分式和整数指数幂计算题
《分式》典型练习题
分式知识点和典型习题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .2、下列分式中，最简分式有（ ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式：2b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m-中，是分式的共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0（3）b a ba 10141534.0-+题型二：分数的系数变号2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：考查分式的性质 1、若分式xyx +中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的912、若分式xyy x 22+中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ）A 、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的31D 、是原来的91题型三：化简求值题 1、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 2、已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.3、已知：21=-xx ，求221xx +的值. 4、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.5、已知与互为相反数，代数式的值。
分式的运算例题讲解
15.2 分式的运算1．分式的乘除(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a b ·c d ＝a ·c b ·d . (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d b ·c. 分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式．【例1】 计算：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1；(3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4； (4)4x 2＋4xy ＋y 22x ＋y÷(4x 2－y 2)．2．分式的乘方(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．(2)用式子表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n b n .解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．【例2】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫a 2－b 34； (2)⎝⎛⎭⎫x 2y －z 23.3．分式的加减(1)同分母分式相加减：①法则：分母不变，把分子相加减； ②用式子表示：a c ±b c ＝a ±b c. (2)异分母分式相加减：①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；②用式子表示：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc bd. 警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．【例3】 计算：(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）22ab ； (2)a a 2－1－11－a 2； (3)1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y 2；(4)12m 2－9＋23－m ； (5)x －3x 2－1－2x ＋1； (6)4a ＋2－a －2.4．整数指数幂一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．根据整数指数幂的运算性质，当m ，n 为整数时，a m ÷a n ＝a m －n ，a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ，因此a m÷a n ＝a m ·a －n .特别地，a b＝a ÷b ＝a ·b －1，所以⎝⎛⎭⎫a b n ＝(a ·b －1)n ，即商的乘方⎝⎛⎭⎫a b n 可以转化为积的乘方(a ·b －1)n . 这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：(1)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是整数)；(2)(a m )n ＝a mn (m ，n 是整数)；(3)(ab )n ＝a n b n (m ，n 是整数)．【例4】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－23－2； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1.5．科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为原数整数部分的位数减1；(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a ×10－n 的形式，其中n 为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a |＜10.提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来：(1)650 000； (2)－36 900 000； (3)0.000 002 1； (4)－0.000 006 57.6．分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．7．分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．8．把分式化简后再求值 分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．【例6】 计算：1－x 2x 2＋4x ＋4÷(x －1)2·x 2＋3x ＋2x －1.【例7】 计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ÷⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2·2a 2－b 2＋2ab.【例8】 先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫3x x －1－x x ＋1·x 2－12x ，其中x ＝－3.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．作差法举例：若x ≠y 且x ＞0，y ＞0，比较4x ＋y 与x ＋y xy的大小．【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？10．分式混合运算的开放型题所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．举例：已知P ＝a 2＋b 2a 2－b 2，Q ＝2ab a 2－b 2，用“＋”或“－”连接P ，Q 共有三种不同的形式：P ＋Q ，P －Q ，Q －P ，请选择其中一种进行化简求值，其中a ＝3，b ＝2.【例10】 已知A ＝1x －2，B ＝2x 2－4，C ＝x x ＋2.将它们组合成(A －B)÷C 或A －B÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x ＝3.。
分式加减乘除整数指数幂
分式的乘除法回顾上学期学的因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法常用公式：222222222()2()()()a ab b a b a ab b a b a b a b a b ++=+-+=--=+-在学习分式之前呢，我们回忆一下小学时我们怎么做分数的乘法的：分子乘分子，分母乘分母，能约分的先约分，同样的我们的分式就相当于我们小时候学的分数一样，同样是分子乘分子分母乘分母，能约分先约分。
下面我们先来做几道例题，看看你们在学校掌握的怎么样226.45 x xy y 22238.49x y a b ab xy注意：在做这个题时候应该注意 这道题呢我们就要把系数和字母分开来算了24x y 乘的位置，我们类比一下 而且呢相同的字母和相同的字母乘或者约分小学我们学的132⨯，所以24x y 应该是乘在分子上269.(3)26x x x x -++- 22222.a ab a abb a b +--学完了上面2个大家呢来做一下这个题，大家有没有发现 这题是不是得先因式分解之后 才能进行运算，因此的在做分式 这类题的时候能因式分解的先 因式分解，然后进行约分22624.443x x x x x ---+- ]234.(69).263x x x x x x ⎡-+⎣--对于这类有括号的怎么办呢，同样的跟我们以前 所学的运算法则一样先算括号里面再算括号外面分式的乘法学完了那大家猜想一下分式的除法的运算法则是怎样的呢？我们曾经学过一句话除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此呢在做分式的除法时，我首先将除法化成乘法再根据乘法运算法则进行计算即可分式的加减一、同分母分式加减法同分母分式加减，分母不变，把分子相加减：a b a bc c c±±=典型例题（两种类型：一是分母完全相同，二、是分母互为相反数） 1）a a a 5123-+ 2)yx y y x x +++ 3)2222223223y x yx y x y x y x y x --+-+--+4）ab b b a a －+-对应练习：计算下列各式： 1、m m 155- 2、yx a y x a ---3、x x x -++-2224 4、22322232ab c b b a c a --+-- 5、m n m n m n m n n m ---+-+22 16、22222222yx xx y y y x y x ---+-+分式的通分(重难)定义:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式的过程依据：分式的基本性质关键：确定几个分式的公分母．求最简公分母的步骤为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）把相同的字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次幂作为最简公分母的一个因式；（3）把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
1.3 整数指数幂
(2)3 1 1 (2)3 8
5、用小数表示下列各数： ①10- 4； ② 1.6×10－3； ③2.1×10-5； ④－3.2×10－ 6、计算：
（1）a2×a-3；（2）(a×b)-3；（3）(a-3)2。
7、计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指 数幂的形式：
