1重力坝剖面设计原则2重力坝的基本剖面3实用剖面4实用剖面的优化
重力坝的剖面详图
剖面选择：对中、低重力坝可以采用工程类比法，参照类 似的已建工程，拟定坝体剖面尺寸，然后对坝体控制截面 进行强度和稳定验算，并根据计算结果进行调整，直到满 足设计要求为止
第三节 重力坝的荷载及组合
• 重力坝的荷载
–作用于重力坝的主要荷载有：①自重；② 静水压力；③扬压力；④动水压力；⑤冰压 力；⑥泥沙压力；⑦浪压力；⑧地震力；⑨ 温度及其他荷载
坝顶布置
● 坝顶结构布置的原则：安全、经济、合理、实用。 ●坝顶结构型式：坝顶部分伸向上游；坝顶部分伸向下 游，并做成拱桥或桥梁结构型式；坝顶建成矩形实体结构， 必要时为移动式闸门启闭机铺设隐型轨道。 ● 坝顶排水：一般都排向上游。 ● 坝顶防浪墙：高度一般为1.2m，厚度应能抵抗波浪及 漂浮物的冲击，与坝体牢固地连在一起，防浪墙在坝体分 缝处也留伸缩缝，缝内设止水。
非溢流重力坝剖面设计
重力坝的基本断面一般是指在水压力(水位与坝顶齐平) 、自重和扬压力等主要荷载作用下，满足稳定、强度 要求的最小三角形断面。 • 一、设计原则 1、满足稳定和强度要求 2、工程量少 3、便于施工 4、运用方便
基本剖面
因为作用于上游面的水压力呈三角形分布,所 以重力坝面是三角形。 当a>90时，即上游面为倒坡。库空时，三角形重 心可能超过底边三分点在下游面产生拉应力，而 且倒坡不便施工。 当a<90时，利用水重帮助稳定。但角度太小时， 库满时合力可能超过底边三分点（偏下游）在上 游面产生拉应力。上游面坡度越缓，第一主应力 越易成为拉应力，故a角不宜太小。
第二章 重力坝
第一节 概述
• 对坝的认识
1-非溢流重力坝； 2-溢流重力坝； 3-横缝； 4-导墙； 5-闸门； 6-坝内排水管； 7-检修、排水廊道； 8-基础灌浆廊道； 9-防渗帷幕； 10-坝基排水孔
水工建筑物重力坝剖面设计+构造+地基处理
hh1h0hc
式中：
h1——波浪高度； h0——波浪中心线高出静水位的高度； hc——安全超高，按表6-2采用。
注：在计算h1和h0时，设计和校核情况应采用不同的计算风速值。
表6-2 安全超高值（单位：m）
坝的级别 运用情况
1
2
3
设计情况 （基本组合）
0.7
0.5
0.4
校核情况 （特殊组合）
0.5
0.4
道进口布置和操作。 缺点：上游折坡点要结合应力和管道进口布置高程选定，
要验算折坡点截面的强度和稳定。一般在坝 高的 1/3~2/3的范围内。 （3）上游坝面略呈倾斜 （实用剖面（3）） 优点：增加坝体自重，利用部分水重增加坝的稳定 性， 可避免库空时下游产生过大拉应力。 缺点：不便于布置和操作坝身过水管道进口控制设备 适用：fˊ、c ˊ 较小情况。
可采用优化方法，进行重力坝剖面优化设计。
1. 确定描述坝体体形的设计参数； 2. 建立目标函数：一般取结构的重量和造价，因重力坝的
造价主要取决于坝体砼方量，故取坝体体积作为目标函 数； 3. 确定约束条件：如稳定约束、应力约束、几何约束等； 4. 优化计算：目标函数和约束条件都是设计参数的非线性 函数，因此重力坝的优化设计是一个非线性规划问题。
不影响枢纽中其它建筑物的正常运行。
一、孔口设计
（一）孔口型式 （枢纽泄水方式 ） 根据泄水孔的位置以及坝顶是否有胸墙，泄水重力坝孔
口型式 （泄水方式 ）可分为坝顶溢流式（或称表孔溢 流）、大孔口溢流式和深式泄水孔三种。
（1）坝顶溢流式（表孔溢流） 特点： ① 下泄流量Q与成H03/2正比（H0为
水工建筑物
赖国伟
2020年5月21日
重力坝的剖面详图
第一节 概述
• 对坝的认识
1-非溢流重力坝； 2-溢流重力坝； 3-横缝； 4-导墙； 5-闸门； 6-坝内排水管； 7-检修、排水廊道； 8-基础灌浆廊道； 9-防渗帷幕； 10-坝基排水孔
重力坝的剖面详图
基本概念
• 定义：是用混凝土或浆砌石筑的大体积挡水建 筑物.
