《计算方法》第四章 插值方法
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(a) 结构简单、计算机容易处理、任何多项式的导数 和积分也易确定，并且仍是多项式。
(b) 著名的Weierstrass逼近定理(定义在闭区间上的 任何连续函数 f(x) , 存在代数多项式p(x)一致逼近f(x), 并达到所要求的精度)。
因此，我们主要考虑代数多项式的插值问题。
6
x0 , x1, … , xn 插值节点,
➢ 另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不适宜 计算机使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作，因此 涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。 如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法
等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。
4
§4.1 多项式插值问题的一般提法
当精确函数 y = f (x) 非常复杂或未知时，在一系列 节点 x0 … xn 处测得函数值
x
y = f (x) •
y = p(x)
(xi, yi)
曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
10
插值方法的研究问题
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P ( x) 存在，如何构造P ( x)？ （3）如何估计用P ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
22
例题
已知连续函数f (x)的函数表如下：
x -1 0 1 2 f(x) -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
解：利用Lagrange插值法有
L3(x)=(-(1 x--00 ))(( -x1--11 ))(( x --1-2)2)(-2)+( (x 0+ +1 1) )( (0 x--1 1) )( (0 x--22 ) )(-2) +(x+21 ?)1 x ((x1) - 2)?1 (2+ (x1) +(2 1)-x(x 0)-(21-)1)?2
x x1) x2 x1)
抛物线基函数
于是
L2(x)=(( xx 0-- x x1 1) )( (x x0--xx 2) 2)y0+(( xx 1-- x x0 0) )( (x x1--xx22 ))y1+(( xx 2-- x x0 0) )( (x x2--xx 1) 1)y2
2
å = li(x)yi
x
y = f (x) •
y = p(x)
(xi, yi)
曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
11
§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
求 n 次多项式 P n (x ) a 0 a 1 x a n x n
使得: p n(x i)y i,i 0 ,1 ,L,n
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
L1(x)y0
y1 x1
y0 x0
(xx0)
xx1 x0 x1
y0
xx0 x1 x0
y1
1
li(x)yi i0
l0(x)
l1(x)
线性插值 基函数
Baidu Nhomakorabea
14
线性插值与其基函数示意图
y y f (x)
L 1(x)y0l0(x)y1l1(x) y y0l0(x)
知 ( t ) 在 [ a , b ] 内至少有 n 个零点，依此类推， (n1) (t )
在 [ a , b ] 内至少有一个零点，记为 (a,b)
使得: ( n 1 )() f( n 1 )() ( n 1 ) ! k ( x ) 0
k(x) f(n1)(),(a,b)
函数 P(x) 称为函数 y=f(x) 的插值函数， 区间 [a, b] 称为插值区间。
7
例题: 已知函数 f(x) 有如下数据:
求 f(x) 的插值多项式 p(x)， 并求 f(x) 在 x=0.5 处的近似值。
8
9
插值的几何意义
从几何上看，插值就是求一条曲线 y P(x) 使其通过给定的 n 个 1点 (，x i , y i ) (i0,1,L,n) 并且与已知曲线 y 有f (一x)定的近似度。
仿照线性插值基函数的构造方法，令
l0 ( x)
(x (x0
x1 )( x1 )(
x x2) x0 x2)
l1 ( x )
(x ( x1
x 0 )( x x 2 ) x 0 )( x1 x 2 )
l2 ( x)
(x (x2
x 0 )( x 0 )(
x x1) x2 x1)
由 lk(xk )得1,:
A
1
(xkx0)L(xkxk 1)(xkxk 1)L(xkxn)
k
=
0,
1
,⋯,
n.
lk (x ) (x (k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )( (x x k x x k k 1 ) 1 ) (( x x kx n x )n )， k = 0, 1 ,⋯, n .