（1）(a-3)2(ab2)-3； （2）(2mn2)-2(m-2n-
=(
1 a
)n(a≠0,n为正整数)
特别地，a-1 =
1 a
(a≠0)
例如：33÷35=3-2=312
=
1
9
a4÷a6=a-2
1
=a2
例1 计算：
2-3
10-2 (-2)-4
-2-4
( 21 ) -3
(
2 3
)-2
58÷58
(
1 3
)
0×10-1
(a-1)2÷(a-1)2(a≠1)
例2 把下列各式写成分式：
2
0
=
1
，
3
100=1， x0=1(x≠0)
动脑筋 设a≠0，n是正整数，试问：a-n等于什么？
分析
如果想把公式
am an =
am-n
推广到m＜n的情
形，那么就会有
a-n=
a0-n=
a0 an
=
1 an
这启发我们规定
n
a-n =
1 an
(a≠0,n为正整数)
由于
1 an
1 = a
因此
a-n
2.已知3m=2, 9n=10, 求33m-2n 的值
解： 33m-2n =33m÷32n=(3m)3÷(32)n=(3m)3÷9n =23÷10=8÷10=0.8
初中数学湘教版八年级上册第1章 分式1.3 整数指数幂-章节测试习题(3)
章节测试题1.【答题】如果，，，那么、、的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行运算即可.【解答】解：那么、、的大小关系为选D.2.【答题】若，则（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据零指数幂和绝对值进行运算即可.【解答】解：当x≠1时，，∴且x≠1，解得：x=－1 选B.3.【答题】下列运算正确的是（）A. 2a－3＝B. ＝x2－1C. (3x－y)(－3x＋y)＝9x2－y2D. (－2x－y)(－2x＋y)＝4x2－y2【答案】D【分析】根据负整数指数幂的运算法则和乘法公式进行运算即可. 【解答】A. 2a－3＝，故A选项错误；B. ＝x2－1，故B选项错误；C. (3x－y)(－3x＋y)＝-9x2+6xy－y2，故C选项错误；D. (－2x－y)(－2x＋y)＝4x2－y2，正确，选D.4.【答题】人体血液中每个成熟红细胞的平均直径为0.0000077米，则数字0.0000077用科学记数法表示为（）A. 7.7×10-5B. 0.77×10-4C. 77×10-7D. 7.7×10-6【答案】D【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行运算即可.【解答】0.0000077=7.7×10-6.选D.5.【答题】1纳米=0.000 000 001米，则2.5纳米应表示为（）A. 2.5×10－8米B. 2.5×10－9米C. 2.5×10－10米D. 2.5×109米【答案】B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】2.5纳米=2.5×0.000000001米=2.5×10−9米.选B.6.【答题】计算的结果是（）．A.B.C.D.【答案】B【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行运算即可.【解答】3－2==.选B.方法总结：a－b=，a≠0.7.【答题】某种球形病毒的直径大约为0.000000102m，这个数用科学记数法表示为（）A. 1.02×mB. 1.02×mC. 1.02×mD. 1.02×m【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000102=1.02×10﹣7，选C.8.【答题】(2016·内蒙古东河区一模)一种细菌的半径是0.000 045米,该数字用科学记数法表示正确的是（）A. 4.5×105B. 45×106C. 4.5×10-5D. 4.5×10-4【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000045米米.选C.9.【答题】某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000308米，该直径用科学记数法表示为（）A. 0.308米B. 3.08米C. 3.08米D. 3.1米【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】0.0000003083.08米.选C.10.【答题】将0.00000305用科学记数法表示为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】0.00000305=30.5×10-6.方法总结:对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）.11.【答题】下列计算正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据负整数指数幂的运算法则和整式的运算进行运算即可. 【解答】A. ∵与不是同类项，∴不能合并，故错误；B. ∵，故正确；C. ∵，故错误；D. ∵，故错误；选B.12.【答题】下列计算正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行运算即可.【解答】解：A、，故A正确；B、，故B错误；C、不能化简，故C错误；D、没有意义．故D错误．选A.13.【答题】世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司。
专题25 分式的运算-重难点题型(举一反三)(学生版)
专题5.2 分式的运算-重难点题型【知识点1 分式的加减】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=； ②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
【题型1 分式的加减】【例1】（2021春•盐城月考）化简： （1）a a−b+b b−a； （2）x 2−4x 2−4x+4−4x x 2−2x．【变式1-1】当m ＞﹣3时，比较m+2m+3与m+3m+4的大小．【变式1-2】（2021•乐山）已知A x−1−B 2−x=2x−6(x−1)(x−2)，求A 、B 的值．【变式1-3】（2021春•河南期末）若a ＞0，M =aa+1，N =a+1a+2 （1）当a ＝1时，M ＝12，N ＝23；当a ＝3时，M ＝34，N ＝45；（2）猜想M 与N 的大小关系，并证明你的猜想．【题型2 分式与整式的混合运算 】 【例2】（2021•嘉兴一模）计算x 2x+2−x +2时，两位同学的解法如下：解法一：x 2x+2−x +2=x 2x+2−x+21=x 2x+2−(x+2)2x+2解法二：x 2x+2−x +2=1x+2[x 2−(x −2)(x +2)] （1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”． （2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．【变式2-1】（2021•梧州）计算：（x ﹣2）2﹣x （x ﹣1）+x 3−4x 2x 2．【变式2-2】（2021秋•昌平区期中）阅读下列材料，然后回答问题．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：32=1+12，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：x+1x−2，x 2x+2这样的分式是假分式；1x−2，xx 2−1这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：x+1x−2=(x−2)+3x−2=1+3x−2，x 2x+2=(x+2)(x−2)+4x+2=x −2+4x+2．解决下列问题： （1）将分式x−2x+3化为整式与真分式的和的形式；（2）如果分式x 2+2x x+3的值为整数，求x 的整数值．【变式2-3】（2021春•玄武区期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x 2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x +−(x−1)+2x−1=x ﹣1+2x−1，这样，分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x ﹣1的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）假分式x+6x+4可化为带分式 形式；（2）利用分离常数法，求分式2x 2+5x 2+1的取值范围；（3）若分式5x 2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣11+1n−6，则m 2+n 2+mn 的最小值为 ．【知识点2 分式的混合运算】 1.乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。
七年级数学讲义分式方程及整数指数幂
10、七年级数学讲义：简单的分式方程和整数指数幂姓名【分式方程及分式方程的解】※分母中含有未知数的方程叫做分式方程.※解分式方程的关键是去分母，将其转化为已学过的整式方程再求解.一元方程的解也叫做方程的根.在分式方程变形时，有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根.例1．下列方程中，不是分式方程的是…………………………………（）（A）1512xx+=-；（B）11x=；（C）35242x xx-+=；（D）3544x xx x-=--．例2．下列方程中，3x=不是它的一个解的是………………………（）（A）1133xx+=；（B）2430x x-+=；（C）3133xx x+=--；（D）31522x x=-+．例3：解下列分式方程：（1）．572x x=-．（2）．122xx=-．．（3）．5415x x-=．（4）．45112(1)x x-=++．例4：列方程解应用题（1）．红、蓝两队进行抢救伤员演习，红队每分钟比蓝队多抢救1名伤员，红队抢救42名伤员的时间与蓝队抢救35名伤员的时间相同，问红、蓝两队每分钟各抢救几名伤员？（2）．小丽和爸爸进行1200米竞走比赛，爸爸的速度是小丽的1.5倍，小丽走完全程比爸爸多用5分钟，问小丽和爸爸每分钟各走多少米？（3）．把适量的盐加在115克的水中，可以配制成8%的盐水，求加入的盐有多少克？（4）．七年级1班团支部筹划用1350元组织全班团员参观野生动物园，后来班主任建议5名入团积极分子一起去，这样门票费用就要增加到1800元，问野生动物园的门票价格是多少？（5）．上海鲜花港的门票对学生团体打8折（即成人票价的80%），用1200元购买学生团体票比成人票要多5张，问每张成人票多少元？（6）．2006年3月15日, 深受海内外关注的磁浮铁路沪杭线交通项目获国务院批准.该项目预计将于2008年建成,建成后,上海至杭州的铁路运行路程将由目前的200千米缩短至175千米, 磁浮列车的设计速度是现行特快列车速度的3.5倍,运行时间将比目前的特快列车运行时间约缩短1.2小时,试求磁浮铁路沪杭线磁浮列车的设计速度是每小时多少千米?【整数指数幂】（1）．负整数指数幂的概念为了使同底数幂相除的性质在m 、n 是正整数，且m <n 时仍成立，规定p p a a1=-（其中a ≠0， p 是自然数）．因此有：2–3=321． (2) 把负整数指数幂与正整数指数幂的形式转化(3)整数指数幂的运算性质：同底数幂的乘法：a m a n =a m +n同底数幂的除法：a m ÷a n =a m –n积的乘方：(ab )m =a m b m幂的乘方：(a m )n =a mn（m 、n 为整数，a ≠0，b ≠0）例1、计算：1．61022÷． 2．121533÷ ． 