• 工作原理:在水压力及其他荷载作用下,依靠坝体 自重在坝面产生的抗滑力来抵抗水平水压力产 生的滑动力以达到稳定要求;利用坝体自重在水 平截面上产生的压应力来抵消由于水压力所引 起的拉应力以满足强度要求. 1、重力坝的基本剖面：做成上游面接近铅直 的呈三角形断面，或稍倾向上游的三角形断 面。 2、受力简图可以视作倒置的悬臂梁
坝顶布置
● 坝顶结构布置的原则：安全、经济、合理、实用。
●坝顶结构型式：坝顶部分伸向上游；坝顶部分伸向下 游，并做成拱桥或桥梁结构型式；坝顶建成矩形实体结构， 必要时为移动式闸门启闭机铺设隐型轨道。
● 坝顶排水：一般都排向上游。
● 坝顶防浪墙：高度一般为1.2m，厚度应能抵抗波浪及 漂浮物的冲击，与坝体牢固地连在一起，防浪墙在坝体分 缝处也留伸缩缝，缝内设止水。
自重 初步设计时可取混凝土的重度 24kN/m³； 施工详图阶段由现场混凝土试验决定； 当计算深层滑动时，还应考虑岩体的自重。
（计算自重时，坝上永久性的固定设备，如闸门、固定式启闭 ） 机的重量也应计算在内，坝内较大的孔洞应该扣除。
溢流坝坝面水压力计算
静水压力
• 静水压力是作用在上下游坝面的主要荷载。分
一般情况,坝体与坝基接触面之间摩擦系数及粘结强度越大、 渗压折减系数越大，基本剖面底宽就越小，主要由强度条 件控制。反之，摩擦系数和粘结强度越小，渗压折减系数 越小，坝底宽度就越大，且主要由抗滑稳定条件控制。
第二章 重力坝
P0 0.65ah w H12
ah为水平向设计地震加速度代表值，地震烈度为7、8、9时，其取值分 别为0.1g、0.2g、0.4g。
第七节 重力坝的地震反应分析和抗震设计
二、动力法地震反应分析 采用有限元法进行重力坝的地震反应动力法分析时，通常的作法是按 线弹性平面问题处理，且不考虑库水的压缩性以及坝体与地基的相互作 用，对坝-地基-水库系统用二维平面单元进行离散化。 1.注意的问题 1）假定地震荷载从FGHI 边界均匀输入，即假定在 地震过程中此边界上的各 结点有相同的地震运动。 2）假定FGHI边界范围以 内的基岩无质量。
4.温度变化及施工过程对坝体应
力产生的影响 5.分期施工对坝体应力的影响
第二节 重力坝的应力分析
第三节 重力坝的抗滑稳定分析
一、沿坝基面的抗滑稳定分析 二、坝基深层抗滑稳定分析 三、抗滑稳定分析的有限单元法 四、提高坝体抗滑稳定性的工程措施
第三节 重力坝的抗滑稳定分析
一、沿坝基面的抗滑稳定分析
第一节 概述
2)按泄水条件：溢流坝(表、中、底孔)、非溢流坝
3)按结构形式：实体重力坝、宽缝重力坝、空腹重力坝
4)按地基条件：岩基上的重力坝、土基上的重力坝
第一节 概述
第一节 概述
2.重力坝的主要设计内容
1)选定坝轴线 2)剖面设计
3)稳定分析
4)应力分析 5)构造设计(廊道系统\排水系统\坝体分缝)
第一节 概述
第一节 概述
4）淤沙压力 5）浪压力
第一节 概述
6）冰压力
7）反弧段的动水压力
8）地震荷载 9）温度荷载
2.荷载组合
1）基本荷载 自重；设计洪水位时的上下游静水压力、扬压力、浪压力、动水压 力；泥沙 压力；土压力等。 2）特殊荷载 校核洪水位时的上下游静水压力、扬压力、波浪力、动水压力、地 震荷载等。
重力坝设计规范
重力坝设计规范重力坝是一种重力作用为主要原理的大坝，其稳定性和安全性是设计中的重要考虑因素。
下面是关于重力坝设计规范的一些指导原则。
1. 重力坝的基本要求重力坝需要具备足够的重力以抵抗水压力，并保持稳定。
为了满足这一要求，应考虑以下几个方面：- 选择合适的坝址位置，确保地质条件合适，基础坚固。
- 选择合适的坝体材料，如混凝土或石块，以满足设计要求。
- 设置足够的坝体宽度，以增加坝体重力，提高稳定性。
- 设计合适的坝体剖面，以保证坝体的充分控制和分散水压力。
2. 坝体结构设计- 坝体的高度应根据不同的水库情况确定，并进行合理的抗滑稳定性计算。
- 坝体的剖面设计应兼顾水压力分布和抗震要求。
- 坝体应增设防渗排水系统，以降低渗流对坝体的影响。
- 坝体的下部应设置泄洪孔和底孔，以控制洪水和泄洪。
3. 坝体材料选择和施工要求- 坝体的材料应具有良好的力学性能和耐久性，如抗压强度和抗冻性。
- 坝体的施工应符合相关的工程质量标准和施工规范，确保坝体的质量和稳定性。
- 坝体的施工过程中需要进行监测和检验，及时发现和处理问题。
- 坝体的维护和养护应按照相关规范进行，定期检查和修复。
4. 坝体的安全措施- 坝体应设置防洪堤和泄洪设施，以减少洪水对坝体的冲击。
- 坝体应设置疏导泄洪设施，以控制坝体的水位和排放流量，以保证安全。
- 坝体周围的环境应进行合理的保护和管理，以防止土壤侵蚀和滑坡等问题。
- 坝体应进行定期的安全评估和监测，以及时发现和处理潜在的问题。
综上所述，重力坝设计规范是确保重力坝稳定和安全的重要指导原则。
在设计过程中需要考虑坝体的重力和稳定性、抗震和防渗等因素，并符合相关工程质量标准和施工规范。
同时，还需要设置合适的安全措施和进行定期的监测和维护工作，以确保重力坝的安全运行。
《水工建筑物》复习资料(问答题部分)
机密等级：★★★06级水利水电工程专业《水工建筑物》复习资料（问答题部分）第一章绪论4、为什么要对水利枢纽和水工建筑物进行等级划分？等级划分的根据是什么？根据SL252-2000《水利水电工程等级划分及洪水标准》，等级划分分为几等几级？答：安全和经济是兴建水利工程要解决的根本问题，妥善解决水利工程安全和经济的矛盾，就是对水利工程进行等级划分。
水利水电工程根据其工程规模、效益及其在国民经济中的重要性划分为五等。
水利水电工程中的永久性水工建筑物和临时性水工建筑物，根据其所属工程等别及其在工程中的作用和重要性划分为五级和三级。