=1[-5x3+9x2+14x- 12] 解方程 5 x 3 9 x 2 1 4 x 1 2 0 6
取初值x=0.5，利用牛顿法求解可得 f (x) 在(-1,2)内的近似根
为0.67433。
23
➢ Lagrange插值法插值余项
设节点 ax0x1xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b], f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差:
n
Ln(x） f(xk)lk(x)
k0
19
（Lagrange）插值多项式
设 y f (x) 函数表 (x i,f(x i) )( i 0 ,1 ,...,n )(x i x j,i j), 则满足插值条件的多项式 L n (x i)f(x i)， (i 0 ,1 ...n )
n
Ln(x） f(xk)lk(x) k0
条件：无重合节点，即 i j xi xj
根据插值条件，有：
P(x0) a0 a1x0 anx0n y0
P(x1)
a0
a1x1
anx1n
y1
P(xn) a0 a1xn anxnn yn
Vandermonde行列式
其系数矩阵的行列式为
1 x0 x0n
Vn(x0, x1,
, xn)
根据插值条件及余项定义，可知
( t ) 在点 x0,x1,L ,xn,x 处均为零， 故 ( t ) 在 [ a , b ] 上有n+2个个零点，根据 Roll 定理
( t ) 在 ( t ) 的每两个零点间至少有一个零点，故 ( t )
在 [ a , b ] 内至少有 一 个零点，对 ( t ) 再用Roll 定理，可
25
➢ Lagrange插值法的插值余项 设节点 ax0x1xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b],
f (n1)在[a , b]内存在 , 截断误差(或插值余项):
R n(x)f(x)L n(x)f(( n n 1)1 ()!) n 1(x) , (a,b)
证明：由已知条件得到：
R n(xk)0 ,k0 ,1 ,L,n
i=0
18
一般情形
希望找到 li (x)，i = 0, …, n 使得 li (xj) = ij ；然后令
n
Ln(x） f(xk)lk(x)，则显然有 Pn(xi) = yi 。 k0
每个 li 有 n 个根 x0 ,… xi ,… xn
令 l k ( x ) A ( x x 0 ) ( x x k 1 ) ( x x k 1 ) ( x x n ) ,
于是有：
R n ( x ) k ( x ) ( x x 0 ) ( x x 1 ) L ( x x n ) k ( x )n 1 ( x )
其中k ( x ) 是与 x 有关的待定函数。
26
任意固定 x xi (i = 0, …, n), 考察
( t ) f ( t ) L n ( t ) k ( x ) ( t x 0 ) ( t x 1 ) L ( t x n )
1
x1
x1n
1 xn xnn
12
注意到插值节点 xi(i1,2,,n)两两相异，而
V n (x 0 ,x 1 , ,x n ) (x i x j) 0 0 j i n
故方程组(1)有惟一解 a0,a1,an
于是满足插值条件的多项式存在且惟一。
由n+1个不同插值节点 x0,x1,,xn
(唯一性) 可以惟一确定一个n次多项式
y
y y1l1(x)
y L1(x) y 1
y0
O x0
x1 x
O x0
x1 x
15
n = 2 已知 使得
x0 y0
, ,
xy11,,,
x求2 y2
， L2(x)
L 2 ( x 0 ) = y 0 L 2 ( x 1 ) = y 1 L 2 ( x 2 ) = y 2
显然, L 2是( x )过 (、x 0, y 0 ) 、(x1, y1三) 点(的x2,一y2)条抛物线。
y0 = f (x0) , …, yn = f (xn)， 由此构造一个简单易算的近似函数
p(x) f(x)，满足条件: p(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 这里的 p(x) 称为f(x) 的插值函数。 最常用的插值函数是 …?
代数多项式、三角多项式、有理分式…
5
插值函数 p (x) 作为 f (x) 的近似，可以选自不同类型的 函数, 如 p (x) 为代数多项式、三角多项式、有理分式； 其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其 中，代数多项式类的插值函数占有重要地位：
其中,
n
lk(x)
j0
xxj xk xj
(k0,1,...n)
.
jk
20
构造插值多项式的方法：
(1) 先求插值基函数. (2) 构造插值多项式.