3．58(2)2--⋅．4．69(4)(4)--⋅-． 5．323-⎛⎫ ⎪⎝⎭． 6．5(2)--．例2、将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式：（1）．3a - ． （2）．21a bc -- ． (3)．222(1)a bc --- ．(4)．322()()3x y y z --- ． (5)．225()x y z --- ． (6)．2125a bc --- ．例3、将下列各式表示成不含分母的形式：（1）．1a ． （2）．28a - ．（3）．22ab c ． （4）．23()xy y z + ．（5）．232()()a b c a b --- ． （6）．28()()xx y y z --- ．例4：用科学计数法表示（1）-0.00000598 （2）68900000000000 （3）0.000000456（4）-0.0000008532例题5 计算：(1) (x –1+y –1)÷(x –1–y –1)； (2)32)(-y x．【课后检测】1，那么x =_________． 11x -的值为13，那么x =_________． 3．已知分式3x x -+与13x +的值相等，那么x =_________． 4．解分式方程的关键是去分母，将其转化为学过的__________再求解．5．一元方程的解也叫方程的______．使分式方程中分母为零的根叫做______．6．解分式方程必须检验，检验的方法只需看所得的解是否使_______________．7．用科学记数法表示：0.0000056-=____________________.8．将下列式子写成只含有正整数指数幂的形式：=+--243)(y x b a ______________9．.已知分式方程2133a x x +=--有增根，那么x=_______．a =_______． 10．将结果用幂的形式表示：41a ÷=__________．11．将结果用幂的形式表示：47()()a a -÷-=__________．12．计算：66()a a -÷-=__________．13、将下列各数用科学记数法表示：（1）．1300000000=______________． （2）．1030000000-=______________．（3）．0.0000345=________________． （4）．0.000002008-=_______________．（5）．9600000=________________． （ 6）．0.00000001-=________________．二、解方程 1．1232=-++xx x ． 2． 12185121-=--+--x x x x ．三、计算 ⑴ （2）（3）()()32232()aa b ---⋅⋅- （4）()5104.2-⨯-÷()3106-⨯()2-32-1-1-211-311⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛()()22115-----÷+y x y x ）（四、解答题1．若4-3=-y x 试求yx y xy x 42622+--的值2．小丽、小明练习打字，小丽打字速度是小明的1.2倍，同样打600个字，小丽比小明少用1分钟，问小丽每分钟打字多少个？3．甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，现步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.【拓展题】1、若分式143x x +-的值为零，那么分式22223x x x +--值怎样？2、已知n 2m n 2m 2,4,62,32-+==求n m 的值3、已知a+b+c=0，abc≠0，化简222a b c b c c a a b+++++4．若13x y=求2222x y x xy y +++的值5．已知28x -=，求x 的值．6．已知22738x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，求x 的值．7．已知0132=+-x x ，求221x x +8、当k 为何值时，方程113122-=-++x k x x 有增根？9．若225111x A B x x x +=+-+-，则A=________ B=__________ 10．解方程：23451234x x x x x x x x ++++-=-++++．11、小明为使跳绳240次的时间减少20秒，必须把每秒的跳绳次数增加20%，问小明现在每秒必须跳多少下能够达到目标？12．已知12x x-+=，求22x x -+的值．13．已知2,3x y ==，求22()xy x y --+的值．。
沪教版七年级 整数指数幂及其运算,带答案
整数指数幂及其运算教学目标理解整数指数幂的概念，掌握其运算法则.知识精要1．零指数 )0(10≠=a a2．负整数指数 ).,0(1为正整数p a aa p p ≠=- 注意正整数幂的运算性质:n n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=⋅-+)(,)(),0(,可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是0或负整数．3. 用科学记数法表示绝对值大于0而小于1的数的方法:绝对值大于0而小于1的数可以表示为：10n a -⨯（其中110,a n ≤<为正整数） 热身练习1. 当x ________时，2(42)x -+有意义？2. 将代数式222332b a----化成不含负指数的形式_______. 3. 将235()x y --+写成只含有正整数幂的形式是_______.4. 计算：（1）03211(0.5)()()22---÷-+ （2）2574x x x x x ÷÷⋅⋅（3）2222()()a b a b -----÷+ （4） 323()xy -（5）02140)21()31()101()21()2(⋅++------ （6） 52332()()y y y ---÷⋅5. 用小数表示下列各数（1）610- （2）31.20810-⨯ （3）59.0410--⨯6. 用科学记数法表示下列各数（1）34200 （2）0.0000543 （3）－0.0007897. 计算：22(2)2----=_______.8.自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”.已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示此数为_________米.精解名题1. 用负整数指数幂表示下列各式（1）2335x y x y -+ （2）254m x y+（3）51ax by - （4）2()()mn m n m n -+2. 将下列各式写成只含有正指数幂的形式（1）2(5)(5)a b a b --+ （2）312)(--+cd ab（3）321(6)xy x y -+ （4）111()x y ---+（5）222(2)n n -+- （6）3222011111()()()()()23323---⨯-⨯++-（7） 2224()()x y x xy y ----++巩固练习1.化负整数指数幂为正整数指数幂：(1)4a -=________. (2)21()n m a b a b --+=________.(3) 2m n a b c --=________.2.如果下列各式中不出现分母，那么： (1)2x y =________. (2)33()b a a b =-________. (3)22()n a b a a b -+=________.3.科学记数法：(1)265000000=________.(2)63.50510-⨯=________.4. 计算：32m m --⋅=________.2005200620072008(1)(1)(1)(1)-+-+-+-=________.5.下列计算结果中， 正确的是（ ）A ．236a a a --⋅= B. 0808m m m ÷÷=C. 5315()x x --=D. 091y y ⋅=6.下列各数中，是科学记数法的正确表示的是（ ）A. 15910-⨯B. 561.510-⨯C. 20.588910-⨯D. 5600--7.用科学记数法表示下列各数（1）20050000000； （2）100700000； （3）－1946000；（4）0.000001219 （5）0.00000000623 （6）－0.00000001688. 写出下列用科学记数法表示的数的原数.（1）96.66610⨯； （2）69.20110-⨯（3）16.43210-⨯ （4）22.78310⨯9.计算（1）06(0.7)(1);-+-（2）333(3)---+-（3）0221(4)(2)52-+-；（4）22[(5)]---（5）22()a b -+（6）11()()x y x y --+-（7）11(3)(4)a b a b --+-（8）2224()()x y x xy y ----++自我测试一、选择题:1．下列式子是分式的是（ ）A ．x x +2B ．22+xC ．ππ+xD ．2y x + 2．下列各式计算正确的是（ ）A ．11--=b a b aB ．ab b a b 2=C ．()0,≠=a ma na m nD ．am a n m n ++= 3．下列各分式中，最简分式是（ ）A ．()()y x y x +-73B ．n m n m 27966+-C ．2222ab b a b a +-D ．22222yxy x y x +-- 4．化简2293mm m --的结果是（ ） A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m m -3 5．若把分式xyy x 222+中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍6．若分式方程xa x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－27．已知432c b a ==，则c b a +的值是（ ） A ．54 B. 47 C.1 D.45 8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ）A ．x x -=+306030100B ．306030100-=+x xC ．x x +=-306030100D ．306030100+=-x x 9．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么求x 时所列方程正确的是（ ）A ．448020480=--x x B ．204480480=+-x x C ．420480480=+-x x D ．204804480=--x x 10.计算()1222122-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-的正确结果是（ ） A.2 B.－2 C.6 D.10二、填空题11．计算2323()a b a b --÷=____________.12．用科学记数法表示－0.000 000 0314=____________.13．计算22142a a a -=--____________. 14．方程3470x x=-的解是____________. 15．已知a +b =5， ab =3，则=+b a 11____________. 16．如果ba =2，则2222b a b ab a ++-=____________. 17．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9162536,,,,5122132中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门.