5、不同级别的水工建筑物在哪些方面提出不同的要求？答：（课件上的答案）不同级别的水工建筑物在规划、设计、施工管理方面的要求不同，级别越高，要求越高。
主要表现为四个方面：抵御洪水的能力，结构的强度和稳定性，建筑材料，运行的可靠性。
（课本上的答案）为了使建筑物的安全性、可靠性与其在社会经济中的重要性相协调，在水工设计中，对不同级别的建筑物在下列几个方面应有不同的要求：（1）设计基准期。
它是研究工程对策的参照年限。
水工建筑物在设计基准期内应满足如下要求：①能承受在水工施工和正常使用时可能出现的各种作用（荷载）；②在正常使用时，应具有设计预定的功能；③在正常维护下，应具有设计预定的耐久性；④在出现预定的偶然作用时，其主体结构仍能保持必须的稳定性。
（2）抗御灾害能力。
如防洪标准、抗震标准、坝顶超高等、（3）安全性。
如建筑物的强度和稳定安全指标、限制变形的要求等。
水工建筑物的结构安全级别，应根据建筑物的重要性及其破坏可能产生后果的严重性而定，与水工建筑物的级别对性分为三级。
队友特殊安全要求的水工建筑物，其结构的安全级别应经专门研究决定。
（4）运行可靠性。
如建筑物的供水、供电、通航的保证率，闸门等设备的可用率等。
（5）建筑材料。
如使用材料的品种、质量及耐久性等。
第二章岩基上的重力坝１、重力坝的工作原理是什么？结合重力坝的工作条件，分析其优缺点和适用条件。
水工建筑物教学大纲
《水工建筑物》教学大纲学分：4 总学时：72理论学时：72 实践学时：0面向专业：水利水电工程大纲执笔人：李天科大纲审定人：一、说明1、课程的性质、地位和任务水工建筑物是水利水电工程专业的主要专业课之一，是毕业生在实际工作中应用最多的一门专业课。
主要讲授一般水工建筑物的工作特点、型式、构造、设计原理和计算方法、布置原则等方面的知识。
通过课堂教学、录像、认识实习、课程设计、毕业设计、毕业实习等环节，培养学生具有分析问题和解决问题的能力。
为从事水利水电工程科研、设计、施工、管理等工作打下基础。
2、课程教学的基本要求本课程安排在水力学、理论力学、材料力学、水工钢筋混凝土、钢结构、工程地质、土力学、工程水文学等专业基础课后的第七（或第六）学期开课较合理，内容上与以上学科衔接。
课堂教学要求学生掌握基本概念、基本内容及各类水工建筑物的工作特点和适用条件等。
了解本学科的国内外发展水平和发展方向。
3、课程教学改革本课程采用全国统编教材，由于教材改编周期较长，涉及建筑物种类多，但课时有限，不可能面面具到。
教学中应结合学生地区的分布特点，讲授相关内容，删掉应用较少的章节，补充水工设计中新的结构型式、新的计算方法、新材料应用、新的监测管理手段等。
二、教学大纲内容绪论（4学时）第一节中国水利工程建设①、中国水量、水能资源特点②、中国水利工程发展概况③、世界水利工程概况④、中国水利发展方向第二节水利枢纽和水工建筑物①、水工建筑物分类②、水利枢纽分等依据与方法③、水工建筑物分级方法④、水工建筑物特点第三节水利工程的设计程序①、水利工程建设特点②、水利工程设计程序③、不同设计阶段的主要设计任务第四节本课程的任务和本教材的基本内容①、学习方法②、主要学习内容③、各部分应掌握的深度本章重点、难点：水利枢纽分等，水工建筑物分级的方法。
思考题：1、我国的水资源丰富吗？开发程度如何？解决能源问题是否应优先开发水电？为什么？2、什么是水利枢纽？什么是水工建筑物？与土木工程其他建筑物相比，水工建筑物有些什么特点？3、水工建筑物有哪几类？各自功用是什么？4、河川上建造水利枢纽后对环境影响如何？利弊如何？人们应如何对待？5、水利枢纽、水工建筑物为何要分等分级？分等分级的依据是什么？第一章重力坝（14学时）第一节、重力坝的特点、工作条件、形式和布置①、特点与形式②、工作条件③、对地基要求④、组成及布置第二节、重力坝的荷载及荷载组合第三节、重力坝的稳定及应力分析第四节、非溢流重力坝的剖面设计①、基本剖面②、实用剖面③、剖面优化第五节、溢流重力坝①、洪水标准②、孔口形式③、剖面设计④、消能方式第六节、重力坝的材料及构造①、材料要求②、材料分区③、构造要求④、温度控制第七节、重力坝的地基处理①、固结灌浆②、帷幕灌浆③、坝基排水本章重点、难点：1、总体布置2、稳定分析3、应力分析思考题：1、重力坝的工作原理和工作特点是什么？2、重力坝剖面比较宽厚的原因是什么？为什么说重力坝的材料强度不能得到充分利用？3、作用在重力坝上的荷载有哪些？其计算方法如何？为什么要进行荷载组合？设计重力坝时需考虑哪几种荷载组合？4、重力坝失稳破坏形式是什么？稳定验算有哪些公式？它们主要区别在哪里？提高重力坝稳定性的工程措施有哪些？5、重力坝应力分析的目的是什么？目前应力分析的方法有哪几种？材料力学的基本假定是什么？如何应用材料力学法计算坝体的边缘应力和内部应力？6、拟定重力坝剖面的主要原则是什么？何谓重力坝的基本剖面？如何从基本剖面修改成实用剖面？7、重力坝为什么要分缝？缝有哪几种类型？横缝如何处理？止水如何布置？纵缝有哪几种布置方式？为什么斜纵缝可以不进行水泥灌浆？8、重力坝各部位对混凝土性能有哪些要求？如何进行坝体混凝土标号分区？9、重力坝的坝身和坝基排水的目的是什么？各如何布置？10、坝内廊道的作用有哪些？不同用途的廊道设置部位和尺寸如何确定？廊道系统的布置原则是什么？11、混凝土重力坝施工期产生裂缝的原因为何？防止裂缝的主要措施是什么？12、重力坝对地基有哪些要求？为什么有这些要求？帷幕灌浆和固结灌浆的作用是什么？断层破碎带处理方式有哪些？第二章拱坝（4学时）第一节、概述第二节、拱坝的荷载与应力控制标准①、拱圈布置形式②、剖面的选择③、布置步骤本章重点.难点：了解布置形式及特点思考题：1、拱坝和重力坝的工作条件有何不同？