以下的问题：如何分析插值的余项？
21
例题 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x -1 0 1 2
f (x) -2 -2 1 2 求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
R n(x)f(x)L n(x)
24
➢ Lagrange插值法的插值余项
设节点 ax0x1xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b], f (n1)在[a , b]内存在 , 截断误差(或插值余项):
R n(x)f(x)L n(x)f(( n n 1)1 ()!) n 1(x) , (a,b)
满足插值条件
P n (x ) a 0 a 1 x a n x n
Pn(xi)yi
Return 13
§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
1. 构造线性插值基函数的方法:
n= 1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1(x)= a0 +a1x使得 L1( x0 ) y0 , L1( x1) y1
L2(x)
称其为抛物线插值基函数(如上右图所示)。
抛物线基 函数
17
抛物线插值基函数
l0 ( x)
(x (x0
x1 )( x1 )(
x x2) x0 x2)
l1 ( x )
(x ( x1
x 0 )( x 0 )(
x x2) x1 x2 )
l2 ( x)
(x (x2
x 0 )( x 0 )(
• 解析表达式 f(x)x32x5 xysiyn • 图象法
• 表格法
3
§4.0 引言
➢ 许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数 数据表格)，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论 分析和进行设计，是极不方便的, 甚至是不可能的。因此需 要设法去寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函 数(或近似函数)。
16
n = 2 已知 使得
x y
0 0
, ,
xy11,,,
x求2 y2
， L2(x)
L 2 ( x 0 ) = y 0 L 2 ( x 1 ) = y 1 L 2 ( x 2 ) = y 2
显然, L 2是( x )过 (、x 0, y 0 ) 、(x1, y1三) 点(的x2,一y2)条抛物线。
计算方法
第四章 插值方法
计算方法课程组
华中科技大学数学与统计学院
1
§4 插值方法
§4.1多项式插值问题的一般提法 §4.2 拉格朗日(Lagrange)插值 §4.3 差商与差分及其性质 §4.4 牛顿插值公式 §4.5 分段插值法 §4.6曲线拟合的最小二乘法
2
§4.0 引言
插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重 要数值方法, 它是用简单函数(特别是多项式或分 段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种 非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映 自然规律的数量关系的函数有三种表示方法：
(b) 著名的Weierstrass逼近定理(定义在闭区间上的 任何连续函数 f(x) , 存在代数多项式p(x)一致逼近f(x), 并达到所要求的精度)。
因此，我们主要考虑代数多项式的插值问题。
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x0 , x1, … , xn 插值节点,
➢ 另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不适宜 计算机使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作，因此 涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。 如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法
等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。
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§4.1 多项式插值问题的一般提法
当精确函数 y = f (x) 非常复杂或未知时，在一系列 节点 x0 … xn 处测得函数值
x
y = f (x) •
y = p(x)
(xi, yi)
曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
10
插值方法的研究问题
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P ( x) 存在，如何构造P ( x)？ （3）如何估计用P ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
22
例题
已知连续函数f (x)的函数表如下：
x -1 0 1 2 f(x) -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
解：利用Lagrange插值法有
L3(x)=(-(1 x--00 ))(( -x1--11 ))(( x --1-2)2)(-2)+( (x 0+ +1 1) )( (0 x--1 1) )( (0 x--22 ) )(-2) +(x+21 ?)1 x ((x1) - 2)?1 (2+ (x1) +(2 1)-x(x 0)-(21-)1)?2