请你尝试用含你n 的式子表示巴尔末公式______________________.三、解答题18．计算：（1）)2(216322b a a bc a b -⋅÷ ； （2）9323496222-⋅+-÷-+-a a b a ba a ．19．解方程求x ：（1）0)1(213=-+--x x x x （2）13132=-+--x x x（3）2163524245--+=--x x x x （4）()22104611x x x x -=--20．有一道题：“先化简，再求值：22241()244x x x x x -+÷+-- 其中，x =－3”． 小玲做题时把“x =－3”错抄成了“x =3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？21．甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发出乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地.已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍.求步行速度和骑自行车的速度.22.甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的31，求步行和骑自行车的速度各是多少？23.为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项 工程.如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超 过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施 工，则刚好如期完成.问原来规定修好这条公路需多长时间？24.甲、乙两班学生植树，原计划6天完成任务，他们共同劳动了4天后，乙班另有任务调走，甲班又用6天才种完，求若甲、乙两班单独完成任务后各需多少天？整数指数幂及其运算教学目标理解整数指数幂的概念，掌握其运算法则.知识精要1．零指数 )0(10≠=a a 2．负整数指数 ).,0(1为正整数p a aa p p ≠=- 注意正整数幂的运算性质:nn n mnnm n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=⋅-+)(,)(),0(,可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是0或负整数． 3. 用科学记数法表示绝对值大于0而小于1的数的方法:绝对值大于0而小于1的数可以表示为：10n a -⨯（其中110,a n ≤<为正整数）热身练习1. 当x 2≠时，2(42)x -+有意义？2. 将代数式222332b a ----化成不含负指数的形式3249a b3. 将235()x y --+写成只含有正整数幂的形式是2311()()5x y+ 4. 计算：（1）03211(0.5)()()22---÷-+ （2）2574x x x x x ÷÷⋅⋅解：原式=－4 解：原式=51x（3）2222()()a b a b -----÷+ （4） 323()xy -解：原式=2222b a b a -+ 解：原式=36127x y（5）02140)21()31()101()21()2(⋅++------ （6）52332()()y y y ---÷⋅解：原式=910161++- 解：原式17y = =45. 用小数表示下列各数（1）610- （2）31.20810-⨯ （3）59.0410--⨯ 解：（1）610-=0.000001（2）31.20810-⨯=0.001208 （3）59.0410--⨯=－0.00009046. 用科学记数法表示下列各数（1）34200 （2）0.0000543 （3）－0.000789 解：（1）34200=43.4210⨯（2）0.0000543=55.4310-⨯ （3）－0.00078=47.8910--⨯7. 计算：22(2)2----= 08.自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”.已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示此数为85.210-⨯米.精解名题1. 用负整数指数幂表示下列各式1189194274=-⨯⨯++=-（1）2335x y x y -+ （2）254m x y+解：原式231(3)(5)x y x y -=-+ 解：原式251(4)m x y -=+ （3）51ax by - （4）2()()mnm n m n -+ 解：原式51()ax by -=- 解：原式12()()mn m n m n --=-+2. 将下列各式写成只含有正指数幂的形式（1）2(5)(5)a b a b --+ （2）312)(--+cd ab 解：原式25(5)a b a b +=- 解：原式32()a e b d=+（3）321(6)xy x y -+ （4）111()x y ---+ 解：原式26xy x y=+ 解：原式xyx y =+（5）222(2)n n -+- （6）3222011111()()()()()23323---⨯-⨯++-解：原式0= 解：原式（7） 2224()()x y x xy y ----++ 解：原式巩固练习2.化负整数指数幂为正整数指数幂： 22243611()()1x x x y y y x y =-++=-(2)4a-=41a ． (2)21()n m a b a b --+=2()m n b a a b + ． (4) 2m n a b c --=2nm b a c．3.如果下列各式中不出现分母，那么：(1)2x y =2xy -． (2)33()b a a b =-313()a a b b ---．(3)22()na ba ab -+=2()(2)n a a b a b --+-． 3.科学记数法：(1)265000000=82.6510⨯． (2)63.50510-⨯=0.000003505． 4. 计算：32m m --⋅=5m -．2005200620072008(1)(1)(1)(1)-+-+-+-=0． 5.下列计算结果中， 正确的是（ C ） A ．236a a a --⋅= B. 0808m m m ÷÷= C. 5315()x x --= D. 091y y ⋅=6.下列各数中，是科学记数法的正确表示的是（ A ） A. 15910-⨯ B. 561.510-⨯ C. 20.588910-⨯ D. 5600--7.用科学记数法表示下列各数（1）20050000000 （2）100700000 解：原式=102.00510⨯ 解：原式=81.00710⨯（3）－1946000 （4）0.000001219 解：原式=61.94610-⨯ 解：原式= 61.21910-⨯ （5）0.00000000623 （6）－0.0000000168 解：原式=86.2310-⨯ 解：原式=81.6810--⨯ 8. 写出下列用科学记数法表示的数的原数.（1）96.66610⨯ （2）69.20110-⨯ 解：原式=6666000000 解：原式=0.000009201（3）16.43210-⨯ （4）22.78310⨯ 解：原式=0.6432 解：原式=278.3 9.计算（1） 60)1()7.0(-+- （2）333(3)---+- 解：原式=1+1 解：原式=2（3）0221(4)(2)52-+- （4）22[(5)]--- 解：原式 解：原式（5）22()a b -+ （6）11()()x y x y --+- 解：原式=4222--++b ab a 解：原式22x y -=-（7）11(3)(4)a b a b --+- （8）2224()()x y x xy y ----++解：原式 解：原式36x y -=-112727227=--=-2514294=+=21()25625-==413124311ab ab ab ab =-+-=-+-自我测试一、选择题:1．下列式子是分式的是（ B ）A ．x x +2B ．22+xC ．ππ+xD ．2yx +2．下列各式计算正确的是（ C ）A ．11--=b a b aB ．ab b a b 2=C ．()0,≠=a ma na m nD ．am an m n ++=3．下列各分式中，最简分式是（ A ）A ．()()y x y x +-73B ．n m n m 27966+-C ．2222ab b a b a +-D ．22222yxy x y x +--4．化简2293mmm --的结果是（ B ） A.3+m m B.3+-m mC.3-m mD.m m -3 5．若把分式xy y x 222+中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ B ）A ．扩大2倍B ．不变C ．缩小2倍D ．缩小4倍6．若分式方程xa xa x +-=+-321有增根，则a 的值是（ D ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－27．已知432c b a ==，则c b a +的值是（ D ）A ．54 B. 47 C.1 D.458．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ A ） A ．x x -=+306030100 B ．306030100-=+x xC ．x x +=-306030100 D ．306030100+=-x x 9．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么求x 时所列方程正确的是（ C ）A ．448020480=--x x B ．204480480=+-x x C ．420480480=+-x x D ．204804480=--x x10.计算()1222122-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-的正确结果是（ A ） A.2 B.－2 C.6 D.10 二、填空题11．计算2323()a b a b --÷=46a b ．12．用科学记数法表示－0.000 000 0314=83.1410--⨯． 13．计算22142a a a -=--12a +． 14．方程3470x x=-的解是 30 ． 15．已知a +b =5， ab =3，则=+b a 1135. 16．如果b a=2，则2222b a b ab a ++-=53. 17．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9162536,,,,5122132中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门.请你尝试用含你n 的式子表示巴尔末公式22(2)(2)4n n ++-． 四、解答题 18．计算：（1）)2(216322b a a bc a b -⋅÷ （2）9323496222-⋅+-÷-+-a a b a b a a解：原式=234a c - 解：原式=23(2)a b --19．解方程求x ： （1）0)1(213=-+--x x x x （2）13132=-+--xx x 解：1x = 解：2=x经检验1x =为增根， 经检验2=x 为原方程的解. 所以原分式方程无解； （3）2163524245--+=--x x x x （4）()22104611x x x x -=-- 解： 2=x 解：1x =经检验2=x 为增根， 经检验1x =为增根， 所以原分式方程无解； 所以原分式方程无解；20．有一道题： “先化简，再求值：22241()244x x x x x -+÷+-- 其中，x =－3”． 小玲做题时把“x =－3”错抄成了“x =3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？