2、拱坝对地形、地质条件有何要求？河谷形状对拱坝剖面和荷载分配有何影响？3、选取拱圈中心角要考虑哪些因素？这些因素之间的关系如何？4、单曲拱坝、双曲拱坝各有什么优缺点？各适用什么场合？5、双曲拱坝的倒悬是怎样形成的？如何处理拱坝过大的倒悬度？第三章土石坝（14学时）第一节、概述第二节、土石坝的剖面和构造①、坝顶与坝坡②、防渗形式③、排水布置④、反滤要求第三节、土石坝的渗流分析①、公式推导②、公式应用③、渗量计算第四节、土石坝的稳定分析①、圆弧法②、直线法③、折线法④、参数选择⑤、计算条件第五节、土料选择与填土标准的确定①、对土料的要求②、填筑标准本章重点.难点：1.土坝分类及适用条件2.土坝的构造3.渗流计算方法4.稳定计算方法思考题：1、设计和建造土石坝的基本要求有哪些？2、土石坝有哪些基本类型？各自的优缺点及适用的场合如何？3、影响土石坝坝坡的因素有哪些？如何影响？土石坝剖面如何拟定？4、如何根据土石坝的工作特点和土石料的性质来进行坝各部位的土料设计？5、渗流分析中，浸润线的基本方程是如何推导出来的？如何根据这个方程对各种坝型.各种坝基进行渗流分析？6、渗透变形有那几种？如何防止渗透变形？7、反滤层的主要作用是什么？在坝的哪些部位要设置反滤层？如何设计和布置反滤层？8、土石坝失稳的形式有哪些？坝坡坍滑有哪几种类型？为什么土石坝只进行局部稳定验算，而不进行整体稳定验算？9、渗流和孔隙压力对土石坝的稳定有何影响？计算中如何考虑？10、设置排水的目的是什么？坝体排水有哪些形式？各自优缺点及适用的场合如何？11、为什么上下游坝面要设置护坡？护坡的型式有哪些？各自的优缺点及适用场合如何？12、砂砾石地基处理有哪些工程措施？各种措施的设计要求是什么？13、土石坝产生裂缝的原因是什么？裂缝的形式有哪些？如何防止？第四章河岸溢洪道（6学时）第一节、泄水建筑物的作用、类型及河岸溢洪道的布置和形式选择第二节、开敞式正槽溢洪道①、引水渠②、控制段③、泄水槽④、消能段⑤、尾水段⑥、管理要点第三节、非常溢洪道①、分类②、设计要求③、工程实例本章重点.难点：1、溢洪道设计标准2、溢洪道布置原则3、非常溢洪道设计方法思考题：1、水利枢纽在什么情况下须设置河岸溢洪道？2、河岸溢洪道有哪些型式？各自的特点和适用条件如何？3、溢洪道的控制堰有哪些可供选择的型式和布置方式？你对其不同的泄流特征有何认识？堰顶是否设闸门的利弊如何？4、高水头河岸溢洪道的泄槽上可能有哪些水流问题要解决？他们与泄槽的体形布置有何关系？5、什么叫非常溢洪道？其设置方式有哪些？各有何特点？如何选用？第五章水工隧洞（6学时）第一节、水工隧洞的类型和工作特点第二节、隧洞的线路选择与工程布置第三节、隧洞的进、出口建筑物第四节、隧洞洞身的形式与构造①、断面形式及尺寸②、衬砌分类③、喷锚支护方法第五节、隧洞衬砌的结构计算①、荷载计算②、荷载组合③、结构计算方法本章重点.难点：1.隧洞方案选择比较2.荷载计算方法3.结构计算方法思考题：1、水工地下洞室有哪些功用？其工作条件有何特点？2、按流态分深式泄水隧洞有哪两种基本类型？工作闸门应如何布置？如何保证洞内流态的稳定和防止明满流交替现象发生？3、水工地下洞室的进口形式有哪些？他们各自的优缺点和适用场合？4、泄水隧洞进口段设置的通气孔、平压管有何功用？5、水工隧洞横段面形态有哪些？各适用场合？6、水工地下洞室衬砌的功用是什么？有哪些衬砌形式？衬砌是否要分缝？如何分缝？7、水工地下洞室衬砌的荷载与受力情况如何？荷载怎样组合？第七章水闸（14学时）第一节、概述第二节、水闸的孔口设计①、设计条件②、闸孔形式③、堰顶高程第三节、水闸的消能防冲设计①、过闸水流特点②、消能设施③、防冲方法④、消能设计条件⑤、水闸管理第四节、闸基渗流分析与防渗设施①地下轮廓线拟定②渗流计算方法③排水设施第五节、闸室的布置与构造①底板②闸墩③胸墙④工作桥⑤交通桥⑥分缝与止水第六节、闸室和闸基的稳定分析①抗滑稳定②沉陷稳定③工程措施第七节、闸室的结构计算①闸墩②整体底板计算③分离底板计算第八节、水闸与两岸的连接结构第九节、软基处理和桩基式水闸重点与难点：⒈设计条件⒉稳定计算⒊结构计算⒋水闸管理思考题；1、试述水闸的类型、组成部分及其作用2、试述水闸的工作特点及防止发生波状水跃和折冲水流的措施？3、闸孔形式有哪些？各有什么特点？为什么平底堰流孔口被广泛采用？4、如何决定闸底板高程？5、为什么闸下水流一般采用底流水跃的连接方式？消能防冲设计的控制条件如何确定？6、粘土和砂沙土地基上水闸防渗布置所要解决的主要矛盾和防渗布置方式有何不同？不同的防渗布置对水闸的抗滑稳定及地基渗透稳定有何影响？7、试述改进阻力系数法计算闸基渗流的基本原理？8、闸室稳定计算包括哪些内容？如何进行闸室稳定计算？提高闸室抗滑稳定性的措施有哪些？9、计算闸墩应力应考虑哪些情况？如何计算？10、整体式平底板的强度计算有哪些方法？试述计算假定及计算要点？第十章渡槽（6学时）第一节、渡槽的作用、类型及位置选择第二节、渡槽的水力设计、荷载及荷载组合①、水力计算方法②、荷载计算③、荷载组合第三节、梁式渡槽①、槽身结构计算②、支承结构计算③、基础结构第四节、拱式渡槽①、上部结构②、主拱圈设计③、拱座设计第五节、其他形式渡槽第六节、渡槽的进、出口建筑物及总体布置本章重点，难点：1.渡槽方案选择2.水力计算要点3.槽身断面优化4.主拱圈计算方法思考题：1.渡槽分类2.水面衔接形式3.U型槽身的特点4.主拱圈的稳定校核第十一章倒虹吸（简介）（2学时）第十二章陡坡与跌水（简介）（2学时）建议教学方法：每章先概要提出该建筑物的工作特点，适用条件，成功的经验和存在的问题等，针对问题讲述布置原则，构造要求，设计方法，同时结合录象，认识实习，水利科技杂志等介绍国内最新技术，使学生有一个高起点。