x x1) x2 x1)
抛物线基函数
于是
L2(x)=(( xx 0-- x x1 1) )( (x x0--xx 2) 2)y0+(( xx 1-- x x0 0) )( (x x1--xx22 ))y1+(( xx 2-- x x0 0) )( (x x2--xx 1) 1)y2
2
å = li(x)yi
x
y = f (x) •
y = p(x)
(xi, yi)
曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
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§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
求 n 次多项式 P n (x ) a 0 a 1 x a n x n
使得: p n(x i)y i,i 0 ,1 ,L,n
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
L1(x)y0
y1 x1
y0 x0
(xx0)
xx1 x0 x1
y0
xx0 x1 x0
y1
1
li(x)yi i0
l0(x)
l1(x)
线性插值 基函数
Baidu Nhomakorabea
14
线性插值与其基函数示意图
y y f (x)
L 1(x)y0l0(x)y1l1(x) y y0l0(x)
知 ( t ) 在 [ a , b ] 内至少有 n 个零点，依此类推， (n1) (t )
在 [ a , b ] 内至少有一个零点，记为 (a,b)
使得: ( n 1 )() f( n 1 )() ( n 1 ) ! k ( x ) 0
k(x) f(n1)(),(a,b)
函数 P(x) 称为函数 y=f(x) 的插值函数， 区间 [a, b] 称为插值区间。
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例题: 已知函数 f(x) 有如下数据:
求 f(x) 的插值多项式 p(x)， 并求 f(x) 在 x=0.5 处的近似值。
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9
插值的几何意义
从几何上看，插值就是求一条曲线 y P(x) 使其通过给定的 n 个 1点 (，x i , y i ) (i0,1,L,n) 并且与已知曲线 y 有f (一x)定的近似度。
仿照线性插值基函数的构造方法，令
l0 ( x)
(x (x0
x1 )( x1 )(
x x2) x0 x2)
l1 ( x )
(x ( x1
x 0 )( x x 2 ) x 0 )( x1 x 2 )
l2 ( x)
(x (x2
x 0 )( x 0 )(
x x1) x2 x1)
由 lk(xk )得1,:
A
1
(xkx0)L(xkxk 1)(xkxk 1)L(xkxn)
k
=
0,
1
,⋯,
n.
lk (x ) (x (k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )( (x x k x x k k 1 ) 1 ) (( x x kx n x )n )， k = 0, 1 ,⋯, n .
=1[-5x3+9x2+14x- 12] 解方程 5 x 3 9 x 2 1 4 x 1 2 0 6
取初值x=0.5，利用牛顿法求解可得 f (x) 在(-1,2)内的近似根
为0.67433。
23
➢ Lagrange插值法插值余项
设节点 ax0x1xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b], f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差:
n
Ln(x） f(xk)lk(x)
k0
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（Lagrange）插值多项式
设 y f (x) 函数表 (x i,f(x i) )( i 0 ,1 ,...,n )(x i x j,i j), 则满足插值条件的多项式 L n (x i)f(x i)， (i 0 ,1 ...n )
n
Ln(x） f(xk)lk(x) k0
条件：无重合节点，即 i j xi xj
根据插值条件，有：
P(x0) a0 a1x0 anx0n y0
P(x1)
a0
a1x1
anx1n
y1
P(xn) a0 a1xn anxnn yn
Vandermonde行列式
其系数矩阵的行列式为
1 x0 x0n
Vn(x0, x1,
, xn)
根据插值条件及余项定义，可知
( t ) 在点 x0,x1,L ,xn,x 处均为零， 故 ( t ) 在 [ a , b ] 上有n+2个个零点，根据 Roll 定理
( t ) 在 ( t ) 的每两个零点间至少有一个零点，故 ( t )
在 [ a , b ] 内至少有 一 个零点，对 ( t ) 再用Roll 定理，可
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➢ Lagrange插值法的插值余项 设节点 ax0x1xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b],
f (n1)在[a , b]内存在 , 截断误差(或插值余项):
R n(x)f(x)L n(x)f(( n n 1)1 ()!) n 1(x) , (a,b)
证明：由已知条件得到：
R n(xk)0 ,k0 ,1 ,L,n
i=0
18
一般情形
希望找到 li (x)，i = 0, …, n 使得 li (xj) = ij ；然后令
n
Ln(x） f(xk)lk(x)，则显然有 Pn(xi) = yi 。 k0
每个 li 有 n 个根 x0 ,… xi ,… xn