解：原式=)4(44)4(22222-⋅-+-⋅+-x x xx x x =24x +，所以不论x 的值是 +3还是－3结果都为13 .21．甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发出乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地.已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍.求步行速度和骑自行车的速度.解：设步行的速度是xkm /h ,骑自行车的速度是4xkm /h .247197=-+xx 解得 x =5经检验5=x 为原方程的解. 4×5=20km /h答：步行的速度是5km /h ,骑自行车的速度是20km /h .22.甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的31，求步行和骑自行车的速度各是多少？解：设步行的速度是xkm /h ,骑自行车的速度是3xkm /h .2135.45.4=-x x 解得 x =6经检验6=x 为原方程的解. 3×6=18km /h答：步行的速度是6km /h ,骑自行车的速度是18km /h . 23.为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项 工程.如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超 过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施 工，则刚好如期完成.问原来规定修好这条公路需多长时间？解：设原来规定修好这条公路需x 天,则甲需要x 天，乙需要（x +6）天.164)611(4=+-+++x x x x解得 x =12经检验12=x 为原方程的解.答：原来规定修好这条公路需12天.24.甲、乙两班学生植树，原计划6天完成任务，他们共同劳动了4天后，乙班 另有任务调走，甲班又用6天才种完，求若甲、乙两班单独完成任务后各需多 少天？解：甲单独完成任务后需x 天，乙单独完成任务后需y 天.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+16)11(46111y yx y x 解得：⎩⎨⎧==189y x经检验⎩⎨⎧==189y x 为原方程的解.答：甲单独完成任务后需9天，乙单独完成任务后需18天.。
指数的运算
指 数 运 算1．整数指数幂的概念*)(N n a a a a a an n ∈⋅⋅=个 )0(10≠=a a ,0(1N n a aa n n∈≠=-2．运算性质： )()(),()(),(Z n b a ab Z n m aa Z n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3．注意① nma a ÷可看作nmaa -⋅ ∴n m a a ÷=nm aa -⋅=nm a-② n b a )(可看作nn b a -⋅ ∴n ba )(=n nb a -⋅=n n b a根式：⑴计算①23= 9 ，则3是9的平方根 ；②3)5(-=－125 ，则－5是－125的立方根 ；③若46=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ；④57.3= ，则是的5次方根 .⑵定义：一般地，若*),1(N n n a x n∈>= 则x 叫做a 的n 次方根。
n a 叫做根式，n叫做根指数，a 叫做被开方数⑶性质：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： na x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作：na x ±= 算数平方根为非负数，na x =③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为0⑷常用公式根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32. ②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3.⑶根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）. 注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3628)8(-≠-. 用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 讲解例题： 例1求值①33)8(-；②2)10(- ；③44)3(π- ；④)()(2b a b a >-. 例2求值：63125.132)2(;246347625)1(⨯⨯---++整数指数幂的运算性质： )()(),()(),(Z n b a ab Z n m aa Z n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+正数的正分数指数幂的意义n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定： (1)nm nmaa1=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.有理指数幂的运算性质: )()(),()(),(Q n b a ab Q n m aa Q n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则pa 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明从略. 例题：例1求值：4332132)8116(,)41(,100,8---.例2化简3234[(5)]-的结果是（ ）A ．5B 5．5- D ．无意义例3计算：215.13241.6449)91(270001.0⎪⎭⎫⎝⎛+-+--例4.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1)43a a ⋅ （２）a a a （３）32)(b a -例5计算下列各式（式中字母都是正数）.))(2();3()6)(2)(1(88341656131212132n m b a b a b a -÷-练习：计算下列各式1、)65)(41(561312112132-----y x y x yx2、63122332⨯⨯3、120.750311(0.064)(16()23---÷÷-=4、5、 212112m mm m +++--6、已知x+x -1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(23232121--++x x x x7．比较大小：2,3,535。
中考数学每日一练：负整数指数幂的运算性质练习题及答案_2020年解答题版
答案
~~第4题~~ (2017营口.中考模拟) 先化简，再求值：（
﹣x﹣1）÷ ，其中x=（ ）﹣1+
考点： 实数的运算;负整数指数幂的运算性质;利用分式运算化简求值;特殊角的三角函数值;
+4sin30°．
答案
~~第5题~~ (2017建昌.中考模拟) 先化简，再求值：（ ﹣
）÷ ，其中x=|1﹣ |+（ ）﹣1 ．
考点： 负整数指数幂的运算性质;利用分式运算化简求值;
答案
2020年 中 考 数 学 ： 数 与 式 _分 式 _负 整 数 指 数 幂 的 运 算 性 质 练 习 题 答 案
1.答案：
2.答案： 3.答案： 4.答案：
5.答案：
答案
~~第2题~~ (2019广东.中考模拟) 计算：（ ）﹣2+（π﹣2019）0+sin60°+| ﹣2|
考点： 0指数幂的运算性质;负整数指数幂的运算性质;二次根式的加减法;特殊角的三角函数中考模拟) 计算：（ ）﹣1+tan60°+|﹣ |﹣ ．
考点： 实数的运算;负整数指数幂的运算性质;特殊角的三角函数值;
中考数学每日一练：负整数指数幂的运算性质练习题及答案_2020年解答题版
2020年 中 考 数 学 ： 数 与 式 _分 式 _负 整 数 指 数 幂 的 运 算 性 质 练 习 题
~~第1题~~ (2019相城.中考模拟) 计算：（﹣ ）0﹣|﹣3|+（﹣1）2015+（ ）﹣1 ．
考点： 实数的运算;0指数幂的运算性质;负整数指数幂的运算性质;
八年级数学下册第十六章《分式》单元计算题大全新课标人教版（6）
⼋年级数学下册第⼗六章《分式》单元计算题⼤全新课标⼈教版（6）⼋年级数学下册第⼗六章《分式》单元计算题⼤全新课标⼈教版1. 计算：（1）11123x x x ++（2）3xy 2÷x y 262.2223189218a a a a a +-÷-+-+, 2221()2444x x xx x x x x+----+- 3. 计算题⑴22124a aa +-- ⑵22233mn mn n p p ÷ ?⑶112---x x x ⑷2222x y xy y x x x ??--÷-⑸ 121200523-??-+ ?⑹()()23323a b ab ----?（结果只含正整数指数幂）a cb ac ÷÷（4）42232)()()(abc ab c c b a ÷-?- （5）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-?+5. 计算：x x x x -+--+11211 21211+++-+x x x xx x x x x x 13632+-+--)2122()41223(2+--÷-+-a a a aaa a a a a -?+--4)22( 6. 计算（1）3223322a b a c cd d a÷? ?-7. 计算：??+--- ++11111212x x x x x x 8. 22326123()()y y xy x x÷-.22234()()()x y y y x x ÷-, 9. 22222a b ab b a a ab a ?? -+÷+ ?-??10. 计算：()2222x 2xy+y x yxy+x xy x++÷-÷a a a 2122+-12.6532----x x x x x ； 211a a a +-+ 42()a a a a+-÷； 13. 计算:22()x y- 22)2(4yx y x -÷ 14. 计算（1）168422+--x x x x （2）mn nn m m m n n m -+-+--2 15. 计算：（1）232223(4)(2)x y z xy z -?- ；（2）9323496222-?+-÷-+-a a b a ba a ．（3）2221()244x x x x x -+÷+--（4） 44()()xy xy x y x y x y x y -++--+16.化简：1441312-+-÷?--+x x x x x17. 22a b b a b a b a b a b --??÷ ?+-+??-18.2121()2a bca bc ---÷ 221()()x x x x ---÷- 30(0.25)(0.25)--+-332p mn p n n m ÷???? ??? ⑵2)22444(22-÷+-++--x xx x x x x （3）11141+-???? ??-+-a a a a a （4）()1632125.00 2+--?-?-π20. 计算：（1）222x y xy x y x y +--- （2）???? ??-÷??? ?-y x x y 1121. 22[()]33x y x yx y x x y x x +----÷+ 222212111a a a a a a a a --÷++++； 22.??-÷x y y x 346342；-y x x y x y x 22426438； 23. 化简：232224a a aa a a ??-÷ ?