重力坝
七、浪压力
浪压力与风速和水库吹程有关。中等高度以上 的重力坝，浪压力在荷载中所占比重较小，通 常忽略。 重力压上游面多为铅直（或接近铅直），当波 浪推进到坝前。由于坝面的反射作用产生驻波， 波高为4Ll，而波长保持不变。 具体公式见书
八、地震荷载
根据《水工建筑物抗震设计规范》地震惯性力 和地震动水压力的计算，一般采用“拟静力 法”，对高度大于150m的坝，宜进行动力分析。
rH2
P
W1
W2
软 弱 面
U1
U2
四、提高坝体抗滑稳定性的工程措 施
（1）利用水重 （2）将坝基开挖成倾向上游的斜面 （3）在坝踵下设齿墙 （4）抽水措施 （5）加固地基 （6）利用预应力
第四节 重力坝的应力分析
目的： 1、为了检验大坝在施工期和运用期是否满足强度 要求； 2、为解决设计和施工中的某些问题，如砼分区， 某些部位的配筋等提供依据。 应力分析的过程： 1、进行荷载计算及荷载组合 2、选择合适的方法进行应力计算 3、检验大坝各部位的应力是否满足强度要求
第八节 重力坝的地基处理
重力坝失事有40%是因为地基问题造成的。 地基处理主要包含两个方面的工作：一是 防渗，二是提高基岩强度。
一．坝基的开挖与清理
目的：使坝体坐落在稳定坚固的地基上。 规范规定：>70m的高坝，必须建在新鲜、 微风化或弱风化的岩石上。 30—70m的中 坝，必须建在微风化或弱风化的岩石上。 同一工程中，两岸较高部位的坝段，可比 河床段适当放宽。
三、扬压力
1、坝底扬压力，形成原因：①上下游水位 差；②砼、岩石都是透水材料。 由于基岩节理裂隙很不规则，难以求出 坝底扬压力的准确分布，故通常加定扬压 力从坝踵到坝趾成直线变化。 α为扬压力折减系数与岩体的性质和构造， 帷幕深度和厚度，灌浆的质量，排水孔的 直径、间距、深度等有关。 规范规定：河床坝段α=0.2-0.3 岸坡坝段α=0.3-0.4
重力坝知识点
重力坝一、重力坝的工作原理及特点1、重力坝在水压力及其它荷载作用下必需满足：A 、稳定要求：主要依靠坝体自重产生的抗滑力来满足。
B 、强度要求：依靠坝体自重产生的压应力来抵消由于水压力所产生的拉应力来满足。
2、重力坝的类型：（1）按构造不同分为：实体重力坝，宽缝重力坝，空腹重力坝和预应力重力坝。
（2）按作用可以分：溢流重力坝，非溢流重力坝。
（3）按筑坝材料的不同分为：混凝土重力坝和浆砌石重力坝。
二，重力坝的荷载组合基本组合1：正常蓄水位情况，作用包括：①②③④⑤基本组合2：防洪高水位情况，作用包括：①②③④⑤⑦基本组合3：冰冻情况，作用包括：①②③④⑥偶然组合1：校核洪水位情况，作用包括：①④⑧⑨⑩⑾偶然组合2：地震情况，作用包括：①②③④⑤⑿重力坝按极限状态设计时一般要考虑四种承载能力极限状态：①坝趾抗压强度极限状态②坝体与坝基面的抗滑稳定极限状态③坝体混凝土层面的抗滑稳定极限状态④基岩有薄弱层时坝体连同部分坝基的深层抗滑稳定极限状态。
三 重力坝的抗滑稳定分析沿坝基面的抗滑稳定分析重力坝失稳破坏的机理：首先坝踵处基岩和胶结面出现微裂松弛区，随后在坝址处基岩和胶结面出现局部区域的剪切屈服，进而屈服范围逐渐增大并向上游延伸，最后形成滑动通道，导致大坝的整体失稳。
（一）抗剪强度公式：（1）当接触面呈水平时，其抗滑稳定安全系数)(∑-=U W f K S S )(∑-=U W f K S S /∑P ∑P（2）当接触面倾向上游时，其抗滑稳定安全系数 ∑∑∑∑-+-=ββββsin cos )sin cos (W P P U W f K S ∑∑∑∑-+-=ββββsin cos )sin cos (W P P U W f K S（二）抗剪断公式：∑∑'+-'=P A c U W f K S )(∑∑'+-'=P A c U W f K S )(深层抗滑稳定分析（1） 单斜面深层稳定计算：如图将软弱面以上的坝体和地基视为刚体，按下式计算：∑∑∑∑-+-=ββββsin cos )sin cos (W P P U W f K S ∑∑∑∑-+-=ββββsin cos )sin cos (W P P U W f K S（2） 双斜面深层抗滑稳定计算：提高抗滑稳定性的工程措施：1） 利用水重2） 采用有利的开挖轮廓线： ① 使坝基面倾向上游。
第二章 重力坝教案
第二章重力坝教案第二章重力坝第一节概述引言：重力坝是主要依靠坝体自重所产生的抗滑力来满足稳定要求的挡水建筑物。
在世界坝工史上是最古老，也是采用最多的坝型之一。
非溢流坝剖面形式、尺寸的确定，将影响到荷载的计算、稳定和应力分析，因此，非溢流坝剖面的设计以及其它相关结构的布置，是重力坝设计的关键步骤。
本节主要介绍：重力坝的特点、重力坝的分类、非溢流坝剖面设计的基本原则、基本剖面及实用剖面图示讲解：混凝土重力坝示意图1世界上最高的重力坝我国已建的重力坝：刘家峡148m，新安江105m，三门峡106m，丹江口110m，丰满、潘家口等，其中，高坝有20余座。
其中三峡混凝土重力坝和龙滩碾压混凝土重力坝分别高达175米和216.5米。
重力坝坝轴线一般为直线，垂直坝轴线方向设横缝，将坝体分成若干个独立工作的坝段，以免因坝基发生不均匀沉陷和温度变化而引起坝体开裂。
为了防止漏水，在缝内设多道止水。
垂直坝轴线的横剖面基本上是呈三角形的，结构受力形式为固接于坝基上的悬臂梁。
坝基要求布置防渗排水设施。
一、重力坝的特点1.优点：● 工作安全，运行可靠。
重力坝剖面尺寸大，坝内应力较小，筑坝材料强度较高，耐久性好。
因此，抵抗洪水漫顶、渗漏、侵蚀、地震和战争等破坏的能力都比较强。
据统计，在各种坝型中，重力坝失事率相对较低。
● 对地形、地质条件适应性强。