令 l k ( x ) A ( x x 0 ) ( x x k 1 ) ( x x k 1 ) ( x x n ) ,
于是有：
R n ( x ) k ( x ) ( x x 0 ) ( x x 1 ) L ( x x n ) k ( x )n 1 ( x )
其中k ( x ) 是与 x 有关的待定函数。
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任意固定 x xi (i = 0, …, n), 考察
( t ) f ( t ) L n ( t ) k ( x ) ( t x 0 ) ( t x 1 ) L ( t x n )
1
x1
x1n
1 xn xnn
12
注意到插值节点 xi(i1,2,,n)两两相异，而
V n (x 0 ,x 1 , ,x n ) (x i x j) 0 0 j i n
故方程组(1)有惟一解 a0,a1,an
于是满足插值条件的多项式存在且惟一。
由n+1个不同插值节点 x0,x1,,xn
(唯一性) 可以惟一确定一个n次多项式
y
y y1l1(x)
y L1(x) y 1
y0
O x0
x1 x
O x0
x1 x
15
n = 2 已知 使得
x0 y0
, ,
xy11,,,
x求2 y2
， L2(x)
L 2 ( x 0 ) = y 0 L 2 ( x 1 ) = y 1 L 2 ( x 2 ) = y 2
显然, L 2是( x )过 (、x 0, y 0 ) 、(x1, y1三) 点(的x2,一y2)条抛物线。
y0 = f (x0) , …, yn = f (xn)， 由此构造一个简单易算的近似函数
p(x) f(x)，满足条件: p(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 这里的 p(x) 称为f(x) 的插值函数。 最常用的插值函数是 …?
代数多项式、三角多项式、有理分式…
5
插值函数 p (x) 作为 f (x) 的近似，可以选自不同类型的 函数, 如 p (x) 为代数多项式、三角多项式、有理分式； 其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其 中，代数多项式类的插值函数占有重要地位：
其中,
n
lk(x)
j0
xxj xk xj
(k0,1,...n)
.
jk
20
构造插值多项式的方法：
(1) 先求插值基函数. (2) 构造插值多项式.
以下的问题：如何分析插值的余项？
21
例题 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x -1 0 1 2
f (x) -2 -2 1 2 求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
R n(x)f(x)L n(x)
24
➢ Lagrange插值法的插值余项
设节点 ax0x1xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b], f (n1)在[a , b]内存在 , 截断误差(或插值余项):
R n(x)f(x)L n(x)f(( n n 1)1 ()!) n 1(x) , (a,b)
满足插值条件
P n (x ) a 0 a 1 x a n x n
Pn(xi)yi
Return 13
§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
1. 构造线性插值基函数的方法:
n= 1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1(x)= a0 +a1x使得 L1( x0 ) y0 , L1( x1) y1
L2(x)
称其为抛物线插值基函数(如上右图所示)。
抛物线基 函数
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抛物线插值基函数
l0 ( x)
(x (x0
x1 )( x1 )(
x x2) x0 x2)
l1 ( x )
(x ( x1
x 0 )( x 0 )(
x x2) x1 x2 )
l2 ( x)
(x (x2
x 0 )( x 0 )(
• 解析表达式 f(x)x32x5 xysiyn • 图象法
• 表格法
3
§4.0 引言
➢ 许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数 数据表格)，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论 分析和进行设计，是极不方便的, 甚至是不可能的。因此需 要设法去寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函 数(或近似函数)。
16
n = 2 已知 使得
x y
0 0
, ,
xy11,,,
x求2 y2
， L2(x)
L 2 ( x 0 ) = y 0 L 2 ( x 1 ) = y 1 L 2 ( x 2 ) = y 2
显然, L 2是( x )过 (、x 0, y 0 ) 、(x1, y1三) 点(的x2,一y2)条抛物线。
计算方法
第四章 插值方法
计算方法课程组
华中科技大学数学与统计学院
1
§4 插值方法
§4.1多项式插值问题的一般提法 §4.2 拉格朗日(Lagrange)插值 §4.3 差商与差分及其性质 §4.4 牛顿插值公式 §4.5 分段插值法 §4.6曲线拟合的最小二乘法
2
§4.0 引言
插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重 要数值方法, 它是用简单函数(特别是多项式或分 段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种 非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映 自然规律的数量关系的函数有三种表示方法：