+--??. 24. 计算：（1）130)21()2()21(----÷- ；（2）329122---m m . 25.xy x xz xy x z y x y xy x z y x y x --+?--++÷---2222222222)(2)(； () yy y x xy xy -+?+-33212.27. 计算：)12()23()344(222222---÷++-?+--x x x x x x x x 28.215()()x xy x y x x x y x --+-÷- 42321()()x y x y y--÷29.（1+1m）÷22121m m m --+30. 计算⑴2332)2(2ab c d a cd b a ?÷-）（（2）2228224a a a a a a +-??+÷ ?--??（3）44()()xy xy x y x y x y x y-++--+ （4）2233x y x y x y x x y x x ??+-??---÷ +? 31. 计算：()()()()()() c a a b b ca b b c b c c a c a a b ---++------32.222()111a aa a a ++÷++- 33.1)111(2-÷-+x x x34. 计算:(1))141)(141(+-+-+-a a a a a a (2) 1211111222+-+-÷??? ??---x x x x x 35. 计算：32)(y x y x --? 32232)()2(b a c ab ---÷)102.3()104(36- 2125)103()103(--?÷?36.624)373(+-÷+--a a a a 37. 计算下列各式：（1）22 33222)(b a ab ba b a b a ba -+--+÷（2）a a a a a a a a 444122)(22-+---+÷-38.计算（1）ab c 2cb a 22?（2）322542n m m n- （3）-÷x x y 27（4）-8xy xy 52÷ (5)39. 化简(1)2232129x y x y (2)222x x y xy -- (3)222221x x x --+ (4) 22 39m m m-- （5）()()2222x y z x y z --+-40. 计算： ()3322232n m n m --? 41.计算：33xx 1x 1+++ ⑵.计算：223x 1x 36x 6x x +-?-+ 42. 计算⑴5331111x x x x+---- ⑵22y xy x y y x -+- ⑶()432562b ab a ÷- （4）()113423-??--+--（5）（1a x -）÷22x a x -43. 计算：23011)31(64)3()1(4-+--?-+-π计算：y x yx28712÷ 44. 计算2222444(1)(4);282a a a a a a a --+÷-+--（2）0)1(213=-+--x x x x 45. 计算：（3）96312-++a a (4) 96-22； 46. 22211()961313a a a a a a -÷++++ 13(1)224a a a --÷-- 47.223252224x x x x x +??+÷ ?-+-??48. 计算：（1）；（2）()2442444222-+-?-÷++-a a a a a a a（3）a b a ab ab a b a b a b a -+÷--?-2232 （4）2216168m m m -++÷428m m -+·2 2m m -+（5）（2b a ）2÷（b a -）·（-34b a）3（6）a b ab a b a b ab a b 2222121121-+---÷---++49. 化简：221211241x x x x x x --+÷++-- 2121a a a a a -+?-÷50. 计算：（1）22424422x x xx x x x ??--+÷ ?-++-??（2） 121a a a a a --??÷- ，（3）()2111211x x x ??+÷-- ?--?（4）232224xx x x x x ??-÷ ?-+-??，51. 计算：(1)423223423b a d c cd ab ? (2)m m m m m --?-+-3249622 (3).(xy －x 2)÷xy y x - (4).24244422223-+-÷+-+-x x x x x x x x (5).12--x x ÷（x +1－13-x ）(6).x x x x 3922+++969(8)x y y x y x y x y y x ----+-+2. (9).232323194322---+--+x x x x x 52. 计算：)2(121y x x yx y x x --++- 53.2243312()()22a a b a b b -÷- 2221644168282m m m m m m m ---÷++++,54. 计算：cd b a c ab 4522223-÷ 411244222--?+-+-a a a a a am m m 7149122-÷- 228241681622+-?+-÷++-a a a a a a a 55.计算3223322a b a c cd d a÷? ?-56. 计算：24424441622++++-÷++-m m m m m m m 57.11)1111(-÷--+a a a 58. 计算:(1) ()()322322y x z xy ---÷ (2) x yx y x xy x y x x -÷211111222+-+-÷??? ??---x x x x x 59. 化简下列各式1. 212312+-÷??? ??+-x x x2.2111a a a a -++-3. 22(1)b a a b a b-÷+-4.352242a a a a -??÷-- ?--??5.)2422(4222+---÷--x x x x x x6. （x 2＋4x －4）÷ x 2－4 x 2＋2x7. 1－aa a a a 21122+-÷- 8. 2211(1).a a a a--÷+ 9. 2112()x x xx x x +++÷+ 10. 6931x x x x --÷- ? ??11. 21(1)1xx x x x ??-÷+ ?--??12.39631122-+÷+---+x xx x x x x 13. 432112--÷??? ??--a a a 14. 1224422++÷--a a a a15.22444()2x x x x x x -+÷-- 16. ,1 11122--+÷-x xx x x 17. 260. 计算： aa --+242 61. 计算与化简：（1）222)2222(x x x x x x x --+-+- （2) 1- aa a a a 21122+-÷- 62. 2301()20.1252005|1|2---?++- ()3 22514-++-÷13-, 63. 2141326a a a -??+÷--64.(112-+a a +1)? a a a 122+-65. 计算与化简：（1）222x y y x ?；（2）22211444a a a a a --÷-+-；（3）22142a a a ---；（4）211a a a ---；（5）()()222142y x x y xy x y x +-÷-．66.计算43222??? ?-÷ - -x y x y y x 67. 计算 1、y x axyx y x y 2211-+- 3、1111-÷??--x x x 4、22224421y xy x y x y x y x ++-÷+-- 5、2 2221106532xyx y y x ÷? 6、m n n n m m m n n m -+-+--2 7、4412222+----+x x x x x x 8、x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+ 9．xx x x x x x x 4)44122(22-÷+----+ 10．2144122++÷++-a a a a a 68. 化简下列分式(1)232123ab b a - (2)232213n m nm - (3))1(9)1(322m ab m b a ---(4))(12)(2222x y xy y x y x -- (5)22112mm m -+- (6)222963a ab b aba +-- 69. 计算：（1）b a ab a b --- （2）324332??x y y x （3）()1302341200431-??--+- - （4）()()222234a a a a -÷-70. 211()(3)31a a a a +---- 71.计算：22121124x x x x ++?72. 计算：221.111x x x x x ??-÷ ?-+-?? 73. 计算（1） 22)2(4y x y x -÷ （2） 432221??--ab a b b a（3）2222255343m n p q mnp pq mn q ?÷ （4）??÷ - -a bc ab c c b a 223274. 计算：（1）（2x y ）2·（2y x ）3÷（-y x ）4；（2）（2b a ）2÷（b a -）·（-34b a）375. 计算：①3333x x x x -+-+-；②212211933a a a +--+-；③2111111x x x ++-+-. 76. 计算：（4a a -）÷2a a+．77.233()()()24b b b a a a -÷- 22136932x x x x x x +-÷-+-+ 78. 计算：①2114()22x x x x --?-+；②22214()244x x x x x x x x+---÷--+；③11x x x -?-；④211(1)(1)11x x x +---+；⑤342n m n m n m ÷-? （2）2324222263ab a c c d b b ??-??÷? ? ?-?80.??--+÷--252423x x x x 23111x x x x -??÷+- ?--??81. 计算：（1）1111-÷??? ?--x x x （2）4214121111xx x x ++++++- 82. 计算：11)121(2+-÷+-x x x 83.化简：(1-44822+++a a a )÷aa a 2442+-84. 计算:（1）222x y xy x y x y +--- （2）-÷ -y x x y 11 （3）.)1(1aa a a -÷- （4）. )(22ab b a a ab a -÷- 85.21(1)(2)x x x++÷+86. 计算：（1）44223x y c ??-（2） mn a a n m 4322? （3） 222 324835154b a n n b a -?。
八年级数学整数指数幂
n
n
（ b≠0 ，n是正整数）
当a≠0时，a0=1。（0指数幂的运算） （ 6）
分
a5÷a3=a2
a3÷a5=a3-5=a-2 a3÷a5=
a3 a5 a3 1 = 3 2 2 a a a
析
a3÷a5=？
am÷an=am-n (a≠0 m、n为正整数且m>n)
1 2 a a2
n是正整数时, a-n属于分式。并且
1 n a n (a≠0) a
a 5 1 a5
1 例如: a1 a
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数。
am am=
(m是正整数）
（m=0） 1 （m是负整数） am
1
练
习
（1）32=_____， 30=___， 3-2=_____; （2）(-3)2=____，(-3)0=___，(-3)-2=_____； （3）b2=_____, b0=____, b-2=____(b≠0).
2
2.已知 b 2
(a b 1) 0，求a51÷a8的值
3.计算：xn+2· xn-2÷(x2)3n-3; 4.已知：10m=5,10n=4,求1ห้องสมุดไป่ตู้2m-3n.