任何形状的河谷都可以修建重力坝。
对地质条件要求相对较低，一般修建在岩基上，当坝高不大时，也可修建在土基上。
● 泄洪方便，导流容易。
可采用坝顶溢流，也可在坝内设泄水孔，不需设置溢洪道和泄水隧洞，枢纽布置紧凑。
在施工期可以利用坝体导流，不需另设导流隧洞。
● 施工方便，维护简单。
大体积混凝土，可以采用机械化施工，在放样、立模和混凝土浇筑等环节都比较方便。
在后期维护，扩建，补强，修复等方面也比较简单。
● 受力明确，结构简单。
重力坝沿坝轴线用横缝分成若干坝段，各坝段独立工作，结构简单，受力明确，稳定和应力计算都比较简单。
河海大学水工建筑物(重力坝)教学课件02-重力坝3 剖面设计
任务：选择一个既满足稳定和强度要求，又使体积最小、 施工简便、运行方便的剖面 方法：以整个工程的经济指标作为目标函数，进行优化设 计，获得最优剖面。 实际，简化分析，拟定基本剖面，核算、修改，确定剖面。
1. 基本剖面—base profile
在主要荷载作用下，满足坝基面稳定和应力控制条件的最小三角形剖面。 任务：给定坝高H，求最小坝底宽度B，即确定三角形的上下游坡度。
2、空腹重力坝 1）特点 (1) 坝基扬压力减小 (2) 空腹内可设厂房 (3) 前后退分别浇筑，天然散热， 有利于温控 (4) 前腿深嵌，有利于稳定 (5) 有利于检查、检测 (6) 可加快前期施工 (7) 结构复杂，施工复杂，设计 难度加大 (8) 钢筋用量大，模板多
2）剖面设计和稳定应力分析 按实体重力坝拟定剖面， 设置空腹，再验算调整。 稳定——验算抗滑稳定 应力——材料力学法不 适用，用有限元和结构 模型试验
3）宽缝重力坝的稳定和应力分析
稳定分析方法与实体重力坝相同， 但应以整个坝段进行分析。由于 宽缝的存在，渗流水可从宽缝排 出，所以坝底部扬压力的分布与 实体重力坝略有不同。用折线 ABC表示沿截面宽度平均的渗透 压力分布。图中上游面仍为Hg0， 在排水线上为aHg0，a为渗压系数， 与实体重力坝相应，在C点处渗 透压力为零，该点距宽缝起点的 距离约为2b，b为宽缝部位坝段 的厚度。浮托力在整个坝段截面 上均等于H2g0，H2为下游水深。
The typical cross section of power house dam section
4. 重力坝型式改进
实体重力坝的缺点： (1) 坝基扬压力大 (2) 坝体工程量大，材料强度不能充分发挥 (3) 水化热大，温控不易
3-4重力坝剖面设计
• 5.1.2 实用剖面 • （1）坝顶的宽度 • 根据施工、交通、设备安装等条件确定。 也可以由Bmin=(8~10)%H初步拟定 （Bmin为最小坝顶宽度）。 • 或根据漂浮物，冰压力等对坝体的冲击力 情况确定。
• （2）坝顶高程
• 坝顶在最高静水位上的超高： △h=h0+h1+hc • h0为波浪的中心线超过静水位的高度。 • h1为波浪高度。（考虑驻波时，为2倍） • hc为安全超高。
• 约束条件： • 在设计变量变动过程中，须满足的限制条 件。 • 抗滑稳定约束 • 应力约束 • 几何约束 • 求解方法： • 为非线性优化问题，可采用复合形法，序 列二次规划法，遗传算法等于地震荷载的计算，可行的方法是拟静 力法，而不是动力有限元法，因此，通常 基于材料力学法和刚体极限平衡法进行重 力坝剖面优化，结果再用其它方法进行验 算。 • 布置重力坝上机作业
• 三角形基本剖面的控制参数有：H、T、n、 m，（其中H由河流的水文水利规划确定， T可以表达为n、m的函数式）在满足经济、 安全的条件下可以由： 强度条件： 稳定条件： • 联立求解n、m。
• 根据工程经验，一般上游坝坡n取0～0.2， 下游坝坡m取0.6～0.8，底宽取T（ 0.7～ 0.9）H（坝高）。
重力坝的剖面设计
• 重力坝枢纽一般由非溢流坝段和溢流坝段 等组成。 • 非溢流重力坝剖面 • 5.1.1基本剖面
• 重力坝的主要荷载有静水压力、自重、扬 压力。其中静水压力P与H2成正比，为维持 坝体自身的稳定，重力坝的主要荷载自重 W也应与H2成正比。因此重力坝的基本剖 面为三角形，其中H为最高静水头。
重力坝的断面优化
• 必须满足两个条件： • （1）坝体和地基的应力不超过允许值。 • （2）抗滑稳定满足规范要求的安全系数。
重力坝的剖面设计
（三）实用剖面
1) 坝顶宽度 根据施工、交通、设备安装等条件确定。 一
般B=(8～10)%H，常态混凝土坝不小于3m，碾 压不小于5m。
2）坝顶高程
坝顶或坝顶上游防浪墙高于最高水位的超高Δh 按下式计算：
h h1% hz hc
h1% —累积频率为1%时的波高，m。 hZ —波浪中心线至静水位的高度，m。 hc—安全超高m。
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工程中经常采用的剖面形态
特点：上游坝面上部铅 直而下部呈倾斜，即可利 用部分水重来增加稳定性， 又可保留铅直的上部便于 管道进口布置设备和操作 的优点。
上游折坡的起坡点位置 应结合应力控制条件和引 水、泄水建筑物的进口高 程来选定。一般在坝高的 1/3~2/3的范围内。设计 时要验算起坡点高程水平 截面的强度和稳定条件。
优点
缺点
适用
底流消能
流态稳定、消能 效果好，对地质 条件和尾水变幅 适应强，水流雾 化小
护坦较长，土石 方开挖量大，工 程造价高
中、低水头或基 岩软弱的河道
挑流消能
对尾水变幅适应 性强，结构简单， 施工、维修方便， 工程量小。
下游冲刷严重， 堆积物多，尾水 波动与雾化大
基岩比较坚固的 中、高水头
面流消能
面流消能示意
消力戽消能
