 梁的 B 点处， 材料的弹性模量为 E 。求 B 点的挠度及梁的最大弯曲正应 力。
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
§10. 2 构件作匀加速直线运动或 匀速转动时的应力计算
一、构件作匀加速直线运动时的应力计算 以矿井升降机以匀加速度 a 起吊一吊笼为例。 吊笼重量为P；钢索横截
面面积为 A，单位体积的重量 为 。求吊索任意横截面上的 应力。
Kd 1
1
v02 2gh g Δst
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
当构件受水平方向冲击时
T
1 2
P g
v2,
V 0
Vε d
1 2
Fd
Δd
1 2
Δd Δst
PΔd
P 2 Δst
Δd2
1 2
P v2 g
P 2 Δst
Δd2
Fd P
Δd Δst
Δd
v2 g Δst
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
qd
A g
D 2 2
A D 2 2g
第十章 动 载 荷
FN d
qd D 2
A D2 2 4g
d
FN d A
D2 2 4g
v2 g
1
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
强度条件
1
2h Δst
12
[
]
120
h 0.385 m = 385 mm
第十章 动 载 荷
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例：重量为 P 的物体自由落下冲击在 AB 梁的 B 点处， 材料的弹性模量为 E 。求 B 点的挠度及梁的最大弯曲正应 力。
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材料力学
第十章 动 载荷
南京航空航天大学 陶秋帆等
1
第十章 动载荷
本章内容: 1 概述
2 动静法的应用 3 强迫振动的应力计算 4 杆件受冲击时的应力和变形 5 冲击韧性
2
§ 10. 1 概述
1 动载荷 · 静载荷 载荷从零开始缓慢地增加到最终值。
可认为构件始终处于平衡状态。 随 · 动载荷 时间明显变化的载荷，即具有较大
为 △d 忽略能量损失， 由机
械能守恒定律有:
T V Ud
18
· 能量法
设冲击物重为Q，冲击 开始时的初动能为T。
被冲击物的最大变形 为 △d 忽略能量损失， 由机 械能守恒定律， 有:
T V Ud
以最大变形时重物的位置为零势位置。
则初位置的势能为: V Qd 设达到最大变形时，弹簧所受的动载荷为: Pd19
2 求解冲击问题的基本假设
① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳，
二者合为一个运动系统；
③ 构件的质量与冲击物相比很小，可略去不计,
冲击应力瞬间传遍整个构件；
④ 材料服从虎克定律；
⑤ 冲击过程中，能量损耗很小，可略去不计。
3 求解冲击问题的能量法
· 线弹性系统 任一线弹性杆件或结构都可简化
· 角加速度 · 惯性力矩
md Ix
nπ 10π rad/s
30 3
1 0 π rad/s2
t
3
0.5π kN m 3
· 由动静法
mx 0
mf md
13
· 由动静法
mx 0
mf md
· 轴内扭矩
T
md
0.5π 3
kN m
· 最大剪应力
max
T Wt
2.67 106 Pa 2.67MPa
Nd
Nd
Nd
qd D 2
AD
4g
2
2
· 动应力
d
Nd A
D 2
4g
2
v 2
g
10
由以前的结论，有:
2Nd qd D
Nd
qd D 2
AD
4g
2
2
· 动应力
d
Nd A
D 2
4g
2
v 2
g
· 强度条件
d
v 2
g
[]
· 可看出：要保证圆环的强度，只能限制圆环的
转速，增大截面积A并不能提高圆环的强度。
11
例 3 (书例12.1) 已知: n=100r/min， 转动惯量 Ix＝0.5 kN·m·s2。轴直径 d=100mm。刹车 时在10秒内均匀 减速停止转动。
求：轴内最大动应力。
解：· 角速度 nπ 10π rad/s
30 3
· 角加速度 1 0 π rad/s2
t
3
12
· 角速度
为线性弹簧。
16
3 求解冲击问题的能量法 · 线弹性系统 任一线弹性杆件或结构都可简化
为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧的弹性
系数 k EA
l
17
l Pl EA
等价弹簧的弹性系数
· 能量法 设冲击物重为Q, 冲击
开始时的初动能为T。
P
EA l
l
k EA
l
被冲击物的最大变形
。 加速度为a时：
qd
qst
(1
a g
)
记： 若忽略自重，则
Kd
1 a
a g
Kd g
动荷系数
6
。 加速度为a时：
a
qd
qst (1
) g
记：
Kd
1 a
a g
动荷系数
若忽略自重，则 Kd g
· 对线性系统