兴趣探索
5.探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位 数字式9；33=27，个位数字是7；34=81，个位 数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个 位数字是9；……那么，37的个位数字是 ______，320的个位数字是______。
对于一个小于1的正小数，如果小数 点后至第一个非0数字前有8个0，用科学 计数法表示这个数时，10的指数是多少？ 如果有m个0呢？
人教版数学八年级上册 习题课件+第十五章+分式+第8课时 整数指数幂
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9．【创新意识】已知x＋x－1＝3，求下列各式的值：(1)x2＋x－2；
(2)x4＋x－4.
解：(1)∵x＋x－1＝3， ∴(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝9.∴x2＋x－2＝7.
(2)由(1)得x2＋x－2＝7. ∴(x2＋x－2)2＝x4＋2＋x－4＝49. ∴x4＋x－4＝47.
随堂测
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课堂检测
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第8课时 整数指数幂
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1 1．计算：(1)1－3＝____1______；(2)(－4)－2＝____1_6_____；
(3)－15 －2 ＝____2_5_____；
1 (4)(－x)－2＝____x_2_____.
1
2．若am＝3，则a－m＝_____3_____.
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第8课时 整数指数幂
课时练
1．填空： 1
(1)2－2＝_____4_____；
(3)ab2
－2
a4 ＝_____b_2____；
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(2)13 －3 ＝_____2_7____； b3
(4)(2b－1)－3＝______8____.
第8课时 整数指数幂
2．计算：(－1)2 024＋(π＋ 3 )0＋－21 －1 .
－aa－－2bb
a2－b2 ÷a2－4ab＋4b2
.
解：原式＝aa＋＋2bb
－aa－－2bb
（a－2b）2 ·（a＋b）（a－b）
＝aa＋＋2bb －aa－＋2bb
＝a＋4bb .
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第8课时 整数指数幂
4．计算：(1)(－1)2＋12 －1 －5÷(－3)0; (2)15 －1 ＋－41 －(π－2)0－(－2)－2. 解：(1)原式＝1＋2－5÷1＝3－5＝－2. (2)原式＝5＋14 －1－14 ＝4.
整数指数幂、分式方程练习题
整数指数幂：我们知道，正整数指数幂有一下运算性质： （1）aa a nm n m +=∙（m ，n 是正整数）；（2）()a amnnm =，（m ，n 是正整数)（3）()b a ab nnn=（n 是正整数）；（4）aa a nm nm-=÷（a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)(5)ba b a nn n=⎪⎭⎫ ⎝⎛（n 是正整数）.此外，我们还学过0指数幂，即当a ≠0时，10=a.由分式的约分可知，当a ≠0时，（4）aaa a a a a a223353531=∙==÷. ①另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质（4）aa anm n m-=÷（a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)中的条件m ＞n 去掉，即假设这个性质对于像a a 53÷的情形也能使用，则有a a53÷=.253a a--= ②由①②两式，我们想到如果规定aa221=-（a ≠0）.就能使aa anm n m-=÷者条性质也适用于像a a53÷这样的情形.为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：一般地，当n 是正整数时，aann1=-（a ≠0）.这就是说，)0(≠-a an是an的倒数.引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.1、计算：（1）;52a a ÷- （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b232（3）();123b a - （4）().22232b a b a-∙--整数指数幂的运算性质可以归结为：（1）aa anm n m+=∙（m ，n 是整数）；（2）()a amn nm =，（m ，n 是整数) （3）()b a ab nnn=（n 是整数）；2、计算：（1）();1233y x y x -- （2）()().223322b a c ab -÷--（3）();23321322zxy z yx-∙-⎪⎭⎫ ⎝⎛-- （4）()();223322b a c ab -÷--像这样vv -30603090=+分母中含未知数的方程叫做分式方程.我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不再分母中.解分式方程的一般步骤是：（1）分式方程的两边乘最简公分母可化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）（一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做检验）检验：将整式方程的解代入最简公分母，若不为0，其解就是原分式方程的解，否则就是增根，必须舍去. 解分式方程的基本思路是：将分式方程化为整式方程，具体做法是在方程的两边都乘最简公分母.1、解方程：（1）x x 332=- （2）()()21311+-=--x x x x （3）32223=-++x x x （4）112412-=-++-xx x（5）1416222-=-+-+x x x （6）0111322=-+---x x x x x （7）x x x -=+--32332 （8）423532=-+-xx x （9）x x x -+=-4341 （10）113+-=-x x x x解决实际问题中，有时需要列、解分式方程.1、 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的31，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？2、 张明3 h 清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作1.2 h 清点完另一半图书.如果李强单独清点这批图书需要几小时？3、一项工程，甲队单独做需要40天完成，若乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20天恰好完成任务，请问：（1）乙队单独做需要多少天才能完成任务？(2)现将该工程分成两部分，甲对做其中一部分用了x天，乙队做另一部分工程用了y天，若x，y都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么两队实际各做了多少天？4、某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？5、 改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量a t,原来产m t 玉米的一块土地，现在的总产量增加20 t.原来和现在玉米的平均每公顷产量各是多少？ 6、“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒花的进价是多少元？ 7、某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9％.(1) 求这款空调每台的进价；（利润率=进价进价售价进价利润- ） (2) 在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？8、为顺利通过“国家文明城市”，验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政府建设的需要，需40天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道；乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成.(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少？9、某校为美化校园，计划对面积为1800m²的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m²区域的绿化时，甲对比乙队少用4天.(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m²？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？10、甲地到乙地的距离约为180 km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从甲地去乙第，小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达乙地，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍.(1)求小轿车和大货车的速度各是多少？（2）当小刘出发时，求小张离乙地还由多远？11、某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个.(1)求第一次每个书包的进价是多少元？（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于480元.问最低可打几折？12、用电脑程序控制小型赛车进行90米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛.两车从起点同时出发，“和谐号”到达终点时，“畅想号”距离终点还差9米.已知“和谐号”的平均速度为3 m/s.(1)求“畅想号”的平均速度；（2）如果两车重新开始比赛，“和谐号”从起点先向后退9米，两车再同时出发，它们能否同时到达终点？若能，求出到达终点的时间；若不能，请你设计一种方案（继续调整行驶距离或改变某辆赛车的速度），使两车能同时到达终点.。
最新中考数学整式与分式试题及答案
§1．4整式与分式1★课标视点把握课程标准, 做到有的放矢21.了解整数指数幂的意义和基本性质，3会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
42.了解整式的概念，会用简单的整式的5加、减运算；会进行简单的整式的乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式相6乘）。
73.会推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；8（a+b）2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景。
94.会用提取公因式法、公式法（直接用10公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
115.了解分式的概念，会利用分式的基本12性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减乘、除运算。