消力戽是以模型试验为基础研究成功的一种消 能方式。它是利用一个较大的反弧半径和挑角形成 的戽斗、在一定尾水深度的作用下，使从溢流坝下 游的高速水流在戽斗内产生激烈的表面旋滚，并使 出戽的高速水股在底部及尾水中均产生旋滚，以达 到较好的消能效果。
不同消能工汇总
消能工类型
黄龙滩泄水坝段
三峡
下一节
（五）消能防冲设计
1.消能设计原则 ➢尽量增加水流的内部紊动 ➢限制水流对河床的冲刷 ➢不影响其他建筑物的正常运行
重力坝剖面的优化设计毕业设计说明书资料
一、基本资料某河流域形状狭长，两岸为陡峻山体，河流水量较丰富，河道坡陡流急。
拟建枢纽工程担负着发电、防洪、灌溉、航运等任务。
1、地质勘查基本资料河床可利用基岩高程为28.00m，坝体混凝土与基岩之间摩擦系数为0.63，抗剪强度系数f'为0.95；抗剪断凝聚力c'为0.9MPa。
2、气象资料本地区春秋雨量丰沛，冬季雨量较少；夏季常有暴雨，集中出现在六、七、八月，强度较大。
相应洪水季节50年重现期最大风速的多年平均值为16.8m/s，相应设计洪水位时吹程1.9km，相应校核洪水位时吹程2.1km。
3、经水文、水利调洪演算确定：死水位92.00m；设计洪水位115.00m，相应的库容为27.6亿m3 ，相应下游水位45.50m，通过河床式溢洪道下泄流量5850.53m3/s；校核洪水位118.82m，相应下游水位48.67m，通过河床式溢洪道下泄流量6752.33m3/s；库底淤沙高程44.52m，淤沙浮容重=8.71 KN/m3。
4、相关的坝体初步设计基本资料枢纽的主体工程由非溢流坝段、溢流坝段、泄水底孔坝段、船闸组成，采用左岸修建地下电站厂房。
非溢流坝段：各坝段长20m；溢流坝段全长60m，分3个坝段，每段长20m，共分3孔。
二、非溢流重力坝剖面设计2.1非溢流坝段剖面设计原则重力坝剖面设计原则是：①满足稳定和强度要求，保证大坝的安全；②工程量要小；③运用方便；④便于施工。
非溢流坝段的基本断面呈三角形，其顶点宜在坝顶附近。
基本断面上部设坝顶结构。
根据交通和运行管理的需要，坝顶应有足够的宽度。
为防波浪漫过坝顶，在静水位以上还应留有一定的超高。
拟定基本剖面，再根据运用及其他要求，将基本剖面修改成为实用剖面，最后对实用剖面在全部荷载作用下进行应力分析和稳定验算，经过反复修改和计算，确定合理的坝体剖面。
2.1.1确定基本设计参数重力坝的基本剖面是指坝体在自重、静水压力（水位与坝顶平齐）和扬压力三项主要荷载作用下，满足强度和稳定性要求，使工程量最小的三角形剖面。
重力坝设计内容
重⼒坝设计内容重⼒坝设计内容、⽅法与步骤⼀重⼒坝设计所需基本资料<⼀>地形库区与坝址的地形地貌及⾼程，河流流向及河⾕型状，地物与已成建筑物，村庄集中分布及内外交通、⽔电线路布置，显附有库区、坝址的地形图。
<⼆>地质包括库区及坝址地质情况。
坝址地质应已包括环境地质、地基岩⽯结构、岩层产状⼯程地质及⽔⽂地质情况，如断层破碎带分布、节理裂隙发育状况、地下⽔位与济量，透⽔带分布岸坡稳定性及崩坡积物分布、分化层深度。
建筑材料分布，储量及物⼒性坝轴线处基？的主要物理⼒学性质、钻孔柱状？<三>⽔⽂与⽓象1.⽔⽂⽔利计算成果：⽔库设计标准及相应的特征⽔位与库容，淤沙⾼程。
2.⽓象库区⽓候、降⾬量、风速、冰冻情况。
<四>计算参数基岩抗剪或抗剪断指标，极限承载⼒或承载⼒标准值。
淤沙的抗剪指数及⾃重，地震烈度，⽔库吹程及冲坝系数、扬压⼒折减系数。
⼆总体布置确定重⼒坝位置，选定坝型及结构以及与两岸或？？建筑物的连接⽅式<⼀>坝型选择根据地址的地形、地质、建筑材料、施⼯条件及？？利⽤要求，选择适宜的重⼒坝结构形式；如当地地质较差，坝⾼不⼤，？当地具有⾜够的⽯料，可优先选择浆砌⽯宽？重⼒坝。
<⼆>坝轴线位置根据提供的坝址地形图，？？⼯程量，施⼯要求及其他建筑物布置特性，确定坝轴线。
<三>溢流坝段与⾮溢流坝段的位置通过⽔⼒计算确定溢流坝长度再消能要求确定在⼤坝中具体位置，其余部分为⾮溢流坝段。
三坝⾯拟定初拟确定重⼒坝挡⽔坝段与溢流坝段横纵剖⾯的形状与尺⼨。
<⼀>基本剖⾯——三⾓形根据上游最⾼⽔位与坝基地质条件，？依类此法，初拟基本三⾓形顶点位置，底边位置及上下游的坝坡系数。
1.顶点：通常是顶点位置？？最⾼⽔位附近，当地质条件较差，剖⾯尺⼨挖到条件时，顶点⾼程应适当⾼些。
2.底边：根据地形图反映的最⼤坝段地⾯⾼程，？出开挖深度的坝基⾼程？为三⾓形底边位置。
水工建筑物剖面设计相关知识
水工建筑物剖面设计相关知识水工建筑物剖面设计相关知识重力坝的基本断面一般是指在水压力(水位与坝顶齐平)、自重和扬压力等主要荷载作用下，满足稳定、强度要求的最小三角形断面。
一、设计原则（一）满足稳定和强度要求。
（二）工程量少。
（三）便于施工。
（四）运用方便。
二、基本剖面（一）因为作用于上游面的水压力呈三角形分布,所以重力坝面是三角形。
1.当a>90时，即上游面为倒坡。
库空时，三角形重心可能超过底边三分点在下游面产生拉应力，而且倒坡不便施工。
2.当a<90时，利用水重帮助稳定。
但角度太小时，库满时合力可能超过底边三分点（偏下游）在上游面产生拉应力。
上游面坡度越缓，第一主应力越易成为拉应力，故a 角不宜太小。
3.规律：①施工运用方便多做成a=90；②f 较低时，为满足稳定，减小a 角，利用水重；③工程经验：m=0.6—0.8（下游坡）n=0—0.2（上游坡）4.一般情况,坝体与坝基接触面之间摩擦系数及粘结强度越大、渗压折减系数越大，基本剖面底宽就越小，T 主要由强度条件控制。
反之，摩擦系数和粘结强度越小，渗压折减系数越小，坝底宽度就越大，且主要由抗滑稳定条件控制。