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
· 动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。 7
加载速率的载荷。
· 实验表明： 在动载荷作用下，只要应力不超 过比例极限， 胡克定律仍成立，且弹性模量 与静载时相同。
2 动载荷问题分类
3
2 动载荷问题分类 1) 构件有加) 交变载荷。
4
§ 10. 2 动静法的应用
1 动静法 即为理论力学中介绍的达朗 伯原理。
1
2T 1
Qst
冲击动 荷系数
则: d Kd st , Pd KdQ, d Kd
st
22
引入记号:
Kd
d st
1
1 2T Qst
冲击动 荷系数
则: d Kd st , Pd KdQ,
· 几种d 常见情况下的冲击动荷系数 (1) 垂直冲击(自由落体) 这时，公 式中的T为:
· 动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
例如：
按静载求出某点的应力为 st 则动载下该点的应力为 d Kdst
按静载求出某点的挠度为 vst 则动载下该点的挠度为 vd Kdvst
· 强度条件 d Kdst []
8
· 强度条件
d Kdst []
3 匀角速度转动构件中的动应力分析
设圆环以均角速度转动， ω
qd
厚度 t 远小于直径D， 截
面积为A，比重为。 加上
惯性力系。
an
R 2
D2
2
qd
A
g
an
AD 2
2g
9
an
R2
D2
2
ω
qd
qd
A
g
an
AD
2g
2
· 取半圆，求内力 由以前的结论，有:
2Nd qd D
2 匀加速平动构件中的动应力分析
· 例子 设杆以匀加速度a 作平动， 截面积为A，比
bR
aR
重为。 加上惯性力系。
分布载荷中，包括自重
qd
l
和惯性力。
则：
qd A
A
g
a
A(1
a ) g5
分布载荷中，包括自重 和惯性力。
bR
aR
则：
qd
A
A a
g
A(1
a) g
qd
l
。 加速度为零时： qst A
14
§ 10. 4 杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题 撞击，打桩，铆接，突然 刹车等。 特点：冲击物在极短瞬间速度发生 剧变，被冲
击物在此瞬间受到很大冲击力的作用。 例如： 锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。 是重力的335倍。
2 求解冲击问题的基本假设 ① 不计冲击物的变形； ② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳1，5
在线弹性范围内，有:
Pd d d
Q st st
Pd
d st
Q
Ud
1 2
d2 st
Q
代入机械能守恒定律，化简得:
2 d
2st d
2Tst Q
0
解此一元二次方程得:
21
代入机械能守恒定理，化简得:
2 d
2st d
2Tst Q
0
解此一元二次方程得:
d st 1
1
2T Qst
引入记号:
Kd
d st
则初位置的势能为:
V Qd 设达到
最大变形时， 弹簧所
受的动载荷为: Pd 则变
形能为:
Ud
1 2
Pd d
由: T V Ud 。 为求出d , 将Pd用Q表示
在线弹性范围内，有:
T Qd
1 2
Pd
d
Pd d d
Q st
st
20
1 T Qd 2 Pd d
。 为求出d , 将Pd用Q表示
第十章 动 载荷
南京航空航天大学 陶秋帆等
1
第十章 动载荷
本章内容: 1 概述
2 动静法的应用 3 强迫振动的应力计算 4 杆件受冲击时的应力和变形 5 冲击韧性
2
§ 10. 1 概述
1 动载荷 · 静载荷 载荷从零开始缓慢地增加到最终值。
可认为构件始终处于平衡状态。 随 · 动载荷 时间明显变化的载荷，即具有较大
为 △d 忽略能量损失， 由机
械能守恒定律有:
T V Ud
18
· 能量法
设冲击物重为Q，冲击 开始时的初动能为T。
被冲击物的最大变形 为 △d 忽略能量损失， 由机 械能守恒定律， 有:
T V Ud
以最大变形时重物的位置为零势位置。
则初位置的势能为: V Qd 设达到最大变形时，弹簧所受的动载荷为: Pd19
2 求解冲击问题的基本假设
① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳，
二者合为一个运动系统；
③ 构件的质量与冲击物相比很小，可略去不计,
冲击应力瞬间传遍整个构件；
④ 材料服从虎克定律；
⑤ 冲击过程中，能量损耗很小，可略去不计。
3 求解冲击问题的能量法
· 线弹性系统 任一线弹性杆件或结构都可简化
· 角加速度 · 惯性力矩
md Ix
nπ 10π rad/s
30 3
1 0 π rad/s2
t
3
0.5π kN m 3
· 由动静法
mx 0
mf md
13
· 由动静法
mx 0
mf md
· 轴内扭矩
T
md
0.5π 3
kN m
· 最大剪应力
max
T Wt
2.67 106 Pa 2.67MPa