13★热点探视把握考试脉搏, 做到心中有数141.把n aa a a a个记作15A.n aB.n＋aC.n aD.a n (2009丽水16市)172.计算：a2·a3的结果是( )18A．a9 B．a8 C．a6 D．a5. (2009泉州市)19203.下列运算正确的是 21 A ．236a a a =B ．()22ab ab =22C ．3a 2a 5a +=D ．()325a a = (2009长沙市)23 4.下列运算正确的是( )．24 A ． 6a+2a=8a 2 B ． a 2÷a 2=0 25 C ． a-(a-3)=-3 D.a -1·a 2=a 26 5. 因式分解4—4a+a 2，正确的是( )．27 A ．4(1-a)+a 2 B ．(2-a)2 C ． (2-a)(2-a) D ． (2+a)2(2009 玉28 林)29 6．已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是30 A. 6 B. 2 m －8 C. 2 m D. －2 m (2031 09厦门)32 33 7．34 (2009 35 扬州)368．计算的结果为（ ）.37 （A ）1 （B ）x+1 （C ） （D ）38 （2009 武汉）399．若代数式21x x -+的值是零，则x ＝ ；若代数式()()21x x -+的值是40 零，则x ; 当x 时，式子121x -有意义 ． (2009 镇江) 41 10.如下图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算42 下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式43 是 .（ 2009泰州）44 4546 4748 第10题49 案例导学 题型归纳引路, 做到各个击破50【题型一】整式的概念及整式的乘法运算 51 【例1】1.(1) 下列计算正确的是( ) 52 A.(-x)2009=x 2009 B.(2x)3=6x 3 C.2x 2+3x 2=5x 2 D.x 6÷x 2=x 353 (2)下列运算正确的是（ ）54 A.1836a a a =⋅ B.936)()(a a a -=-⋅- 55 C 236a a a =÷ D.936)()(a a a =-⋅-56(3)挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现57 了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：右图是一个简58 单的阶梯形，可用两种方法，每一种把图形分割成为59两个矩形．利用它们之间的面积关系，可以得到：a1b1+a2b2=60A . a1(b1－b2)+(a1+a2)b1B . a2(b2－b1)+(a1+a2)b261C. a1(b1－b2)+(a1+a2)b2D. a2(b1－b2)+(a1+a2)b162(4)现规定一种运算：，其中、为实数，则等于63A． B. C. D.642．计算322223(35)a b a b a b ab a b÷+⋅--65663.计算：（a2＋3）（a－2）－a（a2－2a－2）67【解】1．故应选（B）（a2＋3）（a－2）－a（a2－2a－2）68＝a3－2a2＋3a－6－a3＋2a2＋2a69＝5a－670717273b bbababbba abbabbabba ab-=--+-+-+ =--+⋅-+-+ =22)()(7475【导学】题设规定了一种新的运算“*”，要求考生按照“*”的运算法则解决76与之有关的计算问题：77【题型二】乘法公式78【例2】1.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如79图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面80积相等，可以验证（ ） 81 A.222()2a b a ab b +=++ 82B.222()2a b a ab b -=-+83C.22()()a b a b a b -=+- 84D.22(2)()2a b a b a ab b +-=+-85 8687 【解】88 【导学】1. 代数式的几何解释或创设实际背景时把握情景或背景应该合理89 为原则，如“如果一个苹果4元，那么4a 表示a 个苹果的价钱”这样的解释欠90 妥．91 【题型三】因式分解92 【例3】1.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为：93 A.ay ax y x a +=+)(， B.4)4(442+-=+-x x x x 94 C.)12(55102-=-x x x x D.x x x x x 3)4)(4(3162+-+=+- 1. 95 2.在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”96 法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44y x -，因式分解的97 结果是))()((22y x y x y x ++-，若取x =9，y =9时，则各个因式的值是：(x 98 －y )=0，(x +y )=18，(x 2+y 2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六99 位数的密码．对于多项式234xy x -，取x =10，y =10时，用上述方法产生100 的密码是： (写出一个即可)．在实数范围内分解因式：ab 2－2a101a图2图1＝_________.102 （2）若6=+b a ，ab ＝4，则b a -＝ ．103(3)如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值为…………………………104 （ ）105 A 、6 B 、8 C 、—6 D 、—8106(3)若13x x+=．求2421x x x ++的值是（ ）107Ａ．18 Ｂ．110 Ｃ．12 Ｄ．14108【导学】1.观察规律知13+=x y ; 109 2. 折叠时动手操作即可.110【题型四】分式运算 111 【例4】1．计算xx ----21442的结果是 112A.21+-x B.21--x C.21+x D.462---x x113 (2009 威海) 114115 2.已知若a b ＝35 ，则a ＋bb的值是( )116A.85B.35C.32D.581173. 化简22142x x x ---的结果是（ ） 118 A. 12x + B. 12x - C. 2324x x -- D. 2324x x +- 119120 4. 下列分式的运算中，其中结果正确的是：121A .b a b a +=+211 B.323)(a a a =， C.b a b a b a +=++22，D.319632-=+--a a a a 1225．先化简后求值：)252(23--+÷--x x x x 其中x ＝22 123 ６．计算：44()()xy xy x y x y x y x y-++--+ 124125解：2.∵222211111x x x x y x x x-+-=÷-+-+ 126＝()21(1)11(1)(1)1x x x x x x x--÷-++-+ 127 ＝()21111(1)(1)(1)x x x x x x x-+⨯-++-- ＝111x x -+ ＝1.128 所以，在右边代数式有意义的条件下，不论x 为何值，y 的值不变。
初中数学分式计算题及答案
字母表示： A A C ， A A C ，其中 A、 B、 C是整式， C 0。 B BC B BC
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即： A
A
AA
BB B
B
注意：在应用分式的基本性质时，要注意
C 0 这个限制条件和隐含条件 B 0。
四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3．注意：①分式的分子与分母 均为单项式 时可 直接约分 ，约去分子、分母 系数 的最大公约数，然后约去分子分母 相同因式 的最 ac b d bd a c a d ad b d b c bc
③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：
a b ab cc c
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：
a c ad bc b d bd
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为
1 的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题
质量。
注意 ：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错
误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式） 。
七、整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一
拓展版-整数指数幂及分式的简便运算-教师版
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学 科 数学课题名称整数指数幂及其运算一、【知识梳理】要点一、零指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于1，即()0___0a a =≠.要点诠释：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即___m na a ÷=整数指数幂及其运算例13、逐步通分法 化简：(a b)(b c)(c a)++(a b)(b c)(c a)a b b c c a a b b c c a ------+++++++2(a c)(c a)[(a b)(b c)(a b)(b c)]=(a b)(b c)(a b)(b c)(c a)2(a c)2(a c)(c a)(a b)(b c)(a b)(b c)(c a)0b b b --+++--++++++-+-=++++++=解：原式1. 当x 2≠时，2(42)x -+有意义？2. 将代数式222332b a----化成不含负指数的形式3249a b3. 将235()x y --+写成只含有正整数幂的形式是2311()()5x y+ 4. 计算：（1）03211(0.5)()()22---÷-+ （2）2574x x x x x ÷÷⋅⋅9、我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功.经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米?(结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示)解：因为10年=120个月，1厘米=10－2米，所以平均每个月小洞的深度增加10－2÷120=(1÷120)×10－2≈0.008 33×10－2=8.33×10－3×10－2=8.33×10－5(米).10、若(a b)(a c)(b c),a b c a b c a b cc b a abc+--+-+++++==求的值设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明 引进一个参数k 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．11、 若abc=1，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值 分析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a ，b ，c 都不为零．解法2 因为abc=1，所以a ≠0，b ≠0，c ≠0．。
第5、6章 整式乘法与因式分式期末复习
2
(6) (x − y − 2)(x − y + 2)
计算下列各式： 计算下列各式：
1 2 (1 )( − 9 a x ) • ( − a c ) 3
2 4
(4)(5−2 )3 ×54 −5×5−3 ÷1250
( 2 )( m + 1 )( m − 1 )( m
的值。 的值。
2 2
的积中， 的积中，不含 x 项，求m
2
若( ax
的积中， + bx + 1)(2 x − 3x + 1) 的积中，不含 x
3
和
x
的项，求a、b的值。 的值。 的项， 、 的值
2
若(x
+ mx + n)( x − 2 x + 5)
2
的积中， 的积中，不含 x 和 x
3
2
的项， 的值。 的项，求m、n的值。 、 的值
其中
a = −1, b = 2
2
化简求值： 2、化简求值：
(2 x − 1) − 4(2 − 3 x + x )
2
其中
x = −2
化简求值： 3、化简求值：
( x − y )( x + y ) − ( x + y ) + 2 y ( y − x)
2
其中
x = 1, y = 3
用简便方法计算： 4、用简便方法计算： 2005× （1）20062-2005×2007 （2） 60 2 × 59 1 3 3 先化简， 5、先化简，再求值 9(x-2)(x+2)+5(x- ,x=（2x+1)2-9(x-2)(x+2)+5(x-1)2,x=-2
分式重点知识及经典例题
分式重点知识及经典例题一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。
例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
例5.已知1x -1y=3，求5352x xy y x xy y +---的值。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
例6.不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。
例7.不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。
C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。
例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-例10.通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -例11.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x的值．例12.已知x+1x =3，求2421x x x ++的值．五、分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。