三、实用剖面（一）根据运用和交通要求，坝顶应有足够的宽度，无特殊要求，坝顶宽=8-10%坝高，但不得小于2米，如有运用和交通要求，应满足这些要求：1.坝顶高于水库水位的高度△h 计算：2.坝顶高度=设计洪水位+△h （坝顶高程或防浪墙顶高程，按设计洪水位、校核洪水位两种情况分别计算，并选用较大值）。
（二）剖面选择：对中、低重力坝可以采用工程类比法，参照类似的已建工程，拟定坝体剖面尺寸，然后对坝体控制截面进行强度和稳定验算，并根据计算结果进行调整，直到满足设计要求为止。
cz h h h h ++=?%1（三）溢流重力坝既能挡水又能通过坝顶溢流。
因此，坝体设计除要满足稳定和强度要求外，还要满足泄水要求。
在溢流坝段位置确定以后，应合理选择泄水方式，并根据洪水标准和运用要求确定孔口尺寸。
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—1 重力坝剖面设计原则
—2 重力坝的基本剖面
—3 实用剖面
—4 实用剖面的优化设计
—一、优化设计的有关概念【设计变量、目标函数、约束条件】 —二、优化设计的数学模型及求解途径
① 满足稳定和强度要求
② 剖面最小，即工程量最小
③ 便于施工
④ 满足运行要求
重力坝的基本剖面一般 是指在水压力(水位与
坝顶齐平)、自重和扬
压力等主要荷载作用下， 满足稳定、强度要求的 最小三角形剖面。
当α>90°时，即上游面为倒坡。
库空时，三
角形重心可能超过底边三分点在下游面产生拉 应力，而且倒坡不便施工。
当α <90°时，利用水重帮助稳定。
但角度 太小时，库满时合力可能超过底边三分点（偏 下游）在上游面产生拉应力。
上游面坡度越缓， 第一主应力越易成为拉应力，故α角不宜太小。
工程经验m=0.6~0.8（下游坡）n=0~0.2（上 游坡）
根据运用和交通要求，坝顶应有足够的宽度，
无特殊要求，坝顶宽=810%坝高，但不得小于3m， 如有运用和交通要求，应满足这些要求。
坝顶高程或防浪墙顶高程，按设计洪水位、校 核洪水位两种情况分别计算，并选用较大值。
坝顶高于水库水位的高度△h 计算
常用剖面形态：
c
z h h
h h + + = D % 1
例1-3设计资料同例11，要求拟定非溢流重力坝的 断面尺寸。
解：（1）坝顶高程的确定
坝顶高程按正常蓄水位和校核洪水位两种情况， 用式157计算坝顶距水库静水位以上的高度∆h，并 据求得相应的坝顶高程，取两者的最大值作为选定 的坝顶高程。
枢纽位于高山峡谷地区，采用式11计算波高、波长。
v 0 在正常蓄水位取1.5倍，在校核洪水位取多年平均 最大风速。
安全超高h
正常蓄水位取0.5m，校核洪
c
水位取0.4m。
正常蓄水位时：
由于 ，h 相当于h 5% ，查表11， h 1%
=0.87m ，波浪中心线在静水位以上的高度为 同理，校核洪水位h 1% =0.52m ，L m
=5.26m ， h z
=0.16m ∆h =0.52+0.16+0.4=1.08m
1/3 1/12 22 0
2 1/3.75 1/2.15 22 0
9.81000 0.0076(1.3 1.5)0.00173 (13.3 1.5) 0.173(13.3 1.5)/9.80.70m
9.81000 0.331(13.3 1.5)0.1943
(13.3 1.5) 7.89m
m m gh v h gL v L - éù ´ =´´´= êú ´ ëû \=´´= éù ´ =´´´= êú ´ ëû \= 2 0 /25.13 gD v = 2 1% 1% 0.30m
0.870.300.5 1.67m
z m z c h h L h h h h p »= D =++=++=
两种情况的坝顶防浪墙顶部高度分别为
正常蓄水位时：177.0+1.67=178.67m
校核洪水位时：179.02+1.08=180.10m
选取上述较大值，坝顶防浪墙高程为180.10m，防浪墙高度 取1.2m，并考虑到坝顶高程应高于校核洪水位，最后确定坝顶高 程为179.15m，最大坝高为30.05m。
（2）断面拟定和防渗布置。
坝顶宽度根据交通要求，确定为5m。
上游坝采用折坡，起始点选在2/3坝高处，高程为169.10m， 以上为铅直面，以一下用1：0.2的斜坡，下游坝坡在173.90m高 程以上为铅直面，一下为1：0.7的斜坡。
设灌浆帷幕和排水孔，帷幕中心线距上游坝踵5.3m，排水孔 距帷幕中心线1.5m。
（一）优化设计的有关概念
1. 设计变量
结构的设计方案可由若干个数量来表示。
这些 数量可以是截面尺寸、物理或力学特性参数等， 统称为设计参数。
参数中在优化过程中始终不变 的称为预定参数；发生变化的称为设计变量。
2. 目标函数
目标函数时设计变量的函数，代表所设计结构 的某个最重要的特征或指标。
对于单宽坝段，可选区断面面积作为目
标函数，即
() W x bcd ade afgh
=D +D + 面积 面积 四边形 面积
3.约束条件
约束条件是优化设计中所必需满足的条件和要求。
上图中约束条件有：
（1）几何约束条件
① 下游面坡比
② 上游面坡比
③ 设计变量非负约束
1322
()0.90; ()0.50
R x x H R x x H
=-£=-+£
321
0.2()0
R x H x
=-+-£
415263
74
()0;()0;()0
()0
R x x R x x R x x
R x x
=-£=-£=-£
=-£
（2）性态约束
① 应力约束条件。
对重力坝进行应力分析，判定在
运行期和施工期是否满足强度要求，计算出坝踵和坝 趾的应力，使其满足应力约束。
② 抗滑稳定约束条件。
按照抗剪断强度公式进行分 析，使其满足抗滑稳定要求。
（二）优化设计的数学模型及求解途径
求出目标函数的最小值，即构成重力坝断面设计 优化的数学模型。