Nd
Nd
Nd
qd D 2
AD
4g
2
2
· 动应力
d
Nd A
D 2
4g
2
v 2
g
10
由以前的结论，有:
2Nd qd D
Nd
qd D 2
AD
4g
2
2
· 动应力
d
Nd A
D 2
4g
2
v 2
g
· 强度条件
d
v 2
g
[]
· 可看出：要保证圆环的强度，只能限制圆环的
转速，增大截面积A并不能提高圆环的强度。
11
例 3 (书例12.1) 已知: n=100r/min， 转动惯量 Ix＝0.5 kN·m·s2。轴直径 d=100mm。刹车 时在10秒内均匀 减速停止转动。
求：轴内最大动应力。
解：· 角速度 nπ 10π rad/s
30 3
· 角加速度 1 0 π rad/s2
t
3
12
· 角速度
为线性弹簧。
16
3 求解冲击问题的能量法 · 线弹性系统 任一线弹性杆件或结构都可简化
为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧的弹性
系数 k EA
l
17
l Pl EA
等价弹簧的弹性系数
· 能量法 设冲击物重为Q, 冲击
开始时的初动能为T。
P
EA l
l
k EA
l
被冲击物的最大变形
。 加速度为a时：
qd
qst
(1
a g
)
记： 若忽略自重，则
Kd
1 a
a g
Kd g
动荷系数
6
。 加速度为a时：
a
qd
qst (1
) g
记：
Kd
1 a
a g
动荷系数
若忽略自重，则 Kd g
· 对线性系统
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
· 动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。 7
加载速率的载荷。
· 实验表明： 在动载荷作用下，只要应力不超 过比例极限， 胡克定律仍成立，且弹性模量 与静载时相同。
2 动载荷问题分类
3
2 动载荷问题分类 1) 构件有加) 交变载荷。
4
§ 10. 2 动静法的应用
1 动静法 即为理论力学中介绍的达朗 伯原理。
1
2T 1
Qst
冲击动 荷系数
则: d Kd st , Pd KdQ, d Kd
st
22
引入记号:
Kd
d st
1
1 2T Qst
冲击动 荷系数
则: d Kd st , Pd KdQ,
· 几种d 常见情况下的冲击动荷系数 (1) 垂直冲击(自由落体) 这时，公 式中的T为:
· 动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
例如：
按静载求出某点的应力为 st 则动载下该点的应力为 d Kdst
按静载求出某点的挠度为 vst 则动载下该点的挠度为 vd Kdvst
· 强度条件 d Kdst []
8
· 强度条件
d Kdst []
3 匀角速度转动构件中的动应力分析
设圆环以均角速度转动， ω
qd
厚度 t 远小于直径D， 截
面积为A，比重为。 加上
惯性力系。
an
R 2
D2
2
qd
A
g
an
AD 2
2g
9
an
R2
D2
2
ω
qd
qd
A
g
an
AD
2g
2
· 取半圆，求内力 由以前的结论，有:
2Nd qd D
2 匀加速平动构件中的动应力分析
· 例子 设杆以匀加速度a 作平动， 截面积为A，比
bR
aR
重为。 加上惯性力系。
分布载荷中，包括自重
qd
l
和惯性力。
则：
qd A
A
g
a
A(1
a ) g5
分布载荷中，包括自重 和惯性力。
bR
aR
则：
qd
A
A a
g
A(1
a) g
qd
l
。 加速度为零时： qst A
14
§ 10. 4 杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题 撞击，打桩，铆接，突然 刹车等。 特点：冲击物在极短瞬间速度发生 剧变，被冲
击物在此瞬间受到很大冲击力的作用。 例如： 锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。 是重力的335倍。
2 求解冲击问题的基本假设 ① 不计冲击物的变形； ② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳1，5
在线弹性范围内，有:
Pd d d
Q st st
Pd
d st
Q
Ud
1 2
d2 st
Q
代入机械能守恒定律，化简得:
2 d
2st d
2Tst Q
0
解此一元二次方程得:
21
代入机械能守恒定理，化简得:
2 d
2st d
2Tst Q
0
解此一元二次方程得:
d st 1
1
2T Qst
引入记号:
Kd
d st
则初位置的势能为:
V Qd 设达到
最大变形时， 弹簧所
受的动载荷为: Pd 则变
形能为:
Ud
1 2
Pd d
由: T V Ud 。 为求出d , 将Pd用Q表示
在线弹性范围内，有:
T Qd
1 2
Pd
d
Pd d d
Q st
st
20
1 T Qd 2 Pd d
。 为求出d , 将Pd用Q表示